5. Il moto rettilineo uniforme

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1 5. Il oto rettilineo unifore In quale conizone il oto i una particella si ice unifore? i ice che un punto ateriale si uoe i oto unifore quano esso si sposta percorreno spazi uguali in tepi uguali. In un oto unifore pertanto, qualunque sia la lettura i orologio t i alla quale si ecie i far iniziare l interallo t, lo spostaento corrisponente s ha sepre lo stesso alore, una olta che si è fissato t. E se si raoppia l interallo teporale raoppia pure lo spostaento, se lo si triplica o lo si iezza, si triplica o si iezza anche s. In un oto unifore la elocità eia sarà quini la stessa per ogni interallo t quale che sia la lettura orologio t a oe inizia, e coincierà con la elocità istantanea. Dalla efinizione i elocità eia abbiao: s sf s t t t f i i La Controfisica Il filosofo greco Zenone propose un paraosso secono cui una freccia non raggiunge ai il bersaglio, ato che opo aer percorso età el tragitto, ee fare ancora età el rianente, e poi proceeno i età in età le ci orranno infiniti passi. Tuttaia, per fare infiniti passi, non necessariaente occorre un interallo i tepo infinito. e infatti i passi sono sepre più brei, a la elocità è unifore, ognuno urerà la età el preceente, e la soa i pezzi sepre più piccoli prouce un alore finito, cioè quello el tepo totale i percorrenza. Il oto unifore può aere luogo su qualsiasi traiettoria, un caso particolare si ha quano questa è rettilinea, e si ice allora che il oto è rettilineo unifore. Coe possiao seplificare questa notazione per il oto rettilineo unifore? ssuiao che la lettura orologio iniziale sia ti s. Visto che siao lungo una retta, inichiao sepliceente con, anziché con s f, la posizione a un generico istante successio, e inichiao con t anziché t f le successie letture orologio. ia inoltre la posizione iniziale. bbiao allora: t Da tale espressione possiao ricaare una relazione che esprie la posizione in funzione el tepo t trascorso a partire all istante iniziale ( t) t Una relazione che esprie una granezza fisica in funzione el tepo si ice legge oraria. Quella sopra è pertanto la legge oraria ello spostaento per il oto rettilineo unifore: essa fornisce la posizione el punto ateriale lungo la retta a ogni lettura orologio t. u i una traiettoria cura scriereo analogaente s( t) s t. Esepio 3 Un ciclista si troa su i una straa rettilinea a erso il centro el paese, che ista una elocità istantanea costante i 5 a casa sua e procee 8 alla sua posizione, pealano a 4. /s. Quanto ista a casa quano è 8./s 4./s

2 trascorso un inuto? Quanto tepo opo giunge a estinazione? e conteporaneaente parte anche la oglie el ciclista alla loro casa sepre erso il centro el paese, pealano a una elocità costante i 8. /s, opo quanti seconi lo arà raggiunto? quale istanza a casa si incontrano? Contrassegniao il ciclista con 1 e la oglie con 2. criiao la legge oraria per la posizione el ciclista: ( t) t 5 4.t 1 Troiao la sua posizione opo 6. s sepliceente sostitueno questo alore el tepo: (6. s ) ( ) 74 1 Iponiao che la sua posizione sia 13 e ricaiao il tepo che gli occorre per arriare: t t 2 s 4. criiao la legge oraria per la posizione ella oglie, per la quale risulta. ( t) t 8.t 2 Nell istante in cui la oglie raggiunge il ciclista le loro posizioni sono uguali, cioè 1( t) 2( t). Iponiao tale conizione per troare il tepo incontro e risoliao rispetto a t : 5 1( t) 2( t) 5 4.t 8.t t s 125 s er aere la loro istanza a casa scegliao una elle ue leggi orarie e inseriao il alore troato, che errà uguale nei ue casi, coe abbiao iposto: 1(125 s ) ( ) 1 2(125) (8.125) 1 1 /s.?.k y 13./s U 7. /s? 3 /s 15k 6k Esepio 31 iulia e tefano eciono i fare una gara con i otorini. tefano si uoe con una elocità costante 1 /s entre iulia con una elocità costante i 7. /s. Dato che il otorino i tefano è più eloce, egli ecie i are a iulia un antaggio parteno 5. s opo i lei. Ce la farà tefano a superare iulia pria i aer percorso 1? Quanti seconi gli occorrono per raggiungerla? [R: no; 12 s ] Esepio 32 Un autoobile parte a Roa erso lessanria con una elocità costante e conteporaneaente un altra parte a lessanria erso Roa con elocità costante. i sa che opo 5 in la pria ista a Roa 9. k e che opo 67 in la secona ista a lessanria 11 k. ssueno che la istanza Roa-lessanria sia 6 k, opo quanto tepo la istanza fra le ue auto è i 15 k? Risolere utilizzano ore e chiloetri con tre cifre significatie. [R: 2.18 h ] Esepio 33 Un cacciatore prene i ira erticalente un uccello che si uoe con elocità costante 13. /s olano all altezza i upponeno che U 22

