Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Sfera polarizzata. Legge di Gauss nella materia Il campo Spostamento Elettrico D Sfera di dielettrico in campo uniforme Anno Accademico 2018/2019

2 Campo elettrico di una sfera polarizzata Consideriamo una sfera di dielettrico uniformemente polarizzata Dato che la polarizzazione è uniforme all'interno non ci sono densità di carica volumetriche Sulla superficie ci sarà una densità superficiale di carica che dipende dall'angolo polare Possiamo pertanto sostituire al blocco di dielettrico la distribuzione di carica superficiale σ P (θ) Il potenziale si ottiene con l'integrale La formula risolve il problema per r interno o esterno alla sfera Il calcolo di questo integrale è un po' laborioso È un problema computazionale Possiamo sviluppare altre soluzioni più interessanti dal punto di vista della fisica Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 301

3 Campo elettrico di una sfera polarizzata Un modo alternativo per risolvere il problema è quello di considerare due sfere di densità ρ uniforme e raggio R Di carica totale Q, positiva e negativa rispettivamente Le due sfere sovrapposte sono equivalenti ad un sistema neutro Spostiamo le due sfere in modo che i centri distino una piccola distanza s Compaiono due regioni di carica la cui densità varia con l'angolo come cosθ La carica presente è proporzionale a Δl = l R trascuriamo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 302

4 Campo elettrico di una sfera polarizzata Un elemento di superficie da sulla sfera individua un volume dv = da Δl La carica di questo volume è V è il volume della sfera Calcoliamo la densità superficiale di carica Confrontando con la densità superficiale dovuta alla densità di polarizzazione P: σ(θ) =P cosθ Otteniamo la relazione fra Q, s e i dati del problema A questo punto possiamo calcolare il campo elettrico Iniziamo con la regione esterna alla sfera Questo è banale Il sistema è equivalente a due cariche puntiformi ±Q distanti s: un dipolo p 0 = Qs Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 303

5 Campo elettrico di una sfera polarizzata Veniamo al campo elettrico all'interno Utilizziamo il principio di sovrapposizione e sommiamo i campi all'interno delle due sfere di carica uniforme Abbiamo già calcolato il campo all'interno di una sfera (diapositiva ) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 304

6 Campo elettrico di una sfera polarizzata Notiamo che il campo elettrico è discontinuo sulla superficie della sfera Analizziamo la discontinuità Per semplicità nel polo nord della sfera (θ = 0) Il campo esterno è (diapositiva ) Il campo interno è Vediamo che la discontinuità nella componente normale è È la discontinuità della componente normale di un campo elettrico al passaggio di una densità superficiale di carica σ = P Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 305

7 Campo elettrico di una sfera polarizzata Questa relazione vale per tutti gli angoli La componente normale (radiale) del campo elettrico esterno è La componente radiale del campo elettrico interno è La componente tangenziale è continua Il entrambe le proiezioni si è assunta positiva la direzione di Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 306

8 La legge di Gauss nella materia Supponiamo di avere un grande dielettrico all'interno del quale si trova una carica q Una carica che non fa parte della struttura molecolare del dielettrico Ad esempio una sfera metallica carica immersa in un bagno di olio Come nel condensatore piano con il dielettrico presente, il campo elettrico nel materiale risulta ridotto rispetto a quello nel vuoto (con la stessa carica q) Normalmente si definisce la permittività del dielettrico È legittimo chiedersi se la legge di Gauss è ancora valida Infatti il flusso del campo elettrico su una superficie che circonda la carica, ad esempio una sfera, sarà più piccolo perché E è più piccolo Sembra pertanto che il flusso non sia più uguale a q/ε 0 ma piuttosto q/ε Nel fare questa affermazione commettiamo un grave errore La carica q non è la sola carica all'interno della sfera che utilizziamo per il calcolo del flusso C'è una densità di carica indotta dalla polarizzazione di cui bisogna tenere conto Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 307

9 La legge di Gauss nella materia Infatti il campo elettrico polarizza il materiale La sferetta metallica carica ha un'interfaccia con il dielettrico Intorno alla sferetta compare una carica superficiale della quale bisogna tenere conto È a causa di questa carica, che "scherma" la sfera, che il campo risulta meno intenso In generale potrebbe esserci anche una carica volumetrica se P 0 ( in questo caso P = 0) Supponiamo che il dielettrico sia lineare Il campo elettrico e densità di polarizzazione sono Supponendo che il raggio della sfera sia a la densità di carica di polarizzazione (uniforme) sulla sua superficie è All'esterno della sfera il campo è quello di una carica puntiforme Q = q + q p Carica schermata, più piccola Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 308

