Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Onde elettromagnetiche Equazione dell'onda Soluzione dell'equazione dell'onda Onde piane. Polarizzazione Anno Accademico 2017/2018

2 Corrente superficiale Una densità di corrente superficiale infinita genera un campo magnetico parallelo al piano della corrente e perpendicolare alla direzione della stessa La legge di Biot e Savart implica che B non possa essere parallelo a K e quindi B y = 0 La componente B x deve essere nulla per simmetria Infatti se u u deve anche essere B B Ma la trasformazione della velocità può essere ottenuta da una rotazione di π intorno all'asse x Non cambia il segno di B x e quindi B x = 0 Pertanto il campo magnetico è diretto lungo l'asse z Sempre utilizzando la legge di Biot e Savart ci si può convincere che Utilizziamo la legge di Ampère Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 345

3 Un'onda elettromagnetica Consideriamo ancora l'esempio precedente Ignoriamo il campo elettrico generato dal piano di carica Possiamo sempre immaginare che ci sia un altro piano di densità σ che si muove con velocità u Il piano è fermo per t < 0, inizia a muoversi a t = 0 Per t < 0 il campo magnetico è nullo Per t > 0 il campo diventa B = μ 0 K/2 Tuttavia per distanze x > vt il campo deve essere nullo Chiamiamo v la velocità di propagazione del campo magnetico Visto dall'alto il campo magnetico appare come in figura La regione di transizione fra B 0 e B = 0 è determinata dal modo in cui il piano di carica passa dallo stato di quiete al moto Se l'accelerazione è molto rapida la transizione è più netta entrante uscente Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 346

4 Un'onda elettromagnetica Nella regione di transizione c'è una variazione del campo magnetico nello spazio e nel tempo Studiamo la transizione con l'equazione di Maxwell J 0 solo per z = 0 Il rotore ha una sola componente non nulla Le componenti B x e B y sono nulle Pertanto nella regione di transizione compare un campo elettrico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 347

5 Un'onda elettromagnetica Possiamo utilizzare anche l'altra equazione di Maxwell Dato che solo la componente z di B è diversa da zero solo ( E) z 0 La componente E x potrebbe essere costante. La assumiamo nulla Tutto il nostro ragionamento è definito a meno di campi costanti Possiamo calcolare il campo magnetico La variazione del campo elettrico genera a sua volta un campo magnetico Le due relazioni trovate devono essere compatibili La velocità di propagazione è determinata dalle costanti ε 0 e μ 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 348

6 Un'onda elettromagnetica Riassumiamo quanto abbiamo capito Il passaggio dallo stato di quiete allo stato di moto del piano di carica genera un'onda elettromagnetica L'onda viaggia con velocità v risulta essere la velocità della luce Nelle immediate vicinanze della corrente superficiale il campo magnetico è generato dalla corrente superficiale Allontanandosi dalla sergente i campi sono generati dalle loro variazioni spazio-temporali Le variazioni del campo B generano localmente il campo E (Faraday) Le variazioni del campo E generano localmente il campo B (Maxwell) I campi sono perpendicolari fra di loro Perpendicolarità imposta dalle equazioni di Maxwell (introdotta dal rotore) I campi sono perpendicolari alla direzione di propagazione Vedremo che dipende dalle equazioni E = 0 e B = 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 349

7 Un'onda elettromagnetica Supponiamo che dopo un tempo T lo strato di carica venga arrestato L'andamento della corrente nel tempo è stato come in figura La corrente non genera più il campo magnetico Si forma una zona senza campo Il campo generato nell'intervallo 0 t T continua a viaggiare nelle due direzioni Complessivamente il fenomeno è stato La corrente ha generato un'onda elettromagnetica Radiazione Il campo si è disaccoppiato dalla sorgente I campi E e B si sostengono a vicenda Propagazione Nelle regioni in cui i campi sono diversi da zero è immagazzinata energia Questa energia proviene dal lavoro fatto per generare l'onda Nello "spingere" la carica si deve vincere una "resistenza" di radiazione Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 350

8 Equazione dell'onda Scriviamo adesso l'equazione di propagazione dei campi E e B dopo che l'onda è stata generata Utilizziamo le equazioni di Maxwell nel vuoto con ρ = 0 e J = 0 Si tratta di un sistema di equazioni differenziali accoppiate Per disaccoppiare i campi E e B calcoliamo il rotore delle ultime due equazioni Utilizziamo l'identità (diapositiva ) Applichiamola alla terza equazione Utilizziamo la quarta equazione È una forma compatta per indicare le tre equazioni Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 351

9 Equazione dell'onda Si può dimostrare che anche le componenti B x, B y, B z del campo magnetico soddisfano la stessa equazione Inoltre verificheremo in seguito che anche il potenziale vettore A e il potenziale scalare φ soddisfano la stessa equazione dell'onda Da un punto di vista matematico si tratta di una equazione differenziale alle derivate parziali di tipo iperbolico Per risolverla occorre definire le condizioni iniziali Ad esempio nel caso unidimensionale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 352

