Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

Transcript

1 Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Campo della materia magnetizzata Discontinuità del campo magnetico Il campo H. Suscettività magnetica Ferromagnetismo Anno Accademico 218/219

2 Campo da materia magnetizzata Anche nel caso appena descritto il campo magnetico generato dalla magnetizzazione si può calcolare utilizzando le ormule introdotte per il campo magnetico generato da correnti reali Ricaviamo adesso in modo più ormale (matematico) le relazioni che abbiamo ricavato con ragionamenti isici Supponiamo di avere un blocco di materia magnetizzata dv caratterizzata con un vettore di magnetizzazione M(r) Consideriamo un elemento di volume dv Ha un momento magnetico dm M( r ) dv Ricordiamo il potenziale vettore di un dipolo nella approssimazione di grande distanza (dia ) Ar () μ m r 3 r Dipolo nell'origine Dipolo in r Il potenziale vettore di tutto il corpo si calcola integrando Ar () μ d m 3 Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 314 μ dar () r x μ z r dm Mr ( ) dv 3 y 3

3 Campo da materia magnetizzata () ( ) Ar μ Mr dv 3 r Utilizziamo la relazione L'operatore agisce sulla variabile r μ 1 Ar () Mr ( ) dv Utilizziamo la identità (vedi diapositiva ) Ar () Il primo integrale permette di introdurre J M r 3 μ 1 μ Mr ( ) ( M( r )) dv dv 1 r ( C) ( C) C ( ) C ( ) ( C) ( C) r 1 M ( ( )) ( M r dv ) dv J r M J M Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 315

4 Campo da materia magnetizzata Per il secondo integrale utilizziamo la relazione Otteniamo Deiniamo Ar () Otteniamo inine μ ( ) J r M dv μ Mr ( ) dv Adv n Ada μ Mr ( ) μ Mr ( ) n dv da S Vedi Griiths D. Introduction to electrodynamics, 3 ed. esercizio 1.6b Kr ( ) Mr ( ) n μ J ( r ) μ M Kr ( ) Ar () dv + da S S Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 316

5 Discontinuità del campo magnetico Nello studio del campo elettrico avevamo osservato che il campo elettrico è discontinuo quando si attraversa una densità supericiale di carica σ La componente normale del campo è discontinua: E 1n E 2n σ/ε Anche il campo magnetico è discontinuo quando si attraversa una densità supericiale di corrente Per il campo magnetico la discontinuità riguarda la componente tangenziale Consideriamo una densità di corrente supericiale K Consideriamo il cammino chiuso in igura Il senso di percorrenza del cammino e il verso di K sono legati dalla regola della vite destrorsa Applichiamo la legge di Ampère Assumiamo che il tratto verticale sia di lunghezza trascurabile C Otteniamo pertanto d l L L 1t 2t C dl μ J da inoltre Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 317 S S L J da Kdl KL L L μ KL μ K 1t 2t 1t 2t K L 1 2

6 Discontinuità del campo magnetico Studiamo adesso il comportamento della componente normale Dimostriamo che la componente normale si conserva Ricordiamo che nel caso del campo elettrostatico era la componente tangenziale che si conservava Consideriamo ancora una volta una densità di corrente supericiale K In questo caso consideriamo la supericie chiusa indicata in igura Utilizziamo la proprietà che il lusso del campo magnetico attraverso una supericie è nullo d a S Assumiamo che il contributo della supericie laterale sia trascurabile A A 1n 2n Le due condizioni che abbiamo visto possono essere sintetizzate in un'unica relazione vettoriale Il verso di ˆn e il verso di K sono deiniti μ K nˆ sopra sotto con la regola della vite destrorsa Osserviamo che K nˆ non ha componente normale alla supericie La componente normale di è continua 1n 2n K A 1 2 Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 318

7 Discontinuità del campo magnetico Illustriamo la relazione che lega la discontinuità alla eventuale densità di corrente supericiale Possiamo costruire localmente una terna di versori La normale alla supericie ˆn La direzione dell'eventuale corrente supericiale Il versore ˆp perpendicolare agli altri due Il prodotto è nella direzione del versore La componente tangenziale t è in questa direzione Nella dierenza sopra sotto le componenti normali si elidono Sono uguali (continue) L'eventuale discontinuità di è nella componente tangenziale È determinata dalla densità di corrente supericiale K μ ˆ sopra sotto K n K nˆ K ˆs nˆ ˆp t ˆp ˆn ŝ n K ŝ Kˆs K A 1 2 Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 319

