FISICA APPLICATA 2 DIPOLI ELETTRICI E MAGNETICI

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1 FISICA APPLICATA 2 DIPOLI ELETTRICI E MAGNETICI DOWNLOAD Il pdf di questa lezione (ele2.pdf) è scaricabile dal sito calvini/tsrm/ 26/11/2012

2 DIPOLO ELETTRICO La configurazione costituita da una carica positiva +q e da una carica negativa q (uguale in valore assoluto alla prima, ma di segno opposto) è detta dipolo elettrico. Costruito con la distanza d tra le due cariche il vettore d orientato dalla carica negativa alla carica positiva, si può definire la grandezza vettoriale momento di dipolo elettrico p come segue p = q d. (1) Come unità di misura nel S.I. si ha [p] = C m. 2

3 DIPOLO ELETTRICO IN CAMPO ESTERNO Si colloca un dipolo elettrico p in un campo elettrico esterno E uniforme. Per campo esterno s intende un campo elettrico le cui sorgenti siano diverse dalle due cariche costituenti il dipolo stesso. Come illustrato nella slide successiva, il dipolo subisce l azione di due forze uguali in intensità ed opposte in verso. La somma di queste due forze è nulla, ma sul dipolo agisce una coppia meccanica (detta anche momento torcente) τ data da τ = p E. (2) 3

4 In questo caso la coppia τ tende a far ruotare il dipolo in senso orario. Il modulo di τ è τ = p E sin(θ) = qe d sin(θ). 4

5 ENERGIA POTENZIALE DEL DIPOLO Si può dimostrare che il dipolo, trovandosi sotto l azione di forze elettrostatiche, possiede un energia potenziale U data da U = p E = p E cos(θ). (3) Il minimo di U corrisponde alla posizione di equilibrio stabile e si ottiene per θ = 0, cioè quando p è parallelo al campo elettrico esterno E. 5

6 DIPOLI MAGNETICI Se si pone una spira rettangolare di area A e percorsa dalla corrente I in un campo magnetico B esterno uniforme, si riscontra che la spira tende a ruotare in maniera da allineare la propria normale n alla direzione di B. Alla stessa conclusione si può giungere anche con il calcolo. In analogia con la (2), si trova che sulla spira agisce una coppia τ data da τ = µ B, (4) dove, sempre in base al calcolo o all esperimento, risulta necessario definire µ come µ = A I n. (5) 6

7 La relazione (5) definisce il momento di dipolo magnetico µ della spira. Questa definizione può essere applicata a qualsiasi spira piana di area A. Anche nel caso di spire non piane si riesce facilmente a definire il momento di dipolo magnetico. Nel caso della (5) il verso della normale n al piano della spira va scelto in modo da attraversare dai piedi alla testa un osservatore che veda la corrente I fluire in senso antiorario (vedi slide successiva). Come unità di misura nel S.I. si ha [µ] = A m 2 = T J [per l ultima uguaglianza vedi (6) successiva]. 7

8 Teorema di equivalenza di Ampere: un ago magnetizzato posto in un campo B si comporta esattamente come una spira di opportuno momento di dipolo magnetico µ. 8

9 DIPOLO MAGNETICO: ENERGIA POTENZIALE Anche nel caso magnetico si può dimostrare che un dipolo di momento µ, se si trova in un campo esterno B uniforme, possiede un energia potenziale U data da U = µ B = µ B cos(θ). (6) Anche in questo caso il minimo di U corrisponde alla posizione di equilibrio stabile e si ottiene per θ = 0, cioè quando µ è parallelo al campo magnetico esterno B. 9

10 All orientazione di µ parallela a B corrisponde la minima e- nergia, all orientazione antiparallela corrisponde la massima energia. Quindi, per ruotare un dipolo dall orientazione parallela a quella antiparallela bisogna fornirgli l energia U = U f U i = µ B cos(π) ( µ B cos(0)) = 2 µ B. (7) In assenza di apporto energetico dall esterno, i dipoli (macroscopici) si orientano (e restano orientati) lungo le linee di forza del campo B. Questo fatto è alla base del funzionamento della bussola e del metodo comunemente illustrato per tracciare le linee di forza di B. L allineamento può essere apprezzabilmente ostacolato dall agitazione termica nel casi di dipoli microscopici. 10

