L[λ, q(λ), q(λ)] dλ (1.1)

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1 METODI VARIAZIONALI Dispense per il corso i Meccanica Razionale 2 i Stefano Siboni 1. Il calcolo elle variazioni 1.1 Il problema variazionale Sull insieme elle funzioni q : λ [λ 1,λ 2 ] q(λ R n i classe C 2 nell intervallo [λ 1,λ 2 ] R si consieri il funzionale efinito a L(q = λ 2 λ 1 L[λ, q(λ, q(λ] λ (1.1 ove q = q/λ e L è una funzione C 2 elle variabili λ R, (1 q A =int(a R n e q R n. In generale, si parla i funzionale in riferimento a una applicazione che a ogni funzione i una certa famiglia fa corrisponere un numero reale. Il problema fonamentale el calcolo elle variazioni consiste nell iniviuare la funzione q(λ conivalori al contorno assegnati q(λ 1 =q (1 A q(λ 2 =q (2 A (1.2 in moo che il funzionale L(q assumaunvalore estremo minimo o massimo. A questo scopo si introuce il concetto i prima variazione el funzionale. 1.2 Prima variazione Dato il funzionale (1.1 si supponga i variare la funzione q(λ aestremi fissi, cioè i sostituire a q(λ lafunzione variata q(λ+δq(λ q(λ q(λ +δq(λ ove δq(λ è una qualsiasi funzione C 2 nell intervallo [λ 1,λ 2 ]nullaagliestremielproprio ominio i efinizione δq(λ 1 =δq(λ 2 =0. Beninteso, il moulo i δq(λ ovràrisultareabbastanza piccolo a assicurare che la curva variata sia contenuta nell aperto A q(λ+δq(λ A λ [λ 1,λ 2 ]. Tipicamente la variazione i q(λ vieneespressa nella forma δq(λ =αη(λ (1.3 con α costante reale arbitraria e η(λ iclasse C 2 in [λ 1,λ 2 ], nulla agli estremi ello stesso intervallo. Il valore assunto al funzionale (1.1 in corrisponenza ella funzione variata risulta perciò L(q + αη = λ 2 λ 1 L[λ, q(λ+αη(λ, q(λ+α η(λ] λ (1 in luogo i R si può consierare un intervallo aperto che inclua [λ1,λ 2 ]. Stefano Siboni 1

2 eperogni q(λ eη(λ assegnate si può intenere come una funzione reale ella variabile reale α. Qualora q(λ costituisca un estremo el funzionale, ovrà necessariamente risultare L(q + αη α =0 α=0 eve cioè annullarsi la variazione prima el fuzionale in q(λ efinita a δl(q, δq =α L(q + αη α. (1.4 α=0 La erivata rispetto a α si può portaresotto integrale e porge L(q + αη α = α=0 = = α λ 2 λ 1 λ 2 λ 1 L[λ, q(λ+αη(λ, q(λ+α η(λ] λ = α=0 L[λ, q(λ +αη(λ, q(λ+α η(λ] α λ = α=0 i=1 λ 2 λ 1 [ L [λ, q(λ, q(λ]η i (λ+ L ] [λ, q(λ, q(λ] η i (λ q i q i Integrano per parti il secono termine e raccoglieno il fattore comune η i si ottiene λ. L(q + αη α = α=0 i=1 [ L q i η i (λ ] λ2 λ 1 + i=1 λ 2 λ 1 [ L ( L ] η i (λ λ q i λ q i espressione nella quale la variazione δq(λ iq(λ ènulla agli estremi i integrazione, per cui iltermine estratto all integrale risulta ienticamente nullo L(q + αη α = α=0 i=1 λ 2 λ 1 [ L ( L ] η i (λ λ q i λ q i elaprima variazione el funzionale (1.1 assume la forma δl(q, δq = λ 2 λ 1 i=1 [ L ( L ] δq i (λ λ. (1.5 q i λ q i Stefano Siboni 2

3 1.3 Osservazione. Definizione generale i variazione Agli stessi risultati si perviene, in moo el tutto equivalente, aottano una efinizione più generale i variazione ella funzione q(λ. Non è infatti inispensabile assumere che la variazione i q(λ ebba essere lineare in α, secono la (1.3. Si consieri una qualsiasi funzione u(α, λ iclasse C 2 in (α, λ [ ε, ε] [λ 1,λ 2 ]perε>0assegnato, a valori in R n etaleche u(0,λ=0 λ [λ 1,λ 2 ], con l ulteriore conizione i annullamento agli estremi u(α, λ 1 =u(α, λ 2 =0 α [ ε, ε]. Le relazioni ricavate in preceenza rimangono valie a patto i porre, come èeviente, δq(λ = u (α, λ α λ [λ 1,λ 2 ]. α=0 La δq(λ così efinita può essereunaqualsiasi funzione C 2 in [λ 1,λ 2 ] nulla agli estremi λ 1 e λ 2. Si noti che applicano questa efinizione generale a variazioni el tipo (1.3 si ottiene δq(λ =η(λ λ [λ 1,λ 2 ] per cui nella nuova efinizione: (i δq(λ ifferisce alla (1.3 per la soppressione el fattore α; (ii comunque αδq(λ noncoincie, in generale, con la variazione u(α, λ; (iii la stessa soppressione el fattore α si riflette anche nella efinizione (1.5 per la variazione δl(q, δq elfunzionale L(q. In effetti, nel calcolo elle variazioni la quantità rilevante èlaerivata u/ α(0,λ, mentre il fattore α eventualmente introotto non gioca alcun ruolo se non quello i riscalare le variazioni intorno a valori prossimi a zero. Veneno generalmente meno l ientificazione fra δq(λ evariazioneu(α, λ, l inessenziale fattore α può essere tranquillamente ignorato. 1.4 Conizione i stazionarità elfunzionale In forza el risultato preceente la conizione i stazionarietà el funzionale si scrive i=1 λ 2 λ 1 [ L ( L ] δq i (λ λ =0 (1.6 q i λ q i per qualsiasi variazione δq(λ iclassec 2 in [λ 1,λ 2 ]enullaagliestremi. Siverifica agevolmente che questa conizione èequivalente alle equazioni ieulero-lagrange ( L L =0 i =1,...,n. (1.7 λ q i q i Stefano Siboni 3

4 L equivalenza va intesanelsensocheseq(λ rene stazionario il funzionale (1.1 allora eve anche risolvere le equazioni (1.7 con le assegnate conizioni al contorno (1.2, e viceversa. Nulla può affermarsi, in generale, circa l esistenza e l unicità ella soluzione ell uno o ell altro ei ue problemi; si ricora, in particolare, che per il problema a valori al contorno o i Sturm-Liouville i teoremi i esistenza e unicità sonoecisamente non banali persino nel caso i equazioni ifferenziali lineari. La sufficienza elle equazioni (1.7 per la valiitàelle (1.6 èeviente. La necessitàsiprovaperassuro, ammetteno che esista un λ [λ 1,λ 2 ]talecheuna elle funzioni entro parentesi quare in (1.6 sia iverso a zero. Per fissare le iee, si assuma a esempio che [ ( L L ] (λ > 0 (1.8 λ q 1 q 1 per λ (λ 1,λ 2. Per continuità esisterà unintorno(λ ε, λ + ε [λ 1,λ 2 ], per ε>0 opportuno, in cui la funzione si mantiene strettamente positiva. Se si sceglie allora la funzione δq 1 ella forma δq 1 (λ = (λ λ + ε 3 (λ + ε λ 3 se λ (λ ε, λ + ε 0 per λ [λ 1,λ 2 ] \ (λ ε, λ + ε esiponenelcontempo δq i =0 i =2,...,n in moo a cancellare ienticamente tutti gli n 1integralisuccessivi al primo nella (1.6, si perviene alla conclusione λ 2 λ 1 [ L ( L ] δq 1 λ + q 1 λ q 1 = i=2 λ 2 λ 1 λ +ε λ ε [ L ( L ] δq i λ = q i λ q i [ L ( L ] δq 1 λ < 0 q 1 λ q 1 che èpalesemente contraittoria inquantolefunzioni δq i, i =1,...,n assegnate hanno tutte le proprietàiregolaritàprescritte per la valiitàella (1.6 sono C 2 nell intervallo [λ 1,λ 2 ]esi annullano agli estremi. A un analogo risultato si perviene nell ipotesi che in (1.8 valga la iseguaglianza opposta, oppure λ sia un estremo ell intervallo [λ 1,λ 2 ], o ancora che la relazione sia verificata per una qualsiasi elle altre funzioni ( L L λ q i q i i =2,...,n. La stazionarietà el funzionale L(q, e quini l annullarsi ella prima variazione (1.5, è conizione necessaria ma in generale non sufficiente per l esistenza i un estremo. Stefano Siboni 4

