Determinazione del momento d inerzia di un pendolo (23 febbraio 2005)

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Erica Marchi
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Deterinazione el oento inerzia i un penolo (3 febbraio 005) Consieriao un corpo esteso (vei figura seguente) che possa ruotare attorno a un asse fisso passante per il punto i sospensione PS; si

1 Deterinazione el oento inerzia i un penolo (3 febbraio 005) Consieriao un corpo esteso (vei figura seguente) che possa ruotare attorno a un asse fisso passante per il punto i sospensione PS; si iagini tale asse perpenicolare al foglio. Possiao consierare corpi anche i fora irregolare e con ensità variabile a punto a punto. Sia la assa el corpo e la posizione el centro i assa, introuciao il vettore r, istanza tra PS e, il vettore p, peso el corpo e l angolo θ efinito alla irezione ei ue vettori. Scelto coe polo PS, possiao scrivere la secona equazione carinale ella eccanica, che escrive il oto el nostro corpo (sia il oento elle forze esterne che il oento ella quantità ω i oto sono calcolati rispetto a questo polo): rp sin θ = I, ove ω è la velocità angolare ell oscillazione e I è il oento inerzia el corpo rispetto all asse passante per PS. Ricoriao che la velocità angolare è la erivata ell angolo rispetto al tepo, esplicitiao p coe prootto i assa e accelerazione i gravità g e iviiao entrabi i ebri per I. Otteniao: θ rg = sinθ. Il segno eno eriva al fatto che, counque si scelga il verso i θ, il verso el t I oento ha segno opposto. Notiao che il fattore che oltiplica sin θ a secono ebro, ha le iensioni el quarato i una frequenza (o eglio, pulsazione), enotiaolo quini con rg Ω =. Coe usuale, consieriao oscillazioni i piccola apiezza, per cui sia possibile I confonere il seno i un angolo con l angolo stesso, otteneno infine: t t θ = Ω θ, che è la nota equazione el oto aronico. Presentereo ue etoi i isura, entrabi iniretti, el oento.

2 Misura el oento inerzia. I etoo. Partiao alla relazione che lega Ω e il perioo i oscillazione T: T = π e risolviao per il Ω oento inerzia: T I = gr. Questa relazione ci perette i eterinare I parteno a tre 4π quantità isurabili: T,, r. Il valore i g si suppone invece noto (a esepio a isure preceenti). In pratica usereo coe corpo esteso un penolo i Kater. Esso è costituito (vei figura seguente) a una sbarra su cui sono ontate ue asse a fora i isco che possono scorrere lungo la sbarra e a ue coltelli che fungono a punti i sospensione. Nel nostro esperiento verrà utilizzato uno solo ei ue coltelli per sospenere il penolo, entre l altro riarrà inutilizzato. Una elle ue asse sarà consierata coe fissa e la sua posizione riarrà sepre la stessa. L altra assa verrà invece spostata: in pratica per ogni posizione ella assa obile otteniao un iverso corpo esteso con un iverso valore el oento inerzia rispetto all asse i sospensione. Questo ci peretterà i stuiare coe varia il oento inerzia el corpo in funzione ella posizione ella assa obile. Chiaiao la istanza el centro el isco obile al punto i sospensione. Sia T che r sono g funzioni i, entre è inipenente a essa. Possiao quini scrivere: I( ) = T ( ) r( ). 4 π sarà isurata una volta per tutte con una bilancia; T e r i volta in volta al cabiare i (T con un cronoetro, r con un etro). L accelerazione i gravità g sarà invece consierata nota e pari a 9.81 /s. La posizione r el centro i assa el penolo si trova coe segue: si pone la sbarra el penolo su i un tonino e la si sposta fino a raggiungere l equilibrio (instabile) con la sbarra in posizione orizzontale. Con un pennarello si segna il punto i contatto tra la sbarra e il tonino e si isura la sua istanza al punto i sospensione. La posizione el centro el isco obile si

3 ottiene coe segue: si isura con un etro la istanza tra il punto i sospensione e il boro più vicino el isco (anche qui risulta cooo segnare questa posizione con il pennarello), e le si soa età el iaetro el isco, isurata con un calibro. Si proceerà quini al riepiento i una tabella el tipo seguente: T r I In realtà non servirebbe isurare per eterinare I, a è preferibile farlo, perché questo ci perette i confrontare le isure con quelle ottenute con il secono etoo e avere così una confera inipenente ella loro bontà. Riportiao un grafico i alcune isure effettuate: Deterinazione ell errore Usiao la forula ell errore relativo assio: ε ( I ) ε ( ) ε ( T ) ε ( r) I + Dati i valori elle granezze in gioco e le stie egli errori elle granezze isurate irettaente, otteniao per l errore relativo sul oento inerzia un valore inferiore al %. Questo corrispone sul grafico a una ifferenza i valori inore o uguale alle iensioni el quaratino che rappresenta i ati. T + r

