Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Polarizzazione Teorema di Poynting Energia e quantità di moto dell'onda Anno Accademico 2017/2018

2 Soluzioni: onde piane Le equazioni trovate sono quelle dell'onda unidimensionale Utilizziamo le soluzioni trovate precedentemente (vedi diapositiva ) Pertanto ci sono due soluzioni che descrivono Un'onda che viaggia verso "destra": kζ ωt Un'onda che viaggia verso "sinistra": kζ+ωt Per ciascuno dei due tipi di onda esistono ancora due soluzioni e ±i( ) La soluzione generale sarà data da φ può essere kζ ωt oppure kζ+ωt Le costanti A e B sono scelte in modo che la soluzione sia reale: B = A* Definiamo ρ = A = B e δ = arg(a) = arg(b) Sia la fase δ che l'ampiezza ρ sono arbitrarie (ρ o 2ρ è la stessa cosa) Una differenza di π/2 in δ fa passare da un seno a un coseno Le soluzioni sono pertanto onde sinusoidali che viaggiano in due direzioni sono anche monocromatiche Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 365

3 Soluzioni: onde piane Abbiamo visto che le soluzioni sono onde sinusoidali Tuttavia è molto più semplice utilizzare gli esponenziali Per tale motivo si indica la soluzione nella forma La costante A è in generale complessa: contiene eventuali sfasamenti δ Alla fine del calcolo si prende la parte reale Usiamo il vettore d'onda La soluzione diventa Ritornando alla soluzione per il campo elettrico troviamo Le costanti E 1ξ e E 2ξ sono complesse Per la componente E η del campo si trova una soluzione analoga In forma vettoriale Il simbolo (tilde) utilizzato per i vettori sottolinea che si tratta di grandezze complesse Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 366

4 Soluzioni: onde piane Per il campo magnetico si trova una soluzione analoga Troviamo una relazione fra i vettori E 1 e E 2 e i vettori B 1 e B 2 Utilizziamo l'equazione (vedi diapositiva ) ricordiamo il campo E Calcoliamo le derivate Introduciamo nell'equazione di Maxwell Uguagliamo i coefficienti dei due esponenziali (ricordiamo ω = kc) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 367

5 Soluzioni: onde piane Consideriamo un'onda che viaggia nella direzione positiva z Il vettore E 1 è nella direzione x Il vettore B 1 punta nella direzione y Il periodo dell'onda La lunghezza d'onda Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 368

6 Lo spettro delle onde elettromagnetiche Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 369

7 Lo spettro visibile Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 370

8 Polarizzazione dell'onda L'onda che abbiamo visto ha il vettore campo elettrico che oscilla parallelamente alla direzione x L'onda è polarizzata linearmente Naturalmente il vettore E può puntare in qualsiasi direzione La direzione del vettore E è la direzione in cui è polarizzata l'onda Ad esempio polarizzazione "orizzontale", "verticale" oppure "obliqua" Si può costruire un'onda dalla sovrapposizione di altre due onde Ad esempio due onde con polarizzazione diversa Scegliamo i due vettori E a e E b nel modo seguente (polarizzazione obliqua) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 371

9 Polarizzazione dell'onda Sommiamo le due onde Calcoliamo la parte reale Un onda di questo tipo è polarizzata linearmente Consideriamo ad esempio È l'andamento temporale del campo sul piano z = 0 La direzione del vettore è sempre la stessa La lunghezza del vettore oscilla Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 372

10 Polarizzazione dell'onda Utilizziamo adesso altre due onde Il vettore E b ha una parte immaginaria Sommiamo le due onde Calcoliamo la parte reale In questo caso la polarizzazione è circolare Studiamo il campo sul piano z = 0 Il vettore E ruota in senso antiorario: polarizzazione sinistra Se lo sfasamento è π/2 E ruota in senso orario: polarizzazione destra Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 373

11 Polarizzazione dell'onda Se le lunghezze di E a e E b sono differenti la polarizzazione è ellittica Calcoliamola parte reale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 374

12 Teorema di Poynting Abbiamo scritto l'energia associata ai campi elettrici e magnetici con le seguenti espressioni Queste espressioni valgono anche per campi variabili nel tempo Per un campo elettromagnetico si scrive Supponiamo che una distribuzione di cariche ρ e di correnti J generi un campo elettromagnetico descritto dai campi E e B Supponiamo che le cariche si muovano v è la velocità dell'elemento di carica contenuto in dv Calcoliamo il lavoro fatto su di esse nel tempo dt Consideriamo un elemento di volume dv Su questa carica agisce la forza di Lorentz Il lavoro fatto è dato da Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 375