3 i pallini salgano con una elocità costante 3 /s, calcolare i quanti etri l uccello ee istare alla erticale al oento ello sparo. Esepio 34 Due corriori partono in irezioni perpenicolari [R: 1.37 ] con elocità costanti 5. /s e 7. /s. Dire quanti seconi occorrono affinché la loro istanza sia 1. [R: 1.9 s ] Esepio 35 Un treno lungo attraersa copletaente una stazione lunga 5 in un tepo i 2 s. apeno che gli occorrono 5. s per passare il seaforo, si troino il alore i e la elocità el treno. uggeriento: si scria la legge oraria ella punta el treno. [R: 167 ; 33.3 /s ] Esepio 36 Due treni lunghi 15, che arciano in senso opposto, ipiegano 15 s per attraersarsi. apeno che la elocità el secono è oppia i quella el prio, calcolarle entrabe. [R: 2 /s ] Esepio 37 Due treni, e, entrabi lunghi, che arciano nello stesso senso, ipiegano 3 s per attraersarsi. apeno che ha una elocità i 25 /s e che iaggia aanti a esso con una elocità pari a 1/ 3 i questo alore, si ica quanto sono lunghi i treni. [R: 25 ] Qual è il significato grafico ella elocità nel oto unifore? Coe sappiao la elocità eia in questo caso coincie con la elocità istantanea. La legge oraria ello spostaento per il oto rettilineo unifore, t, riportata in un iagraa cartesiano posizione-tepo, con la coorinata i posizione sulle orinate e il tepo t sulle ascisse, è rappresentata a una retta. Infatti la retta è il solo luogo i punti oe sia costante il rapporto / t. La costanza i questi rapporti iplica infatti che tutti i triangoli rettangoli i base t e altezza ebbano essere siile, e quini che l angolo fra l ipotenusa e il cateto orizzontale sia sepre lo stesso, cosa che aiene solo se tutte le ipotenuse sono segenti staccati sulla eesia retta. Quano il punto si allontana erso le ascisse positie si ha / t e la retta ha una penenza positia, cioè al crescere ella ariabile t cresce la ariabile, iceersa se / t il punto si allontana erso le ascisse negatie e la retta si ice che ha penenza negatia. posizione t tepo t t Esercizi sull interpretazione grafica 23