8 Discontinuità del campo magnetico Come per il campo elettrico anche per il campo magnetico si ha che il potenziale vettore è continuo In realtà c'è un'arbitrarietà Inatti abbiamo visto che il potenziale vettore A non è univocamente determinato La sostituzione A A + dà lo stesso campo Utilizzando questa arbitrarietà si può sempre richiedere che A In questo caso si dimostra acilmente che la componente normale è continua Anche la componente tangenziale è continua Inatti per il teorema di Stokes A d l C A da S d a Se l'altezza del rettangolo scelto come cammino è ininitesima allora Φ Si dimostra come di consueto che Per inire si può dimostrare che A n A n 1 2 S μ K A A 1n 2n Φ A 1t A 2t K K L A 1 A 2 A 1 A 2 Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 32

9 The picture can't be displayed. oundary conditions su A Illustriamo l'ultima condizione sulla derivata normale Il vettore A può essere scomposto lungo tre direzioni perpendicolari La normale alla supericie ˆn Due direzioni tangenti alla supericie La direzione di una eventuale densità supericiale di corrente K ŝ ˆp ˆn ŝ La direzione perpendicolare a e Il vettore A ha tre componenti: A n, A s e A p Le derivate normali di A n e A p sono continue La derivata normale di A s è discontinua se esiste una corrente supericiale A 1s n A n 2s μ K A n ˆp ˆn ŝ A K Kˆs A p Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 321

10 Esempio: campo del solenoide Veriichiamo le condizioni di discontinuità appena enunciate per un solenoide Consideriamo un solenoide ininito z Ci sono n spire per unità di lunghezza y La corrente di una spira I x Il campo di induzione magnetica è nullo all'esterno All'interno vale μ nie ˆz La corrente trasportata dalle spire può essere considerata una corrente supericiale parallela alla supericie del cilindro La normale alla supericie è il versore e ˆρ Abbiamo pertanto La componente di perpendicolare alla supericie è nulla: ρ È nulla sia all'interno che all'esterno: è continua La componente di parallela alla supericie è z È nulla all'esterno ( z ) e vale z μ ni all'interno Abbiamo pertanto veriicato che K nˆ niˆe φ ˆe ρ nie ˆz μ ni z ext zint K n μ ˆ sopra sotto niˆe φ Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 322 K

11 Il campo H Il ormalismo che abbiamo sviluppato ino ad ora permette di calcolare il campo magnetico quando si conosce la magnetizzazione M di un corpo μ J ( r ) μ M Kr ( ) Ar () dv + da V In questa espressione l'integrale di supericie è calcolato sulla supericie del materiale magnetizzato La magnetizzazione M(r) è diversa da zero all'interno del corpo Nella derivazione avremmo potuto estendere l'integrale a tutto lo spazio In particolare in regioni in cui M(r) In questo caso l'integrale di supericie è nullo La ormula diventa Ar () μ ( ) J r M dv S M J Kr ( ) Mr ( ) n Osserviamo che in questo caso l'integrando non è sempre continuo Sulla supericie dei corpi magnetizzati la magnetizzazione M è discontinua Le derivate di una unzione discontinua producono delle unzioni singolari (δ di Dirac) che riproducono il contributo delle correnti supericiali M μ Mr ( ) dv Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 323

12 1 μ Il campo H Il campo generato dalla magnetizzazione ha la stessa espressione matematica del campo generato da una corrente reale (vedi diapositiva 793 ) Ar () μ ( ) J r M dv Possiamo pertanto includere il contributo della magnetizzazione nell'equazione di Maxwell che lega il campo alle correnti libere Abbiamo aggiunto il suisso "" per esplicitare quali sono le correnti dovute ad un reale trasposto di carica elettrica Introducendo l'espressione per J M otteniamo Deiniamo il campo H μ J Notiamo che H non ha le dimensioni di Ha le dimensioni della magnetizzazione ( A m 1 ) J M M ( J + J ) J + M M J μ μ M M μ J H M H J μ Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 324

