Elettromagnetismo. Teoria macroscopica del magnetismo nella materia. Lezione n Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di ilano Lezione n Teoria macroscopica del magnetismo nella materia Anno Accademico 217/218

2 agnetizzazione e suscettività Abbiamo visto che in presenza di campi magnetici esterni nella materia vengono indotti momenti di dipolo magnetico Possono essere paralleli (paramagnetismo, ferromagnetismo) oppure anti-paralleli (diamagnetismo) Come nel caso del campo elettrico, per descrivere il magnetismo nella materia si introducono delle quantità macroscopiche Le quantità macroscopiche si calcolano a partire dalle corrispondenti quantità microscopiche realizzando delle medie spaziali Su volumi grandi se confrontati con i volumi atomici Su volumi piccoli se confrontati con i volumi tipici del sistema macroscopico La prima quantità importante (agnetizzazione) viene introdotta per descrivere il momento magnetico indotto in un volume ΔV di materia Si definisce magnetizzazione il momento magnetico totale per unità di volume Il momento magnetico dovuto ai dipoli atomici 1 m Δ V Nel caso generale la magnetizzazione è una funzione della posizione: (r) Le unità di misura 2 m Am Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 278 k JT 1 k Am 1 JT m 1 3

3 agnetizzazione e suscettività Consideriamo adesso materiali diamagnetici o paramagnetici A temperature non troppo basse e campi magnetici non troppo intensi Abbiamo visto che in entrambi i casi i momenti di dipolo magnetico indotti dipendono linearmente dal campo m ezr N m Se nelle formule precedenti N diventa una densità di elettroni per unita di volume le espressioni danno la magnetizzazione Si definisce suscettività magnetica χ m di una sostanza e χm μ La definizione precedente è quella "logica" ma è differente da quella reale in funzione del campo H Lo vedremo in seguito Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 279 m Nμ Nμ m μ tanh kt 2 μ N kt μ kt

4 Densità di corrente superficiali Richiamiamo la definizione di densità di corrente superficiale (vedi diapositiva ) Per definizione la corrente è il flusso della densità di corrente I ( ) ˆ J r n da S x Supponiamo per semplicità che il conduttore d sia un parallelepipedo orientato come in figura Per semplicità supponiamo che la densità di corrente J non vari nella direzione y y ˆn Il flusso di J attraverso la faccia rettangolare L d posta a y y è dato da J (, ) n ˆ dx (, ) I x z da S Definiamo la densità superficiale di corrente K L d x z dz ( x) J(, ) La corrente trasportata dal conduttore è pertanto L ( ) I K x n ˆdx K d J n ˆ x z dz Se K non dipende da x I KL L z y Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 28

5 Densità di corrente superficiali Riscriviamo la formula per il potenziale vettore in funzione della densità superficiale di corrente (vedi diapositiva ) z ( ) A r μ ( ) J r dv L y x L'integrale è esteso a tutto lo spazio d Ovviamente contribuiscono solo le regioni in cui J Se il conduttore è molto sottile, al limite infinitesimo è conveniente utilizzare la densità superficiale di corrente d K( x) J ( x, z) dz A( r) ( ) Per completezza diamo anche la formula del potenziale vettore nel caso di una corrente trasportata da un conduttore di sezione infinitesima ( L ) I J( r ) da A( r) S μ μ ( ) I r K r dl da μ I dl da dx dy Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 281

6 Campo da materia magnetizzata Consideriamo un blocco di materia uniformemente magnetizzato Per semplicità supponiamo che la magnetizzazione sia diretta lungo l'asse z Non ci preoccupiamo di come la magnetizzazione sia causata o mantenuta Ricordiamo che la magnetizzazione è la somma dei contributi di tutti i dipoli elementari contenuti nel blocco di materia Suddividiamo adesso il blocco in "fette" di spessore dz e perpendicolari a dz Possiamo ulteriormente suddividere la fetta in tanti piccoli "cubetti" Il momento di dipolo del cubetto è Sappiamo che ogni momento di dipolo è equivalente ad una spira di area da e corrente i m Da cui otteniamo m dv dadz ida ( dz ) da i dz i da m dz Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 282

7 Campo da materia magnetizzata Osserviamo che, dato che la magnetizzazione è costante, tutte le correnti delle piccole spire sono uguali fra di loro i dz Inoltre osserviamo che nella parte interna della "fetta" le correnti delle piccole spire si elidono Tuttavia le correnti ai bordi non si elidono Per la discontinuità del materiale In definitiva l'intera "fetta" di materiale genera lo stesso momento magnetico che genera un "nastro" di corrente superficiale i L'intero blocco è equivalente ad una densità superficiale di corrente I I K L dz L Kdz K L i Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 283

