Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Energia Magnetica. Oscillatore LC Equazione del rotore di B e corrente di spostamento Anno Accademico 2017/2018

2 Energia del campo magnetico Abbiamo espresso l'energia necessaria per stabilire una corrente I in una spira di induttanza L come Troviamo adesso un'espressione che esprima l'energia direttamente in funzione del campo magnetico B Iniziamo ancora dall'espressione del flusso Φ = LI Dalla definizione di flusso Introduciamo nell'espressione dell'energia Consideriamo adesso un tratto del circuito C Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 228

3 Energia del campo magnetico Osserviamo che dadl = dv Se da è una sezione costante la circuitazione diventa un integrale di volume Se la sezione del circuito non è infinitesima si può ripetere il ragionamento considerando In entrambi i casi otteniamo L'integrale è esteso a tutto il volume del circuito (J 0) Si può generalizzare estendendo a tutto lo spazio Ricaviamo un'altra espressione importante Esprimiamo J in funzione di B Usiamo l'equazione di Maxwell Inseriamo nell'espressione dell'energia W Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 229

4 Energia del campo magnetico Utilizziamo la relazione (diapositiva ) Nel secondo integrale utilizziamo il Teorema della divergenza L'integrale è esteso a tutto lo spazio La superficie S può essere molto distante dal sistema I campi A e B vanno a zero a grandi distanze pertanto l'integrale è nullo In definitiva otteniamo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 230

5 Energia del campo magnetico Interpretiamo il risultato appena trovato Al campo magnetico B è associata una densità di energia magnetica ρ M L'energia totale è l'integrale di volume della densità È interessante notare la stretta analogia con il caso elettrostatico Sottolineiamo ancora una volta che non è stato fatto lavoro contro la forza magnetica Il lavoro della forza magnetica è nullo L'energia immagazzinata nel campo magnetico B deriva dal lavoro fatto contro la forza elettromotrice indotta che si oppone alle variazioni di flusso Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 231

6 Energia elettrica e magnetica Per finire interpretiamo anche un importante risultato intermedio ( diap ) È importante perché esprime la densità di energia magnetica in funzione del potenziale vettore È analoga alla corrispondente relazione elettrostatica che esprime la densità di energia elettrica in funzione del potenziale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 232

7 Induttanza come elemento di circuito Torniamo al circuito con il solenoide e la resistenza Utilizzando la legge di Faraday avevamo scritto l'equazione del circuito L'equazione può essere riscritta come In relazione al circuito l'equazione può essere interpretata dicendo che l'induttanza è un elemento di circuito con una data relazione V I Ricordiamo l'analoga interpretazione del condensatore Si può applicare la teoria dei circuiti Leggi di Kirchhoff, maglie, nodi Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 233

8 Circuito oscillante LC Consideriamo il circuito in figura Per il momento supponiamo che la resistenza dei conduttori sia trascurabile Supponiamo che al tempo t = 0 sulle armature del condensatore sia presente una carica Q max = Cv max e che non circoli corrente nel circuito: i(0) = 0, v(0) = v max La tensione ai capi dei due componenti è la stessa La corrente che circola nei due componenti ha lo stesso valore ma segno opposto i L = i C = i Dalle relazioni V I otteniamo l'equazione del circuito La soluzione è immediata La condizione iniziale sulla corrente fissa la fase φ Calcoliamo la tensione Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 234

9 Circuito oscillante LC Interpretiamo il risultato trovato Per ω 0 t = 0 il condensatore ha la massima carica e non circola corrente C'è un campo elettrico nel condensatore Non c'è campo magnetico (i = 0) Per ω 0 t = π/2 il condensatore è scarico Non c'è più campo elettrico Il campo magnetico è massimo Per ω 0 t = π la carica sul condensatore è di nuovo massima Il campo E ha cambiato segno B = 0 Per ω 0 t = 3π/2 il condensatore è scarico Il campo B ha cambiato segno E = 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 235

10 Circuito oscillante LC Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 236

11 Circuito oscillante LC L'oscillazione del circuito LC consiste pertanto nella continua trasformazione dell'energia del sistema L'energia del campo elettrico L'energia del campo magnetico Naturalmente l'energia totale è costante Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 237

12 Circuito oscillante LC L'oscillazione che abbiamo osservato si basa sulla presenza di carica elettrica Il campo elettrico nel condensatore e di natura quasi-statica (elettrostatica) È generato dalle cariche elettriche (sorgenti) Il campo magnetico è di natura quasi-statica (magnetostatica) È generato dalla corrente (sorgente, cariche in movimento) In linea di principio il campo elettrico potrebbe essere generato per induzione Stiamo assumendo che le variazioni di B non sono importanti rispetto a ρ Per quello che abbiamo visto fino ad ora il campo magnetico può essere generato solo da una corrente Sembra che non ci sia modo di prescindere dalla carica elettrica In realtà le modifiche all'ultima equazione di Maxwell permetteranno un campo magnetico generato dalle variazioni del campo elettrico Si possono generare campi senza sorgenti (ρ o J) Sono le onde elettromagnetiche Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 238