5 1.5 Integrale i Beltrami Puòarsiilcaso che la lagrangiana formale el funzionale (1.1 non ipena esplicitamente alla funzione q 1 (λ. La conizione i stazionarietà el funzionale conuce allora alle equazioni i Eulero-Lagrange (1.7, la prima elle quali si scrive ( L =0 λ q 1 e implica che lungo tutte le sue soluzioni si mantenga costante l espressione entro parentesi p 1 (λ, q, q = L q 1 (λ, q, q. (1.9 La (1.9 efinisce pertanto un integrale primo elle equazioni i Eulero-Lagrange, noto come integrale i Beltrami.Analogo risultato vale qualora la lagrangiana sia inipenente a qualche altra elle funzioni q i (λ, i = 2,...,n. Si osservi che qualora la variabile inipenente λ abbia il significato fisico i un tempo e L sia interpretabile come la lagrangiana i un sistema olonomo a vincoli ieali, la variabile q 1 in (1.9 è l equivalente i una variabile ciclicaoignorabile, mentre l integrale i Beltrami si ientifica con l usuale integrale i Poisson. 1.6 Integrale i Jacobi Un ulteriore integrale primo elle equazioni i Eulero-Lagrange ricorre quano la lagrangiana L non ipene esplicitamente alla variabile inipenente λ: L = L(q, q. Moltiplicano membro a membro le (1.7 per la erivata q i corrisponente si ottiene infatti ( L q i L q i =0 i =1,...,n λ q i q i ossia, manipolano un poco l espressione ella erivata totale in λ, ( L q i L q i L q i =0 i =1,...,n λ q i q i q i esommano sull inice i =1,...,n: ( n L ( n L q i q i + λ q i=1 i q i=1 i in moo che basta fare uso ell ientità generale i=1 L q i q i =0, n L(λ, q, q = λ i=1 L q i q i + i=1 L q i + L q i λ Stefano Siboni 5

6 per ottenere l equazione ( L + λ i=1 L q i + L q i λ =0. Qualora la lagrangiana non ipena esplicitamente a λ, siconclue che L/ λ =0eche la funzione L J(q, q = L + q i (1.10 q i efinisce un integrale primo per le equazioni i Eulero-Lagrange. Detta funzione (1.10 è nota come integrale i Jacobi ecostituisce l esatto analogo ell energia meccanica generalizzata (1 ei sistemi olonomi a vincoli ieali con lagrangiana inipenente al tempo. 1.7 Estremo i un funzionale con vincoli i tipo funzionale Si hanno casi i interesse in cui el funzionale (1.1 si eve eterminare un punto stazionario q(λ, λ [λ 1,λ 2 ], a estremi fissi, suborinatamente a m vincoli el tipo λ2 i=1 λ 1 F k [λ, q(λ, q(λ] λ = L k k =1,...,m (1.11 ove L 1,...,L m sono costanti reali assegnate e le F 1,...,F m funzioni C 2 i (λ, q, q R A R n. Le variazioni δq(λ non soggiaciono quini alle sole conizioni i regolarità eiannullamento agli estremi i integrazione, ma evono anche essere scelte in moo a soisfare gli ulteriori vincoli (1.11 λ2 λ 1 F k [λ, q(λ+δq(λ, q(λ+δ q(λ] λ = L k k =1,...,m. Problemi variazionali i questo tipo vengono convenzionalmente inicati come problemi isoperimetrici in quanto, storicamente, il primo problema variazionale con una conizione ella forma (1.11 a essere stuiato fu quello ella eterminazione ella curva piana chiusa i lunghezza assegnata che racchiua la superficie i area massima la circonferenza. Per stabilire la conizione i stazionarietà elfunzionale (1.1 sotto i vincoli (1.11 si renono necessarie alcune nozioni preliminari Definizione. Funzioni linearmente inipenenti in un intervallo reale Le funzioni f 1 (λ,...,f m (λ, continue e efinite nell intervallo [λ 1,λ 2 ]siiconolinearmente inipenenti in tale intervallo se l equazione m c k f k (λ =0 λ [λ 1,λ 2 ], (1.12 k=1 (1 altrimenti nota, non a caso, con la stessa enominazione i integrale ijacobi Stefano Siboni 6

7 per c 1,...,c m costanti reali assegnate, implica c k =0 k =1,...,m Lemma (caratterizzazione elle funzioni linearmente inipenenti Le funzioni continue f 1 (λ,...,f m (λ sono linearmente inipenenti nell intervallo [λ 1,λ 2 ] se e soltanto se esistono m punti istinti ξ 1,...,ξ m [λ 1,λ 2 ]taliche f 1 (ξ 1 f 1 (ξ 2... f 1 (ξ m et (1.13 f m (ξ 1 f m (ξ 2... f m (ξ m Dimostrazione La sufficienza ella conizione èimmeiata: per qualsiasi insieme i punti ξ 1,...,ξ m [λ 1,λ 2 ], alla combinazione lineare (1.12 segue il sistema i equazioni lineari omogenee f 1 (ξ 1... f 1 (ξ m c =... f m (ξ 1... f m (ξ m c m 0 che se ipunti soisfano la (1.13 ammette (c 1,...,c m =(0,...,0 come unica soluzione. Per la necessità ella conizione si procee imostrano per inuzione che se f 1 (ξ 1... f 1 (ξ m et =0 ξ 1,...,ξ m [λ 1,λ 2 ], (1.14 f m (ξ 1... f m (ξ m allora le funzioni f 1 (λ,...,f m (λ sonolinearmente ipenenti in [λ 1,λ 2 ]. Per una singola funzione f 1 (λ laconizione f 1 (ξ 1 =0 ξ 1 [λ 1,λ 2 ] significa semplicemente che f 1 (λ èienticamente nulla nell intervallo i efinizione e implica pertanto che c 1 f 1 (λ =c 1 0=0 λ [λ 1,λ 2 ] qualunque sia la costante c 1 R, inparticolareper qualsiasi c 1 0;lafunzione f 1 (λ è unque linearmente ipenente. Si supponga poi che l asserto sia verificato per un sistema i m funzioni: se la conizione (1.14 èsoisfatta allora le funzioni f 1 (λ,...,f m (λ risultano linearmente ipenenti. Si consieri allora il sistema i m +1 funzioni f 1 (λ,..., f m λ, f m+1 (λ, continue in [λ 1,λ 2 ], e si assuma che et f 1 (ξ 1... f 1 (ξ m f 1 (ξ m f m (ξ 1... f m (ξ m f m (ξ m+1 f m+1 (ξ 1... f m+1 (ξ m f m+1 (ξ m+1 =0 ξ 1,...,ξ m,ξ m+1 [λ 1,λ 2 ]. Stefano Siboni 7

8 Il teorema i Laplace applicato rispetto all ultima riga porge m+1 k=1 c k (ξ 1,...,ξ m f k (ξ m+1 =0 ξ 1,...,ξ m,ξ m+1 [λ 1,λ 2 ] (1.15 ove si èinicato con c k (ξ 1,...,ξ m l aggiunto classico ell elemento i matrice f k (ξ m+1. Vale, in particolare, f 1 (ξ 1... f 1 (ξ m c m+1 (ξ 1,...,ξ m =et f m (ξ 1... f m (ξ m Se esiste un insieme i valori ξ 1,...,ξ m [λ 1,λ 2 ] tale che c m+1 (ξ 1,...,ξ m 0, allora la relazione (1.15 efinisce ξ m+1 [λ 1,λ 2 ] una combinazione lineare elle funzioni f 1 (ξ m+1,...,f m+1 (ξ m+1 ienticamentenulla e con un coefficiente non nullo: le funzioni risultano perciò linearmente ipenenti. Qualora fosse, all opposto, c m+1 (ξ 1,...,ξ m =0 ξ 1,...,ξ m [λ 1,λ 2 ], le funzioni f 1 (λ,...,f m (λ sonolinearmente ipenenti per via ell ipotesi i inuzione; i conseguenza, linearmente ipenente risulta anche il più ampio sistema f 1 (λ,...,f m (λ,f m+1 (λ Lemma (generatrice elle funzioni test La funzione efinita a ρ(λ = 1 N(s (λ +1s (1 λ s λ [ 1, 1] 0 λ R \ [ 1, 1] per s 3interoassegnato e N(s > 0fattore i normalizzazione opportuno, goe elle seguenti proprietà: (i ρ(λ è C s 1 in R; (ii il supporto i ρ(λ siientifica con l intervallo [ 1, +1]; (iii la funzione èstrettamente positiva nell intervallo aperto ( 1, 1, nulla altrove; (iv ρ(λ risultaintegrabile in R e, posto N(s = +1 1 (λ +1 s (1 λ s λ =2 soisfa la conizione inormalizzazione R s r=1 ρ(λ λ =1. 2r 2r +1, Stefano Siboni 8

