S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II. Esercizi svolti di Fisica generale II - Anno 1991

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1 Esercizi svolti di Fisica generale II - Anno ) Esercizio n 1 del 15/6/1991 Un fascio di elettroni ha forma cilindrica di raggio a e densità di carica costante Calcolare, utilizzando l equazione di Poisson, il campo elettrico nei punti interni ed esterni al fascio fascio di elettroni e e e e e Scriviamo l equazione di Poisson in coordinate cilindriche con la sola parte radiale 2 Φ = 4πkρ per i punti interni: 1 r r r ( r Φ r ( r Φ r ) = 4πkρ ) = 4πkrρ r dφ dr = 2πkr2 ρ cost dφ dr = 2πkrρ cost r Segue E = Φ = dφ dr êr = 2πkrρê r cost r êr Ma cost = 0 perchè per r = 0 = E(0) = 0, quindi per 0 r a E (r<a) = 2πkrρê r = 1 2ǫ 0 ρrê r Per r > a ρ = 0 e l equazione è quella di Laplace 2 Φ = 0 ESFIS91-1

2 ( 1 d r dφ ) = 0 r dr dr dφ dr = cost r E (r>a) = dφ dr êr La costante cost si trova imponendo che per r = 0 E (r<a) (a) = E (r>a) (a), quindi 1 ρa = cost 2ǫ 0 a = cost = 1 2ǫ 0 ρa 2 E (r>a) = 1 2ǫ 0 ρa 2 1 rêr ESFIS91-2

3 91-2) Esercizio n 2 del 15/6/1991 Sia dato un filo conduttore di lunghezza finita pari a 2L Se esso è percorso da corrente I, determinare il potenziale vettore nel punto P sull asse del filo Si tenga presente che: dx x2 a = ln x x 2 a 2 cost 2 z I L R 0 a P A x L Si ha: A = µ 0 4π J dv r r = µ 0 I dz 4πẑ R = µ L 0 4π Iẑ L dz a2 z 2 = µ 0 L a2 L Iẑ ln 2 4π L a 2 L 2 Il valore assoluto si può omettere perchè il numeratore e il denominatore sono sempre positivi Se invertiamo il verso della corrente anche A cambia verso ESFIS91-3

4 91-3) Esercizio n 3 del 15/6/1991 Un protone cosmico ultrarelativistico (γ = , v c) si avvicina alla Terra muovendosi perpendicolarmente ad un campo magnetico di 01Gauss Calcolare il valore del campo elettrico e del campo magnetico osservati nel sistema di riferimento solidale al protone y S B x z Sia v verso l asse x positivo in S e sia B diretto verso l asse y positivo In S: E x = E y = E z = 0 ; B x = B z = 0 ; B y = 01G In S : E x = 0 E y = 0 E z = γvb y B x = 0 B y = γb y B z = 0 Per γ = e v c segue E z = V/m B y = Gauss ESFIS91-4

5 91-4) Esercizio n 4 del 15/6/1991 La suscettività paramagnetica di un composto il cui peso molecolare è 400 e la cui densità è Kg m 3 è data dalla formula χ m = T dove T è la temperatura assoluta Calcolare il momento di dipolo permanente associato a ciascuna molecola K = J 0 K 1 ; N A = mol 1 ; PM = 400 Quindi il numero di atomi per unità di volume è: N A : 04 = N : N = N A atomi = m 3 Inoltre M = χ m H = χ m µ 0 B χm M M(1 χ m ) = χ m µ 0 B M = χ m µ 0 (1 χ m ) B Ma per cui se T non è molto bassa M Nm2 0 3KT B χ m = Nm2 0 µ 0 3KT = µ 0 T = Nm2 0 3KT m 2 0 = 3K µ 0 N = = m 0 = Am 2 ESFIS91-5

