Grandezze: Statiche Cinematiche Idrauliche

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1 Stati tensionali e deformativi nelle terre Approccio Rigoroso Meccanica mei discontinui Solido particellare Fluido continuo Approccio Ingegneristico (dim. opere >> dim. granuli) Meccanica continuo Solido & Fluido continui sovrapposti Grandee: Fore interparticellari Spostamenti Pressioni Statiche Cinematiche Idrauliche Tensioni Deformaioni Pressioni

2 Stati tensionali e deformativi nelle terre Le dimensioni dei granuli sono molto piccole rispetto ai volumi di terreno interessati da variaioni dello stato di sollecitaione indotte dalla realiaione delle opere di ingegneria (e anche rispetto alle dimensioni dei provini di terreno sottoposti a prove di laboratorio): è possibile ricorrere agli strumenti della meccanica del continuo.

3 Tensione e deformaione nel meo continuo Meo continuo alla Cauch δl A δa δf δl A s δs A B B s B Tensore tensione t lim δa δf δa Tensore deformaione d lim δl δs δl I tensori t e d sono legati tra loro dal legame costitutivo del meo Se il meo è indeformabile (d ) il legame costitutivo è di tipo rigido

4 4 Componenti normali e tangeniali Componenti Normali Compressione Contraione Componenti Tangeniali Taglio Distorsione δ F δ F Tensione lim N n lim S δ A δ A δ A δ A δl δ lim Deformaione n γ lim δ δ δ δ NB : In meccanica delle terre prevalgono i fenomeni di compressione ad essi si attribuisce segno positivo. Quindi: γ per applicare le stesse convenioni della Sciena delle Costruioni si deve anteporre un segno meno nella definiione di tensione e di deformaione.

5 5 Ripartiione stati tensionali tra le fasi di un terreno I carichi esterni e le fore di massa agenti sul meo solido continuo ideale sono equilibrati dalle tensioni definite con t lim δa δf δa δf Nel terreno (meo granulare multifase) questa definiione individua le cosiddette tensioni totali [] Queste sono a loro volta ripartite in varia misura tra le diverse fasi (scheletro solido e fluidi) δa t [] Analiando l equilibrio a livello micromeccanico, al contatto tra le particelle si sviluppano le fore intergranulari δf c δf c u δa c NB: ogni seione δa interessa solido fluidi e la somma delle aree di contatto δa c << δa δa

6 6 Sollecitaioni agenti nelle diverse fasi di un terreno t δf c u δa c Nel meo granulare multifase si possono definire: δf c Le tensioni di contatto (molto elevate e discontinue) t c δa lim c δf δa c c >> t La pressione interstiiale, u pressione dell acqua (se la fase fluida è continua) La pressione dell aria, u a NB: Fluidi incapaci di trasmettere sfori di taglio Stato tensionale puramente sferico (cerchio di Mohr punto) Tensioni (vettori o tensori) pressioni (scalari)

7 7 Il Principio delle tensioni efficaci (K. Teraghi, 96) a) Le tensioni in ogni punto di una seione attraverso una massa di terra possono essere calcolate dalle tensioni principali totali, e che agiscono in quel punto. Se i pori della terra sono pieni d acqua ad una pressione u, le tensioni principali totali si dividono in due parti. Una parte, u, agisce nell acqua e nella fase solida, con uguale intensità, in ogni direione. Le differene u, u e u rappresentano un incremento rispetto alla pressione interstiiale ed hanno sede esclusivamente nella fase solida della terra. Questa fraione della tensione principale totale sarà chiamata tensione principale efficace. b) tutti glieffettimisurabili di una variaione dello stato di tensione, come la compressione, la distorsione e la variaione di resistena al taglio, sono dovuti esclusivamente a variaioni delle tensioni efficaci.