9 Dimostrazione Tutte le proprietà elencate sono ovvie. Conviene soltanto ricorare che il fattore i normalizzazione N(s si calcola introuceno il cambiamento i variabile λ = sinθ, θ [ π/2,π/2], e faceno uso ella relazione i ricorrenza N(0 = 2, N(s =2sN(s 1 2sN(s s N, s 1, che segue immeiatamente a una integrazione per parti Definizione. Funzioni test nell intervallo [λ 1,λ 2 ] Per s 3fissato, nell intervallo [λ 1,λ 2 ]siefiniscono le seguenti funzioni test, tutte i classe C s 1,asupporto compatto, non-negative e normalizzate: (i λ 0 (λ 1,λ 2 e ε>0, ε<min{λ 0 λ 1,λ 2 λ 0 }, con supporto [λ 0 ε, λ 0 + ε]; (ii per λ 0 = λ 1 e ε>0, ε<(λ 2 λ 1 /2, i supporto [λ 1,λ 1 +2ε]; (iii per λ 0 = λ 2 e ε>0, ε<(λ 2 λ 1 /2, ρ ɛ (λ 0,λ= 1 ( λ ε ρ λ0, ε ρ ε (λ 1,λ= 1 ( λ ε ρ λ1 ε, ε ρ ε (λ 2,λ= 1 ( λ ε ρ λ2 + ε ε con supporto [λ 2 2ε, λ 2 ]. La figura seguente illustra il grafico elle funzioni test così introotte Le proprietàisupporto e i normalizzazione seguono immeiatamente alla efinizione i ρ(λ ealfatto che le funzioni test sono ottenute a ρ(λ conlasostituzione λ (λ λ 0 /ε. Stefano Siboni 9

10 1.7.5 Teorema (estensione el teorema ella meia i Lagrange Per ogni funzione f(λ continua nell intervallo [λ 1,λ 2 ]eperogni funzione test ρ ε (λ 0,λ, λ 0 [λ 1,λ 2 ], vale la relazione λ 2 λ 1 f(λ ρ ε (λ 0,λ λ = f(λ ε (1.16 per un λ ε opportuno contenuto nel supporto i ρ ε(λ 0,λ. Dimostrazione Si supponga, per fissare le iee, che λ 0 (λ 1,λ 2,icasiiλ 0 = λ 1 e λ 0 = λ 2 potenosi trattare in moo el tutto analogo. L integrale a primo membro in (1.16 si riuce a λ 0 +ε λ 0 ε f(λ ρ ε (λ 0,λ λ (1.17 e in esso conviene introurre il cambiamento regolare i variabile λ µ efinito a µ(λ = λ λ 0 ε ρ ε (λ 0,λ λ, funzione monotòna crescente eiclassec 1 in [λ 0 ε, λ 0 + ε], con coominio [0, 1] e erivata µ/λ = ρ ε (λ 0,λ > 0 λ (λ 0 ε, λ 0 + ε. La corrisponente funzione inversa λ(µ : [0, 1] [λ 0 ε, λ 0 + ε] halastessaregolarità in(0, 1 e risulta continua in [0, 1], quale inversa i una funzione continua. Con tale cambiamento i variabile l integrale (1.17 iventa 1 f[λ(µ] µ 0 epoichè f[λ(µ] ècontinuain[0, 1] in quanto composizione i funzioni continue, il teorema ella meia i Lagrange porge 1 0 f[λ(µ] µ = f[λ(µ ε ] per µ ε [0, 1] opportuno. Basta infine porre λε = λ(µε [λ 0 ε, λ 0 + ε] perottenere il risultato richiesto (1.16. Stefano Siboni 10

11 1.7.6 Lemma (caratterizzazione elle variazioni compatibili con i vincoli Sia q : λ [λ 1,λ 2 ] q(λ A, una funzione C 2 nulla agli estremi ell intervallo i efinizione che soisfa i vincoli (1.11. Si supponga inoltre che per almeno un valore ell inice i =1,...,n le funzioni [ Fk ( Fk [λ, q(λ, q(λ] q i λ q i k =1,...,m. (1.18 siano linearmente inipenenti in [λ 1,λ 2 ]. Allora per ogni variazione u(α, λ iq(λ a estremi fissi e compatibile con i vincoli (1.11, posto al solito δq(λ = u/ α(0,λ = (δq 1 (λ,...,δq n (λ si ha λ 2 λ 1 [ Fk i=1 q i ( ] Fk [λ, q(λ, q(λ] δq i (λ λ =0 k =1,...,m. (1.19 λ q i Viceversa, per qualsiasi δq(λ iclassec 2 in [λ 1,λ 2 ], nulla agli estremi e che soisfi le conizioni (1.19, esiste una variazione u(α, λ, sempre i classe C 2 nello stesso intervallo enulla agli estremi, che rispetta i vincoli (1.11 e per la quale risulta u (α, λ α = δq(λ λ [λ 1,λ 2 ]. α=0 Nota Si osservi che l insieme elle funzioni δq(λ efinite alle (1.19 costituisce uno spazio vettoriale e è certamente non vuoto. Quelle relazioni possono infatti essere interpretate come conizioni i ortogonalità fraδq(λ elefunzioni g (k (λ := [ Fk q ( Fk ] [λ, q(λ, q(λ] k =1,...,m (1.20 λ q secono il prootto scalare efinito a f h = λ 2 λ 1 f(λ h(λ λ = λ 2 λ 1 f i (λh i (λ λ (1.21 f,h :[λ 1,λ 2 ] R n continue in [λ 1,λ 2 ]eicomponenti rispettive (f 1,...,f n, (h 1,..., h n. Se le g (k (λ sonolinearmente inipenenti in [λ 1,λ 2 ]èsemprepossibile applicare loro il metoo i Gram-Schmit e ottenerne un sistema ortonomale w 1 (λ,...,w m (λ i=1 λ 2 w k w j = w k (λw j (λ λ = δ jk j, k =1,...,m λ 1 Stefano Siboni 11

12 costituito a opportune combinazioni lineari egli stessi vettori g (k (λ. Tutte e soltanto le funzioni el tipo δq(λ possono allora ricavarsi per mezzo ella proiezione ortogonale δq(λ =ψ(λ m w k ψ w k (λ (1.22 ove ψ(λ è una qualsiasi funzione C 2 nell intervallo [λ 1,λ 2 ], nulla agli estremi e a valori in R n. Dimostrazione el lemma Per provare la necessità ella conizione si assuma che esista una variazione u(α, λ, i classe C 2 in [ ε, ε] [λ 1,λ 2 ]enulla in λ = λ 1 e λ = λ 2 per la quale si abbia k=1 λ 2 λ 1 F k [ λ, q(λ+u(α, λ, q(λ+ u ] (α, λ λ = L k λ k =1,...,m. Derivano ambo i membri rispetto a α e preneno il risultato in α = 0 si ottiene allora λ 2 λ 1 [ Fk δq i (λ+ F ] k δq q i q i (λ λ =0 i i=1 k =1,...,m per cui una integrazione per parti, unitamente alle conizioni al contorno δq(λ 1 =δq(λ 2 = 0, conuce alle (1.19. Da notare che questo risultato èvalio a prescinere alla conizione i lineare inipenenza elle funzioni (1.18. L argomento che imostra la sufficienza è un poco più articolato. Sia δq(λ una funzione C 2 in [λ 1,λ 2 ]che si annulla agli estremi ell intervallo e che soisfa le relazioni (1.19. Si supponga che le m funzioni [ Fk q 1 ( ] Fk [λ, q(λ, q(λ] k =1,..., m (1.23 λ q 1 risultino linearmente inipenenti in [λ 1,λ 2 ]. Dato un qualsiasi sistema i funzioni ζ (1 (λ,..., ζ (m (λ iclasse C 2 nell intervallo [λ 1,λ 2 ], a valori in R n enulle agli estremi, per costanti α, c 1,...,c m R abbastanza vicine a zero sono efinite le funzioni F k (α; c 1,...,c m = λ 2 λ 1 F k [ λ,q(λ+αδq(λ+ q(λ+α δq(λ+ m c r ζ (r (λ, r=1 m r=1 ] c ζ(r r (λ λ L k k =1,...,m Stefano Siboni 12