4 Misura el oento inerzia. II etoo. In questo etoo si parte alla efinizione el oento inerzia. Per un corpo coposto coe il penolo si fa la soa ei oenti ella sbarra e ei ue ischi calcolati rispetto all asse i rotazione. Nel far questo obbiao ricorare il teorea i Steiner che perette i eterinare il oento inerzia rispetto a un asse non baricentrico, purché sia noto il oento rispetto all asse baricentrico parallelo al prio asse, la istanza tra i ue assi e la assa el corpo: I( ) = I +. Detta s la istanza tra il punto i sospensione e il centro i assa ella sbarra (non el penolo) e s la assa ella sbarra, avreo: I ( s ) = I + s s. Siilente per il isco ( f ) ( f ) ( ) ( ) fisso e il isco obile otteniao: I ( f ) = I + f f e I ( ) = I + rispettivaente, con significato corrisponente ei siboli. Di nuovo è il centro i assa ei ischi, e non el penolo, che stiao consierano. Si noti che =. In pria approssiazione supporreo trascurabili i oenti i inerzia ei ischi rispetto al baricentro, riservanoci i 1 iostrarlo in un secono oento. Detta L s la lunghezza ella sbarra, è noto che I = s Ls. 1 Le asse ei ue ischi non possono essere isurate senza sontare il penolo, a il loro valore è stato isurato una volta per tutte e ipresso sui ischi stessi pria el ontaggio, si suppone quini noto il loro valore (pari a 0.76 kg per entrabi). E allora sufficiente isurare la lunghezza ella sbarra e la sua assa (per ifferenza tra la assa totale el penolo e le asse ei ischi) e le istanze ei centri ella sbarra e ei ischi al punto i sospensione. In efinitiva otteniao: 1 I tot ( ) = I + s s + f f + = s Ls + s s + f f + 1 I tot ( ) A + B ovvero = ove A e B sono ue costanti caratteristiche el penolo. Ci aspettiao unque che il oento inerzia sia una funzione quaratica ella istanza. Riportiao un grafico i alcune isure effettuate con il secono etoo:

5 Possiao a questo punto paragonare sullo stesso grafico i valori el oento inerzia calcolati g con la forula I( ) = T ( ) r( ), con quelli calcolati con la forula I ( ) = A + B : 4 π Notiao che l accoro fra i ue etoi è olto buono. Il secono etoo parte anche a quantità isurabili: le asse e le iensioni geoetriche elle parti che copongono il penolo, a ipotizza inoltre che questi corpi siano oogenei, perché è solo sotto questa ipotesi che è possibile calcolare i oenti inerzia nel oo seplice che abbiao seguito. Il prio etoo invece usa quantità isurabili (T,, r) senza fare ulteriori ipotesi sulla struttura el corpo e quini risulta i applicabilità più generale. Per intenerci il prio etoo è applicabile anche a un corpo i fora coplessa coe quello rappresentato nella pria figura, entre, in questo caso, sarebbe praticaente ipossibile (o counque assai ifficile) usare il secono etoo. Nota sull approssiazione fatta Giustifichiao ora l approssiazione fatta nel calcolo el oento inerzia. Abbiao trascurato il oento inerzia ei ue ischi rispetto al proprio baricentro, che in pria approssiazione, 1 possiao espriere coe: R ove R è il raggio ei ischi; questo oento va confrontato con quello calcolato preceenteente (la costante A). Teneno conto ei valori ei paraetri el penolo che stiao usano, il rapporto tra il oento inerzia ei ue ischi e la costante A è ell orine ello 0.%. Anche un calcolo più ettagliato, che tenga conto el fatto che il isco è forato per poter scorrere lungo l asta, non cabia sostanzialente la conclusione.

6 Posizione el centro i assa el penolo Scriviao l espressione el centro i assa el penolo: r = s s + f f + = C + D (ove, ricoriao, è la assa totale). Questa equazione ci ice che r ipene linearente a ; esainiao il grafico i tale funzione: Nel grafico è stato riportato anche l anaento i in funzione i, che ovviaente, è la retta passante per l origine i coefficiente angolare uguale a 1. Questo è stato fatto per evienziare che r ipene a con un coefficiente angolare inore i 1, infatti esso vale D =, coe si ricava all equazione preceente. E possibile, attraverso una proceura i fit, estrarre i valori igliori ei paraetri C e D ella retta. Otteniao in tal oo per il coefficiente angolare un valore i Questo paraetro è iportante perché ci perette una verifica inipenente el valore noinale ella assa el isco obile. Dalla efinizione i D ricaviao infatti: = D = kg, cioè un valore che ifferisce a quello noinale (pari a 0.76 kg). Tale ifferenza è però abbastanza piccola (circa lo 0.7%) a non cabiare sostanzialente i valori el oento inerzia che abbiao calcolato col secono etoo.

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