8 8 Le tensioni efficaci Si consideri un volume elementare di terreno saturo seionato con una superficie piana attraverso i contatti intergranulari: Equilibrio alla traslaione in direione normale alla seione: Posto i δ N i lim δ A δ A ( ) δ A δ N u δ A δ A δ N u δ A cioè: u i c i i δ N i i δ A u i si ha: si definisce tensione efficace u u δa δn i δt i Per l incapacità dell acqua di trasmettere tensioni tangeniali, l equilibrio alla traslaione trasversale fornisce invece: δ A δ T i i cioè: δt i i δ A In pratica, tensioni tangeniali totali ed efficaci coincidono si usa solo

9 9 Le tensioni efficaci Tensore delle tensioni efficaci [ ' ] [ ] u [ I ] dove [I] matrice identità (I ii, I ij ) [ ] u (la pressione interstiiale u è detta anche pressione neutra )

10 Componenti cartesiane [ ] Riferimento: sistema cartesiano (,, ) ( pedice direione normale, pedice direione componente) Tensori [ ] N. B.: le componenti sono dipendenti dal sistema di riferimento! Equilibrio statico alla traslaione Equaioni indefinite di equilibrio (Cauch) d W d d W W W (W, W, W componenti fore di massa lungo,, )

11 Proprietà di simmetria e reciprocità Equilibrio statico alla rotaione reciprocità tensioni tangeniali Definiione reciprocità deformaioni tangeniali Simmetria dei tensori rispetto alla diagonale esiste un sistema di riferimento ( principale ) in cui il tensore è diagonale Sistema principale delle tensioni

12 Rappresentaione sul piano di Mohr Il cerchio di Mohr descrive la variaione di componenti normali e tangeniali con la direione della normale all elemento di volume in un piano. m m n (, ) V n nm nm n t (, ) O m mn P punto V rappresentativo di ( n, nm ): (piano verticale) punto O rappresentativo di ( m, mn ): (piano oriontale) punto P: polo dei piani Ciò corrisponde a: > se di compressione, > se antioraria.

13 Stati tensionali tipici e cerchi di Mohr Compressione isotropa h v P 4 5 Compressione anisotropa h v 4 Compressione e taglio h H v Taglio puro 5 H P V P H v V V h P H P V

14 4 Componenti principali di tensione e deformaione Riferimento: sistema principale (,, ) [pedice // tensione (deformaione) principale massima/intermedia/minima] Tensori diagonali Valori e coseni direttori (n, n, n ) di tensioni principali si ottengono imponendo soluione non banale al sistema {n}[]{n}, il che richiede: det

15 5 Invarianti di tensione e deformaione L annullamento del determinante corrisponde alla soluione dell equaione di III grado: I I I I (I, I, I invarianti * di tensione del,, ordine) I I Analogamente per le deformaioni: E E E (E, E, E invarianti * di deformaione del,, ordine) E E E * invarianti non dipendono dal sistema,,

16 6 Componenti ottaedrali e invarianti di tensione Piano ottaedrale piano ortogonale alla trisettrice del quadrante,, (coseni direttori n n n /) Proiettando le,, ( considerando l equilibrio del tetraedro): oct oct I ( ) ( ) ( ) I I p tensione media p oct q tensione deviatorica ( ) ( ) ( ) p q I I I q oct p, q invarianti di tensione Queste due grandee (tensionali) descrivono sinteticamente la componente isotropa e quella di taglio dello stato tensionale agente

17 7 Componenti ottaedrali e invarianti di deformaione Nel riferimento principale per le deformaioni, proiettando,, : oct E γ oct ( ) ( ) ( ) E E v deformaione volumetrica v oct s deformaione distorsionale s γ oct ( ) ( ) ( ) v s E E E v, s invarianti di deformaione Queste due grandee (deformative) descrivono sinteticamente la componente isotropa (variaione di volume) e quella deviatorica (variaione di forma) dello stato di deformaione dell elemento.

18 8 Problema tensio-deformativo piano Ipotesi tipica: ogni piano verticale (, ) è di simmetria stato di deformaione piano γ γ in ipotesi di meo elastico tensione principale (indipendente da ) Problemi tipo prove di taglio muri di sostegno travi di fondaione

19 9 Problema tensio deformativo piano Cerchi di Mohr di stato piano tensioni deformaioni t γ γ s s ( ascissa del centro) tensione media nel piano v t ( raggio del cerchio) tensione deviatorica nel piano δl lavoro di deformaione per unità di volume δ δ δ δ δl δ δ... s δ v t δγ

20 Problema tensio deformativo assialsimmetrico Ipotesi: l asse verticale () è di simmetria radiale ovunque e in asse direioni principali oriontale e verticale (questo non è verificato in generale altrove) Problemi tipo prove di compressione fondaioni circolari pali

21 Problema tensio deformativo assialsimmetrico Cerchi di Mohr di stato assialsimmetrico tensioni deformaioni γ δl lavoro di deformaione per unità di volume δ δ δ, δ δ δ L δ δ... p δ v q δ s