13 i classe C 2 in un intorno aperto i (α, c 1,...,c m =(0, 0,...,0. Le erivate parziali prime elle F k rispetto alle c j si eterminano erivano sotto il segno i integrale F k c j (α; c 1,...,c m = λ 2 λ 1 [ Fk i=1 q i ( ] Fk [ λ, q(λ+αδq(λ+ λ q i q(λ+α δq(λ+ m r=1 m c r ζ (r (λ, r=1 ] c ζ(r r (λ ζ (j i (λλ ove si èinicata con ζ (j i (λ lacomponentei-esima i ζ (j (λ. Queste funzioni possono sempre scegliersi in moo che la matrice F/ c(0, 0,...,0 i elementi F k c j (0; 0,...,0 = λ 2 λ 1 [ Fk i=1 q i ( ] Fk [λ, q(λ, q(λ]ζ (j i (λλ j, k =1,...,m λ q i abbia eterminante iverso a zero. Basta a esempio assumerle ella forma ζ (j (λ = (ζ (j 1 (λ, 0,...,0 con ζ (j 1 (λ =ρ ε(ξ j,λ j =1,...,m, esseno ξ 1,...,ξ m [λ 1,λ 2 ] punti assegnati in moo che risulti iverso a zero il eterminante ella matrice i elementi [ Fk ( ] Fk [ξ j,q(ξ j, q(ξ j ] k,j =1,...,m q 1 λ q 1 echeèsemprepossibile iniviuare per la postulata lineare inipenenza elle (1.23; l estensione el teorema ella meia implica infatti che per λ ε k,j supp ρ ε(ξ j,λopportuni si abbia F k c j (0; 0,...,0 = λ 2 λ 1 [ Fk ( ] Fk [λ, q(λ, q(λ]ρ ε (ξ j,λ λ = q 1 λ q 1 [ Fk = ( ] Fk [λ ε k,j q 1 λ q,q(λε k,j, q(λε k,j ] j, k =1,...,m 1 eseε 0+ alla continuità i [ Fk ( ] Fk [λ, q(λ, q(λ] k =1,...,m q 1 λ q 1 segue che k,j =1,...,m [ Fk q 1 ( ] Fk [λ ε λ q k,j,q(λ ε k,j, q(λ ε k,j] 1 [ Fk ( ] Fk [ξ j,q(ξ j, q(ξ j ] q 1 λ q 1 Stefano Siboni 13

14 in quanto suppρ ε (ξ j,λ ξ j per ε 0+. È unque sufficiente consierare ε>0abbastanza piccolo per soisfare la conizione richiesta ( F et (0; 0...,0 0. c Riassumeno, la funzione F (α; c 1,...,c m, i componenti F k (α; c 1,...,c m, k =1,...,m: (i èiclasse C 2 in un intorno i (α, c 1,...,c m =(0, 0...,0 R R m ; (ii si annulla in (α, c 1,...,c m =(0, 0,...,0 F (0; 0,...,0 = 0 ; (iii la matrice elle erivate parziali rispetto alle variabili c 1,...,c m ènonsingolare nello stesso punto ( F et (0; 0...,0 0. c Il teorema elle funzioni implicite assicura allora che in un intorno aperto I R i α =0 èefinita una funzione c(α =(c 1 (α,...,c m (α a valori in un intorno aperto C R m i (c 1,...,c m =(0,...,0 tale che F [α, c(α] = 0 α I. Tale funzione risulta i classe C 2 nel proprio ominio i efinizione e soisfa, per la regola i catena, F F c [α, c(α] + [α, c(α] (α =0 α c α α I in moo che c ( F 1 α (α = c [α, c(α] F [α, c(α] α α I e, in particolare, c ( F 1 α (0 = c (0; 0,...,0 F (0; 0,...,0. α Si può pertantoscrivere, α I e k =1,...,m, λ 2 λ 1 F k [ λ, q(λ+αδq(λ+ m r=1 c r (αζ (r (λ, q(λ+α δq(λ+ m r=1 c r (α ζ ] (r (λ λ = L k Stefano Siboni 14

15 con erivata prima rispetto a α nulla in α =0: λ 2 λ 1 { F [ k λ, q(λ+αδq(λ+ q i i=1 [ δq i (λ+ r=1 + F k q i [ λ, q(λ+αδq(λ+ [ δq i (λ+ = = λ 2 λ 1 λ 2 λ 1 i=1 m r=1 m c ] r α (αζ(r i (λ + m r=1 c(α r ζ (r (λ, q(λ+α δq(λ+ c(α r ζ (r (λ, q(λ+α δq(λ+ m c r α (α ζ (r i (λ] } λ = α=0 r=1 m r=1 m r=1 ] c(α ζ(r r (λ ] c(α ζ(r r (λ [ Fk [λ, q(λ, q(λ]δq i (λ+ F ] k [λ, q(λ, q(λ] δq q i q i (λ λ = i [ Fk i=1 q i per via elle relazioni (1.19. La funzione u(α, λ =αδq(λ+ ( ] Fk δq i (λ λ =0 λ q i m c r (αζ (r (λ (α, λ I [λ 1,λ 2 ] r=1 èiclasse C 2 in I [λ 1,λ 2 ], con u(0,λ=0 λ [λ 1,λ 2 ], risulta nulla agli estremi u(α, λ s =αδq(λ s + m c r (αζ (r (λ s =0 s =1, 2 r=1 esoisfa i vincoli (1.11. Essa costituisce perciò una variazione i q(λ compatibile con i vincoli e obbeisce alla conizione u(α, λ α = δq(λ λ [λ 1,λ 2 ] α=0 come richiesto Osservazione. Estensione el lemma Si noti che la caratterizzazione (1.19 elle funzioni η(λ offerta al preceente lemma può essere estesa, con un argomento analogo, al piùgenerale caso in cui si assumano linearmente inipenenti in [λ 1,λ 2 ]lefunzioni [ Fk ( ] Fk [λ, q(λ, q(λ] k =1,...,m q i(k λ q i(k Stefano Siboni 15

16 ove i(k {1,...,n} k =1,...,m nonècioèinispensabile che i(k siacostanteper tutti i k come richiesto in ( Teorema (punti stazionari conizionati Sia q : λ [λ 1,λ 2 ] q(λ unpunto stazionario el funzionale che soisfa i vincoli (1.11 L(q = λ 2 λ 1 L[λ, q(λ, q(λ] λ (1.24 λ 2 λ 1 F k [λ, q(λ, q(λ] λ = L k k =1,...,m (1.11 con L 1,...,L m costanti reali assegnate e tale che le funzioni [ Fk ( ] Fk [λ, q(λ, q(λ] k =1,...,m (1.25 q i(k λ q i(k risultano linearmente inipenenti in [λ 1,λ 2 ]peropportuni i(k {1,...,n}, k =1,...,m. Esistono allora m costanti reali µ 1,...,µ m tali che L ( L q i λ q i = m k=1 µ k [ Fk q i ( ] Fk λ q i i =1,...,n. ( Osservazione. Funzione ausiliaria e moltiplicatori i Lagrange La conizione (1.26 necessaria per la stazionarietà conizionata el funzionale L(q si può intenere come equivalente a scrivere le equazioni i Eulero-Lagrange non per la lagrangiana formale L(λ, q, q maper la funzione ausiliaria L(λ, q, q m µ k F k (λ, q, q k=1 con µ 1,...,µ m costanti reali opportune, note come moltiplicatori i Lagrange el problema estremale. Beninteso, le equazioni i Eulero-Lagrange vanno risolte teneno conto ei vincoli (1.11. Dimostrazione el teorema La stazionarietà el funzionale (1.24 conizionato ai vincoli (1.11 richiee che si annulli la variazione prima (1.5 δl(q, δq = λ 2 λ 1 i=1 [ L ( L ] δq i (λ λ =0 q i λ q i Stefano Siboni 16