6 91-5) Esercizio n 1 del 6/7/1991 Una sfera metallica, di raggio a = 5 cm, sulla cui superficie è uniformemente distribuita una carica q = 5nC, è circondata da uno strato dielettrico di 5cm di spessore e di costante dielettrica relativa ǫ r = 3 Determinare l espressione del campo elettrico nel dielettrico e calcolare in valore e segno la densità di carica di polarizzazione, dimostrando esplicitamente che la carica totale di polarizzazione è nulla a b r Si ha: Sup est: a = 5cm ; b = 10cm ; (b a) = 5cm ; Q lib = 5nC S D ˆnda = q l ǫe4πr 2 = q = E = 1 4πǫ 0 ǫ r q r 2 ˆr P = χe = P = ǫ 0 (ǫ r 1) E q ˆr = ǫ 0 (ǫ r 1) 4πǫ 0 ǫ r r 2 = ǫ r 1 q 4πr 2 ˆr σ Pest = P ˆn = ǫ r 1 ǫ r q 4πb 2 = C/m 2 = q e = 33nC ǫ r σ Pint = P ˆn = ǫ r 1 ǫ r q 4πa 2 = C/m 2 = q i = 33nC ESFIS91-6

7 Segue ρ P = P = x P x y P y z P z P x = ǫ r 1 ǫ r P y = ǫ r 1 ǫ r P z = ǫ r 1 ǫ r q 4π q 4π q 4π x (x 2 y 2 z 2 ) 3/2 y (x 2 y 2 z 2 ) 3/2 z (x 2 y 2 z 2 ) 3/2 = P = 0 quindi Q p = σ Pest ds σ Pint ds = ǫ r 1 q ǫ r 1 q = 0 CVD S est S int ǫ r ǫ r ESFIS91-7

8 91-6) Esercizio n 2 del 6/7/1991 Un ago magnetico avente forma di barretta cilindrica, di momento magnetico m orientato secondo l asse, ha una sezione di 00314cm 2 e una lunghezza di 4cm Esso è sottoposto ad un campo magnetico uniforme il cui modulo è 1,Gauss Da misure sperimentali si ricava che il massimo momento della forza dovuta al campo è di 10 6 Nm Determinare: a) la magnetizzazione M; b) la densità lineare di corrente in modulo, direzione e verso in coordinate cilindriche; c) l induzione magnetica B nei punti dell asse di simmetria del magnete e calcolarne il modulo in corrispondenza del centro e delle estremità z M Si ha: τ = m B τ max = mb = m = τ max B = = 10 2 Am 2 M = m V = 10 2 ẑ = A/m Per la densità lineare di corrente si ha: ESFIS91-8

9 y ê φ ê ρ φ x z ê ρ ê φ ˆk J = M ˆn = 0 0 M J = ê φ M = ê φ A/m L aghetto è quindi equivalente ad un solenoide in cui Pertanto, sull asse di simmetria ni = J M B = µ 0 2 J M(cos θ 1 cos θ 2 )ẑ Essendo a = 01cm ed L = 4cm (in realtà si può approssimare nel centro come infinitamente lungo e quindi B = µ 0 M) Nel centro: B (z=0) = µ 0 2 M2cos θ 1 ciò essendo cos θ 2 = cos(π θ 1 ) = cos θ 1 Poichè cos θ 1 = B (z=0) = µ 0 M L 2 a 2 L 2 /4 L a2 L 2 /4 = 01Wb/m2 = 1000Gauss si ha: Per z = L 2 θ 1 = π 2 segue B = µ 0 2 J M( cos θ 2 ) ma L = a 2 L 2 cos(π θ 2 ) per cui L = a 2 L 2 = B = µ 0 2 M L a2 L 2 = 005Wb/m2 = 500Gauss ESFIS91-9

