G. Bracco - Appunti di Fisica Generale

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1 Sistemi di punti materiali Finora abbiamo considerato solo un punto materiale ma in genere un corpo ha dimensione tale da non poter essere assimilato ad un punto materiale. E sempre opportuno definire un punto particolare del corpo (o del sistema di punti), il centro di massa. Per calcolare la sua posizione suddividiamo il corpo (se non è già suddiviso in punti) in parti più piccole di massa m i e in posizione r i m i r i Centro di massa CM R CM = Σ M dove M è la massa totale del sistema derivando si ottiene velocità del CM V CM = Σ m i v i /M accelerazione del CM a CM = Σ m i a i /M CM 1 Osserviamo che il CM può anche essere un punto esterno al corpo. Ad esempio nel caso di una corona circolare y Nel caso di un corpo continuo la sommatoria CM corrisponde nel limite di parti infinitesime ad un integrale esteso a tutto il corpo 1 1 R CM =----- r dm = ---- r ρ dv dove M= ρ dv M M è la massa totale del corpo x in ogni caso questo corrisponde a un integrale (sommatoria) per ciascuna componente x CM = x dm /M = x ρ dv /M etc. Se il corpo ha elementi di simmetria, il centro di massa giace su tali elementi

2 Seconda legge di Newton per un sistema di punti Per ciascun punto F i =m i a i sommiamo su tutti i punti Σ F i = Σ m i a i =M Σ (m i a i )/M= M a CM analizziamo le forze e separiamole in forze interne fra i punti del sistema e forze esterne Σ (F i ) int =0 per il principio di azione e reazione Σ (F i ) ext =M a CM quindi la legge rimane valida ed il sistema si comporta come un corpo in cui la massa totale M è concentrata nel CM e risente solo della risultante delle forze esterne 3 Per un sistema è opportuno riscrivere la seconda legge come Σ F ext =dp/dt (I eq. cardinale della dinamica dei sistemi) dove la quantità di moto totale è P=Σ p i = Σ m i v i =Mv CM In assenza di forze esterne dp/dt=0 e quindi P= costante e si ha conservazione della quantità di moto. Essendo una relazione vettoriale si hanno tre relazioni P x =cost. P y =cost. P z =cost. Si ha conservazione anche per una sola componente in una direzione se la risultante delle forze esterne non ha componente in quella direzione Es.: calcolare il CM per un cerchio, un semicerchio e per un quadrato. 4

3 Anche nel caso dei sistemi di punti, per trattare i moti, in particolare le rotazioni, è opportuno introdurre ed utilizzare i momenti delle forze Il momento totale rispetto ad un polo O sarà la somma di tutti i momenti applicati ai vari punti Σ t i = Σ r i F i E opportuno separare le forze in forze interne ed esterne al sistema. Per quelle interne Σ (t i ) int = Σ r i (F i ) int =0 perché prese a coppie (azione e reazione) si ha che r i (F i ) int + r j (F j ) int = r i (F i ) int -r j (F i ) int = (r i -r j ) (F i ) int =0 perchè la forza è lungo la direzione passante per i due punti interagenti F i r i r j F j 5 Analogamente il momento complessivo della quantità di moto L=Σ l i = Σ r i p i = Σ r i m i v i L equazione vista per un punto materiale diviene T ext = dl/dt (II eq. cardinale della dinamica dei sistemi) L equazione e i valori delle quantità dipendono dalla scelta del polo rispetto a cui calcolare i momenti (vedi la dimostrazione per il punto materiale) (T ext ) 0 = dl 0 /dt+ v 0 P osservazione: se si sceglie il CM P =Σ m i v i =0 e quindi v CM P=0 T ext = dl CM /dt anche se il moto r r-r 0 0 del CM è accelerato! r 6

4 Più in generale possiamo considerare i vettori dal polo O ai vari punti del corpo come r i =R CM + r i e quindi L=Σ l i = Σ r i p i = Σ(R CM + r i ) m i (v i +V CM )= R CM Σm i v i +R CM (Σm i )V CM + Σ r i m i v i + m i + Σ(m i r i ) V CM ma rispetto al CM Σ(m i r i )=0 Σm i v i =0 da cui L = R CM P + L CM (Teorema di König per L) Scritto in questo modo, il momento della q.d.m. risulta somma del momento angolare rispetto al CM (momento angolare intrinseco) che è una proprietà del sistema più quello dovuto al moto di un punto materiale (CM), in cui tutta la massa del corpo è apparentemente concentrata, che dipende dalla scelta del polo O. O r i R CM r i CM 7 In assenza di momenti esterni dl/dt=0 e quindi L= costante e si ha conservazione del momento della quantità di moto. Essendo una relazione vettoriale L x =cost. L y =cost. L z =cost. Si ha conservazione anche per una sola componente in una direzione se la risultante dei momenti esterni non ha componente in quella direzione. Per un sistema generico si hanno perciò 6 equazioni di moto F ext =dp/dt ed in genere se il numero di punti è superiore a due T ext = dl CM /dt il sistema è indeterminato. Nel caso di un corpo rigido (in cui le distanze fra i punti che compongono il corpo sono costanti) bastano tre quantità per specificarne la posizione e tre per definire la sua orientazione (6 gradi di libertà): le due equazioni cardinali sono sufficienti a descriverne il moto. In sistema isolato e chiuso (non c è scambio di particelle con l esterno) Σ F ext =0 e questo implica P=cost conservazione quantità di moto Σ T ext =0 e questo implica L=cost conservazione momento angolare ΔE=0 E=costante conservazione dell energia in generale 8

