Fisica Generale A. 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione. Esercizio 1. Esercizio 1 (II) Esercizio 1 (III)

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1 Fisica enerale 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione Eserciio Un punto ateriale i assa = 0. kg è appoggiato su i un cuneo liscio, i assa = /00 e angolo = 0º. Il cuneo, a sua olta, è incolato a scorrere sena attrito su i un piano oriontale liscio. Supponeno che iniialente tutto sia in quiete e che il punto ateriale si troi a un altea h 0 = 50 c rispetto al piano oriontale, calcolare: La elocità i traslaione el cuneo quano il punto ateriale è sceso sul piano oriontale; Supponeno poi che il punto, una olta raggiunto il piano oriontale, incontri un secono cuneo liscio, i assa = 4 e angolo = 0º, anch esso liero i scorrere sena attrito sul piano oriontale, calcolare la assia altea h raggiunta al punto ateriale sul secono cuneo. = 300. Deceer 9, 00 h 0 Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione Eserciio II Eserciio III Le fore che agiscono sul punto e sul cuneo sono la fora peso e le reaioni incolari con incoli ieali. Di conseguena, urante la iscesa el punto si consera l energia eccanica el sistea punto+cuneo. La quantità i oto el sistea punto+cuneo non si consera in quanto la fora i graità è esterna al sistea. R c p Tuttaia, per la I equaione carinale ella inaica si ha, per il sistea punto + cuneo: Q x = Q = R e e R x = 0 Q y = R e y = 0 Q = R e = g + Rtc per cui si conserano le coponenti oriontali ella quantità i oto el sistea punto+cuneo. h 0 y R pc x p = g R tc R ct Sia la elocità el punto quano esso ha raggiunto il piano oriontale e la elocità el cuneo quano il punto ha raggiunto il piano oriontale; Scelto 0 il poteniale alla quota el piano oriontale; La conseraione ell energia eccanica e ella coponente x ella quantità i oto tra l istante iniiale e l istante in cui il punto ateriale raggiunge il piano oriontale si scrie: E gh 0 = + Q x 0 = + Infatti nell istante iniiale tutto è in quiete per cui non si ha né energia cinetica né quantità i oto, a si il punto ateriale possiee energia poteniale, troanosi a una quota i h 0 più alta rispetto al piano oriontale; Nello stato finale non si ha energia h 0 y x poteniale, a punto e cuneo possieono quantità i oto e energia cinetica. Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 3 Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 4

2 Eserciio IV Eserciio V Si ha unque: gh 0 = + 0 = + = = 00 = = 3 gh 0 = 00 3 * +, gh 0 = 3 = 3 = = 3 - = 3 gh 0 3 gh 0 = 6 gh 0 = = = s 6 h 0 y x Raggiunto il piano oriontale, il punto ateriale procee con elocità finché incontra il secono cuneo e iniia a salire su i esso. La fora che il punto ateriale esercita sul secono cuneo ha una coponente iretta coe il erso positio ell asse x. Il secono cuneo iniia quini a uoersi, con elocità iretta coe il erso positio ell asse x. p = g R c p Il punto ateriale sale sul secono cuneo finché ha coponente x ella elocità superiore a quella el secono cuneo, acquistano energia poteniale e unque pereno energia cinetica. R pc Rtc R ct Quano il punto ateriale ha coponente x ella elocità uguale a quella el secono cuneo, si troa in quiete rispetto a esso h 0 y x e iniia a iscenere. Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 5 Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 6 Eserciio VI Eserciio VII La quota assia el punto ateriale sul secono cuneo si raggiunge quano il punto ateriale è in quiete rispetto al secono cuneo. Scriiao la conseraione ell energia eccanica e ella coponente x ella quantità i oto: reneno coe istante iniiale quello in cui il punto ateriale si troa ancora sul piano oriontale; E coe istante finale quello in cui il punto ateriale è in quiete rispetto al cuneo, e unque ha la stessa elocità el secono cuneo: E Q x = + + gh = + reo allora: = + + gh = = = 5 = + = gh = 0 + gh gh = 5 h = 5 g = 3 5 g gh 0 * + = 3 5 h = 3 50c = 30c 0 5 h 0 y x h 0 y x Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 7 Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 8