10 91-7) Esercizio n 3 del 6/7/1991 Il momento magnetico di spin dell elettrone è m S = eh 4πm dove h = J s è la costante di Planck Due elettroni con i momenti magnetici orientati secondo la direzione ortogonale alla retta che passa per le loro posizioni, si trovano ad una distanza r Determinare in modulo, direzione e verso la forza di interazione magnetica fra gli elettroni e il momento della forza agente su di essi, sia nel caso che i momenti magnetici di spin siano equiversi che di verso opposto Stabiliti i versi dei momenti per cui la forza magnetica sia attrattiva, confrontarla con la forza elettrica e calcolare la distanza per cui le due forze risultino eguali in modulo m 1 m 2 x Segue a) Siano m 1 = mŷ e m 2 = mŷ (spin paralleli) Si ha: B 12 = µ 0 4π [ ] 3( m ˆn) ˆn m r 3 F = ( m 2 B ) ( 12 = µ 0 4π = µ 0 m 4π x 3 ŷ (campo su m 2) m 2 ) x 3 = x µ [ 0 4π x cioè per spin paralleli la forza è repulsiva b) Siano m 1 = mŷ e m 2 = mŷ (spin antiparalleli), segue: F = 3µ 0 4π m 2 x 4 î cioè per spin antiparalleli la forza è attrattiva In entrambi i casi τ = m B = 0 La forza elettrica che si esercita fra i due elettroni é in modulo: F elettrica = 1 4πǫ 0 e 2 x 2 m 2 ] x 3 = 3µ 0 m 2 4π x 4 x Le due forze sono eguali quando gli elettroni si trovano ad una distanza x tale che: 1 e 2 4πǫ 0 x = 3µ 0 e 2 h π (4π) 2 m 2 x 4 ESFIS91-10

11 da cui: x 2 = 3µ 0h 2 ǫ 0 (4π) 2 m 2 = 3 4π 10 7 ( ) (4π) 2 ( ) 2 = m 2 x = m ESFIS91-11

12 91-8) Esercizio n 4 del 6/7/1991 Una spira rettangolare di lunghezza l e larghezza w giace in una regione in cui è presente un campo di induzione magnetica B(t) sia θ(t) l angolo che la normale alla spira forma con tale campo Calcolare la forza elettromotrice indotta nell ipotesi che B(t) = ẑb 0 sin ω 1 t e θ(t) = ω 2 t Si ha: fem = dφ dt = d dt S B ˆn da = d dt S B(t) cosθ(t) da = = d dt [B(t) cosθ(t)lw] = B 0lw d dt (sinω 1t cos ω 2 t) = = B 0 lw ( ω 1 cos ω 1 t cos ω 2 t ω 2 sinω 1 t sinω 2 t ) ESFIS91-12

13 91-9) Esercizio n 1 del 26/7/1991 Assumendo che la Terra abbia la forma di una sfera di raggio R = 6400Km, calcolare la quantità di carica negativa depositata uniformemente sulla sua superficie conoscendo che il campo elettrico su tutti i punti di essa è radiale e di modulo E = 130V olt/m Calcolare, altresì, l energia elettrostatica immagazzinata in tale campo, considerando la Terra isolata nello spazio segue Sulla superficie di una sfera di raggio a carica negativamente, il campo elettrico è: E = 1 4πǫ 0 Q a 2 ˆr E = 1 4πǫ 0 Q a 2 = 130 Q = 4πǫ 0 a = (6400) = C L energia elettrostatica è: W = 1 2 ǫ 0 E 2 dv = 1 2 ǫ 0 a ( 1 4πǫ 0 ) 2 Q 2 r 4 4πr2 dr = = 1 2 ǫ Q 2 4π 0 (4πǫ 0 ) 2 a 1 r 2 dr = 1 2 Q 2 4πǫ 0 [ 1 ] = 1 Q 2 r a 4πǫ 0 2a = = ( ) = Joule [ ] 1 = πǫ 0 ESFIS91-13

