Fisica 2A. 10 novembre 2005

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Virginio Serafini
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1 Fisica 2A novembre 25 Leggere attentamente il testo e assicurarsi di rispondere a tutto quello che viene chiesto, incluse le eventuali risposte numeriche. Rispondere alle domande e risolvere i problemi in modo chiaro, esauriente ma sintetico. Ogni volta che si utilizza una qualche relazione non precedentemente dimostrata precisarne contesto, ipotesi e validità. Chiedere spiegazione e chiarimenti su qualunque aspetto delle domande che non sia chiaro. In tutti i casi in cui sono presenti dati numerici è implicitamente inteso, anche se non esplicitamente scritto, che si richieda anche la risposta numerica. Non saranno corrette, salvo casi eccezionali, le brutte copie. Non saranno corretti elaborati scritti in modo difficilmente leggibile. Domande. Un filo di rame ha sezione S = mm 2 e porta una corrente I =. A. Sapendo che la densità del rame vale ρ = 8.96 g/cm 3 e la sua massa atomica molare vale M = 64 g/mol calcolare la velocità di deriva degli elettroni nel filo assumendo che ci sia un elettrone di conduzione per ogni atomo. 2. Calcolare il potenziale ed il campo elettrico in tutto lo spazio prodotti da una sfera di raggio R di materiale con polarizzazione rigida assegnata P. 3. Scrivere l espressione analitica per un esempio di un campo vettoriale in tre dimensioni che abbia, in una qualche regione dello spazio, divergenza nulla e rotore non nullo, dimostrando queste due proprietà e disegnado, qualitativamente, le linee di campo. Dare un esempio di un sistema fisico a cui è associato un campo vettoriale come quello proposto. 4. Derivare l equazione delle onde meccaniche longitudinali in un materiale omogeneo, isotropo e lineare. 5. Enunciare il teorema di Poynting per il bilancio energetico del campo ElettroMagnetico, spiegando il significato di ogni termine e del teorema. Esemplificare il teorema applicandolo ad un sistema fisico a piacere. 6. Il momento magnetico di una generica distribuzione stazionaria di correnti è: m 2 r j dv. Dimostrare che nel caso di una distribuzione di correnti approssimabile ad una corrente filiforme I che percorre un circuito chiuso il momento magnetico si può scrivere come m I 2 r dl. Dimostrare che nel caso di un circuito filiforme chiuso piano l espressione precedente si riduce a m = IS in termine del vettore S che descrive l area della superficie piana.

2 Problema Un cilindretto di rame densità ρ = 89 kg/m 3 e suscettività magnetica χ =. 5 di raggio r =. mm e altezza h = 5. mm è posto sull asse di una spira circolare di raggio R = 5. cm, che giace nel piano xy con centro nell origine, ed è percorsa da una corrente costante i che circola in senso anti-orario. L asse del cilindretto coincide con l asse della spira. La forza di gravità è orientata nel verso negativo dell asse z u z.. Determinare il valore di corrente necessario affinché il cilindretto sia un equilibrio a z = 5 mm. 2. Si supponga che il cilindretto abbia magnetizzazione permanente M = A/m diretta secondo u z e che la spira sia scollegata dal generatore di corrente. Se il cilindretto viene lasciato cadere da fermo dal centro della spira z = calcolare la carica totale che circola nella spira durante la caduta del cilindretto. La resistenza della spira vale R x =. Ω. Può essere utile schematizzare il cilindretto con la sua spira equivalente.. Un cilindro sottile in un campo magnetico B uniforme si suppone che, date le dimensioni, il campo prodotto dalla spira sia costante nel volume Sostituendo: La forza sul dipolo è data da dal momento che condizione di equilibrio B c = M c H c = B = B c + B S H = H S M = M c M = χh F = m B S F = F = χπr2 h F = χπr2 h B = χh + H H = B S χ M = + χ B = χ + χ B S χ B S V χ χπr 2 h B S B S = B S B S B S z = ir 2 2z 2 + R 2 3/2 u z µ ir 2 2 d 2 z 2 + R 2 3/2 dz z 2 + R 2 3/2 µ ir z 2 z 2 + R 2 3/2 2 z 2 + R 2 5/2 F = 3 6 χ πr 2 hi 2 R 4 2z z 2 + R 2 4 u z 3 6 χ πr 2 hi 2 R 4 2z z 2 + R 2 4 = ρπr2 hg z 2 + R 2 4 = 3 z 8 χ i2 R 4 ρg u z u z poiché z R 8 R i = 4 ρg 3 χ z = A!! 2