3 Eserciio Eserciio II Un punto ateriale i assa = kg si uoe con elocità, i oulo pari a = 0 /s, aente ireione oriontale e giacente su i un piano erticale. Il punto ateriale urta elasticaente e istantaneaente nel punto ei figura una sarra rigia oogenea i assa pari a = kg e lunghea pari a a =, incernierata allo stesso piano erticale nel punto, con = a e = a Deterinare la elocità el punto ateriale inicanola positia se concore alla elocità pria ell urto e negatia in caso contrario e la elocità angolare ella sarra suito opo l urto. = 7. a Nell urto si consera l energia eccanica el sistea punto+asta, in quanto l urto è perfettaente elastico. La quantità i oto inece non si consera, in quanto l asta è incolata, e urante l urto il incolo esercita una fora esterna ipulsia e unque non trascuraile sull asta altrienti l asta si etteree a ruotare attorno al proprio centro i assa. Tuttaia, tale fora esterna ipulsia è applicata nel punto in cui è collocata la cerniera. Dunque tale fora esterna ipulsia ha oento nullo rispetto al punto. Di conseguena si consera il oento angolare el sistea punto+asta rispetto al centro i riuione. N.B.: rispetto a ogni altro punto il oento angolare el sistea punto+asta non si consera. R a F Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 9 Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 0 Eserciio III Eserciio IV Dette e le elocità el punto ateriale pria e opo l urto, il oento angolare el punto ateriale pria e opo l urto si scrie rispettiaente e. Il oento i ineria ella sarra rispetto al centro i assa è: I = a = kg = kg Il oento i ineria ella sarra rispetto al punto è, per il teorea i Huygens-Steiner: I = I + a = a + a 4 + a = 3 a + a = = kg = 0.30kg a La conseraione ell energia eccanica e el oento angolare rispetto a si scrie: K = + I E = + I Da cui: = I = I = I + + I = I = I + = I = + I = I + I a Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione

4 Eserciio V Eserciio 3 Sostitueno i alori nuerici: I 0.30 = + I = s = 0 s = 7. s Ricaiao ora la elocità angolare: = = I I + I + I + I Sostitueno i alori nuerici: 0 s = + I = = + I = 7.6s = + I a Un punto ateriale i assa = 3 kg si uoe con elocità, i oulo pari a = 0 /s, aente ireione oriontale e giacente su i un piano erticale. Il punto ateriale urta elasticaente e istantaneaente nel punto ei figura un isco rigio oogeneo i assa pari a = kg e raggio pari a r =, incernierato allo stesso piano erticale nel punto, con =. Deterinare la elocità el punto ateriale inicanola positia se concore alla elocità pria ell urto e negatia in caso contrario e la elocità angolare el isco suito opo l urto. = r C r Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 3 Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 4 Eserciio 3 II Eserciio 3 III Valgono per questo eserciio le stesse consieraioni fatte per l eserciio preceente. Il oento i ineria el isco rispetto al punto è, per il teorea i Huygens-Steiner: I = I + = r + = r + r = 3 4 r = 3 4 kg = = 0.75kg La conseraione ell energia eccanica e el oento angolare rispetto a si scrie coe nell eserciio preceente: K = + I E = + I C r Coe nell eserciio preceente troiao: * I,, = + I, +,, =, + I, - Sostitueno i alori nuerici: I = + I = = + = 0 C r Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 5 Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 6

5 Eserciio 3 IV Eserciio 4 er quanto riguara la elocità angolare: = + I = 0 s = 0s Un punto ateriale i assa = 0 g si uoe, con elocità i oulo pari a = 00 c/s, sena attrito su i un piano oriontale. Il punto urta elasticaente in un asta sottile oogenea, aente assa = + e lunghea l = 0 c, appoggiata sena altri incoli e 000 sena attrito sullo stesso piano oriontale e iniialente in quiete. La elocità el punto ateriale è perpenicolare all asta e il punto i ipatto ista = l 000 all estreità ell asta. C r Troare la elocità el centro i assa ell asta opo l urto, la elocità el punto ateriale opo l urto e la elocità angolare ell asta opo l urto. = 00. l Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 7 Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 8 Eserciio 4 II Eserciio 4 III Il prolea ha 3 incognite. Sono unque necessarie 3 equaioni inipenenti per troarne la soluione. tterreo queste 3 equaioni a 3 iersi principi i conseraione. I ue corpi sono soggetti soltanto alla fora peso e al incolo rappresentato al piano oriontale: tali ue fore si equilirano esattaente. Il oto ei corpi aiene sul piano oriontale. Non ci sono incoli che agiscano sul piano oriontale e che contrastino le fore urto. Esseno nulla la risultante elle fore esterne urante l urto, per la I equaione carinale ella inaica nell urto si consera perciò la quantità i oto: R e = 0 Q i = Q f l ria ell urto l asta è in quiete e unque la quantità i oto totale el sistea forato ai corpi è pari alla quantità i oto el punto ateriale: Q i = Q ip = Dopo l urto la quantità i oto totale el sistea forato ai corpi è pari alla soa ella quantità i oto ell asta la quale, in generale, ruota e trasla e ella quantità i oto el punto. La quantità i oto finale el punto si può scriere coe: Q fp = La quantità i oto finale ell asta si può scriere coe il prootto ella sua assa per la elocità el centro i assa ell asta: Q fa = l Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 9 Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 0