17 non più perqualsiasi variazione u(α, λ, a estremi fissi, ella funzione q(λ, ma limitatamente alle variazioni che soisfano anche gli ulteriori vincoli (1.11. Le variazioni i q(λ compatibili con i vincoli (1.11 sono tutte e soltanto le u(α, λ perlequaliδq(λ = u/ α(0,λsoisfa le conizioni (1.19. Deve perciò aversi λ 2 λ 1 i=1 [ L ( L ] [λ, q(λ, q(λ] δq i (λ λ =0 q i λ q i per ogni δq(λ iclasse C 2 in [λ 1,λ 2 ], nulla agli estremi e tale che λ 2 λ 1 [ Fk i=1 q i ( ] Fk [λ, q(λ, q(λ] δq i (λ λ =0 λ q i k =1,...,m. Poneno per brevità, come già in(1.20, g (k (λ := [ Fk q ( Fk ] [λ, q(λ, q(λ] k =1,...,m λ q unitamente a [ L a(λ := q ( L ] [λ, q(λ, q(λ], λ q ericorano la nozione i prootto scalare introotta in (1.21, la conizione i stazionarietà iventa a δq =0 δq : g (k δq =0 k =1,...,m, ove le δq si intenono C 2 nel loro intervallo i efinizione e nulle agli estremi ello stesso. Di qui segue facilmente che a(λ eveessere una combinazione lineare elle g (k (λ a(λ = m µ k g (k (λ λ [λ 1,λ 2 ] k=1 secono opportuni coefficienti costanti µ 1,...,µ m R, provanointalmoo la relazione (1.26. Per convincersi i ciò basta osservare che la conizione (1.25 implica la lineare inipenenza in [λ 1,λ 2 ]elle g (k (λ, in moo che èsemprepossibile combinare linearmente queste funzioni per ottenere un sistema ortonormale i m vettori w (1 (λ,...,w (m (λ w (j w (h = δ jh j, h =1,...,m che genera lo stesso sottospazio vettoriale i funzioni. I vettori δq(λ ortogonali a tutti i g (k (λ assumono perciò laforma δq = ψ m w (k ψ w (k k=1 Stefano Siboni 17

18 esseno ψ :[λ 1,λ 2 ] R n una qualsiasi funzione C 2 nel proprio intervallo i efinizione e nulla agli estremi; per ogni δq cosiffatto eve aversi m 0= a δq = a ψ w (k ψ a w (k = k=1 a m a w (k w (k ψ k=1 equini grazie alla arbitrarietà iψ chepuò sempreientificarsi con una funzione test i supporto arbitrario in [λ 1,λ 2 ] a m a w (k w (k =0. k=1 Non resta che inicare esplicitamente la trasformazione lineare che lega i vettori w (k e g (j w (k = m R kj g (j j=1 secono una appropriata matrice non singolare R i coefficienti R kj,perottenere a = m a w (k w (k = k=1 m m a w (k R kj g (j = k=1 j=1 m m a w (k R kj g (j j=1 k=1 ossia apatto i porre µ j = L q ( L λ q = m j=1 m a w (k R kj j =1,...,m. k=1 [ Fj µ j q ( Fj ] λ q 1.8 Estremo i un funzionale soggetto a vincoli olonomi Per questo argomento si rinvia al volume Calculus of variations, R.Weinstock,Dover,New York, 1974 Estremo i un funzionale con vincoli espressi a equazioni finite Descrizione el problema variazionale con questo tipo i vincoli Nozione i variazioni a supporto concentrato, sufficienti per caratterizzare gli estremi Teorema (estremi ei funzionali soggetti a vincoli olonomi Funzione moltiplicatrice i Lagrange Dimostrazione el teorema Estremo i un funzionale soggetto a vincoli anolonomi Per questo argomento si rinvia al volume Calculus of variations, R.Weinstock,Dover,New York, 1974 Stefano Siboni 18

19 Estremo i un funzionale con vincoli espressi a equazioni ifferenziali Descrizione el problema variazionale con questo tipo i vincoli Teorema (estremi ei funzionali soggetti a vincoli anolonomi Funzione moltiplicatrice i Lagrange (1.27 Si inica con (1.27 la conizione che la matrice el ifferenziale ei vincoli rispetto alle erivate prime eve avere rango massimolungotuttele funzioni che rispettano il vincolo ifferenziale (o fra le quali vengono ricercati gli estremi Dimostrazione el teorema I principi variazioniali ella meccanica Le equazioni ella inamica per i sistemi olonomi a vincoli bilaterali ieali sono suscettibili i riformulazioni notevoli in termini i problemi o principi variazionali appropriati. Ipiù singificativi iquesti sonoilprincipio i Hamilton e il principio ell azione stazionaria, oi Maupertuis. 2.1 Principio i Hamilton Sia ato un sistema olonomo a vincoli bilaterali ieali e n grai i libertà, escritto ai parametri lagrangiani q =(q 1,...,q n variabili in un aperto A i R n eauna lagrangiana L(t, q, q iclasse C 2 in R A R n.siconsieri un moto regolare q = q(t nell intervallo [t 1,t 2 ] R, iestremiassegnati q (1 e q (2 A: q(t 1 =q (1 q(t 2 =q (2. (2.1.1 La funzione principale i Hamilton (1 per il moto q(t èefinita a S[q(t] = t 2 t 1 L[t, q(t, q(t] t. (2.1.2 La funzione principale si può intenere come un funzionale non lineare sullo spazio elle funzioni q(t iclasse C 2 in un intervallo i tempo [t 1,t 2 ]. Il principio i Hamilton afferma l equivalenza ei seguenti asserti: (i la funzione q = q(t, i classe C 2 in t [t 1,t 2 ], soisfa le equazioni lagrangiane el moto e le conizioni al contorno ( Essa èperciò soluzione el problema a valori al contorno ( L L =0 i =1,...,n, q(t 1 =q (1, q(t 2 =q (2 ; t q i q i (1 a non pochi autori correntemente esignata come azione i Hamilton, ovvero integrale ell azione o semplicemente azione Stefano Siboni 19

20 (ii la funzione q = q(t, i classe C 2 in t [t 1,t 2 ], rene stazionaria la funzione principale i Hamilton (2.1.2, nel senso che ne annulla la variazione prima a estremi fissi δs[q(t] = δ t 2 t 1 L[t, q(t, q(t] t per qualsiasi variazione δq(t elmotochesia i classe C 2 nell intervallo [t 1,t 2 ]eche si annulli agli estremi: δq(t 1 =δq(t 2 =0. Èsignificativo sottolineare che il principio sancisce l equivalenza i un problema a valori al contorno eiunproblema variazionale, nelsensoche tutte e sole le soluzioni ell uno sono anche tutte e sole le soluzioni ell altro, ma non assicura in alcun moo né l esistenza né l unicità iette soluzioni come ben noto, per il problema a valori al contorno non esiste alcun analogo semplice el teorema i esistenza e unicità elle soluzioni massimali per il problema icauchy. Questaosservazione permette i riformulare il principio i Hamilton, equivalentemente, nella forma seguente: in un sistema olonomo a vincoli bilaterali ieali, i lagrangiana L, i moti naturali el sistema sono escritti a tutte e sole le funzioni q(t, efinite e C 2 in un qualsiasi intervallo i tempo [t 1,t 2 ],cherenono stazionaria la funzione principale i Hamilton per ogni variazione δq(t a estremi fissi ella funzione q(t. Dimostrazione el principio i Hamilton Per provare il principio èsufficiente osservare che la conizione i stazionarietà sulfun- zionale ell azione, per variazioni δq(t elmotoq(t che si annullino agli estremi, equivale al sistema elle equazioni i Eulero-Lagrange: L q i t ( L q i =0 i =1,...,n, che ovrà essere soisfatto a una funzione q(t iclassec 2 in [t 1,t 2 ]econvalori al contorno assegnati q(t 1 =q (1 e q(t 2 =q ( Osservazione. Sistemi lagrangiani generali È interessante notare che la prova el principio i Hamilton non presupponein alcun moo una lagrangiana classica, interpretabile come somma i un termine i energia cinetica T (t, q, q = T 0 (t, q +T 1 (t, q, q +T 2 (t, q, q, polinomio i secono grao nelle velocità generalizzate q con parte quaratica efinita positiva, e i un termine potenziale U(q: L(t, q, q =T 0 (t, q+t 1 (t, q, q+t 2 (t, q, q+u(q, in cui si sonoevienziati rispettivamente il termine costante T 0,quello lineare T 1 equello quaratico T 2 rispetto a q ell energia cinetica. In realtà ilprincipio si estene immeiatamente a sistemi lagrangiani i tipo generale, la cui lagrangiana sia una generica funzione C 2 ei propri argomenti (t, q, q R A R n : L = L(t, q, q (2.1.3 Stefano Siboni 20