13 Il campo H Il campo H ha nomi diversi in letteratura Viene anche chiamato "campo magnetico" Nel nostro corso abbiamo sempre chiamato campo magnetico il campo Chiameremo il nuovo campo "campo H" Il campo H è analogo al campo D introdotto in elettrostatica Lega il campo alle sorgenti esterne eliminando la dipendenza esplicita dalle sorgenti indotte A dierenza del campo D il campo H è molto utile ed è usato nelle applicazioni e nel lavoro sperimentale La ragione sta nel atto che la grandezza isica che si controlla per generare un campo magnetico è la corrente H J Nel caso elettrostatico la grandezza isica che si controlla sono le tensioni sui conduttori Il campo D è invece legato alle densità di carica reali che non sono acilmente controllabili D ρ H i C Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 325

14 Il campo H Come nel caso del campo elettrostatico anche adesso bisogna sottolineare che il campo H non può sostituire Per determinare completamente un campo vettoriale è necessario deinirne sia il rotore sia la divergenza In generale la divergenza di H non è deinita Dipende dalla magnetizzazione Pertanto le equazioni necessarie per risolvere il problema sono H J ( H) Inoltre le opportune condizioni al contorno Se nel problema sono presenti più materiali occorre imporre le discontinuità dei campi alle superici di passaggio da un materiale all'altro Ricaviamo le condizioni per il campo H Le condizioni per il campo sono state ricavate utilizzando le equazioni μ J Il rotore di H è ormalmente identico al rotore di e porterà a condizioni sulla componente tangenziale di H analoghe a quelle di Abbiamo bisogno della divergenza di H Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 326

15 Suscettività e permeabilità magnetica Per risolvere il problema abbiamo pertanto bisogno di conoscere una relazione ra e H Abbiamo visto la relazione che permette di trovare M in unzione di Abbiamo preannunciato (diapositiva ) che la relazione corretta è Ricordiamo la deinizione di H μ Deiniamo la permeabilità magnetica del materiale μ μ (1 + χ m ) Otteniamo M χm μ NO! χm H M μ H+ μ M μ + μ χ m μh Se μ è indipendente dalla posizione il mezzo è omogeneo Se μ è indipendente da H il mezzo è lineare Se il mezzo è diamagnetico μ/μ < 1, χ m < Se il mezzo è paramagnetico μ/μ > 1, χ m > Per i materiali erromagnetici μ μ(h) M H H H μ ( 1 χ ) + H m Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 327

16 Il campo H Calcoliamo la divergenza di H H Otteniamo μ M La condizione sulla componente tangenziale si ottiene come nel caso di H J Per la componente normale calcoliamo il lusso di H attraverso la supericie di un cilindro di altezza trascurabile Abbiamo Contribuiscono solo le superici circolari A C H H K 1t 2t H M H M H dl J da H M H nˆda M nˆda S ( ) H H M M sopra sotto sopra sotto S S μ K K L H A 1 H 2 H 1 H 2 M 1 M 2 Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 328

17 Esempio: solenoide con nucleo Consideriamo un lungo solenoide avvolto su un materiale lineare con suscettività χ m Le spire per unità di lunghezza sono n La corrente è I Per la simmetria del problema le linee del campo H sono parallele all'asse del cilindro Il campo è nullo all'esterno Utilizzando la legge di Ampère con il cammino in igura (la corrente esce dal piano) H i C nli Hl H ni μ ( 1 + χ ) H μ ( + χ ) Usando la permeabilità del mezzo m m Osserviamo che nel vuoto si ha μ ni L'eetto del mezzo è di generare un campo della stessa orma dovuto a una corrente χ m ni M χ m H K M nˆ K χ ni m La magnetizzazione è Pertanto la corrente di magnetizzazione genera il campo magnetico aggiuntivo Se il materiale è paramagnetico il campo è più intenso Se il materiale e diamagnetico il campo è meno intenso l H 1 ni Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 329