6 Eserciio 4 IV Eserciio 4 V La quantità i oto totale el sistea forato ai corpi opo l urto si può scriere perciò: Q f = Q fp + Q fa = + La conseraione ella quantità i oto iplica che: Q i = Q f = + sseriao che, poiché il punto urta l asta con ireione perpenicolare all asta, le fore urto aranno la stessa ireione ella elocità el punto pria ell urto, unque anche e aranno la stessa ireione ella elocità el punto pria ell urto. l Il oento angolare si consera rispetto a un centro i riuione fisso perché il oento risultante elle fore esterne è nullo per la II equaione carinale ella inaica: K = Q + e e = 0 = 0 K = 0 K cost Tuttaia, se preniao un centro i riuione fisso, risulta coplicato espriere il oento angolare el sistea in particolare il oento angolare ell asta opo l urto rispetto a tale centro i riuione. l Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione Eserciio 4 VI Eserciio 4 VII Il oento angolare si consera pure rispetto a un centro i riuione in oto con elocità parallela alla quantità i oto, in quanto, per la II equaione carinale ella inaica: K = Q + e e = 0 Q Q = 0 K = 0 K cost Ki = K f Dopo l urto, l asta trasla e ruota attorno al proprio centro i assa. Dopo l urto, il centro i assa ell asta si uoe i oto rettilineo unifore con elocità parallela a Q, per quanto aiao isto. l ria ell urto l asta è in quiete e unque il oento angolare totale el sistea forato ai corpi rispetto a è pari al oento angolare el punto ateriale rispetto a. Il oento angolare el punto ateriale rispetto a ha ireione perpenicolare al piano oriontale e ha coe oulo il prootto ella sua assa per la sua elocità per la istana ella sua traiettoria rettilinea a : K i = Kip = l Dopo l urto il oento angolare totale el sistea forato ai corpi rispetto a è pari alla soa el oento angolare ell asta rispetto a la quale, in generale, ruota e trasla e el oento angolare el punto rispetto a. l Dunque si consera il oento angolare el sistea rispetto al centro i assa in oiento ell asta. Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 3 Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 4

7 Eserciio 4 VIII Eserciio 4 IX Il oento angolare finale el punto si può scriere coe: K fp = l Il oento angolare finale ell asta può inece essere scritto coe il prootto ella elocità angolare ell asta per il suo oento i ineria rispetto al suo centro i assa che è anche il suo centro i rotaione: K fa = I Il oento angolare finale totale el sistea forato ai corpi opo l urto si può scriere perciò: K f = K fp + K fa = l + I La conseraione el oento angolare iplica che: K i = K f l = l + I l oiché l urto tra il punto ateriale e l asta è perfettaente elastico, si consera anche l energia eccanica el sistea che è tutta energia cinetica. T i = T f ria ell urto l asta è in quiete e unque l energia eccanica totale el sistea forato ai corpi è pari all energia eccanica el punto ateriale: T i = T ip = Dopo l urto l energia eccanica totale el sistea forato ai corpi è pari alla soa ell energia eccanica ell asta la quale, in generale, ruota e trasla e ell energia eccanica el punto. l Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 5 Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 6 Eserciio 4 X Eserciio 4 XI L energia eccanica finale el punto si può scriere coe: T fp = L energia eccanica finale ell asta si può scriere, inece, utiliano il teorea i König, coe: T fa = + I L energia eccanica finale totale el sistea forato ai corpi opo l urto si può scriere perciò: T f = T fp + T fa = + + I La conseraione ell energia eccanica iplica che: T i = T f = + + I l iao quini un sistea i 3 equaioni algeriche nelle 3 incognite, e : = + l = l + I = + + I Sostitueno i ati el prolea, aiao: = 00 = 0g, = = g + / + + = 5 I = l = l + + = 400gc * - 0. = l = 0c, = l = c, l = 8c = 6 + = 00c s , l Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 7 Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 8