21 esoisfi la conizione supplementare che per ogni (t, q, q R A R n la matrice simmetrica elle erivate parziali secone rispetto alle velocità generalizzate 2 L q h q k (t, q, q h, k =1,...,n (2.1.4 risulti non singolare. Il requisito (2.1.4 èteso aassicurare la riucibilità alla forma normale elle relative equazioni i Lagrange el moto ( L L =0 h =1,...,n. t q h q h In tal moo èpossibile applicare il teorema i esistenza e unicità elle soluzioni massimali per il problema i Cauchy, sempreché il secono membro elle equazioni riotte in forma normale sia aeguatamente regolare localmente lipschitziano in (q, q A R n uniformemente in t R o, più semplicemente, C 1 nel ominio R A R n ell argomento (t, q, q. Questa conizione i regolarità sul secono membro si assume sempre soisfatta in tutti i sistemi lagrangiani i interesse. 2.2 Principio ell azione stazionaria, o i Maupertuis Diversamente al principio i Hamilton, il principio i Maupertuis classico non riguara i sistemi olonomi lagrangiani i tipo generale, ma soltanto quelli scleronomi posizionali conservativi, lacuilagrangiana assume la forma particolare L(q, q =T (q, q+u(q, ove U(q inica il potenziale elle sollecitazioni agenti sul sistema mentre l energia cinetica T (q, q è una forma quaratica efinita positiva elle velocità generalizzate T (q, q = 1 2 h,k=1 a hk (q q h q k con coefficienti a hk (q chesono funzioni C 1 elle coorinate lagrangiane. Come ben noto, isistemi i questo tipo ammettono l integrale primo ell energia meccanica, efinito a H(q, q =T (q, q U(q, (2.2.1 per cui tutti i moti naturali el sistema sono i energia costante. viceversa: un moto possibile q(t, t [t 1,t 2 ], i energia costante Non èperòveroil H[q(t, q(t] = E, t [t 1,t 2 ] non costituisce necessariamente un moto naturale el sistema. Lo scopo el principio i Maupertuis èprecisamente quello i caratterizzare, fra tutti i moti i energia costante, quelli che siano effettivamente moti naturali per il sistema. Il proceimento logico che Stefano Siboni 21

22 permette i impostare, enunciare e imostrare il principio si può articolare in una serie i punti successivi, i seguito illustrati Moti test Il principio i Maupertuis riguara una particolare classe i moti possibili che verranno enominati moti test. Moto test èunqualsiasi moto q(t, efinito e i classe C 2 in un intervallo i tempo limitato e chiuso [t 1,t 2 ], che abbia energia costante E R: echenon presenti alcun istante i arresto: H[q(t, q(t] = E t [t 1,t 2 ] q(t 0 t [t 1,t 2 ]. Atalemoto sono associate una configurazione iniziale q(t 1 =q (1 e una configurazione finale q(t 1 =q (2.Sisottolinea che tali configurazioni iniziale e finale non sono necessariamente istinte: il principio i Maupertuis permette i caratterizzare anche eventuali moti naturali perioici consierati su un perioo, per i quali èevientemente q (1 = q (2.Come risulterà chiaronelseguito, la richiesta che il moto test non contempli istanti i arresto è giustificata alla necessità ipoterintrourre moti variati asincroni i sufficiente generalità Moti variati asincroni Dato un qualsiasi moto test q(tin[t 1,t 2 ], i energia E econfigurazioni estreme q(t 1 =q (1, q(t 1 =q (2,senevogliono consierare i più generali moti variati con la stessa energia e le stesse configurazioni iniziale e finale: configurazioni estreme e energia costante sono uguali a quelle el moto non variato q(t, che ora innanzi verrà enominato moto base. Èfacile convincersi che in generale un moto variato i energia costante non può essere efinito sullo stesso intervallo i tempo [t 1,t 2 ]elmotobase;esso non può cioèscriversi nella forma q(t+δq(t t [t 1,t 2 ], (2.2.2 già consierata nell enunciato el principio i Hamilton, i classe C 2 e con δq(t 1 = δq(t 2 = 0 moti variati i questotiposonoettisincroni, con riferimento al fatto che l intervallo i tempo su cui sono efiniti non varia rispetto a quello el moto base. Se infatti si impone a un moto variato sincrono come (2.2.2 i conservare l energia meccanica, si perviene a una equazione ifferenziale non autonoma in δq(t H[q(t+δq(t, q(t+δ q(t] = E alla quale non èpossibile associare le conizioni δq(t 1 =0eδq(t 2 =0,inquanto i regola il corrisponente problema a valori al contorno non ammette alcuna soluzione oltre aquella banale δq(t =0 t [t 1,t 2 ]. Si rene così necessario ricorrere ai cosietti moti variati asincroni nei quali può essere variato anche l intervallo i tempo [t 1,t 2 ]. Un moto variato asincrono viene costruito variano non soltanto la funzione q(t che rappresenta il moto ma anche la coorinata temporale t; tempoemotovengono espressi intermini i Stefano Siboni 22

23 un comune parametro ausiliario u efinito su un intervallo fisso [u 1,u 2 ], compatto in R, in moo che il moto variato sia parametrizzato a t = u + δτ(u, u [u 1,u 2 ]. (2.2.3 q = q(u+δq(u In questa espressione δτ(u eδq(u sonofunzioni C 2 ell intervallo [u 1,u 2 ]eivi piccole, nel senso che le costanti numeriche max δτ(u max τ u [u 1,u 2 ] u [u 1,u 2 ] u (u max δq(u max δq u [u 1,u 2 ] u [u 1,u 2 ] u (u evono risultare sufficientemente vicine a zero; in particolare si richiee che valga max τ u [u 1,u 2 ] u (u < 1 in moo che la trasformazione u t efinisca un iffeomorfismo C 2 ell intervallo fisso [u 1,u 2 ]suunintervallo variabile [t 1,t 2 ]eltempot cosìaassicurare che gli istanti iniziale t 1 = u 1 + δτ(u 1 efinale t 2 = u 2 + δτ(u 2 sianolasciati liberi. Ne segue che la erivata prima t/u(u ènonsolostrettamente positiva ma anche limitata tanto inferiormente quanto superiormente in [u 1,u 2 ]. Il moto base si ottiene evientemente alla (2.2.3 per δτ(u =0eδq(u =0 u [u 1,u 2 ], allorquano t = u, q = q(t, t 1 = u 1 e t 2 = u 2. Èaltrettamento eviente che i moti variati sincroni sono sempre esprimibili nella forma (2.2.3 per δτ(u =0ienticamente in [u 1,u 2 ]. La richiesta che le configurazioni iniziale e finale ei moti variati coinciano con le corrisponenti configurazioni el moto base, ossia che q(t 1 =q (1 e q(t 2 =q (2,sitraucononelleconizioni al contorno q(u 1 +δq(u 1 =q (1 e q(u 2 +δq(u 2 =q (2 che, per effetto elle analoghe conizioni al contorno valie per il moto base equivalgono più semplicemente alle q(u 1 =q (1 q(u 2 =q (2, δq(u 1 =0 δq(u 2 =0. Ricorano che si tratta i una forma quaratica nelle velocità generalizzate, l energia cinetica el moto variato si scrive T (q(u+δq(u, t [q(u+δq(u] = ( = T q(u+δq(u, u [q(u+δq(u] 1 = t/u(u ( = T q(u+δq(u, u [q(u+δq(u] 1 [t/u(u] = 2 ( = T q(u+δq(u, u [q(u+δq(u] 1 [ 1+ ] 2 u δτ(u Stefano Siboni 23