3 2. Il momento magnetico del cilindretto è dato da m = Mπr 2 hu z m =.57 7 Am 2 Il cilindretto può essere considerato equivalente ad un spira di raggio r s percorsa da corrente i s dove Il flusso indotto dalla spira grande sulla piccola è dato da i s πr 2 s = m Φ Ss = πr 2 sb S = M Ss i M Ss = πrs 2 R 2 2z 2 + R 2 3/2 e il flusso indotto dalla spira piccola sulla spira grande quella che ci interessa Per il calcolo della carica si usa la legge di Felici Φ ss = M ss i S = πrs 2 R 2 2z 2 + R 2 i R 2 3/2 s = m 2z 2 + R 2 3/2 Q = Φ R x = Φ iniziale R x = m 2R x R = 2 2 C Oppure si può considerare il cilindretto come una sequenza di spire: il flusso indotto dalla spira grande su ciascuna di esse è dato da Φ Ss = M Ss i = N spire πr 2 sb S = nhπr 2 sb S = M i s hπr 2 sb S M Ss = hπrs 2 M R 2 i s 2z 2 + R 2 3/2 Φ ss = M ss i S = hπrsm 2 R 2 2z 2 + R 2 = m R 2 3/2 2z 2 + R 2 3/2 Si è trascurata la variazione di B S con z: approssimazione valida poiché h/2 R. 3

4 Problema 2 I piatti circolari di un condensatore di raggio r sono posti a distanza d. Si assuma che il piatto a carica negativa sia a z = e quello a carica positiva sia a z = d. Lo spazio tra i piatti è riempito da un materiale dielettrico perfettamente isolante, lineare e isotropo ma non omogeneo, con permeabilità elettrica relativa variabile ε r [z] = + z/d in funzione di z, la distanza dal piatto negativo.. Il condensatore è sottoposto alla differenza di potenziale costante V. Determinare i campi D, E, P nel dielettrico e le cariche di polarizzazione di superficie e di volume. Si noti che è possibile approssimare il condensatore con una successione di infiniti condensatori di spessore infinitesimo con permeabilità elettrica relativa variabile ε r [z] = + z/d. 2. Al condensatore è ora applicata una tensione alternata V [t] lentamente variabile nel tempo condizioni quasi-statiche. Determinare l espressione del flusso del vettore di Poynting sulla superficie laterale del condensatore e verificare che questo è uguale in modulo ed opposto in segno alla derivata temporale dell energia elettromagnetica immagazzinata nel dielettrico.. Calcolo la capacità d C = dz ε + z/dπr 2 = C = ε πr 2 ln2d d 2 dy ε πr 2 y = d ε πr 2 ln2 Q = CV Q = ε πr 2 ln2d V Passiamo ora al calcolo del campo E, D e P. Il campo D dipende solo dalle cariche libere: Carica di polarizzazione superficiale: carica di polarizzazione di volume: D = σu z = ε ln2d V u z E = D = V u z ε ε r + z/dln2d ε z P = ε χe = d + zln2d V u z σ pol z = d = P n = ε V 2ln2d σ + pol z = = 2. ρ pol z = P = V ρ polz = - Σ σ pol dielettrico globalmente neutro B φ 2πr = πr 2 dd ε d + z 2 ln2 V u z S = E B S = EBu r ΦS = 2πr d = πr 2 d EBdz = 2πr r 2 D ε + z/d dd dz = d d E dd dz πr 2 d DD / = d 2 ε + z/d πr 2 d 2 ED / 4

5 Problema 3 Un solenoide circolare disposto in orizzontale ha sezione S = 9. mm 2, lunghezza D = 5 cm ed ha N = 5 spire. Un cilindretto coassiale al solenoide è fatto di materiale lineare, omogeneo e isotropo e ha lunghezza molto maggiore di D. Nel solenoide circola una corrente costante i =.5 A. Si schematizzi il solenoide come un solenoide ideale con un campo magnetico uniforme all interno e zero all esterno del volume del solenoide. Una molla di costante elastica k = N/m è attaccata ad una faccia del cilindro mentre la seconda faccia si trova all interno del volume del solenoide.. Se in condizioni di equilibrio l allungamento della molla vale x = 2.6 cm calcolare la suscettività magnetica del materiale. 2. Se il solenoide viene allontanato lentamente di l = cm quale è il lavoro fatto dal generatore per mantenere costante la corrente e la variazione di energia magnetica. Sia y la lunghezza del cilindro all interno del solenoide. Si ha quindi che: L = n 2 µ r Sy + n 2 SD y = n 2 χsy + Dn 2 S χ = µ r e l energia magnetica vale quindi: U m = 2 Li2. In condizioni di equilibrio avremo: du m dy = F el dl 2 dy i2 = k x e quindi: da cui: χ = n 2 χsi 2 = 2k x 2k x n 2 Si 2 = 4 4 A seguito dello spostamento di l del solenoide, una porzione di solenoide che era occupata dal cilindretto ora sarà nel vuoto. Si ha quindi che: L = n 2 Sl n 2 µ r Sl = n 2 χsl χ = µ r La potenza fornita dal generatore vale: e pertanto il lavoro fornito dal generatore è: P = i dφ = i2 dl che è il doppio della variazione di energia magnetica. L = i 2 L = i 2 n 2 χsl = 4.5 5, 5

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