STATO TENSIONALE IN UN TERRENO ASCIUTTO

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1 PRINCIPIO DELLE TENSIONI O SFORZI EFFICACI PROF.SSA ANNA SCOTTO DI SANTOLO

2 Indice 1 INTRODUZIONE STATO TENSIONALE IN UN TERRENO ASCIUTTO STATO TENSIONALE IN UN TERRENO SATURO STATO TENSIONALE IN UN TERRENO NON SATURO: CENNI ESPERIENZA DI TERZAGHI di 13

3 1 Introduione I terreni sono un meo particellare multifase a livello macroscopico per cui per comprenderne il comportamento meccanico è necessario stabilire una legge di interaione fra le fasi che consenta di esprimere in che modo si riparticsono gli sfori applicati. Tale legge è nota come Principio degli Sfori o Tensioni Efficaci (PTE, nel seguito) e fu postulato dal Teraghi nel Scopo della presente leione è quello di definire tale principio con riferimento alle condiioni limiti di terreno uro (Sr= 1) e secco (Sr= 0). Si farà qualche cenno anche ai terreni non uri o parialmente uri (0<Sr<1) presenti al di sopra della superficie della falda freatica, e molto diffusi come materiali da costruione (argini fluviali, dighe in terra, rilevati stradali, ecc.). 3 di 13

4 2 Stato tensionale in un terreno asciutto In un terreno asciutto le tensioni al contorno del volume elementare si trasferiscono attraverso lo scheletro solido, precisamente attraverso i contatti fra le particelle, ove le tensioni, dette appunto di contatto, sono elevatissime a causa delle ridottissime aree di contatto. Ciò detto le tensioni, per quanto agenti nel solo scheletro solido, sono idealmente definite ovunque nel meo; quest ultimo nella modellaione viene riguardato come meo continuo, con porosità nulla. Le tensioni agenti, quando riferite allo scheletro solido, sono dette efficaci e sono convenionalmente contrassegnate da un apice. scheletro solido 1 spaio interstiiale (poro occupato da aria a pressione atmosferica) 3 particella solida Figura 1. Stato tensionale in un terreno asciutto 4 di 13

5 3 Stato tensionale in un terreno uro In un terreno uro anche l acqua costituisce una fase continua, per cui è in grado di trasferire il suo peso proprio sotto forma di pressione. Le tensioni applicate al contorno del volume elementare si ripartiscono fra scheletro solido ed acqua. Le particelle solide trasferiscono gli sfori attraverso i contatti interparticellari. scheletro solido 1 fluido interstiiale incompressibile 3 Figura 2. Stato tensionale in un terreno uro Il terreno è considerato come un insieme di continui sovrapposti. Se il meo è uro abbiamo: SCHELETRO SOLIDO, in cui agisce lo stato di sforo sui granelli, rappresentato dalle tensioni efficaci, ij, FLUIDO DI POROSITA, in cui agisce la pressione neutra (u). Il complesso dei due mei viene denominato MEZZO CONTINUO BIFASE che ovviamente rappresenta un materiale immaginario. Tensioni e pressioni sono riferite alla pressione atmosferica, nel senso che il valore nullo corrisponde alla pressione atmosferica (pressioni relative). 5 di 13

6 Nel 1923 Teraghi enunciò il Principio delle Tensioni Efficaci (PTE), secondo cui le tensioni totali, intese come enti agenti nel meo continuo bifase, sono espresse come somma delle tensioni efficaci, agenti nello scheletro solido, e delle pressioni neutre, agenti nell acqua. ij = ij + ij u In cui Equaione 1 ij sono le tensioni totali ij Tensioni efficaci u sono le Pressioni neutre ij è il simbolo di Kronecker che, come ben noto, è pari a: ij = 1 per i j ij = 0 per i j Nel modello bifase l acqua non è in grado di sostenere tensioni tangeniali, per cui queste gravano unicamente sullo scheletro solido. Tale principio può essere espresso con notaione tensoriale: x yx x xy y y x x y yx x xy y y x u y u u Equaione 2 In cui la prima matrice rappresenta il Tensore delle tensioni totali (del secondo ordine), la seconda matrice il tensore delle tensioni efficaci (del secondo ordine) e infine la tera è il tensore della Pressione neutra (di ordine 0) u u = + 3 u Figura 3. 6 di 13

7 Allo scopo di applicare tale principio al calcolo delle tensioni geostatiche si consideri la seione verticale di un deposito sotto falda. Gli equilibri, in cui entrano il peso proprio del meo e le fore esterne, sono soddisfatti dalle tensioni totali. In altri termini le tensioni totali sono ricavabili dalla soluione del problema statico. Per un terreno uro: 1 W 1 W F 11 V 11 F Le pressioni neutre sono ricavabili dalla soluione del problema idraulico: idrostatico o idrodinamico che sia. In condiioni idrostatiche la pressione dell acqua nel generico punto si ricava dal peso proprio della colonna di acqua soprastante. W V 11 F u 11 u 1 W 1 u F 7 di 13