24 einicata con un apice la erivata rispetto a u si riuce all espressione più compatta T [ q(u+δq(u,q (u+δq (u ] 1 [1 + δτ (u] 2. La conizione i conservazione, al valore E el moto base, ell energia meccanica lungo il moto variato assume perciò laforma [ ] T q(u+δq(u,q (u+δq (u 1 [1 + δτ (u] 2 U[q(u+δq(u] = E u [u 1,u 2 ]. (2.2.4 Per efinizione, il moto test non presenta istanti i arresto e quini q(t 0 t [t 1,t 2 ]; ne eriva che l energia cinetica si mantiene strettamente positiva lungo l intero moto: T [q(t, q(t] > 0 E + U[q(t] > 0 t [t 1,t 2 ]. In tali conizioni la variazione δq(u può essere assegnata a piacere, purché C 2 in [u 1,u 2 ], nulla agli estremi δq(u 1 =δq(u 2 =0 e abbastanza piccola, nel senso che i numeri positivi max δq(u e max u [u 1,u 2 ] u [u 1,u 2 ] δq (u siano sufficientemente vicini a zero. In tal caso si ha infatti che tanto T [q(u+δq(u,q (u+ δq (u] quanto E + U[q(u+δq(u] risulteranno strettamente positivi u [u 1,u 2 ], per cui [1 + δτ (u] 2 = T [q(u+δq(u,q (u+δq (u] E + U[q(u+δq(u] elavariazione sul tempo δτ(u potràsempreessereassegnatainmooamantenere costante l energia, risolveno l equazione ifferenziale δτ T [q(u+δq(u,q (u = 1+ (u+δq (u] u E + U[q(u+δq(u] con una immeiata integrazione iretta δτ(u =δτ(u 1 u + u 1 + u u 1 T [q(u+δq(u,q (u+δq (u] u u [u 1,u 2 ], E + U[q(u+δq(u] poneno a esempio δτ(u 1 =0 il che equivale a fissare l istante iniziale t 1.Perragioni i continuità èevientecheperδq(u abbastanza piccolo anche la funzione δτ(u risulta piccola. È importante sottolineare che la possibilità i scegliere arbitrariamente, nel senso anzietto, la variazione δq(u a energia costante, verrebbe meno in corrisponenza egli eventuali Stefano Siboni 24

25 istanti i arrestoel moto. Se q(u 0 =q 0 è una posizione i arresto el moto, corrisponente al valore u = u 0 el parametro ausiliario, l annullarsi ell energia cinetica implica infatti che U(q 0 =E, per cui si possono istinguere ue casi: se q 0 non èunminimo relativo i U(q, in ogni intorno sferico i Q 0 i raggio ε piccolo apiacere èsemprepossibile eterminare almeno un punto q ε ove U(q ε <U(q 0. La variazione δq(u, per quanto piccola nel senso preetto, non può assumereinu 0 nessuno ei valori q ε q 0 che, causa il segno non negativo ell energia cinetica, non consentono i rispettare la conizione i conservazione ell energia E: T [q 0 + δq(u 0,q (u 0 +δq (u 0 ] U[q 0 + δq(u 0 ] U[q 0 + δq(u 0 ] = U(q ε > U(q 0 =E ; se q 0 costituisce un minimo relativo i U(q, in generale non sarà possibile esplicitare la erivata δτ/u(u all equazione (2.2.4 i conservazione ell energia: δτ T [q(u+δq(u,q (u = 1+ (u+δq (u] u U[q(u+δq(u] U(q 0 causa l eventuale annullarsi el enominatore, infinitesimo per q(u +δq(u q 0. Anche nel caso sia consentita la riuzione alla forma normale rispetto alla variabile ipenente δτ(u, la erivata δτ/u(u in generale non risulterà piccola per δq(u e δq (u arbitrari epiccoli, nel senso preceentemente precisato. Queste osservazioni giustificano la efinizione i moto test come moto i energia costante privo i istanti i arresto. Èimportantesottolinearecheinunmoto variato asincrono i energia assegnata sono fissate le configurazioni iniziale e finale, ma non gli istanti t 1 e t 2 in corrisponenza ei quali ette configurazioni sono raggiunte al sistema: èsempre possibile richieere, senza perita i generalità, che sia assegnato l istante iniziale t 1,ma non ètuttavia ato i fissare quello finale t Azione L azione (1 èilfunzionale non lineare che al moto base q(t, t [t 1,t 2 ]associailnumero reale S [q(t] efinito all integrale t 2 t 1 2 T [q(t, q(t] t, (2.2.5 (1 nota anche, più precisamente, come azione i Maupertuis o azione riotta Stefano Siboni 25

26 esfruttano la costanza ell energia lungo q(t può anche riscriversi nella forma equivalente S [q(t] = = t 2 t 1 t 2 ( T [q(t, q(t] + U[q(t] + T [q(t, q(t] U[q(t] t = ( T [q(t, q(t] + U[q(t] t + E(t 2 t 1. (2.2.6 t Variazione ell azione La variazione ell azione (2.2.5 eve essere calcolata per moti variati asincroni arbitrari, i energia costante E econestremi fissati q (1 e q (2. L azione i Maupertuis per il moto base q(t, t [t 1,t 2 ], i energia E e estremi q(t 1 =q (1, q(t 2 =q (2,èata all integrale ( Il generico moto variato asincrono q(t, i uguale energia e con le stesse configurazioni estreme, sarà espresso alle equazioni parametriche t = u + δτ(u u [u 1,u 2 ] q = u + δq(u con δq(u eδτ(u funzioni C 2 sull intervallo fisso [u 1,u 2 ]elparametro u, unitamente alla conizione δq(u 1 =δq(u 2 =0eaquella i conservazione ell energia ( Il moto variato saràperciò efinito sull intervallo i tempo i estremi t 1 = u 1 + δτ(u 1 t 2 = u 2 + δτ(u 2 per i quali sipotràsempreassumere, senza perita i generalità, t 1 = t 1. (1 il moto variato si scrive perciò L azione per S [ q(t] = t 2 ( T [ q(t, q(t] + U[ q(t] t + E( t 2 t 1 t 1 e introuceno il parametro u come variabile i integrazione, oltre alla forma esplicita egli istanti iniziale e finale variati, iventa S [ q(t] = E[u 2 + δτ(u 2 u 1 δτ(u 1 ]+ u 2 [ ] + T [q(u+δq(u,q (u+δq 1 t (u] [t/u(u] + U[q(u+δq(u] (u u 2 u u 1 (1 in termini el parametro ausiliario u il moto base èiniviuato a δq(u=0 e δτ(u=0, per cui t1 =u 1 e t 2 =u 2 ;laconizione t 1 =t 1 equivale perciò arichieere che sia δτ(u 1 =0. Stefano Siboni 26

27 ossia S [ q(t] = E[u 2 u 1 + δτ(u 2 δτ(u 1 ]+ u 2 [ [ + T [q(u+δq(u,q (u+δq 1 (u] u 1 1+ δτ + U[q(u+δq(u] 1+ δτ ] ] u (u u (u u. Segueno lo stesso proceimento generale inicato nella sezione 1.2, e unque consierano isoliterminialprimo orine in δq(u eδτ(u erelativeerivate, la prima variazione ell azione i Maupertuis lungo il moto base assume così laforma u 2 [ δs [q(t] = E[δτ(u 2 δτ(u 1 ] + T [q(u,q (u] T δτ(u+ u q [q(u,q (u] δq (u+ u 1 + T q [q(u,q (u] δq(u+u[q(u] ] U δτ(u+ [q(u] δq(u u u q ove per brevità si èinicato con il punto il prootto scalare fra vettori i R n. riorinamento ei termini porge allora l espressione δs [q(t] = E[δτ(u 2 δτ(u 1 ] + + u 2 u 1 u 1 u 2 u 1 [ T q [q(u,q (u] δq (u+ ( T [q(u,q (u] + U[q(u] δτ(u u+ u ( T q [q(u,q (u] + U ] q [q(u] δq(u u nella quale, per la conservazione ell energia lungo il moto base, si ha T [q(u,q (u] + U[q(u] = E u [u 1,u 2 ] in moo che δs [q(t] = E[δτ(u 2 δτ(u 1 ] + E[δτ(u 2 δτ(u 1 ]+ u 2 [ T ( T + q [q(u,q (u] δq (u+ q [q(u,q (u] + U ] q [q(u] δq(u u = u 2 u 1 [ T q [q(u,q (u] δq (u+ ( T q [q(u,q (u] + U ] q [q(u] δq(u u. Non rimane che riesprimere il termine in δq (u comeun unica erivata i un prootto, introuceno il termine correttivo appropriato, u 2 [ δs ( T ( T [q(t] = u q [q(u,q (u] δq(u u q [q(u,q (u] δq(u+ u 1 ] ( T + q [q(u,q (u] + U q [q(u] δq(u u Un Stefano Siboni 27