8 Eserciio 4 XII Eserciio 4 XIII Sostitueno le prie ue nella tera: = 5 6 = 5 + = = 6 5 5* 6+, = = * 30+, = * +, - = = c s = 4.75c s = 5 6 = 5 = l tteniao quini i risultati: = 4.7c s = 5 6 = 5 = = 48.5c s 6 = =.7 ra s 5 l Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 9 Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 30 Eserciio 5 Eserciio 5 II Un punto ateriale i assa = 0 g si uoe, con elocità i oulo pari a = 00 c/s, sena attrito su i un piano oriontale. Il punto si conficca in un asta sottile oogenea, aente assa = + e lunghea l = 0 c, appoggiata sena altri incoli e 000 sena attrito sullo stesso piano oriontale e iniialente in quiete, rianenoi attaccato. La elocità el punto ateriale è perpenicolare all asta e il punto i ipatto ista = l 000 all estreità ell asta. Troare la elocità el centro i assa el sistea asta+punto opo l urto e la elocità angolare el sistea asta+punto opo l urto. = 00. l I ue corpi sono soggetti soltanto alla fora peso e al incolo rappresentato al piano oriontale: tali ue fore si equilirano esattaente. Il oto ei corpi aiene sul piano oriontale. Non ci sono incoli che agiscano sul piano oriontale e che contrastino le fore urto. Esseno nulla la risultante elle fore esterne urante l urto, per la I equaione carinale ella inaica nell urto si consera perciò la quantità i oto: Q i = Q f ria ell urto l asta è in quiete e unque la quantità i oto totale el sistea forato ai corpi è pari alla l quantità i oto el punto ateriale: Q i = Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 3 Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 3

9 Eserciio 5 III Eserciio 5 IV Dopo l urto la quantità i oto totale el sistea forato ai corpi è pari alla quantità i oto ell asta con il punto conficcato, la quale, in generale, ruota e trasla. La quantità i oto ell asta con il punto conficcato si può scriere coe il prootto ella sua assa totale la soa ella assa ell asta e ella assa el punto ateriale conficcato per la elocità el centro i assa el sistea asta+punto: Q f = + La conseraione ella quantità i oto iplica che: Q i = Q f = + = + = g = g = = = = c s = 45.45c s 33 Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione l er troare la elocità angolare ell asta con in punto conficcato opo l urto, occorre ricorrere a un altro principio i conseraione. oiché l urto è anelastico l energia non si consera. Il oento angolare si consera rispetto a un centro i riuione fisso perché il oento risultante elle fore esterne è nullo per la II equaione carinale ella inaica: K = Q + e e = 0 = 0 K = 0 K cost Tuttaia, se preniao un centro i riuione fisso, risulta ifficile espriere il oento angolare el sistea opo l urto rispetto a tale centro i riuione. l Eserciio 5 V Eserciio 5 VI Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 34 Il oento angolare si consera pure rispetto a un centro i riuione in oto con elocità parallela alla quantità i oto, in quanto, per la II equaione carinale ella inaica: K = Q + e e = 0 Q Q = K = 0 K cost 0 Dopo l urto, l asta con il punto conficcato trasla e ruota attorno al centro i assa el sistea asta+punto. Dopo l urto, il centro i assa el sistea asta+punto si uoe i oto rettilineo unifore con elocità parallela a Q, in quanto: Q Q f = + Q Q = 0 Il centro i assa ell asta non si uoe inece parallelaente a Q, a escrie una circonferena attorno a. l erciò il oento angolare el sistea rispetto al centro i riuione oile centro i assa ell asta non si consera, entre il oento angolare el sistea rispetto al centro i riuione oile centro i assa el sistea asta+punto si consera. Nell istante in cui aiene l urto e opo l urto il centro i assa el sistea asta+punto,, si troa sull asta. La istana el punto all estreità ell asta si ottiene calcolano il centro i assa tra il punto ateriale e il centro i assa ell asta: = l 000 = l = 0c = c 5 l + g 0c+ 0g c 40 gc h = = = = 6.36c + g+ 0g g l h Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 35 Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 36