8 Campo da materia magnetizzata Il campo magnetico generato dal materiale magnetizzato all'esterno del blocco è ( ) A r μ ( ) K r da A Si tratta di un campo macroscopico Non bisogna andare molto vicini alla superficie olto vicino significa a distanze dell'ordine delle dimensioni atomiche Discutiamo adesso il campo all'interno del blocco Si tratta di una discussione analoga a quella del campo elettrico all'interno del dielettrico (diapositiva 272, I parte) In quel caso avevamo utilizzato il fatto che il campo elettrostatico è conservativo Si dimostra che il campo generato dalla corrente superficiale K èuguale alla media del campo microscopico all'interno del blocco Il campo è quello generato dai dipoli magnetici atomici È un campo con forti variazioni spaziali all'interno della materia A livello macroscopico è importante la media spaziale Per questa dimostrazione si utilizza il fatto che è solenoidale K Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 284

9 Correnti di magnetizzazione Abbiamo visto che gli effetti della magnetizzazione possono essere descritti introducendo una densità superficiale di corrente K Dimostreremo che questo risultato si può esprimere in generale come ˆn K ˆ n Il versore n è la normale alla superficie È facile verificare che per costante la formula riproduce il risultato che abbiamo utilizzato fino ad ora ˆn K Se la magnetizzazione non è uniforme compaiono anche correnti all'interno del volume della materia magnetizzata Per dimostrarlo consideriamo un blocco di z materiale suddiviso in tanti blocchetti La magnetizzazione può essere considerata uniforme in ogni blocchetto x Assumiamo che sia diretta lungo l'asse z varia spostandosi lungo l'asse y Δy y Δz Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 285

10 Correnti di magnetizzazione Ogni blocchetto può essere sostituito da una spira percorsa da una corrente i Δz La corrente nella prima spira è ( ) ( ) i y y Δz La corrente nella seconda spira è z z La differenza fra le correnti delle spire genera una corrente Δi lungo x Analogamente una componente della magnetizzazione lungo y che varia lungo z genera un altro contributo di corrente lungo x Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 286 z x Δi Δy y Δ z + ΔyΔz z y z ( +Δ ) ( +Δ ) Δ ( ) i y y y y z Δ i i( y + Δy) i( y) z z z( y) Δ z + ΔyΔz z( y) Δz y Δ i z ΔyΔz y y Δ i ΔyΔz z y Δz

11 Correnti di magnetizzazione Riassumiamo il risultato Δ Δ Δ Δ Δ y z z y i y z y z Sappiamo che una corrente è il risultato del flusso di una densità di corrente attraverso una superficie La corrente che abbiamo calcolato è nella direzione x Perpendicolare alla superficie ΔyΔz Definisce la componente x del vettore densità di corrente Δ Δ Δ y z z y i y z J ΔyΔz x Occorre osservare che questa corrente è il risultato dell'orientamento dei dipoli atomici Una situazione analoga a quanto avveniva in elettrostatica per le cariche di volume ρ P P A volte si usa anche l'aggettivo legato (bound) J J x y z J b z y Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 287

12 Campo da materia magnetizzata Anche nel caso appena descritto il campo magnetico generato dalla magnetizzazione si può calcolare utilizzando le formule introdotte per il campo magnetico generato da correnti reali Ricaviamo adesso in modo più formale (matematico) le relazioni che abbiamo ricavato con ragionamenti fisici Supponiamo di avere un blocco di materia magnetizzata dv caratterizzata con un vettore di magnetizzazione (r) Consideriamo un elemento di volume dv Ha un momento magnetico dm ( r ) dv Ricordiamo il potenziale vettore di un dipolo nell'approssimazione di grande distanza (diapositiva 9 86 ) Ar () μ m r 3 r dar () Il potenziale vettore di tutto il corpo si calcola integrando r x z r μ y dm r 3 r Ar () μ d m 3 μ r ( ) dv 3 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 288

13 Campo da materia magnetizzata () ( ) Ar μ r dv 3 r Utilizziamo la relazione L'operatore agisce sulla variabile r μ 1 Ar () r ( ) dv Utilizziamo la identità (vedi diapositiva ) Ar () Il primo integrale permette di introdurre J r 3 μ 1 μ r ( ) ( ( r )) dv dv 1 r ( fc) f ( C) C ( f ) C ( f ) f ( C) ( fc) r 1 ( ( )) ( r dv ) dv J r J Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 289

14 Campo da materia magnetizzata Per il secondo integrale utilizziamo la relazione Otteniamo Definiamo Ar () Otteniamo infine μ ( ) J r dv μ r ( ) dv Adv n Ada μ r ( ) μ r ( ) n dv da S Kr ( ) r ( ) n S Ar () μ J ( r ) μ Kr ( ) dv + da S Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 29

