Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Campo di una spira circolare Potenziale Vettore Potenziale di una spira Anno Accademico 2018/2019

2 Campo magnetico di una spira Calcoliamo il campo di induzione magnetica B in un punto fuori dall asse La simmetria azimutale del problema consente di scegliere il punto r sul piano x z Consideriamo un tratto dl sul filo È individuato dal vettore Calcoliamo dr' Il contributo a B è Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 83

3 Campo magnetico di una spira Calcoliamo il prodotto vettoriale Il campo B è pertanto Notiamo innanzitutto che il termine proporzionale a è nullo Basta fare la sostituzione φ' x + π e si ottiene una funzione dispari in x integrata da π a +π Pertanto Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 84

4 Campo magnetico di una spira Notiamo inoltre che Posto Otteniamo Le due espressioni I 3/2 e X 3/2 sono riconducibili a integrali ellittici Vedi anche elettromagnetismo 1 diapositiva 219 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 85

5 Campo magnetico di una spira Trasformiamo gli integrali in una forma opportuna rispetto alle definizioni standard degli integrali ellittici Prima di tutto operiamo un cambio di variabile: φ = π + 2t I limiti di integrazione diventano φ =0 t = π/2 φ = 2π t = +π/2. Inoltre dφ =2dt La funzione trigonometrica: cos(π+2t) = cos2t = 1 + 2sin 2 t Chiamiamo A il radicando Definiamo Osserviamo che per 0 θ π e 0 r < abbiamo 0 k 1 Per l integrale I 3/2 otteniamo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 86

6 Campo magnetico di una spira Ricordiamo le definizioni degli integrali ellittici di primo e secondo tipo Da Gradshteyn Ryzhik otteniamo 1 Per l integrale X 3/2 osserviamo innanzitutto 2 Sostituendo 1 I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik Tables of Integrals, Series, and Products Academic Press S. Datta Electric and magnetic field from a circular coil using Elliptical integrals Physics Education September - October 2007 p. 203 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 87

7 Campo magnetico di una spira In definitiva otteniamo Con Sostituendo In definitiva le componenti di B sono Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 88

8 Il potenziale vettore Abbiamo già notato che il potenziale vettore è di scarsa utilità per i problemi elementari che trattiamo in questo corso Vogliamo tuttavia familiarizzare un po' con questa nuova grandezza Purtroppo il calcolo del potenziale vettore del filo infinito con la formula introdotta nella diapositiva 793 non è possibile La corrente non va a zero all'infinito Il calcolo del potenziale vettore per una spira circolare è complesso come lo è stato il calcolo di B con gli integrali ellittici È semplice solo sull'asse della spira Non è sufficiente per calcolarne il rotore e quindi il campo B Tuttavia cerchiamo di capire la forma del potenziale vettore in alcuni semplici casi senza l'uso della formula integrale citata Faremo il percorso inverso: noto il campo B troveremo il potenziale A! Il caso più semplice è quello del potenziale vettore di un campo magnetico B costante Assumiamo B lungo l'asse z: B z = B 0, B x = B y = 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 89

9 Potenziale vettore di un campo costante Una possibile scelta potrebbe essere Una scelta alternativa O anche la media delle due soluzioni trovate Con una formulazione indipendente dall'orientamento di B Si verifica facilmente che Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 90

10 Potenziale vettore di un filo Consideriamo un filo di raggio a percorso da una corrente I All'interno del filo la densità di corrente J è uniforme e vale Ricordiamo la formula per il potenziale vettore Osserviamo preliminarmente che Sfortunatamente per la densità di corrente data la formula per A z diverge Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 91

11 Potenziale vettore di un filo Infatti Facciamo il calcolo per un filo di lunghezza finita L In definitiva per Possiamo anche scriverlo come Nel caso di filo infinito la costante è infinita Come avveniva nel caso elettrostatico di un filo di carica Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 92

12 Potenziale vettore di un filo Calcoliamo il campo magnetico La componente B z è nulla (A x = A y = 0) Calcoliamo le componenti B x e B y Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 93

13 Potenziale di una spira Calcoliamo infine il potenziale vettore di una spira Facciamo un calcolo utile per il futuro del nostro studio Una formula approssimata per distanze grandi dal centro della spira Analogo alla forma del dipolo elettrico Sarà utile nello studio dei campi magnetici nella materia Utilizziamo una derivazione matematica utilizzando i vettori Sviluppiamo il denominatore Approssimando al primo ordine di r 1 /r Otteniamo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 94

14 Potenziale di una spira Il primo termine è nullo Sviluppiamo l'integrando del secondo termine Utilizziamo l'identità A (B C) = B(A C) C(A B) Inoltre ordine scambiato Sommiamo le due equazioni I termini r 1 (r dr 1 ) si elidono Utilizziamo la relazione trovata nel secondo integrale di A(r) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 95