14 91-10) Esercizio n 2 del 26/7/1991 Siano E = Eŷ e B = Bẑ un campo elettrico e un campo di induzione magnetica misurati da un osservatore O solidale ad un sistema di riferimento S Un osservatore O si muove rispetto ad O lungo l asse x di S con velocità v = vˆx Siano E e B i campi osservati da O a) Calcolare per quale valore di v risulta B = 0 e a quale condizione deve soddisfare il rapporto B/E perchè tale valore di v abbia significato fisico; determinare in corrispondenza il campo E b) Calcolare per quale valore di v risulta E = 0 e a quale condizione deve soddisfare il rapporto B/E perchè tale valore di v abbia significato fisico; determinare in corrispondenza il campo B In S si ha: In S si ha, in generale: E x = 0 E y = E E z = 0 B x = 0 B y = 0 B z = B Sostituendo: E x = E x E y = γ[e y vb z ] E z = γ[e x vb y ] E x = 0 E y = γ[e vb] E z = 0 B x = B x [ B y = γ B y v ] c 2 E z [ B z = γ B z v ] c 2 E y B x = 0 B y = 0 B z = γ [B v ] c 2 E ossia: Segue: a) B = 0 per: B = v c 2 E = v = c 2 B E < c cb < E esempio: per B = 1Gauss = cb = Per cui: B E < 1 c In corrispondenza: E x = 0 ; ] E y = γ [E c 2 B2 = γ 1 [ E 2 c 2 B 2] ; E E E z = 0 ESFIS91-14

15 ossia: b) E = 0 per per cui: In corrispondenza: E y = E2 c 2 B 2 = E 2 c 2 B 2 E 1 c 2 B2 E 2 E = v B = v = E B < c B E > 1 c B x = 0 ; B y = 0 ; B z = γ 1 [ c 2 c 2 B 2 E 2] B ossia: B z = c 2 E 2 B 2 [ c 2 B 2 E 2] c 2 B = 1 c c2 B 2 E 2 ESFIS91-15

16 91-11) Esercizio n 3 del 26/7/1991 A temperatura ordinaria il Nickel è un metallo ferromagnetico Sottoposto a campi magnetici sufficientemente intensi raggiunge la saturazione ed in corrispondenza si misura B = 12750Gauss e H = A/m Calcolare il momento magnetico dell atomo di Nickel La densità del Nickel è Kg m 3 ed il suo peso atomico è 5871 Se indischiamo con m 0 il momento magnetico dell atomo di Nickel si ha: M S = N v m 0 = m 0 = M S N v N a : 5871 = N v : (N v = N a δ PM 10 3 ) N v = N a = atomi = m 3 Del resto In definitiva M = B µ 0 H = A/m = A/m m 0 = = Am 2 = 06µ B dove µ B è il magnetone di Bohr paria Am 2 ESFIS91-16

17 91-12) Esercizio n 4 del 26/7/1991 Ai fini del campo magnetico da esso prodotto, la Terra si può considerare come un dipolo magnetico di momento magnetico m, orientato secondo la direzione dei poli magnetici, di modulo m = A m 2 Assumendo che la Terra abbia forma sferica di raggio R = 6400Km, calcolare la velocità (in modulo, direzione e verso) che deve avere un elettrone, posto in un generico punto dell equatore magnetico, perchè possa ruotare attorno alla Terra descrivendo l orbita equatoriale E necessario risolvere il problema considerando, per la massa dell elettrone, l espressione relativistica equatore magnetico m F v 0 B B = µ [ 0 3( m r) r 4π r 5 m ] r 3 In un generico punto dell equatore magnetico m r = 0 = B eq = µ 0 m 4π R 3 B eq = Wb/m 2 = 0297Gauss Perchè un elettrone possa descrivere l equatore i vettori v, B e F devono essere come in figura Dagli Appunti di Fisica II si ha: R = m ev 0 eb = v 0 = ebr m e Applicando così la formula viene una velocità di valore assurdo ( m/sec); allora bisogna utilizzare la formula relativistica tenendo conto che il modulo della velocità è costante (escludiamo l emissione di radiazione): R = v 0 eb m e 1 v2 0 c 2 ESFIS91-17

18 essendo m e = Kg la massa a riposo dell elettrone Segue, quadrando R 2 = m2 e e 2 B 2 v v2 0 c 2 = v 2 0 = ( ) = R 2 R 2 v2 0 c 2 = m2 e m e 2 B 2 v2 0 = v0 2 2 e e 2 B 2 R2 c 2 = R 2 = R 2 R 2 c 2 m2 e e 2 B 2 = = v = m/s c ESFIS91-18