15 Discontinuità del campo magnetico Nello studio del campo elettrico avevamo osservato che il campo elettrico è discontinuo quando si attraversa una densità superficiale di carica σ La componente normale del campo è discontinua: E 1n E 2n σ/ε Anche il campo magnetico è discontinuo quando si attraversa una densità superficiale di corrente Per il campo magnetico la discontinuità riguarda la componente tangenziale Consideriamo una densità di corrente superficiale K Consideriamo il cammino chiuso in figura Il senso di percorrenza del cammino e il verso di K sono legati dalla regola della vite destrorsa Applichiamo la legge di Ampère Assumiamo che il tratto verticale sia di lunghezza trascurabile C Otteniamo pertanto d l L L 1t 2t C dl μ J da inoltre Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 291 S S L J da Kdl KL L L μ KL μ K 1t 2t 1t 2t K L 1 2

16 Discontinuità del campo magnetico Studiamo adesso il comportamento della componente normale Dimostriamo che la componente normale si conserva Ricordiamo che nel caso del campo elettrostatico era la componente tangenziale che si conservava Consideriamo ancora una volta una densità di corrente superficiale K In questo caso consideriamo la superficie chiusa indicata in figura Utilizziamo la proprietà che il flusso del campo magnetico attraverso una superficie è nullo d a S Assumiamo che il contributo della superficie laterale sia trascurabile A A 1n 2n Le due condizioni che abbiamo visto possono essere sintetizzate in un'unica relazione vettoriale Il verso di ˆn e il verso di K sono definiti μ K nˆ sopra sotto con la regola della vite destrorsa Osserviamo che K nˆ non ha componente normale alla superficie La componente normale di è continua 1n 2n K A 1 2 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 292

17 Discontinuità del campo magnetico Come per il campo elettrico anche per il campo magnetico si ha che il potenziale vettore è continuo In realtà c'è un'arbitrarietà Infatti abbiamo visto che il potenziale vettore A non è univocamente determinato La sostituzione A A + f dà lo stesso campo Utilizzando questa arbitrarietà si può sempre richiedere che A In questo caso si dimostra facilmente che la componente normale è continua Anche la componente tangenziale è continua Infatti per il teorema di Stokes A d l C A da S d a Se l'altezza del rettangolo scelto come cammino è infinitesima allora Φ Si dimostra come di consueto che Per finire si può dimostrare che A n A n 1 2 S μ K A A 1n 2n Φ A 1t A 2t K K L A 1 A 2 A 1 A 2 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 293

18 oundary conditions su A Illustriamo l'ultima condizione sulla derivata normale Il vettore A può essere scomposto lungo tre direzioni perpendicolari La normale alla superficie Due direzioni tangenti alla superficie La direzione di una eventuale densità superficiale di corrente K La direzione perpendicolare a e ˆn ŝ ˆp ˆn ŝ Il vettore A ha tre componenti: A n, A s e A p Le derivate normali di A n e A p sono continue La derivata normale di A s è discontinua se esiste una corrente superficiale A 1s n A n 2s μ K A n ˆp ˆn ŝ A K Kˆs A s A p Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 294

19 Esempio: campo del solenoide Verifichiamo le condizioni di discontinuità appena enunciate per un solenoide Consideriamo un solenoide infinito z Ci sono n spire per unità di lunghezza y La corrente di una spira I x Il campo di induzione magnetica è nullo all'esterno All'interno vale μ nie ˆz La corrente trasportata dalle spire può essere considerata una corrente superficiale parallela alla superficie del cilindro La normale alla superficie è il versore e ˆρ Abbiamo pertanto La componente di perpendicolare alla superficie è nulla: ρ È nulla sia all'interno che all'esterno: è continua La componente di parallela alla superficie è z È nulla all'esterno ( z ) e vale z μ ni all'interno Abbiamo pertanto verificato che K nˆ niˆe φ ˆe ρ nie ˆz μ ni z ext zint K n μ ˆ sopra sotto niˆe φ Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 295 K

20 Il campo H Il formalismo che abbiamo sviluppato fino ad ora permette di calcolare il campo magnetico quando si conosce la magnetizzazione di un corpo μ J ( r ) μ Kr ( ) Ar () dv + da V In questa espressione l'integrale di superficie è calcolato sulla superficie del materiale magnetizzato La magnetizzazione (r) è diversa da zero Nella derivazione avremmo potuto estendere l'integrale a tutto lo spazio In particolare in regioni in cui (r) In questo caso l'integrale di superficie è nullo La formula diventa Ar () μ ( ) J r dv S J Kr ( ) r ( ) n Osserviamo che in questo caso l'integrando non è sempre continuo Sulla superficie dei corpi magnetizzati la magnetizzazione è discontinua Le derivate di una funzione discontinua producono delle funzioni singolari (δ di Dirac) che riproducono il contributo delle correnti superficiali μ r ( ) dv Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 296