13 Circuito oscillante RLC Introduciamo adesso una resistenza nel circuito Le relazioni V I per i tre componenti sono Naturalmente V C = V L + V R Sostituiamo la prima equazione nelle altre due Combinando le relazioni Abbiamo ottenuto l'equazione del circuito Un'equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 239

14 Circuito oscillante RLC Si può dimostrare che una soluzione dell'equazione è della forma Calcoliamo le derivate Introduciamo nell'equazione Il fattore Ae αt è comune a tutti i termini L'equazione può essere soddisfatta solo se i coefficienti di sinωt e cosωt sono separatamente nulli Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 240

15 Circuito oscillante RLC Otteniamo pertanto Assumiamo che la soluzione sia oscillante, vale a dire ω reale Abbiamo pertanto la condizione Osserviamo infine che nel caso R = 0 avevamo definito Pertanto la presenza della resistenza modifica la frequenza dell'oscillazione Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 241

16 Circuito oscillante RLC Nel caso generale bisogna considerare anche un'altra soluzione Le due soluzioni possono essere unificate introducendo una fase Le costanti A e φ si determinano a tramite le condizioni iniziali Non è particolarmente interessante Qualitativamente la tensione oscilla con una ampiezza che diminuisce nel tempo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 242

17 Manca qualcosa Nello studio del circuito LC abbiamo visto un esempio di fenomeno in cui le grandezze elettromagnetiche variano nel tempo In particolare variavano nel tempo la carica sulle armature e la corrente nel circuito Dobbiamo pertanto considerare variabili nel tempo sia la densità di carica ρ che la densità di corrente J Abbiamo visto che deve essere soddisfatta la conservazione locale della carica: equazione di continuità Pertanto nello studio di fenomeni elettromagnetici variabili nel tempo dobbiamo assumere che in generale Abbiamo formulato la legge di Ampère in forma differenziale fissando il rotore del campo magnetico Ma la divergenza di un rotore è sempre nulla L'equazione precedente è pertanto inconsistente quando i fenomeni elettromagnetici non sono statici o stazionari Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 243

18 Manca qualcosa Lo stesso tipo di contraddizione può essere visto in un altro modo Ad esempio durante la scarica (o carica) di un condensatore Durante l'evoluzione del fenomeno una corrente scorre nel filo La corrente genera un campo magnetico Calcoliamo la circuitazione del campo magnetico e applichiamo il Teorema di Stokes La superficie più ovvia è quella indicata in figura Il filo attraversa la superficie Nel filo è presente una densità di corrente Questa è la legge di Ampère Tuttavia abbiamo dimostrato che possiamo scegliere qualunque superficie che abbia lo stesso contorno C Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 244

19 Manca qualcosa Possiamo scegliere ad esempio la superficie S Tuttavia nessuna densità di corrente interseca la superficie S Due risultati diversi che mostrano che l'equazione del rotore è incompleta Dobbiamo pertanto concludere che qualcos'altro contribuisce al rotore di B Deve esistere un termine aggiuntivo il cui flusso attraverso S non sia nullo Occorre aggiungere un termine la cui divergenza cancelli la derivata di ρ Esaminiamo l'equazione di continuità Ricordiamo che la legge di Gauss vale anche nel caso dinamico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 245

20 Manca qualcosa Pertanto otteniamo La combinazione di campi che abbiamo scritto ha divergenza nulla Può essere uguagliata al rotore di un campo vettoriale senza generare inconsistenze Soddisfa automaticamente l'equazione di continuità Modifichiamo pertanto l'equazione del rotore di B Notiamo che il campo magnetico può esistere anche se J = 0 Può essere generato dalla variazione del campo elettrico L'analogo della legge di Faraday per il campo elettrico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 246

21 Equazioni di Maxwell Scriviamo le equazioni di Maxwell nella loro forma finale Vanno completate con equazione di continuità Ricordiamo che il teorema di Helmholtz assicura che la conoscenza della divergenza e del rotore definiscono completamente il campo (diapositiva ) Per fissate condizioni al contorno, ad esempio all'infinito Nelle condizioni statiche le sorgenti sono La carica elettrica per il campo elettrico La corrente per il campo magnetico Quando i campi variano nel tempo Un campo magnetico variabile genera un campo elettrico Un campo elettrico variabile genera un campo magnetico L'ultimo contributo è stato introdotto da Maxwell su basi teoriche Vediamo come funziona l'ultimo termine con due esempi Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 247

22 Il termine di Maxwell all'opera Supponiamo di avere una sfera di carica Q che genera un flusso di corrente radiale Per l'equazione di continuità in forma integrale La corrente deve generare un campo magnetico Se utilizziamo il cammino Γ in figura dovremmo avere Tuttavia la sfera è simmetrica e B non può avere una particolare direzione: deve essere nullo Il flusso di J però è diverso da zero La contraddizione viene risolta dal termine aggiuntivo di Maxwell Infatti la sfera di carica genera un campo elettrico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 248