19 91-13) Esercizio n 1 del 14/9/1991 Una carica Q è posta ad una distanza h da un piano conduttore a potenziale zero Calcolare il lavoro necessario per portare la carica all infinito y q h x La carica induce sul piano una carica opposta e quindi fra carica e piano si esercita una forza attrattiva F = k q2 4h 2 Segue L = (contro le forze del campo) ] F ds = k [ k q2 h 4y 2 dy = q2 1 = k q2 4 y h 4h ESFIS91-19

20 91-14) Esercizio n 2 del 14/9/1991 Uno strato sferico di materiale magnetico, di raggio esterno b = 20cm, è posto, in aria, in un campo di induzione magnetica uniforme di modulo B 0 La permeabilità magnetica relativa del materiale, competente a questo campo, è µ r = 1000 Calcolare lo spessore dello strato perchè il modulo B del campo di induzione magnetica nella parte cava si riduca di di B 0 a b Essendo µ r 1, le formule nella parte cava si riducono a: B r 9B 0 cos θ ( ) B θ 9B 0 sinθ ( ) 2µ r 1 a3 b 3 2µ r 1 a3 b 3 La direzione e il verso sono come B 0 ed il modulo è Segue B = 9B ( 0 ) 2µ r 1 a3 b 3 Dobbiamo calcolare a perchè risulti: 9 ( ) = 1 ) (1 2µ r 1 a3 100 = a3 b 3 b 3 a 3 ( b 3 = = 055 = a = 055 ) 1 3 s = b a = 36cm = 450 µ r b = 082b = 164cm ESFIS91-20

21 91-15) Esercizio n 3 del 14/9/1991 Un lungo filo conduttore percorso da corrente I si trova sull asse y di un sistema di riferimento O x y z Una sottile barra metallica, di lunghezza l parallela al filo, si muove con velocità costante v = vˆx Se la corrente I è diretta lungo il verso positivo dell asse y, calcolare: a) il campo elettrico (in modulo, direzione e verso) in tutti i punti della barra; b) la fem misurabile fra gli estremi di essa; c) l intensità e verso della corrente circolante nella barra se essa viene cortocircuitata con fili di resistenza trascurabile rispetto alla propria resistenza R y I v O x z Il campo magnetico generato dal filo è Quindi nel sistema S (O x y z) si ha: B = µ 0 I 2π xẑ E x = E y = E z = 0 B x = B y = 0 ; B z = µ 0 I 2π x Consideriamo un sistema S solidale alla barra in moto Scriviamo le trasformazioni: E x = E x E y = γ[e y vb z ] E z = γ[e z vb y ] B x = B x [ B y = γ B y v ] c 2 E z [ B z = γ B z v ] c 2 E y ESFIS91-21

22 che diventano E x = 0 E y = γv µ 0 I 2π x E z = 0 B x = 0 B y = 0 a) Il campo elettrico in tutti i punti della barra è: b) La fem fra gli estremi di essa è: c) L intensità di corrente è: B z = γb z = γ µ 0 I 2π x E = γv µ 0 I 2π xŷ fem = γvl µ 0 I 2π x I = γvl R ed ha nella barra lo stesso verso del filo µ 0 I 2π x ESFIS91-22

23 91-16) Esercizio n 4 del 14/9/1991 Due campioni dello stesso materiale paramagnetico (Alluminio) di densità Kg m 3 e di peso atomico 27 sono immersi in un campo di induzione magnetica di modulo B = 12000Gauss Il momento magnetico atomico del materiale è A m 2 I due campioni sono mantenuti a temperature di K e 77 0 K rispettivamente Per entrambi i campioni, calcolare: a) la percentuale degli atomi orientati nello stesso verso del campo e quella degli atomi orientati in verso opposto; b) la magnetizzazione Si ha: n(θ) = N 4π ey cos θ ; y = µ mb KT ; L(y) 1 3 y ; M = Nµ ml(y) Poniamo dove Segue: α = n(θ) N N = N Aδ M = atomi = 6 10 m 3 T = K = y = ; L(y) = ; α(0 0 ) = α(π) = ; M = 495A/m T = 77 0 K = y = ; L(y) = (K = J 0 K 1 ; N A = ) α(0 0 ) = ; α(π) = ; M = 1941A/m ESFIS91-23