18 Ferromagnetismo Abbiamo già dato le caratteristiche essenziali delle orze nei materiali erromagnetici Facendo rierimento alle misure con il solenoide La orza è attrattiva e molto intensa La orza dipende linearmente dalla corrente La orza dipende solo dal gradiente del campo La orza si calcola utilizzando la ormula ( ) F m Per i materiali diamagnetici e paramagnetici abbiamo visto che m La dipendenza lineare della orza dalla corrente (dal gradiente del campo) nel caso dei materiali erromagnetici indica che m non varia più con Si è raggiunto un limite di saturazione nell'allineamento dei dipoli magnetici La orza è attrattiva e quindi i dipoli si allineano nella direzione del campo Inine osserviamo che i materiali erromagnetici possono essere magnetizzati anche in assenza di campo È importante notare che il enomeno dipende dalla temperatura In particolare il erromagnetismo scompare al di sopra di una certa temperatura caratteristica per ogni sostanza (Temperatura di Curie T c ) F Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 33

19 Il campo di un magnete permanente Consideriamo un cilindro di materiale magnetizzato uniormemente Non ci sono correnti di magnetizzazione all'interno dato che J M M Le correnti supericiali sono date da K M ˆ n Non ci sono correnti supericiali sulle basi del cilindro: C'è una corrente sulla supericie laterale: K M Il campo magnetico generato dalla corrente supericiale è quello generato da un solenoide di lunghezza inita ( ) A r μ ( ) K r r r da K M ˆn M nˆ ˆn Osserviamo che e M non sono paralleli M Inoltre H / μ M Neppure H e M sono paralleli H Evidentemente non è solo a determinare a determinare la direzione dei dipoli / μ Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 331

20 Ferromagnetismo È interessante interpretare numericamente i dati della tabella, diapositiva 1 Kg di erro subisce una orza di 4 N con / z 17 T/m ( ) F m 4 F m m z J / T La magnetizzazione corrispondente al momento magnetico m è m MV V ρ 1Kg 3 ( Kg/ m ) M Questo è il massimo valore della magnetizzazione del erro (saturazione) Abbiamo anche detto che m Nμ N Dato che nel erro ci sono circa atomi/m 3 concludiamo che ogni atomo contribuisce con due elettroni M J T m m m ρ V 1Kg 6 J T m 29 3 Elettroni per m 3 ρ N: 1 Kg 78 Kg m 3 Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 332

21 Ferromagnetismo Il enomeno che stiamo descrivendo è molto complesso Diamo adesso alcune spiegazioni qualitative Per motivi connessi alla struttura quantistica dell'atomo di erro due elettroni di atomi adiacenti si trovano in uno stato energeticamente conveniente quando i loro spin sono allineati Questa circostanza tende ad allineare gli spin di tanti atomi Si tratta di un enomeno collettivo La direzione in cui si allineano è casuale In realtà la simmetria del reticolo impone alcune direzioni Alcune sono più avorite di altre L'allineamento dei momenti magnetici avviene in regioni macroscopiche chiamate domini Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 333

22 Ferromagnetismo È possibile vedere i domini al microscopio Microscopi basati sull'eetto Kerr Rilessione della luce da superici magnetizzate Nella oto i domini magnetici sono le regioni chiare e scure Se il campo esterno cresce i domini si allineano Succede anche che si modiicano i conini dei domini L'animazione mostra l'evoluzione dei domini al crescere dell'intensità di un campo esterno entrante nello schermo Le regione bianche indicano una magnetizzazione uscente Le regioni scure magnetizzazione entrante y Zureks, Chris Vardon - Own work, CC Y-SA 3., Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 334

23 Esempio: toroide con nucleo Consideriamo un toroide avvolto intorno ad un nucleo di materiale lineare con permittività magnetica μ (1+χ m )μ Il numero di spire è N, la corrente I Le linee del campo H sono delle circonerenze Utilizziamo la legge di Ampère per il campo H Consideriamo un circonerenza C di raggio r H i C NI H 2πr H( r) Il campo e la magnetizzazione M sono μ μh μ μ χ m M M 2πr Le densità supericiale di corrente nei punti r r 1 e r r 2 è dierente La corrente di magnetizzazione è ovviamente costante: i m K 2πr χ m NI μ μ H H μ μ χ m 2 NI πr K χ NI m 2 NI πr H r r 1 r 2 Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 335