10 Soluzioni dell'equazione dell'onda Le equazioni trovate sono una generalizzazione a tre dimensioni dell'equazione dell'onda in una dimensione Com'è noto nel caso unidimensionale la soluzione generale è u,v sono funzioni continue (con derivata continua) Naturalmente la funzione E y = μ 0 ckr T (x ct) soddisfa il nostro problema della corrente superficiale infinita Per correnti parallele ai piani x y e x z le soluzioni avrebbero potuto essere La caratteristica saliente di queste soluzioni è che il campo è costante sui piani perpendicolari alla direzione di propagazione Nel caso in cui la direzione di propagazione sia arbitraria Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 353

11 Soluzioni dell'equazione dell'onda Cerchiamo le soluzioni dell'equazione dell'onda unidimensionale utilizzando la trasformata di Fourier La trasformata di Fourier è definita come Le formule precedenti sono facilmente generalizzabili al caso di una funzione di due variabili Calcoliamo le derivate di f(x,t) Introduciamo nell'equazione Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 354

12 Soluzioni dell'equazione dell'onda Pertanto la trasformata di f(x,t) deve soddisfare la seguente relazione Significa che escluso il caso nel qual caso può essere qualsiasi D'altro canto deve essere Vediamo che ha proprietà simili a quelle di δ(x) È quasi sempre nulla Il suo integrale è finito È una funzione singolare Utilizziamo la proprietà della funzione δ(x) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 355

13 Soluzioni dell'equazione dell'onda Applichiamo al nostro caso Otteniamo Poniamo Integriamo in dω Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 356

14 Soluzioni dell'equazione dell'onda Esaminiamo la soluzione trovata La soluzione generale dell'equazione è la somma di due onde Un'onda che propaga nel senso positivo delle x Un'onda che propaga nel senso negativo delle x È facile verificare che per una arbitraria funzione h(x), due volte continua h(x ± ct) è soluzione dell'equazione delle onde Inoltre osserviamo che le funzioni exp[±ik(x ± ct)] sono soluzioni dell'equazione delle onde Sono funzioni sinusoidali I parametri ω e k non sono indipendenti ω = ± kc Dette anche onde monocromatiche di frequenza ω = kc La soluzione generale, espressa sotto forma di trasformata, è una sovrapposizione (integrale) di onde sinusoidali Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 357

15 Soluzioni dell'equazione dell'onda Per finire determiniamo U(k) e V(k) in funzione delle condizioni iniziali Abbiamo Inoltre Otteniamo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 358

16 Onde piane e monocromatiche Ritorniamo alle onde elettromagnetiche Abbiamo visto che i campi E e B soddisfano le equazioni In coordinate cartesiane le 6 componenti dei campi soddisfano le equazioni dell'onda Una soluzione dell'equazione dell'onda non soddisfa necessariamente le equazioni di Maxwell La richiesta che le soluzioni soddisfino anche le equazioni di Maxwell restringe le soluzioni accettabili: onde elettromagnetiche Le equazioni E = 0 e B = 0 impongono che E e B siano perpendicolari alla direzione di propagazione Le equazioni del rotore impongono che i campi E e B siano perpendicolari fra loro e i loro moduli collegati Consideriamo soluzioni del tipo E(r,t) = E 0 e i(kx ωt) Un'onda che propaga lungo l'asse x I campi E(r,t) e B(r,t) hanno lo stesso valore sui piani perpendicolari all'asse x Un'onda di questo tipo si chiama onda piana Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 359

17 Soluzioni: onde piane In un'onda piana i campi E e B non cambiano spostandosi sul piano Non necessariamente il piano deve essere perpendicolare ad un asse coordinato I campi dipendono solo dalla lunghezza ζ della proiezione di r nella direzione della normale al piano Il fatto che il campo dipenda solo da ζ implica che le derivate abbiano una forma particolare ζ è la distanza del piano dall'origine Espressioni analoghe per le altre derivate Specializziamo queste considerazioni all'operatore applicato a un'onda piana (in coordinate cartesiane) o a una sua componente f(ζ) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 360

18 Soluzioni: onde piane Utilizzando l'espressione dell'operatore trovata per l'onda piana possiamo riscrivere le equazioni di Maxwell nel vuoto Ricaviamo adesso la proprietà di trasversalità dell'onda piana Moltiplichiamo per la quarta equazione Analogamente per la prima equazione si ha Sommando le due equazioni definiamo Il differenziale de è la variazione del campo elettrico se ci si muove nella direzione di propagazione o se varia il tempo L'onda è trasversale alla direzione di propagazione Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 361