24 91-17) Esercizio n 1 del 19/10/1991 Una bolla di sapone ha il raggio di 5mm Calcolare la carica che bisogna depositare sulla sua superficie perchè essa possa cominciare a gonfiarsi, nell ipotesi che dentro la bolla si voglia mantenere la stessa pressione atmosferica esterna (Si ricorda che la pressione di contrazione dovuta alla tensione superficiale di una sfera di raggio a è τ S = 4σ a dove σ è la tensione superficiale che per l acqua saponata vale N/m) Il valore della pressione di contrazione dovuta alla tensione superficiale è τ S = 4σ a σ = N/m Del resto 1 2 ǫ 0E 2 sup = τ S dove ǫ 0 = C 2 /Nm 2, ma il valore di E è dato da Sostituendo si ha: 1 2 ǫ π 2 ǫ 2 0 In definitiva il valore di carica richiesta è: E = 1 4πǫ 0 Q a 2 Q 2 a 4 = τ S = 1 32πǫ 0 Q 2 a 4 = τ S Q 2 = 32π 2 ǫ 0 a 4 4 σ a = C 2 = Q = C ESFIS91-24

25 91-18) Esercizio n 2 del 19/10/1991 Una piccola bobina costituita da 200 spire di filo sottile è sospesa per mezzo di un filo di torsione con un estremo legato ad un suo punto Essa giace in un piano verticale sede di un campo di induzione magnetica uniforme di modulo B = 150Gauss con le linee di forza parallele al piano della spira L area della superficie di ciascuna spira è di 1cm 2 Quando nella bobina circola una corrente di 5µA, il suo piano ruota di 15 0 Calcolare il modulo di torsione del filo Il momento magnetico della spira è ortogonale sempre al piano della spira e in condizioni di equilibrio qui esso formerà col campo magnetico un angolo di 75 0 Ricordando che il momento torcente è Cα, all equilibrio si ha: ed anche τ = Cα τ = MB sin 75 0 con M = INA, dove A è l area della spira Per cui INAB sin75 0 = C15 0 = C = INAB sin Nm 15 0 = grado = Nm rad essendo 15 0 = 026rad ESFIS91-25

26 91-19) Esercizio n 3 del 19/10/1991 In condizioni normali di temperatura e pressione il gas argon ha una costante dielettrica relativa ǫ r = Calcolare il momento di dipolo indotto dell atomo se esso si trova in un campo elettrico di 10KV/m Si ha: Dalla formula di Clausius-Mossotti: p = αe est α = 3ǫ 0(ǫ r 1) N(ǫ r 2) dove, al solito, N è dato da N = N A atomi = = m 3 Segue α = m 3 = p = αe = = Cm ESFIS91-26

27 91-20) Esercizio n 4 del 19/10/1991 In un sistema di riferimento O x y z vi è un campo elettrico di modulo E = 1000V olt/m, giacente nel piano xy e formante un angolo di 30 0 con l asse x Trovare il modulo e la direzioned del campo elettrico in un sistema di riferimento che si muove lungo la direzione positiva dell asse x con velocità v = 06c, e che ha gli assi paralleli a quelli del sistema di riferimento O x y z con le origini coincidenti all istante t = 0 y O 30 0 x z Sia E 0 il modulo in S, si ha: E x = E 0 cos 30 0 = E y = E 0 sin 30 0 = 500 E z = 0 B x = 0 B y = 0 B z = 0 In S si ha: Ed anche E 0 = E x = E x = E 0 cos 30 0 = E y = γ[e y vb z ] = γe 0 sin30 0 = 625 E z = γ[e z vb y ] = 0 E 2 0 cos γ 2 E 2 0 sin = 1068V/m Il valore di γ chiaramente è γ = 1 1 (06) 2 = 125 ESFIS91-27

28 Infine per la direzione si ha: E y = E x tanα = tanα = E y E x = = α = 35 0,81 Fine Esercizi Fisica II ESFIS91-28