13 Teorema di Poynting La potenza erogata nel volume dv è data da Integrando Consideriamo l'equazione di Maxwell Introducendo nell'equazione per la potenza Sviluppiamo il primo termine utilizzando (vedi diapositiva ) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 376

14 Teorema di Poynting Inseriamo nella espressione della potenza Osserviamo che Sostituendo Il secondo integrale è l'energia elettromagnetica Trasformiamo il primo integrale con il teorema della divergenza Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 377

15 Teorema di Poynting Utilizzando il teorema della divergenza Il simbolo V indica la superficie che delimita il volume V Sostituendo Definiamo il vettore di Poynting Interpretiamo l'equazione trovata Il lavoro fatto sulle cariche e sulle correnti dalle forze elettromagnetiche è uguale alla diminuzione dell'energia del campo meno l'energia che fluisce attraverso la superficie che delimita il sistema Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 378

16 Teorema di Poynting La relazione precedente può essere messa in forma differenziale Definiamo delle quantità per unità di volume: densità Lavoro per unità di volume w Densità di energia del campo u EM Utilizziamo il teorema della divergenza Sostituendo nella relazione iniziale Uguagliamo gli integrandi Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 379

17 Quantità di moto Abbiamo visto il campo elettrico generato da una carica in moto rettilineo uniforme ( vedi diapositiva ) Una carica in movimento genera anche un campo magnetico Ricaveremo in seguito l'espressione del campo che anticipiamo Le linee di campo sono delle circonferenze centrate sulla traiettoria L'intensità del campo magnetico dipende dall'angolo θ La forma dei campi appena introdotta permette di convincersi che in elettrodinamica è necessario introdurre anche il concetto di quantità di moto del campo elettromagnetico A tal fine consideriamo due esempi Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 380

18 Quantità di moto Come primo esempio consideriamo due cariche q 1 e q 2 in movimento (v 1 = v 2 ) Le due cariche generano un campo elettrico E secondo la formula della diapositiva precedente Le forze elettriche sono (le distanze da O sono uguali) Le forze elettriche rispettano la terza legge di Newton Le due cariche generano anche un campo magnetico I campi magnetici B 1 e B 2 (perpendicolari allo schermo) Le forze sulle due cariche sono date dalla legge di Lorentz Si verifica facilmente che le due forze magnetiche hanno lo stesso modulo Tuttavia le due forze magnetiche non agiscono lungo la congiungente Non obbediscono alla terza legge di newton La violazione della terza legge di Newton sarebbe molto grave La conservazione della quantità di moto dipende dalla terza legge Il problema viene risolto dall'introduzione della quantità di moto del campo elettromagnetico Vedi: Keller J.M. Newton's Third Law and Electrodynamics - American Journal of Physics 10, p. 302 (1948) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 381

19 Quantità di moto Il secondo esempio è presentato sotto forma di paradosso Consideriamo due sistemi di riferimento Σ e Σ Σ si muove da destra verso sinistra con velocita v Supponiamo che nel sistema Σ due cariche q 1 e q 2 si muovano con velocità opposte con lo stesso modulo v Naturalmente nel sistema Σ la carica q 1 è ferma mentre la carica q 2 si muove con una velocità v Osserviamo innanzitutto che in entrambi i sistemi l'interazione fra le due cariche è solo elettrica Infatti il campo magnetico nella posizione delle cariche è nullo se v ed E sono paralleli segue che B = 0 Il campo elettrico generato dalle due cariche è Nel sistema Σ su ciascuna carica agisce la forza Le due forze soddisfano la terza legge di Newton Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 382

20 Quantità di moto Analizziamo adesso il fenomeno nel sistema Σ Nella posizione della carica q 1 il campo elettrico è Nella posizione della carica q 2 il campo è elettrico è Osserviamo che le due forze agiscono sulla congiungente ma hanno moduli diversi La terza legge di Newton non è soddisfatta Ancora una volta la soluzione si trova attribuendo quantità di moto al campo Si dimostra che la quantità di moto del campo è Vedremo che l'equilibrio delle forze è t = 0 Sommiamo F 12 e F 21 Jefimenko O. European Journal of Physics 20 (1999) p. 39 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 383

21 Quantità di moto Troviamo adesso un'espressione per la quantità di moto del campo elettromagnetico simile a quella dell'energia Per l'energia avevamo trovato Vogliamo trovare È una relazione più complicata: ci sono tre componenti i = x, y, z La quantità di moto è un vettore Il flusso attraverso una superficie deve essere un vettore La grandezza corrispondente a S non può essere un vettore È un tensore: il tensore degli stress di Maxwell Pensiamo al flusso di quantità di moto attraverso una superficie Ad esempio una superficie attraversata da particelle Il flusso attraverso la superficie (x y) produce quantità di moto nelle tre direzioni Lo stesso attraverso superfici x z e y z Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 384