21 1 μ Il campo H Il campo generato dalla magnetizzazione ha la stessa espressione matematica del campo generato da una corrente reale (vedi diapositiva ) Ar () μ ( ) J r dv Possiamo pertanto includere il contributo della magnetizzazione nell'equazione di axwell che lega il campo alle correnti libere Abbiamo aggiunto il suffisso "f" per esplicitare quali sono le correnti dovute ad un reale trasposto di carica elettrica Introducendo l'espressione per J otteniamo Definiamo il campo H μ J f Notiamo che H non ha le dimensioni di Ha le dimensioni della magnetizzazione ( A m 1 ) J ( J + J ) J + f Jf μ μ f f μ J H H Jf μ Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 297

22 Il campo H Il campo H ha nomi diversi in letteratura Viene anche chiamato "campo magnetico" Nel nostro corso abbiamo sempre chiamato campo magnetico il campo Chiameremo il nuovo campo "campo H" Il campo H è analogo al campo D introdotto in elettrostatica Lega il campo alle sorgenti esterne eliminando la dipendenza esplicita dalle sorgenti indotte A differenza del campo D il campo H è molto utile ed è usato nelle applicazioni e nel lavoro sperimentale La ragione sta nel fatto che la grandezza fisica che si controlla per generare un campo magnetico è la corrente H J f Nel caso elettrostatico la grandezza fisica che si controlla sono le tensioni sui conduttori Il campo D è invece legato alle densità di carica reali che non sono facilmente controllabili D ρ f H i C f Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 298

23 Il campo H Come nel caso del campo elettrostatico anche adesso bisogna sottolineare che il campo H non può sostituire Per determinare completamente un campo vettoriale è necessario definirne sia il rotore sia la divergenza In generale la divergenza di H non è definita Dipende dalla magnetizzazione Pertanto le equazioni necessarie per risolvere il problema sono H J f f( H) Inoltre le opportune condizioni al contorno Se nel problema sono presenti più materiali occorre imporre le discontinuità dei campi alle superfici di passaggio da un materiale all'altro Ricaviamo le condizioni per il campo H Le condizioni per il campo sono state ricavate utilizzando le equazioni μ J Il rotore di H è formalmente identico al rotore di e porterà a condizioni sulla componente tangenziale di H analoghe a quelle di Abbiamo bisogno della divergenza di H Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 299

24 Il campo H Calcoliamo la divergenza di H H Otteniamo μ La condizione sulla componente tangenziale si ottiene come nel caso di H J f Per la componente normale calcoliamo il flusso di H attraverso la superficie di un cilindro di altezza trascurabile Abbiamo Contribuiscono solo le superfici circolari A C H H K 1t 2t f H H H dl J da H H nˆda nˆda S ( ) H H sopra sotto sopra sotto S f S μ K f K f L H A 1 H 2 H 1 H Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 3

25 Suscettività e permeabilità magnetica Per risolvere il problema abbiamo pertanto bisogno di conoscere una relazione fra e H Abbiamo visto la relazione che permette di trovare in funzione di Abbiamo preannunciato (diapositiva ) che la relazione corretta è Ricordiamo la definizione di H μ Definiamo la permeabilità magnetica del materiale μ μ (1 + χ m ) Otteniamo χm μ NO! χm H μ H+ μ μ + μ χ m μh Se μ è indipendente dalla posizione il mezzo è omogeneo Se μ è indipendente da H il mezzo è lineare Se il mezzo è diamagnetico μ/μ < 1, χ m < Se il mezzo è paramagnetico μ/μ > 1, χ m > Per i materiali ferromagnetici μ μ(h) H H H μ ( 1 χ ) + H m Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 31

26 Esempio: solenoide con nucleo Consideriamo un lungo solenoide avvolto su un materiale lineare con suscettività χ m Le spire per unità di lunghezza sono n La corrente è I Per la simmetria del problema le linee del campo H sono parallele all'asse del cilindro Il campo è nullo all'esterno Utilizzando la legge di Ampère con il cammino in figura (la corrente esce dal piano) H i C f nli Hl H ni μ ( 1 + χ ) H μ ( + χ ) Usando la permeabilità del mezzo m m Osserviamo che nel vuoto si ha μ ni L'effetto del mezzo è di generare un campo della stessa forma dovuto a una corrente χ m ni χ m H K nˆ K χ ni m La magnetizzazione è Pertanto la corrente di magnetizzazione genera il campo magnetico aggiuntivo Se il materiale è paramagnetico il campo è più intenso Se il materiale e diamagnetico il campo è meno intenso l H 1 ni Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 32