19 Soluzioni: onde piane Analogamente dalla seconda e dalla terza equazione si ricava ricordiamo la precedente Il significato di queste equazioni è il seguente In un'onda piana le variazioni de e db dovute a spostamenti lungo ζ e/o a variazioni nel tempo sono perpendicolari a È possibile verificare la condizione anche per campi con componente lungo ζ Ad esempio, il campo E può avere una componente lungo ζ uniforme inoltre Implica che anche Significa che sono anche campi statici Non sono onde che si propagano Quindi i campi E e B di un'onda giacciono sul piano perpendicolare a Utilizziamo un sistema di riferimento locale ξ η I campi possono essere scomposti nelle componenti E ξ e E η, B ξ e B η Verifichiamo adesso che queste componenti soddisfano l'equazione dell'onda Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 362

20 Soluzioni: onde piane Ricaviamo l'equazione dell'onda nella coordinata ζ Utilizziamo la terza e la quarta equazione Moltiplichiamo vettorialmente la terza per Deriviamo rispetto a ζ l'equazione ottenuta e rispetto a t la quarta Eliminiamo B Ci siamo ricondotti all'equazione dell'onda unidimensionale Analogamente per il campo B Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 363

21 Soluzioni: onde piane Le equazioni trovate sono quelle dell'onda unidimensionale Utilizziamo le soluzioni trovate precedentemente (vedi diapositiva ) Pertanto ci sono due soluzioni che descrivono Un'onda che viaggia verso "destra": kζ ωt Un'onda che viaggia verso "sinistra": kζ+ωt Per ciascuno dei due tipi di onda esistono ancora due soluzioni e ±i( ) La soluzione generale sarà data da φ può essere kζ ωt oppure kζ+ωt Le costanti A e B sono scelte in modo che la soluzione sia reale: B = A* Definiamo ρ = A = B e δ = arg(a) = arg(b) Sia la fase δ che l'ampiezza ρ sono arbitrarie (ρ o 2ρ è la stessa cosa) Una differenza di π/2 in δ fa passare da un seno a un coseno Le soluzioni sono pertanto onde sinusoidali che viaggiano in due direzioni sono anche monocromatiche Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 364

22 Soluzioni: onde piane Abbiamo visto che le soluzioni sono onde sinusoidali Tuttavia è molto più semplice utilizzare gli esponenziali Per tale motivo si indica la soluzione nella forma La costante A è in generale complessa: contiene eventuali sfasamenti δ Alla fine del calcolo si prende la parte reale Usiamo il vettore d'onda La soluzione diventa Ritornando alla soluzione per il campo elettrico troviamo Le costanti E 1ξ e E 2ξ sono complesse Per la componente E η del campo si trova una soluzione analoga In forma vettoriale Il simbolo (tilde) utilizzato per i vettori sottolinea che si tratta di grandezze complesse Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 365

23 Soluzioni: onde piane Per il campo magnetico si trova una soluzione analoga Troviamo una relazione fra i vettori E 1 e E 2 e i vettori B 1 e B 2 Utilizziamo l'equazione (vedi diapositiva ) ricordiamo il campo E Calcoliamo le derivate Introduciamo nell'equazione di Maxwell Uguagliamo i coefficienti dei due esponenziali (ricordiamo ω = kc) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 366

24 Soluzioni: onde piane Consideriamo un'onda che viaggia nella direzione positiva z Il vettore E 1 è nella direzione x Il vettore B 1 punta nella direzione y Il periodo dell'onda La lunghezza d'onda Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 367

25 Lo spettro delle onde elettromagnetiche Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 368

26 Lo spettro visibile Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 369

27 Polarizzazione dell'onda L'onda che abbiamo visto ha il vettore campo elettrico che oscilla parallelamente alla direzione x L'onda è polarizzata linearmente Naturalmente il vettore E può puntare in qualsiasi direzione La direzione del vettore E è la direzione in cui è polarizzata l'onda Ad esempio polarizzazione "orizzontale", "verticale" oppure "obliqua" Si può costruire un'onda dalla sovrapposizione di altre due onde Ad esempio due onde con polarizzazione diversa Scegliamo i due vettori E a e E b nel modo seguente (polarizzazione obliqua) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 370

28 Polarizzazione dell'onda Sommiamo le due onde Calcoliamo la parte reale Un onda di questo tipo è polarizzata linearmente Consideriamo ad esempio È l'andamento temporale del campo sul piano z = 0 La direzione del vettore è sempre la stessa La lunghezza del vettore oscilla Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 371

29 Polarizzazione dell'onda Utilizziamo adesso altre due onde Il vettore E b ha una parte immaginaria Sommiamo le due onde Calcoliamo la parte reale In questo caso la polarizzazione è circolare Studiamo il campo sul piano z = 0 Il vettore E ruota in senso antiorario: polarizzazione sinistra Se lo sfasamento è π/2 E ruota in senso orario: polarizzazione destra Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 372

30 Polarizzazione dell'onda Se le lunghezze di E a e E b sono differenti la polarizzazione è ellittica Calcoliamola parte reale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 373