22 Quantità di moto Il termine a primo membro rappresenta la variazione di quantità di moto all'interno di un volume V nell'unita di tempo La variazione di quantità di moto è la forza che agisce sulla materia Ricordiamo l'espressione della forza di Lorentz Introduciamo la forza per unità di volume Si potrebbe procedere in modo analogo a quanto fatto per il teorema di Poynting Si introducono ρ e J nell'espressione utilizzando le equazioni Maxwell Si elabora l'espressione utilizzando le altre equazioni e opportune identità vettoriali Il calcolo è lungo e non particolarmente illuminante Si può consultare Griffiths Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 385

23 Quantità di moto Si giunge al risultato Il primo membro è la componente i di un vettore La quantità fra parentesi del secondo termine del secondo membro è la componente i di un vettore che rappresenta la quantità di moto del campo Introduciamo la densità di quantità di moto Notiamo che g è proporzionale al vettore di Poynting Il primo termine nel secondo membro rappresenta il flusso di quantità di moto al secondo attraverso la superficie che delimita il volume La grandezza T ij è il Tensore degli Stress di Maxwell L'integrale di superficie (un flusso) deve produrre un vettore D'altro canto il flusso è il prodotto di un vettore e la normale alla superficie Per questo motivo nell'integrando compare un tensore Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 386

24 Il tensore degli stress di Maxwell Esaminiamo ancora l'integrale Deve produrre tre componenti Consideriamo la componente i Consideriamo inoltre l'elemento di superficie da Attraverso questa superficie il campo contribuisce quantità di moto lungo la direzione i tramite le tre proiezioni di da nelle direzioni x, y, z Proiettiamo la superficie da nelle tre direzioni degli assi L'integrando della componente i è pertanto Infine scriviamo la legge di conservazione in forma differenziale È la "divergenza" del tensore Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 387

25 Il tensore degli stress di Maxwell Per meglio comprendere il significato e l'uso del tensore degli Stress di Maxwell risolviamo il seguente problema Consideriamo una sfera di raggio R e carica Q Immaginiamo che la sfera sia divisa in due emisferi Calcolare la forza su ciascun emisfero Il problema si può risolvere con metodi standard Sappiamo che all'interno della sfera il campo è L'elemento di volume interno alla sfera è La forza esercita sull'elemento di volume dv è La forza totale è Si verifica facilmente che l'unico contributo diverso da zero è F z Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 388

26 Il tensore degli stress di Maxwell La forza è pertanto In definitiva, la forza sull'emisfero superiore è Ripetiamo adesso il calcolo utilizzando il tensore degli stress Bisogna calcolare il flusso di T ij attraverso la superficie dell'emisfero Attraverso la superficie della calotta Attraverso la base della calotta Per brevità calcoliamo solo la componente z delle forza Sappiamo già che le altre componenti sono nulle Si potrebbe trarre la stessa conclusione con argomenti di simmetria Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 389

27 Il tensore degli stress di Maxwell Le componenti cartesiane del campo sono Scriviamo le componenti necessarie del tensore L'elemento di superficie sulla calotta sferica è Le componenti sono Il contributo alla forza della calotta F c è pertanto Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 390

28 Il tensore degli stress di Maxwell Pertanto Rimane da calcolare il contributo della superficie inferiore L'elemento di superficie sulla base equatoriale è Sulla superficie inferiore (θ = π/2) La forza totale è In accordo con il risultato della diapositiva Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 391

29 Il tensore degli stress di Maxwell Non è obbligatorio utilizzare la superficie dell'emisfero È sufficiente utilizzare una superficie che contiene la carica sulla quale vogliamo effettuare il calcolo Eventualmente anche nel caso magnetico Una superficie chiusa che contiene tutte le cariche e le correnti di interesse Possiamo utilizzare una superficie differente Ad esempio una calotta più grande Al crescere del raggio della semisfera il contributo della superficie sferica tende a zero Bisogna tuttavia aggiungere il contributo della superficie piana da r = R a r = Per r > R il campo elettrico E giace sulla superficie e ha modulo La componente di T ij di interesse è T zz L'elemento di superficie è lo stesso di prima Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 392

30 Il tensore degli stress di Maxwell Riassumendo Il contributo del piano per r < R è Il contributo restante del piano (R ) Complessivamente la forza è In accordo con il risultato precedente Il risultato trovato è molto importante e utile Si può' calcolare la forza su un sistema complicato di cariche (e correnti) ignorandone i dettagli calcolando il flusso del tensore degli stress su una superficie chiusa arbitraria (conveniente) che racchiude tutto il sistema di interesse Esercizio Riprodurre la forza di Coulomb fra due cariche utilizzando il tensore degli stress di Maxwell Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 393