10 Eserciio 5 VII Eserciio 5 VIII La istana el punto i ipatto a è perciò: = h = 6.36c c = 4.36c Scegliao quini, coe centro i riuione e scriiao la conseraione el oulo el oento angolare: K i = K f K i = = I = K f = I I er eterinare occorre infine il oento i ineria el sistea asta+punto rispetto a : I = l + l h + = = g 0c + g 0c 6.36c + 0g 4.36c = = gc = 749gc l h Troiao infine: = I = 0 g 00 c s 4.36 c 749 g c = 5.8s l h Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 37 Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 38 Eserciio 6 Eserciio 6 II Una sfera rigia, oogenea, i centro, raggio R e assa, iniialente in quiete, è urtata a un altra sfera rigia, oogenea, i centro B, raggio r e assa, che un attio pria ell urto trasla con una elocità nota. L urto è perfettaente elastico e non c è attrito tra le superfici elle ue sfere. Sia p il rapporto tra il paraetro urto la istana i alla retta passante per B e parallela a suito pria ell urto, ei figura e la soa ei ue raggi: p = R + r Deterinare in funione i p 0 p i ouli V e elle elocità ei ue centri e B suito opo l urto e gli angoli e che tali elocità forano con quella iniiale. B r R V Durante l urto la fora è iretta lungo la congiungente B non c è attrito: Dopo l urto, si uoe lungo la congiungente B. = arcsin R + r = arcsin p Il oento elle fore rispetto a è nullo il oto i opo l urto è traslatorio. Il oento elle fore rispetto a B è nullo il oto i B opo l urto è traslatorio. Le ue sfere possono unque essere trattate coe punti ateriali. oiché le sfere non sono incolate fore esterne B assenti e l urto è elastico, nell urto si consera r energia cinetica e quantità i oto. R V Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 39 Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 40

11 Eserciio 6 III Eserciio 6 IV iao unque: E = + V = + V = cos + V cos cos = Q V cos 0 = sin V sin sin = V sin In altre parole aiao 3 equaioni nelle 3 incognite V, e. Risoleno: cos + sin = + V cos V cos + V sin = + V V p = + V V p + V 0 = V V p + V 0 = V p + V Eserciio 6 V Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione B r R V 4 0 = V p +V V = + p = = 4 + = + = + Eserciio 7 p + 4 p = + p + 4 p + 4p Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione B r R V 4 Infine: cos = V cos sin = tan = V sin V sin = V cos tan = p p p = + + p p p p p = arctan + p sin V cos p p = + p B r R V Un punto ateriale i assa = kg si uoe con elocità, i oulo pari a = 0 /s, aente ireione oriontale e giacente su i un piano erticale. Il punto ateriale si conficca istantaneaente, rianenoi attaccato, nel punto ei figura i una sarra rigia oogenea i assa pari a = kg e lunghea pari a a =, incernierata allo stesso piano erticale nel punto, con = a e = a Deterinare la elocità angolare ella sarra con il punto conficcato suito opo l urto. a Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 43 Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 44

12 Eserciio 7 II Eserciio 8 Si consera soltanto il oento angolare rispetto a : K i = K f = I K i = K f = I = Doe I è il oento i ineria ell asta con il punto attaccato rispetto a, che si ottiene utiliano il teorea i Huygens-Steiner e l aitiità el oento i ineria: I = I + a + = punto a + a asta I + a Un punto ateriale i assa = 3 kg si uoe con elocità, i oulo pari a = 0 /s, aente ireione oriontale e giacente su i un piano erticale. Il punto ateriale si conficca istantaneaente, rianenoi attaccato, nel punto ei figura i un isco rigio oogeneo i assa pari a = kg e raggio pari a r =, incernierato allo stesso piano erticale nel punto, con =. 000 r Deterinare elocità angolare el isco suito opo l urto. C r Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 45 Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 46 Eserciio 8 II Si consera soltanto il oento angolare rispetto a : K i = K f = I K i = K f = I = Doe I è il oento i ineria el isco con il punto attaccato rispetto a, che si ottiene utiliano il teorea i Huygens-Steiner e l aitiità el oento i ineria: I = I r = r r isco punto I C r Doenico alli Dipartiento i Fisica oenico.galli@unio.it Doenico alli Fisica enerale E 8. Esercii sui rincìpi i Conseraione 47