24 Curva di magnetizzazione Supponiamo adesso che il nucleo sia erromagnetico Studiamo sperimentalmente la curva di magnetizzazione Per ogni valore di I conosciamo H Con uno strumento adatto (sonda Hall) misuriamo Possiamo anche determinare μ /H Potremmo ottenere un graico del genere Osserviamo che le due scale hanno unità diverse Se nel toroide non ci osse il erro μ H H 3 A/m μ H T Invece 1.3 T, circa 3 volte 1.6 più intenso Dato che μ (H + M) e dato che 1.2 μ H è piccolissimo, il campo è praticamente dovuto tutto alla.8 magnetizzazione del erro Orientamento dei domini.4 Osserviamo che si raggiunge un regime in cui la magnetizzazione cresce più lentamente Si raggiunge una saturazione, T μ/μ H, amp/m μ/μ Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 336

25 Isteresi Supponiamo adesso di volere ritornare allo stato iniziale O, cioè lo stato H, Riduciamo quindi la corrente nell'avvolgimento b ino a raggiungere il valore H Si raggiunge lo stato b e si scopre che il campo magnetico non è tornato a zero Ricordiamo che μ (H + M) Il materiale rimane magnetizzato anche senza eccitazione esterna M /μ Per riportare a zero la magnetizzazione bisogna eccitare il toroide con una corrente inversa a quella utilizzata inizialmente In questo modo si può riportare a zero c O la magnetizzazione quando si raggiunge lo stato c in cui μ (H+M) Continuando a ridurre H si raggiunge un'altra regione di saturazione Se a questo punto si a crescere di nuovo H si raggiunge nuovamente la regione di saturazione nello stato a ma percorrendo una traiettoria nel piano H diversa da quella precedente Si ha pertanto un comportamento in cui lo stato del sistema dipende dalla sua storia precedente a H Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 337

26 Equazioni di Maxwell nella materia Vogliamo riormulare le equazioni di Maxwell nel caso in cui ci sia materia Naturalmente le equazioni nel vuoto sono sempre valide Tuttavia diventa molto complesso tenere conto di tutte le sorgenti Cariche e correnti dovute a enomeni di polarizzazione e magnetizzazione Risulta conveniente utilizzare i campi D e H Abbiamo già visto la legge di Gauss quando si tiene conto della polarizzazione D ρ Avevamo inoltre visto che la polarizzazione a comparire cariche di volume e cariche supericiali Se la polarizzazione è unzione del tempo le cariche di polarizzazione anno comparire delle correnti Consideriamo un cilindretto di materia polarizzata Per costruzione le basi siano perpendicolari a P Sulle due basi c'è una densità di carica ±σ P ±P La carica sulle due basi è q ±σ P da ±Pda Se il campo elettrico varia nel tempo varierà anche la polarizzazione La carica varia nel tempo D ε E + P ρ P P dq dt σ nˆ P Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 338 P P ± da t da σ b P +σb

27 Equazioni di Maxwell nella materia Se la carica sulle basi varia vuol dire che c'è una corrente che trasporta carica da una base all'altra La corrente è il lusso di una densità di corrente J P P t i J da Il vettore J P ha le proprietà di una densità di corrente In particolare soddisa l'equazione di continuità P J P t P P t P da t Pertanto in presenza di materia le cariche e le correnti totali sono Come abbiamo già visto in elettrostatica si tiene conto di ρ P introducendo il campo D nella legge di Gauss ρ + ρ P P + + M P ρ ρ ρ ε ε E ρ ρ ρ P + ρ P i da σ P dq da dt P t P P JP t P ρ t +σp P J J J J J + M + t E + P ρ D ε E + P D ρ Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 339

28 Equazioni di Maxwell nella materia Si può procedere analogamente per la legge di Ampère μ ε E t μ J + μ J + M + + μ ε M J + P + ε E μ t t M + + μ J P E Non richiedono modiiche le equazioni P E t t ( ε ) t D H J + t μ Inatti in queste equazioni non appaiono le sorgenti ρ e J H E t M D ε E + P Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 34

29 Equazioni di Maxwell nella materia Riassumiamo le equazioni di Maxwell nella materia D ρ E t Queste equazioni devono essere complementate Dalle relazioni enomenologiche che deiniscono i campi D e H Ad esempio per i mezzi lineari omogenei D εe D H J + t Dalle condizioni al contorno nel passaggio da un materiale all'altro D D σ E E H H K n ˆ Elettromagnetismo Pro. Francesco Ragusa 341 H 1 μ mezzo lineare σ K εe εe σ E E K nˆ 1 2 μ μ εe E E ε E μ μ