15 Potenziale di una spira Il primo integrale è ancora una volta un differenziale esatto L'integrale su un cammino chiuso è nullo Definiamo il momento magnetico m del circuito Otteniamo l'espressione finale per il potenziale vettore di una spira (dipolo) Sottolineiamo che si tratta di una formula approssimata Valida solo per r molto maggiore delle dimensioni del circuito Approssimazione di dipolo Il termine di monopolo è nullo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 96

16 Il momento di dipolo magnetico Cerchiamo adesso di comprendere meglio il significato della definizione di momento magnetico della spira Specializziamolo al caso di una spira circolare Pertanto il momento magnetico è Il momento magnetico m è un vettore Perpendicolare al piano che contiene la spira Il modulo è uguale al prodotto della corrente per la superficie della spira Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 97

17 Esempio 2: una spira non piana Consideriamo adesso la spira in figura La corrente della spira è I Supponiamo che tutti i segmenti abbiano la stessa lunghezza w Metà della spira giace nel piano x z L'altra metà della spira giace nel piano y z La spira è equivalente a due spire piane Le due correnti evidenziate in rosso e in blu si elidono quando si combinano le due spire piane per formare la spira iniziale Il momento magnetico delle due spire è semplice Per la spira 1 Per la spira 2 Il momento magnetico della spira composta dalle spire 1 e 2 è pertanto Un vettore nel piano z y, inclinato di 45 o rispetto all'asse x e di modulo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 98

18 Potenziale di una spira Specializziamo al caso di un circuito con momento magnetico diretto lungo l'asse z Ad esempio la spira dell'esempio precedente Le componenti del potenziale vettore sono Le linee di campo di A(r) sono circonferenze concentriche con l'asse z Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 99

19 Il campo magnetico del dipolo Possiamo adesso calcolare il campo magnetico È conveniente fare il calcolo in coordinate sferiche Il potenziale vettore ha solo la componente A φ Ricordiamo l'espressione del rotore in coordinate sferiche La componente B φ è nulla (A θ = A r = 0) Da confrontare con il campo del dipolo elettrico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 100

20 Il campo magnetico del dipolo Le linee di campo sono come in figura Sottolineiamo che le formule danno il campo a grandi distanze A piccole distanze i campi sono molto differenti Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 101

21 Forza fra due fili percorsi da corrente Abbiamo iniziato la trattazione della magnetostatica citando la legge di Ampère sulla forza fra due fili percorsi da corrente (vedi diapositiva ) Ricaviamo la legge di Ampère alla luce di quanto fin qui studiato Il campo magnetico di un filo infinito Le linee del campo B sono circonferenze Nella posizione del filo 2 il campo magnetico vale La forza sul secondo filo è Sostituendo il valore del campo magnetico B Il modulo della forza è quello della legge di Ampère Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 102

22 Forza e momento della forza Abbiamo scritto l'espressione della forza su un circuito nella diapositiva Se il campo magnetico è uniforme si può fattorizzare l'integrale Abbiamo già notato che l'integrale di dl su un circuito chiuso è nullo Concludiamo che in un campo magnetico uniforme la forza su una spira è nulla Tuttavia in generale il momento delle forze non è nullo Consideriamo la spira quadrata di lato w in figura È percorsa da una corrente I; il momento magnetico è m Può ruotare intorno ad un asse che giace sull'asse x Il campo magnetico B è lungo l'asse z Sui quattro lati agiscono le forze F 1, F 2, F 3, F 4 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 103

23 Forza e momento della forza Calcoliamo il momento delle forze rispetto all'asse di rotazione della spira (asse x) Le forze F 1 e F 3 sono lungo l'asse x Il loro momento è nullo Le forze F 2 e F 4 sono applicate nei punti individuati dai vettori r 2 e r 4 I momenti delle forze sono Il momento magnetico forma un angolo α π/2 con l'asse y L'angolo di m con l'asse z è θ = π/2 (α π/2) = π α Otteniamo pertanto Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 104

24 Forza e momento della forza Pertanto il momento delle forze è diretto lungo l'asse delle x La spira ruota in senso antiorario Il momento magnetico si allinea con il campo magnetico B Quando B e m sono paralleli il momento è nullo Supponiamo di avere una spira con momento magnetico m allineato con il campo magnetico B Applichiamo una forza meccanica per ruotare lentamente la spira Il lavoro fatto dalla forza esterna bilanciando esattamente il momento della forza magnetica è ( τ ext = τ ) Definiamo l'energia potenziale della spira nel campo magnetico du = dw L'energia potenziale è definita a meno di una costante Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 105