23 Il termine di Maxwell all'opera Dal momento che la carica varia il campo sarà variabile nel tempo Esaminiamo l'equazione di Maxwell Calcoliamo J e E/ t Inserendo nell'equazione di Maxwell troviamo Pertanto il campo magnetico è nullo nonostante l'esistenza di una corrente Come richiesto dalla simmetria Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 249

24 Il termine di Maxwell all'opera Il secondo esempio è quello del condensatore Lo abbiamo utilizzato per convincerci che mancava qualcosa Andando vicino al filo il campo magnetico è Tuttavia se si sceglie la superficie S 2, anch'essa concatenata con Γ 1 si trova ovviamente i = 0 Naturalmente l'esistenza di una corrente implica che la carica sulle armature del condensatore cambi Se la carica sulle armature varia nel tempo varia anche il campo elettrico fra le armature Calcoliamo il flusso di E attraverso S 2 Esaminiamo l'equazione di Maxwell Il nuovo termine contribuisce esattamente come il filo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 250

25 Proprietà magnetiche della materia La materia può esibire proprietà magnetiche molto differenti Iniziamo con una classificazione dei materiali sulla base delle loro proprietà Supponiamo di avere un solenoide in grado di produrre campi magnetici molto intensi Diciamo dell'ordine del Tesla Un solenoide del tipo rappresentato in figura potrebbe avere le seguenti caratteristiche: Campo massimo. Al centro, di circa 3 Tesla Cilindro interno h = 40 cm = 10 cm Con un simile magnete si possono effettuare misure sulla forza magnetica che agisce su vari materiali in presenza di un campo magnetico esterno B Si scopre che si esercita una forza quando il campo magnetico non è uniforme La forza dipende dal gradiente del campo magnetico Il gradiente è più elevato all'ingresso del magnete Si ha un gradiente di circa 17 T/m Il campo è di circa 1.8 T Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 251

26 Proprietà magnetiche della materia Con l'apparato precedente si possono studiare vari materiali Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 252

27 Proprietà magnetiche della materia È evidente che una teoria degli effetti magnetici della materia deve essere piuttosto complessa Per una classe di materiali le forze sono deboli Le forze sono proporzionali al quadrato del campo Per i materiali diamagnetici Vengono "respinti" dal magnete Peri materiali paramagnetici Vengono "attratti" dal magnete Nella tabella precedente le forze sono riferite a una massa di 1 Kg Forze di N contro una forza peso di 9.8 N L'ossigeno liquido è una tipologia differente (bassa temperatura) Per una classe di materiali le forze sono molto intense Le forze sono lineari con l'intensità del campo Materiali ferromagnetici Sono "attratti" dal magnete Un Kg di ferro risente di una forza magnetica di 4000 N Pari ad una forza peso di 400 Kg Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 253

28 Proprietà magnetiche della materia Materiali diamagnetici Si scopre che tutte le sostanze sono soggette a questo tipo di forza repulsiva Dipende dal quadrato della corrente del solenoide È l'unico effetto per le sostanze organiche e per molti composti inorganici Praticamente indipendente dalla temperatura Materiali paramagnetici Per molte sostanze questa forza attrattiva risulta comunque debole Dipende dal quadrato della corrente del solenoide Ad esempio per metalli come sodio, alluminio Per alcuni composti è un po' più intensa NiSO 4, CuCl 2 La forza aumenta se la temperatura diminuisce Materiali ferromagnetici La forza è attrattiva ed è molto intensa Dipende linearmente dalla corrente del solenoide Fra i principali materiali ferromagnetici sono il ferro, il nichel e il cobalto Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 254

29 Proprietà magnetiche della materia Vale la pena fare una considerazione sugli aspetti di natura energetica Le energie in gioco per i fenomeni diamagnetici e paramagnetici sono piuttosto piccole Questo è vero anche a livello microscopico Consideriamo ad esempio i dati dell'ossigeno liquido riportati in tabella Facciamo riferimento al metodo di misura descritto Supponiamo di volere allontanare il campione (1 Kg di sostanza) per portarlo fuori dall'effetto del campo magnetico Diciamo allontanarlo di 10 cm Per opporsi alla forza di 75 N il lavoro necessario è circa 7.5 Joules ( 10 J) In 1 Kg di O 2 ci sono circa molecole L'ordine di grandezza dell'energia per molecola è Joules Per confronto, per vaporizzare 1 Kg di O 2 liquido occorrono Joules Circa Joules per molecola Si vede pertanto che i fenomeni diamagnetici o paramagnetici mettono in gioco energie molto più piccole di una transizione di fase Non influenzano reazioni chimiche o processi biochimici Un esame NMR non ha nessun effetto collaterale (occorre però prestare attenzione a impianti/protesi ferromagnetiche) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 255