10 La legge di Gauss nella materia Tenere conto della carica di polarizzazione non è semplice In laboratorio si controllano le cariche o i potenziali sui conduttori, non la carica di polarizzazione Sarebbe utile una relazione che utilizzasse solo le cariche libere Q free = q 1 +q 2 Scriviamo la legge di Gauss in forma integrale tenendo conto di tutte le cariche presenti La carica di polarizzazione Q pol è quella presente nel volume e sulle superfici S 1 e S 2 Notiamo che la superficie S è una superficie matematica Non è una discontinuità nel dielettrico Non c'è una carica superficiale su di essa Calcoliamo Q pol Il volume V è quello delimitato da S, S 1, S 2 Usiamo il teorema della divergenza per trasformare l'integrale di volume Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 309

11 La legge di Gauss nella materia Riepiloghiamo Inseriamo l'espressione di Q pol nella legge di Gauss Definiamo il campo vettoriale D, chiamato induzione elettrica Chiamato anche "spostamento elettrico" Introducendo nell'equazione otteniamo in forma differenziale Vediamo che per il campo D vale una versione della legge di Gauss che stabilisce una relazione con le sole cariche libere Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 310

12 La carica di un dielettrico Osservazione Le cariche che compaiono in un dielettrico polarizzato dipendono dalle deformazioni degli atomi e dall'orientamento dei dipoli molecolari Le cariche fanno piccoli spostamenti (dell'ordine delle dimensioni atomiche) Il dielettrico si polarizza ma la sua carica totale è nulla Nel calcolo precedente abbiamo trovato La superficie S è una superficie matematica La carica Q pol è diversa da zero perché non stiamo considerando la superficie esterna del dielettrico Se consideriamo tutte le superfici del corpo (S e ) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 311

13 Lo spostamento elettrico D Il campo D può risultare utile in talune circostanze ma non aggiunge un reale contenuto fisico nuovo Può indurre in semplificazioni errate Il fatto che soddisfi una legge di Gauss che utilizza solo le cariche libere potrebbe fare pensare che si possa costruire un'elettrostatica solo con D Non esiste una legge di Coulomb per D FALSO!! La ragione importante è che il campo D in generale non è conservativo D non si può scrivere in funzione di un potenziale La legge di Coulomb aveva entrambe le proprietà Il motivo è ovvio Consideriamo la circuitazione di P come nella figura Dielettrico uniformemente polarizzato Cammino chiuso con lati paralleli alla polarizzazione Dielettrico Vuoto Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 312

14 Lo spostamento elettrico D In casi particolari risulta semplice calcolare il campo D Succede quando il problema ha evidenti simmetrie che possono condurre alla soluzione come abbiamo visto con la legge di Gauss per E Nel caso generale bisogna avere una relazione fra D e il campo elettrico E Una relazione che deriva dall'esperimento o da un modello della materia Come nel caso della densità di polarizzazione Per un dielettrico lineare Per l'induzione elettrica si ottiene Abbiamo definito un'ennesima costante: la permettività del materiale Ha le stesse dimensioni di ε 0 Avere trovato questa relazione per i dielettrici lineari potrebbe fare pensare che almeno per questi si possa avere la circuitazione nulla FALSO!! La costante ε è discontinua quando si attraversa un'interfaccia In generale non si può portare fuori dall'integrale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 313

15 Problema elettrostatico con i dielettrici Consideriamo un sistema composto da più dielettrici lineari In ogni dielettrico vale la relazione Naturalmente vale sempre Il campo elettrostatico E è sempre derivabile da un potenziale Possiamo utilizzare i metodi sviluppati per il calcolo del potenziale separatamente in ogni regione di dielettrico Con le opportune condizioni al contorno sulle superfici che delimitano i dielettrici sulle quali compaiono le densità superficiali di cariche In particolare, nelle regioni in cui ρ f = 0 il potenziale obbedisce all'equazione di Laplace Notiamo che se all'interno di un dielettrico lineare non è presente una densità di carica libera (ρ f = 0) anche la densità di carica di polarizzazione sarà nulla (ρ b = 0) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 314

16 Condizioni al contorno Abbiamo visto che sulla superficie di un dielettrico compaiono densità superficiali di cariche di polarizzazione Sappiamo che il campo elettrico ha delle discontinuità quando incontra strati di carica superficiale Analizziamo le discontinuità per i campi D, E Abbiamo visto che il campo D obbedisce alla legge di Gauss Applichiamo la legge intorno all'interfaccia fra due dielettrici Supponiamo che non ci siano cariche libere sulla superficie: Q f = 0 Per il campo D otteniamo Ricordando che D = εe Pertanto La componente normale del campo D è continua se non ci sono cariche libere La componente normale del campo elettrico E è discontinua Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 315