11 MOMENTO MAGNETICO DEL PROTONE Esistono momenti magnetici di dipolo su scala microscopica poiché i costituenti elementari della materia (atomi e/o molecole) possono avere un momento magnetico di dipolo. Risulta opportuno illustrare le proprietà magnetiche della particella elementare protone in quanto le applicazioni biomediche della tecnica diagnostica Risonanza Magnetica Nucleare (RMN - detta brevemente Risonanza Magnetica ed indicata d ora in avanti con l acronimo inglese MR) sono basate quasi tutte sul segnale emesso dal momento magnetico del nucleo dell atomo di idrogeno dell acqua (H 2 O). Detto nucleo è costituito da un protone, che ha massa m p = kg e carica e = C. 11

12 Il comportamento delle particelle microscopiche come il protone è governato dalle leggi della meccanica quantistica, le quali prevedono comportamenti spesso in contraddizione con il senso comune e con l esperienza quotidiana. Se si studia il comportamento di un protone in un campo magnetico esterno, si osservano due fenomeni di natura quantistica, fenomeni che non sarebbero presenti se al posto del protone venisse messo un comune ago magnetico. Il manifestarsi dei due fenomeni quantistici è legato al fatto che nel protone (come peraltro in analoghi sistemi microscopici) il momento magnetico µ p è collegato alla presenza di un momento angolare di spin s. 12

13 Il momento magnetico µ p del protone può essere espresso in termini dello spin s mediante la relazione µ p = γ s, (8) dove γ, detto rapporto giromagnetico del protone, è dato da γ = g e = e = T 1 s 1. (9) m p m p Per il protone il fattore numerico g vale circa per altri nuclei assume valori diversi. Il rapporto carica/massa per il protone vale m e p = C kg. Si può verificare che vale la relazione tra unità del S.I. C kg 1 = T 1 s 1. 13

14 Si vuole studiare il comportamento di un protone posto in un campo magnetico esterno uniforme B abbastanza intenso e che assumiano sia diretto lungo l asse z. Indicato con k il versore dell asse z, si potrà scrivere B = B k. (10) In base alla (6), alla (8) ed alla definizione di prodotto scalare, l energia potenziale magnetica posseduta dal protone potrà essere scritta come segue ( U = µ p B = B µp )z = B γ (s) z, (11) in termini della componente z di µ p (o di s). 14

15 A questo stadio intervengono le leggi della meccanica quantistica, le quali producono il primo fenomeno non classico. Il protone ha spin caratterizzato da numero quantico 1 2 e questo implica che la componente z dello spin s può assumere i due soli valori (s) ± z = ± h 4π = ± J s, (12) dove al + corrisponde lo stato detto spin-up e al corrisponde lo stato spin-down. La costante di Planck h vale h = J s. Corrispondentemente, alla componente z del momento magnetico µ p del protone spetteranno, in base alle (8) e (9), solo i due valori ( µp ) ± z = ±γ h 4π = ± J T 1. (13) 15

16 Per portare un protone posto in un campo di intensità B dalla situazione di minima energia (spin-up) alla situazione di massima energia (spin-down) gli si dovrà fornire, in base alla (7), un energia U = 2 ( µ p ) + z B = 2 γ h 4π B = γ h 2π B. (14) 16

17 RELAZIONE DI PLANCK La meccanica quantistica collega i livelli discreti di energia di un sistema di natura elettromagnetica con determinate frequenze attraverso la relazione di Planck U = U 2 U 1 = h ν 12, (15) relazione che va interpretata nella seguente maniera: se voglio portare il sistema dall energia U 1 al valore (superiore) U 2, devo fornigli energia elettromagnetica di frequenza ν 12 - se invece il sistema decade dall energia U 2 al valore U 1, esso emetterà energia elettromagnetica della stessa frequenza ν 12. Pertanto la frequenza ν 12 costituisce una frequenza caratteristica (frequenza di risonanza) per transizioni dal livello 1 al livello 2 e viceversa. 17