4 1 /s.? 7. /s Esepio 31 er poter confrontare le ue posizioni ebbo utilizzare lo stesso istante iniziale, che sarà quello in cui parte tefano. Doreo allora scriere ue olte la legge oraria per iulia, la pria olta solo per calcolare lo spazio percorso urante il tepo i antaggio, facenola partire a. : ( t) t 7.t t 5. s (5.) La secona olta iniziao a contare i seconi all istante in cui parte tefano, e ora la posizione iniziale i iulia è 3.5 : ( t) t 35 7.t criiao quini la legge oraria i tefano: ( t ) t 1 t I ue aici s incontrano quano ( t) ( t) : 35 ( t) ( t) 1t 35 7.t t 12 s 1 7. quini tefano raggiunge iulia opo 5. s 12 s 17 s. Nella urata i 12 s tefano ha percorso: (12) quini raggiunge iulia opo i 1..k y 15k 6k Esepio 32 Calcoliao il alore elle elocità elle ue auto in k/h : 5 in (5/ 6) h.833 h 67 in (67 / 6) h 1.12 h : 9. k 9. k 18 k/h 5 in.833 h 11 k 11 k 98.2 k/h 67 in 1.12 h criiao la legge oraria ella ue auto, teneno conto che la elocità istantanea i è negatia poiché si uoe contro il erso scelto coe positio: ( t ) t 18 t ( t) t t Iponiao che la istanza fra i loro sia ( t) ( t) t 18t 6 26t ( t) ( t) 15 k : k 26t 15 k t h 2.18 h /s U? 3 /s Esepio 33 criiao la legge oraria el proiettile, aoperano la y coe si fa per i oti erticali e assueno che parta a terra, oe y. : y( t) y t 3t Iponeno che la quota sia 31.5 si troa il tepo che occorre al proiettile per raggiungere l altezza ell uccello: 31.5 y( t) 3t 31.5 t s.15 s 3 42

5 criiao ora la legge oraria ell uccello assueno che sia nell istante in cui parte lo sparo: ( t) t 13.t. ostitueno al posto el tepo il alore.15 s troato sopra si troa lo spazio che l uccello percorre al oento in cui parte lo sparo: (.15) e questa è proprio la istanza alla erticale alla quale ee stare l aniale nel oento in cui parte il colpo se si uole fare centro. Esepio 34 criiao le leggi orarie preneno le rette i riferiento in oo che partono entrabi a posizioni iniziali nulle: ( t ) t 5. t ( t ) t 7. t la loro istanza si calcola attraerso il teorea i itagora: t 2 7.t 2 84t 2 Iponeno che sia 1 e scartano la soluzione che prouce un tepo negatio, in questo caso prio i significato fisico, si ha: t 1 t 84 s t 1.9 s Esepio 35 2 criiao la legge oraria ella punta el treno, assueno i iniziare a contare i seconi nell istante in cui inizia a passare aanti al seaforo, oe ettiao la posizione. : ( t) t t Quano tutto il treno ha attraersato il seaforo la sua punta si troa nella posizione (5. s), a cui sostitueno si troa: (5. s ) 5. s 5. s Ripetiao il ragionaento poneno ora la posizione. all istante. s proprio oe inizia la stazione. Quano l arà oltrepassata tutta la sua punta sarà nella posizione (2 s) 5. Iponiao questa conizione nella legge oraria: ( t) t t (2 s ) 2 s 5 a abbiao già troato che / 5. s. ostitueno otteniao: (2 s ) 2 s s s (2/ 5.) 1 entre per la elocità: (167 / 5.) /s 33.3 /s Esepio 36 Inichiao con e i alori assoluti elle elocità ei ue treni. criiao la legge oraria ella coa el treno e quella ella coa el treno : ( t ) t t

6 . 3 (15 s) (15 s). 2 (3 s) (3 s) ( t) t 3 t 3 t 3 2 t Coe si ee alla figura (isione all alto), trascorsi i treni per attraersarsi, si ha (15 s) (15 s) : 15 s che occorrono ai 3 (15) (15) /s 2 /s 15 Esepio 37 Inichiao con e i alori assoluti elle elocità ei ue treni. criiao la legge oraria ella coa el treno e ella punta el treno iniziano a contare i tepi all istante in cui inizia a attraersare e poneno la posizione iniziale i coe riferiento: ( t) t t 25t 25 3 ( t) t 2 t 2 t Coe si ee alla figura(isione all alto), trascorsi i treni per attraersarsi, si ha (3 s) (3 s) : 3 s che occorrono ai (3) (3)