17 Condizioni al contorno La condizione su E che abbiamo trovato può essere ottenuta senza l'uso del campo D Utilizziamo la proprietà del campo elettrico che conosciamo Attraversando una densità di carica σ la componente normale ha una discontinuità ΔE = σ/ε 0 Chiamiamo E 1 e E 2 i campi elettrici presenti all'interfaccia nel dielettrico 1 e 2 rispettivamente Poiché i dielettrici sono lineari P = χε 0 E Dai lati 1 e 2 dell'interfaccia ci saranno le cariche Pertanto Ricordiamo che κ = 1 + χ e che ε = κε 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 316

18 Condizioni al contorno Possiamo generalizzare la condizione al contorno su D al caso in cui nell'interfaccia sia presente carica libera La condizione precedente Diventa Analizziamo il caso in cui l'interfaccia è fra un metallo e un dielettrico lineare In questo caso uno dei due materiali è un conduttore All interno del conduttore Supponendo che il materiale conduttore sia il 2 Ricordando che D = εe Nel dielettrico, all esterno del conduttore Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 317

19 Condizioni al contorno Per quanto riguarda la componente tangenziale del campo elettrico questa è continua Questa condizione deriva dal fatto che il campo elettrico è conservativo Infatti, considerando una linea chiusa intorno all'interfaccia, come in figura Per il potenziale le condizioni diventano Il potenziale è continuo attraverso l'interfaccia V è l'integrale di E La derivata del potenziale è discontinua Se n è la normale alla superficie Il vettore r varia sulla superficie di interfaccia dei dielettrici N.B.: non ci sono cariche libere sull'interfaccia Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 318

20 Condizioni al contorno Riepilogando Ricordiamo solo le condizioni al contorno per campo elettrico e potenziale Sono sufficienti per risolvere i problemi Per il campo elettrico Per il potenziale Il potenziale è continuo attraverso l'interfaccia Il vettore r varia sulla superficie di interfaccia fra i dielettrici La condizione sulla componente normale del campo diventa Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 319

21 Sfera di dielettrico in campo uniforme Consideriamo una sfera di dielettrico posta in un campo elettrico uniforme È un problema analogo a quello della sfera conduttrice in campo uniforme che abbiamo affrontato in precedenza (vedi diapositiva ) Utilizziamo il metodo della separazione delle variabili in coordinate sferiche C'è simmetria azimutale (V indipendente da φ) Qualitativamente possiamo dire che il campo elettrico polarizza il dielettrico Sulla superficie della sfera compare una carica superficiale Il campo uniforme è distorto Il campo rimane uniforme all'infinito All'interno della sfera il campo elettrico è dato dalla somma del campo esterno e del campo generato dalle cariche di polarizzazione z x y Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 320

22 Sfera di dielettrico in campo uniforme Esprimiamo il potenziale all'esterno e all'interno utilizzando la formula utilizzata per il problema della sfera conduttrice La seconda formula è necessaria perché adesso il campo dentro la sfera non è nullo Le condizioni al contorno sono (ε è la permittività della sfera) All'infinito campo uniforme Potenziale continuo sulla sfera Discontinuità della componente normale Assumendo come nel caso della sfera conduttrice V 0 = 0, la prima condizione permette di porre a zero tutti gli A l escluso A 1 = E 0 ( P 1 (cosθ) = cosθ ) Inoltre, poiché al centro della sfera il potenziale deve essere finito si ha che per tutti gli l deve essere D l = 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 321

23 Sfera di dielettrico in campo uniforme La condizione di continuità diventa L'uguaglianza implica che per ogni l devono essere uguali i coefficienti dei corrispondenti polinomi di Legendre P l (P 1 = cosθ) Per l = 1 Per l 1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 322

24 Sfera di dielettrico in campo uniforme Veniamo adesso alla condizione di discontinuità Ricordiamo che sulla sfera / n = / r Ancora una volta uguagliamo i coefficienti dei polinomi di Legendre dello stesso ordine l Per l = 1 Per l 1 Confrontiamo con la precedente equazione per l 1 Concludiamo che Per l = 0 B 0 = 0 e C 0 = 0 Per l 0,1 le due relazioni per B l implicano che Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 323

25 Sfera di dielettrico in campo uniforme Esaminiamo infine le due equazioni trovate per l = 1 Eliminiamo C 1 inserendo la prima equazione nella seconda Per finire inseriamo il valore trovato per B 1 nell'equazione di C 1 Abbiamo trovato il potenziale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 324

26 Sfera di dielettrico in campo uniforme Calcoliamo le componenti del campo elettrico All'interno All'esterno Campo uniforme Sulla superficie della sfera Componente tangenziale continua Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 325