18 FREQUENZA DI LARMOR Se si applica la relazione di Planck (15) al salto di energia spin-up spin-down dato dalla (14) si ottiene la frequenza ν L = γ 2π B = B T 1 MHz, (16) la quale, per un protone posto in un campo B, rappresenta la frequenza di risonanza idonea ai trasferimenti (nei due sensi) di energia elettromagnetica tra protone e ambiente circostante. Si può arrivare all espressione (16) anche eseguendo un calcolo di elettromagnetismo classico attraverso il Teorema di Larmor ed il risultato (16) è anche noto come frequenza di Larmor. Nel caso standard di uno scanner MR con B = 1.5 T si ha ν L = MHz. 18

19 MOTO DI PRECESSIONE Una volta definita con la (16) la frequenza di Larmor, si può illustrare il secondo fenomeno non classico che diversifica il comportamento del protone in un campo B da quello di un ago magnetizzato. A differenza di quanto avviene per un ago magnetizzato, il quale tende sempre ad allinearsi lungo la direzione di B qualunque sia il suo orientamento iniziale, il protone non si orienta lungo la direzione di B, ma vi precede attorno. L angolo che µ p inizialmente forma con B resta costante mentre µ p ruota attorno alla direzione del campo magnetico come una trottola attorno alla verticale passante per il punto di appoggio. L aspetto quantistico di questo comportamento risiede nel fatto che lo spin s accompagna il momento magnetico µ p. 19

20 Invece il fatto che un oggetto dotato di momento angolare possa andare incontro ad un moto di precessione, come quello di una trottola, è previsto dalla meccanica classica del corpo rigido. Nel caso del protone il moto di precessione avviene alla velocità angolare di Larmor ω L = 2π ν L = γ B. 20

21 MAGNETIZZAZIONE DI UN CORPO Una volta noto il comportamento di un protone posto in un campo B, s intende studiare il comportamento di un oggetto macroscopico contenente un elevata concentrazione di H 2 O (e quindi di protoni) quando questo viene posto in un campo magnetico esterno B piuttosto intenso. Considerazioni statistico-termodinamiche di tipo classico sono sufficienti a predire il comportamento dell oggetto in quanto il numero di sistemi elementari che lo compongono è dell ordine del numero di Avogadro N A = mol 1. La fisica quantistica è già intervenuta per predire il comportamento dei singoli sistemi elementari. Le informazioni e i valori numerici ricavati da questo studio preliminare vanno inserito nel modello statistico-termodinamico classico. 21

22 Due tendenze opposte agiscono sull insieme dei protoni: da una parte la tendenza all allineamento (stato spin-up) che abbassa l energia del sistema e che risulta energeticamente favorita e dall altra la tendenza del sistema ad occupare in maniera eguale tutti gli stati accessibili (tendenza al massimo disordine/massima entropia). Indicato con N up il numero di protoni nello stato spin-up e con N down il numero di protoni nello stato spin-down, la distribuzione di Boltzmann dà il rapporto tra i due numeri N up = exp N ( ) A (U up U down ) NA U = exp (17) N down R T R T dove U è data dalla (14), T è la temperatura assoluta e R = J K 1 mol 1 è la costante dei gas. 22

23 Risultando di fatto molto piccolo (ma positivo) il valore dell esponente, si trova per lo scostamento percentuale tra i numeri N up e N down l espressione approssimata N up N down N = A U N up + N down 2 R T = N A γ h B 4π R T, (18) che per B = 1.5 T e T = 290 K vale circa Il vettore momento magnetico complessivo µ che si manifesta nell oggetto posto nel campo esterno B risulta la somma vettoriale dei singoli µ p. La piccola, ma apprezzabile, eccedenza dei momenti nello stato spin-up rispetto a quelli spin-down porta ad un apprezzabile componente longitudinale del momento magnetico macroscopico dell oggetto orientata parallelamente a B. 23

24 I singoli momenti µ p durante il loro moto di precessione avranno anche componenti trasverse (perpendicolari a B ), ma in ogni istante queste saranno orientate a caso e la loro somma vettoriale si annullerà per ragioni statistiche. Pertanto il momento magnetico macroscopico risultante sarà solo longitudinale. 24