5 Momenti di inerzia Per un corpo rigido si definisce il concetto di momento di inerzia Partiamo dal momento angolare di un corpo rigido che ruota con velocità angolare ω (uguale per tutti i punti mentre la v i dipende dal punto) attorno ad un asse fisso su cui scegliamo il polo O L=Σ l i = Σ r i p i = Σr i m i v i = Σr i (m i ω r i ) L ultima relazione si può verificare considerando ω v i ω che ogni punto esegue un moto circ. con raggio R la proiezione di r i nel piano perpendicolare i a ω) e quindi si comprende che nel momento r i angolare si fattorizza ω e ciò che rimane contiene l informazione della distribuzione O geometrica delle masse, quest ultima e il momento di inerzia I. Provare ad eseguire il calcolo vettoriale per due masse uguali come in figura che ruotano attorno all asse verticale 9 Vediamo brevemente le proprietà del prodotto vettoriale triplo di vettori d=a (b c) = (c a) b -(b a) c infatti (b c) è perpendicolare al piano di b e c, quindi d, che è perpendicolare a (b c) ed a, sarà combinazione di b e c. Applicato al nostro caso Σr i (m i ω r i )= Σ m i r i (ω r i ) con a= r i, b= ω, c= r i, Σ m i ((r i r i ) ω -(ω r i ) r i ) di componenti ((r i ) ω x -(ω r i )x i, (r i ) ω y -(ω r i )y i, (r i ) ω z -(ω r i )z i ) Osservazione: il momento angolare L e la velocità angolare ω sono vettori, I moltiplicato per ω deve in generale dare un vettore non parallelo ad ω I è un tensore di ordine. Infatti sviluppiamo i vari termini 10

6 X: Σ m i ((x i + y i + z i )ω x -(ω x x i + ω y y i + ω z z i )x i ) = Σ m i (y i +z i ) ω x - Σ m i x i y i ω y - Σ m i x i z i ω z Y: Σ m i ((x i + y i + z i ) ω y -(ω x x i + ω y y i + ω z z i )y i ) = - Σ m i x i y i ω x + Σ m i (x i +z i ) ω y - Σ m i y i z i ω z Z: Σ m i ((x i + y i + z i )ω z -(ω x x i + ω y y i + ω z z i )z i )= - Σ m i x i z i ω x - Σ m i y i z i ω y + Σ m i (x i + y i )ω z da cui Σm i (y i +z i ) - Σ m i x i y i -Σ m i x i z i I = - Σ m i x i y i Σ m i (x i +z i ) - Σ m i y i z i - Σ m i x i z i - Σ m i y i z i Σ m i (x i + y i ) tensore simmetrico (I ij =I ji ) 11 Per le rotazioni attorno ad un asse (per esempio verticale lungo z) lungo ^ cui è diretto ω possiamo scrivere ω= ω z k e ciò che interessa è il calcolo della componente del momento angolare lungo l asse L z = Σ m i (x i + y i ) ω z = I zz ω z (le altre componenti fuori asse determinano lo sbilanciamento del sistema: es. equilibratura ruote automobili) Essendo il corpo continuo la sommatoria viene sostituita da un integrale I zz = (X + Y )dm= (X + Y )ρ dv= R ρ dv = Generalizzando quindi il momento di inerzia lungo un asse qualunque vale I= R ρ dv con R distanza dall asse di rotazione di dm Per esercizio calcolare il momento di inerzia di a) un disco omogeneo di raggio R b) di una sfera di raggio R 1

7 13 Calcolato il momento di inerzia I CM rispetto al CM è possibile calcolarlo per qualunque asse parallelo al primo I mediante il Teorema degli assi paralleli di Steiner I=I CM +Md con d la distanza fra gli assi paralleli e M la massa totale del corpo La seconda equazione cardinale per la rotazione attorno ad un asse fisso (lungo z) di un corpo rigido si riduce a (T ext ) z = dl z /dt= I dω/dt = I α con il polo sull asse di rotazione (l equazione non dipende dalla posizione del polo purché esso sia sull asse) Statica di un corpo rigido: si deve verificare che Σ F ext =0 Σ T ext =0 equazioni fondamentali della statica dei sistemi rigidi se P=0 e L=0 ad un istante, essi rimangono nulli 14

8 Energia cinetica L energia cinetica totale di un sistema di punti è data da K= ΣK i = Σ½ m i v i Nel caso di un corpo rigido si può dimostrare che K= ½ M v CM + ½ I CM ω dove il primo addendo rappresenta l energia cinetica di un punto materiale di massa M avente la velocità del CM, il secondo addendo rappresenta invece l energia cinetica associata alla rotazione attorno al centro di massa. Nel caso di rotazione attorno ad un asse fisso K= ½ I ω [il momento di inerzia è calcolato rispetto a questo asse poiché ω è diretto lungo questo asse e se passante per il CM allora v CM =0 altrimenti v CM = ωd, con d=distanza di CM dall asse e quindi K= ½ M v CM + ½ I CM ω = ½ M (ωd) + ½ I CM ω = K= ½ (M d + I CM ) ω ] 15 Per una rotazione attorno ad un asse fisso (p.es. z) si può formulare il lavoro in modo più semplice. Consideriamo un singolo punto i che ruota e valutiamo il lavoro fatto da F su di esso L i = F i dl i = F i vdt = F i ω r i dt = ω r i F i dt = (ω ha solo componente lungo l asse, cioè z) ωt z dt = t z ω dt = t z dθ e la potenza P= dl/dt= t z dθ/dt= t z ω t z =(r i F i ) z la componente del momento delle forze lungo l asse (z). Queste relazioni risultano utili nel caso dei corpi rigidi vincolati a ruotare attorno ad un asse fisso 16