8 La tensione efficace verticale si ricava per differena fra la tensione totale verticale e la pressione neutra direttamente dal PTE: ij ij ij u Equaione 3 Nel caso esaminato otteniamo: u Equaione 4 In cui rappresenta il peso dell unità di volume alleggerito dalla spinta idrostatica. 8 di 13

9 4 Stato tensionale in un terreno non uro: cenni Il terreno non uro è riguardato come un meo ideale costituito da tre mei continui perfettamente sovrapposti e tra loro interagenti: l aria, l acqua e lo scheletro solido. Si definiscono quindi: u a = pressione dell aria, u = pressione dell acqua, ij = tensione totale. Si definiscono: la tensione netta ( ij u a ) e la suione (u a -u ), che rappresentano le variabili tensionali di riferimento per i terreni non uri. Le variaioni di entrambi producono degli effetti misurabili per cui, a rigore il principio delle tensioni efficaci non è applicabile ai mei parialmente uri. Una approssimaione, molto utiliata soprattutto nei codici di calcolo numerici, è la definiione di una nuova variabile tensionale efficace che inglobi le due precedenti. In prima approssimaione si può far riferimento alla seguente tensione efficace: Equaione 5 ij S ij r u ij In cui si assunto che la pressione dell aria sia nulla, Sr rappresenta il grado di uraione. Inoltre siccome la pressione dell acqua è in questo caso minore della pressione relativa dell area risulta essere negativa. Ciò fa si che applicando la relaione 5 si abbiano tensioni efficaci nei mei parialmente uri maggiori delle tensioni totali. L incremento delle tensioni efficaci ha come conseguena positiva un incremento della resistena al taglio ma anche un aumento delle deformaioni. 9 di 13

10 Figura 4. Meo parialmente uro 10 di 13

11 5 Esperiena di Teraghi Lequaione (1) è nota come principio delle tensioni efficaci è stata dedotta dalle osservaioni sperimentali; come si vedrà meglio nel seguito, essa è indispensabile per lo studio del comportamento meccanico dei terreni e per la risoluione dei problemi applicativi. Teraghi arrivò alla conclusione che le tensioni efficaci scheletro solido, affermando nel 1936 le testuali parole: ij sono responsabili del comportamento meccanico dello Tutti gli effetti misurabili di una variaione dello stato di tensione, come la compressione, la distorsione, e la variaione di resistena al taglio, sono esclusivamente dovuti a variaioni delle tensioni efficaci. Si consideri un campione di terreno uro contenuto in un cilindro a pareti indeformabili, Fig. 5 a, sia A la seione trasversale del cilindro. Si sottoponga il campione prima allaione di una fora verticale F (o uno sforo q=f/a) e successivamente di un carico idraulico, come rappresentato in Fig. 5 b e c. Le tensioni totali si ricavano da condiioni di equilibrio alla traslaione verticale così come le pressioni neutre, così some di seguito riportate. Mentre nel caso b) a seguito dell incremento del carico si osservano delle deformaioni nel caso c) non si registrano effetti misurabili. Se si ricavano le tensioni efficaci nei due casi esaminati, per differena in accordo alla eq. 1, si osserva che solo nel secondo caso si determina una loro variaione rispetto la condiione iniiale di riposo. a) b) c) q q = h u u u q u q q q u h u q h Figura 5. osservaioni sul PTE 11 di 13

12 E necessario tener presente che: la tensione totale e la pressione neutra possono essere calcolate o misurate sperimentalmente; la tensione efficace può essere ricavata solo dai valori della tensione totale e della pressione neutra tramite lequaione 1. Analiiamo che cosa accade a livello microscopico. Si consideri una seione B-B di un campione di terreno uro, di area A, Fig. 6. Lungo tale seione è ragionevole ritenere che l aliquota di superficie n (n = porosità) sia occupata da acqua e l aliquota (1-n) da scheletro solido. A B B N F T n 1- n B B Figura 6. ingrandimento della seione BB del campione di terreno Lo sforo normale N al contorno si ripartisce fra scheletro solido (N) ed acqua (U). Lo sforo tangeniale T al contorno, agisce interamente sullo scheletro solido. I meccanismi con cui lo sforo al contorno N si ripartisce fra le fasi sono i seguenti: Sforo sostenuto direttamente dall acqua, in ragione della superficie da essa occupata: U = n u A Sforo sostenuto dall acqua per effetto della sottospinta di Archimede (agente al di sotto dei grani): U s = (1-n) u A Da cui: 12 di 13

13 U = U + U s = u A Equaione 6 a: Pertanto lo Sforo sostenuto dallo scheletro solido attraverso i contatti interparticellari è pari N = N U = ( u) A = A Equaione 7 E lo sforo tangeniale è pari a: T = x A Equaione 8 N A N m N 1 i Equaione 9 Si può affermare che la tensione efficace esprime il rapporto fra gli sfori intergranulari e la seione del campione. 13 di 13