Dinamica del Manipolatore (seconda parte)

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1 Dinamica del Manipolatore (seconda parte) Ph.D Ing. Michele Folgheraiter Corso di ROBOTICA2 Prof.ssa Giuseppina Gini Anno. Acc. 2006/2007 Equilibrio Statico Manipolatore Il manipolatore può essere rappresentato tramite una catena cinematica aperta, su di esso agiranno delle forze/momenti provenienti dai motori e delle forze/momenti esterni (solitamente applicati all end-effector). Vogliamo determinare i momenti da applicare ai giunti per mantenere un equilibrio statico. Hp: trascuriamo la forza peso Dove: f i è la forza esercitata dal link i-1 sul link i n i è il momento che il link i-1 esercita sul link i 1

2 Se vogliamo che il link-i giaccia in equilibrio: Possiamo trovare la forma iterativa e portare tutte le forze e momenti rispetto il sdr. dove agiscono: OSS: quasi tutte le componenti delle forze e dei momenti che agiscono sul link si scaricano sulla struttura, tranne quelle che agiscono lungo l asse di rotazione o di traslazione del link. Quindi i motori, per mantenere l equilibrio statico, dovranno generare un momento pari a: Nel caso di giunto prismatico la forza sarà: Oss: per noi il momento torcente è positivo se diretto in senso antiorario. 2

3 ESERCIZIO: Considerato il manipolatore planare di figura calcolare i momenti che devono generare gli attuatori ai giunti per equilibrare la forza esterna 3 F=(Fx,Fy,0): 3

4 In generale si può dimostrare che lo jacobiano lega la forza sull end-effector con i momenti applicati ai giunti: r J T f r τ = 4

5 Modello Dinamico Del Manipolatore Ci permette di risolvere due problemi: 1. Supposti noti i momenti/forze applicate ai giunti quale sarà il moto seguito dal manipolatore (simulatore). 2. Date la traiettorie dei giunti Ө(t), Ө (t), Ө (t), determinare i momenti/forze richiesti ai giunti per attuare tale moto (controllo). Le equazioni dinamiche necessitano le accelerazioni lineari ed angolari di ogni link. Accelerazione Lineare ed Angolare di un corpo rigido Per determinare l accelerazione lineare ed angolare di un corpo rigido possiamo derivare le velocità: Supponiamo inizialmente che il corpo rigido possa solo ruotare attorno all asse definito da A Ω B, vogliamo determinare l accelerazione lineare del punto Q (che può muoversi sul corpo rigido, nel sdr. {B} ). Sappiamo che la velocità di Q rispetto al sdr. {A} è: che possiamo esprimere anche come: Derivando la velocità otteniamo l accelerazione: 5

6 Sostituendo e generalizzando (al posto di Q mettiamo V): Se consideriamo anche l accelerazione dovuta alla traslazione di {B} rispetto {A}, e supponiamo che il punto Q sia solidale a {B}, B V Q = B V Q =0 Accelerazione Angolare di un Corpo Rigido Consideriamo un sdr. {B} che ruota relativamente ad {A} con velocità angolare A Ω B, e un sdr. {C} che ruota rispetto {B} con velocità angolare B Ω C, ({C} è il sdr. solidale con il corpo rigido) allora : Se differenziamo: Useremo questa eq. per calcolare la velocità angolare del link i-esimo 6

7 Equazioni di Newton e Eulero Quando abbiamo a che fare con un corpo rigido, per poterlo accelerare e decelerare dobbiamo applicarvi delle forze e dei momenti: Eq. Newton Eq. Eulero Dove C I è il tensore di inerzia calcolato nel sdr. {C} che ha origine nel centro di massa del corpo rigido. N rappresenta il momento che permette di ruotare il corpo con velocità angolare ω e accelerazione angolare ω. Dimostrazione eq. di Eulero in un caso particolare: 7

8 Calcolo del tensore di inerzia I Per un corpo rigido libero di muoversi nello spazio ci sono infiniti assi di rotazione possibili, quindi ci serve uno strumento matematico che ci permetta di descrivere la distribuzione di massa del corpo rigido in modo completo. Consideriamo un sdr. {A} solidale con il corpo rigido, il tensore di inerzia A I è una matrice simmetrica 3x3: Dove gli elementi sulla diagonali sono detti Momenti di Inerzia, mentre quelli esterni sono detti Prodotti di Inerzia. Queste 6 quantità indipendenti, per un certo corpo sono funzione del tipo di sdr. {A} scelto Se scegliamo un sdr. tale per cui tutti i prodotti di inerzia sono nulli I XY =I XZ =I YZ =0 allora gli assi del sdr. scelto vengono detti assi principali di inerzia, e i momenti di inerzia ad essi associati vengono detti momenti di inerzia principali. E possibile ricavare i momenti di inerzia e i prodotti di inerzia rispetto ad assi paralleli rispetto a quelli utilizzati per il calcolo del tensore di inerzia utilizzando le seguenti equazioni: Dove x C, y C, e z C rappresentano le coordinate del sdr. {C} collocato con l origine nel centro di massa del corpo rigido. In modo analogo, permutando x y e z, si calcolano anche gli altri momenti di inerzia e prodotti di inerzia. 8

9 ESERCIZIO: Determinare il Tensore di Inerzia del solido rappresentato in figura. La densità del materiale è ρ, calcolare il tensore rispetto il sdr. {A}. A I 9

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