28 eraccogliere tutti i termini in δq(u, integrano poi la erivata totale in u, δs [q(t] = u 2 u 1 [ ( T + T u q q + U ] [ ] u2 T δq(u u + q q δq(u u 1 per ottenere, grazie alla conizione al contorno δq(u 1 =δq(u 2 =0,l espressione finale ella variazione δs [q(t] = che può anche scriversi come δs [q(t] = u 2 u 1 [ u 2 u 1 [ ( T + ] u q q (T + U δq(u u ( u q (T + U + ] q (T + U δq(u u (2.2.7 in quanto il potenziale U ipene unicamente a q enona q. Si osservi che il fattore entro parentesi quare nell integrano i (2.2.7 ècalcolatolungo il moto base q(t, per cui alla variabile ausiliaria u si può inessointenere sostituito il tempo t: a parte un cambiamento i segno, l espressione entro parentesi quare in (2.2.7 si ientifica con il binomio i Lagrange per il sistema scleronomo i lagrangiana L = T + U, valutato lungo il moto base q(t Stazionarietàell azionecome conizione necessaria per i moti naturali Dalla relazione (2.2.7 risulta eviente che se il moto base q(t ènaturale per il sistema i lagrangiana L = T + U tale moto costituisce una soluzione elle equazioni i Lagrange e eve perciò aversi ( L t q [q(t, q(t] L q [q(t, q(t] = 0 t [t 1,t 2 ] elavariazione prima ell azione i Maupertuis lungo lo stesso moto base eve annullarsi δs [q(t] = 0 per qualsiasi moto variato asincrono i uguali estremi e energia. La stazionarietà ell azione i Maupertuis, l annullarsi cioè ella sua variazione prima rispetto a moti variati el tipo escritto, è conizione necessaria perché il moto base sia naturale. Va rilevato che la conizione necessaria rimane valia anche per moti base naturali che non siano test, lungo i quali cioè sianopresenti istanti i arresto ferma restano la conservazione ell energia, comunque soisfatta per tutti i moti naturali el sistema. È anche importante sottolineare che la conizione non è in generale sufficiente per riconoscere il generico moto base come naturale: i regola le funzioni δq(u nonsipossono Stefano Siboni 28

29 assegnare a piacere, o comunque con la generalità sufficiente a concluere alla stazionarietà ell azione i Maupertuis in (2.2.7 che il moto base soisfa le equazioni i Lagrange Stazionarietà ell azione come conizione sufficiente affinché unmototest sia naturale Nel caso che quello base sia un moto test, si ègiàosservatocome sia sempre ato i assegnare arbitrariamente, purchéabbastanza piccole, levariazioni δq(u inmooagenerare un moto variato asincrono i energia e configurazioni estreme uguali a quelle el moto base: l assenza i istanti i arresto permette sempre i aggiustare la variazione sul tempo, δτ(u, in moo a ottenere un moto variato ell energia esierata, a patto i scegliere le funzioni δq(u iclasse C 2 in [u 1,u 2 ], nulle agli estremi δq(u 1 =δq(u 2 =0 econ le costanti: max δq(u, max u [u 1,u 2 ] u [u 1,u 2 ] δq (u abbastanza vicine a zero. Questa scelta elle funzioni δq(u èsufficiente a provare, in virtù ella proceura illustrata alla sezione 1.4, l implicazione u 2 u 1 [ ( u q (T + U + ] q (T + U δq(u =0 δq(u = ( u q (T + U + q (T + U =0 u [u 1,u 2 ] come affermato. Si ècosìprovatochepertuttiimotiregolari, privi i istanti i arresto, renere stazionaria l azione i Maupertuis rispetto a moti variati isoenergetici i estremi fissati q (1 e q (2 equivale a risolvere le equazioni i Lagrange con le conizioni al contorno q(t 1 =q (1, q(t 2 =q (2. Si perviene in tal moo al principio i Maupertuis, iseguito enunciato. In un sistema scleronomo a vincoli bilaterali ieali, soggetto a sollecitazioni posizionali conservative i potenziale U(q, perognimoto possibile q(t, iclasse C 2 in t [t 1,t 2 ], con configurazione iniziale q(t 1 =q (1 econfigurazione finale q(t 2 =q (2,ienergia costante E eprivoiistanti i arresto, le proposizioni seguenti sono equivalenti: (a q(t escrive un moto naturale el sistema i configurazione iniziale q (1 econfigurazione finale q (2,esseno soluzione elle equazioni i Lagrange con le conizioni al contorno q(t 1 =q (1 e q(t 2 =q (2 ; (b la funzione q(t rene stazionaria l azione i Maupertuis (2.2.5 rispetto a moti variati asincroni i classe C 2,ugualeenergiaE emeesimiestremiq (1, q (2. Come già quello i Hamilton, il principio i Maupertuis afferma l equivalenza i un problema a valori al contorno (a eiunproblemavariazionale (b senzaentrare nel merito ella esistenza e eventuale unicità elle corrisponenti soluzioni. In sintesi, il principio i Maupertuis permette i iniviuare, fra tutti i moti possibili isoenergetici privi i istantiiarresto, tutti e soltato quelli naturali per il sistema. Può essere interessante sottolineare che la possibilità iassegnare a piacere, per un qualsiasi moto test, le variazioni δq(u senza mai pregiuicare la conizione i conservazione Stefano Siboni 29

30 ell energia (2.2.4 appare eviente anche consierano l approssimazione i Taylor ella stessa equazione (2.2.4 al primo orine in δq(u eδτ(u: 2T [q(u,q (u] T δτ(u+ u q [q(u,q (u] δq(u+ + T q [q(u,q (u] δq (u U [q(u] δq(u =0 q ove èsemprepossibile esplicitare la erivata δτ/u(u [ δτ u (u = 1 T 2T [q(u,q (u] q [q(u,q (u] δq(u+ T q [q(u,q (u] δq (u U ] q [q(u] δq(u grazie al segno strettamente positivo ell energia cinetica, assicurato all assenza i istanti i arresto Determinazione alternativa ella conizione i stazionarietà ell azione per i moti test Per i moti test il calcolo ella conizione i stazionarietàell azione (2.2.5, relativamente a moti variati asincroni i energia e configurazioni estreme uguali a quelle el moto base, può essere eseguito ricorreno a una proceura alternativa che fa uso ei risultati ella sezione 1.9, riguarante i problemi variazionali con vincoli espressi a equazioni ifferenziali. In primo luogo si riesprime l azione i Maupertuis (2.2.5 come integrale sul parametro ausiliario u [u 1,u 2 ] = u 2 u 1 2 T u 2 u 1 2 T [ q(u,q (u u ] t t (u (u u = u [ q(u,q (u ] ω(u 2 1 ω(u u = u 2 u 1 u 2 u 1 [ 2 T q(u,q (u ω(u ] 1 ω(u u = [ 2 T q(u,q (u ] ω(u u (2.2.8 poneno formalmente 1/[t/u(u] = ω(u > 0. Introuceno la stessa trasformazione formale t u elastessa funzione ausiliaria ω(u, la conizione i energiacostante iventa E = T [ q(u,q (u ω(u ] U[q(u] u [u 1,u 2 ] che, esseno T una forma quaratica in q, equivalea E = T [ q(u,q (u ] ω(u 2 U[q(u] u [u 1,u 2 ]. (2.2.9 Si osservi come almotobase sia in realtà associata la funzione ω(u =1 u [u 1,u 2 ], che eve però essere variata per incluere i moti variati propriamente asincroni nella ricerca ella conizione i stazionarietà ell azione (2.2.8: per semplicità è opportuno assumere per ω(u una generica funzione C 1 strettamente positiva in [u 1,u 2 ]; risulterà chela conizione i stazionarietà ell azione non etermina in alcun moo la ω(u, per la quale si Stefano Siboni 30