Corso di Idraulica Agraria ed Impianti Irrigui

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1 Corso di Idraulica Agraria ed Impianti Irrigui Docente: Ing. Demetrio Antonio Zema Lezione n. 3: Idrostatica Anno Accademico Generalità L idrostatica studia le relazioni di equilibrio delle forze agenti nei liquidi in quiete e le loro interazioni con i corpi solidi che li circondano Nei liquidi in quiete le singole particelle non subiscono nel tempo alcun spostamento relativo 2

2 Sforzi, pressioni e spinte 3 Forze di massa e di superficie Forze esterne che possono agire su un sistema continuo: Le forze di massa agiscono su tutte le particelle in proporzione alla loro massa (es. forze di gravità) Le forze di superficie si esercitano attraverso la superficie esterna del continuo (es. forze esercitate su di un fluido dalle pareti del recipiente che lo contiene) 4

3 Sforzo Nella meccanica dei sistemi continui hanno importanza non solo le forze esterne,, ma anche le sollecitazioni interne R A R A Per caratterizzare lo stato della sollecitazione in un sistema di forze a risultante nulla che ha dato luogo alla rottura di un corpo, è necessario far riferimento alla forza per unità di superficie 5 Sforzo Se consideriamo il solido diviso in due parti da una superficie A ed assumiamo pari a R la risultante delle forze agenti dall esterno sulla parte di sinistra, il rapporto R/A quantifica lo stato di sollecitazione interna al corpo R A R A 6

4 Sforzo Si voglia conoscere lo stato di sollecitazione in un punto M della superficie A di un corpo Individuato un elemento superficiale infinitesimo da intorno al punto M, si definisce sforzo nel punto M dell elemento elemento da di normale n il rapporto: φ n = dr/da dove R è la risultante delle forze agenti su tale elemento 7 Sforzo Lo sforzo φ n è un vettore e le sue dimensioni sono quelle di una forza diviso una superficie La sua unità di misura nel S.I. è il pascal (Pa), pari ad 1 N/m 2, mentre nel S.T. è il kg/m 2 8

5 Sforzo Per definire lo sforzo φ n è essenziale fare riferimento alla giacitura della superficie su cui tale sforzo agisce, individuata dalla sua normale n 9 Sforzo Per mantenere il sistema in equilibrio,, bisogna trasmettere alla superficie di separazione un complesso di forze tale per cui l equilibrio l sia ancora verificato 10

6 Spinta La spinta Π su una superficie A è la risultante degli sforzi elementari φ n agenti su ciascuna delle superfici elementari da: Π = φ n A da Essa, ovviamente, ha le dimensioni di una forza 11 Pressione In un fluido in quiete tutte le componenti tangenziali degli sforzi dovranno essere nulle in qualsiasi punto Esisteranno pertanto soltanto componenti normali: : tutti gli sforzi φ sono diretti perpendicolarmente alle superfici da su cui agiscono 12

7 Pressione In un fluido in quiete,, gli sforzi φ agenti su tutte le superfici infinitesime passanti per il punto M risultano uguali fra loro indipendentemente dalla giacitura della superficie su cui agiscono (sistema( isotropo rispetto agli sforzi) M 13 Pressione Il modulo di questi sforzi si definisce pressione; ; di solito la pressione si indica con la lettera p Lo sforzo φ n, agente sull elemento di versore (vettore di modulo unitario) normale n, è rappresentato dal prodotto p n 14

8 Pressione La pressione ha le stesse dimensioni dello sforzo e quindi la stessa unità di misura (nel S.I. il pascal = N m -2, nel S.T. il kg m -2 ) 1 2 [ ML ] T 15 Equazione fondamentale dell idrostatica. Distribuzione della pressione in un fluido in quiete 16

9 Equazione fondamentale dell idrostatica Il cilindretto ad asse verticale,, di base pari a da, isolato nel liquido in quiete, è un particolare corpo in quiete, soggetto alla forza peso dg,, alla spinta dπd che il liquido all esterno esercita sulla sua base, ed alla sua spinta dπd 1 che il liquido all esterno esercita sulla sua superficie laterale 17 Equazione fondamentale dell idrostatica A questo cilindretto si può applicare l equazione l cardinale della statica: dg + dπ + dπ 1 = 0 Proiettandola lungo la verticale (orientata, ad esempio, positivamente verso il basso), dπ 1, essendo normale alla verticale, ha proiezione nulla,, per cui l equazione diventa: dg + d Π = 0 γhda pda = 0 da cui: p = γ h 18

10 Equazione fondamentale dell idrostatica p = γ h La pressione su qualunque elemento di superficie orizzontale è proporzionale all affondamento affondamento h dell elemento elemento sotto la superficie libera e pari al peso G di una colonna liquida di altezza h [metri] e di sezione di 1 m 2 Pertanto la pressione cresce all aumentare aumentare dell affondamento del punto sotto la superficie libera 19 Equazione fondamentale dell idrostatica Assunto un piano di riferimento z = 0 e indicato ancora con h l affondamento sotto la superficie libera per due punti 1 e 2,, si può scrivere l eguaglianza l geometrica: z 1 + h 1 = z 2 + h 2 20

11 Equazione fondamentale dell idrostatica poiché p 1 = γ h 1 e p 2 = γ h 2, si ha l equazione: l p z + γ = cost p1 z 1 + = z2 + γ p2 γ Equazione fondamentale dell idrostatica (o legge di Stevino) 21 Equazione fondamentale dell idrostatica 22

12 Quota e altezza piezometrica - altezza geodetica p z + γ = cost L equazione fondamentale dell idrostatica indica che la somma della quota geodetica z [L] di un punto rispetto ad un riferimento orizzontale e del rapporto p/γ rimane costante all interno di un fluido in quiete Il rapporto p/γ [L] prende il nome di altezza piezometrica e viene di solito indicato con h Il binomio z + p/γ si chiama invece quota piezometrica 23 Distribuzione della pressione in un fluido in quiete p z + = cost p = γ ( cost z) = γ cost γ z γ Equazione di una retta di coefficiente angolare γ La pressione varia linearmente con la quota all interno del fluido in quiete e diminuisce con essa,, poiché il coefficiente angolare (- γ) è negativo Le superfici isobariche (p = cost) sono piani orizzontali dp = γ dz 24

13 Distribuzione della pressione in un fluido in quiete p.c.i.a. p a /γ z=0 p.c.i.r. h γ p a p = p a + γ h p p a = γ h Dato che sulla superficie libera di un liquido agisce sempre una pressione p a, detta pressione atmosferica, sul fondo (z = h) la pressione idrostatica è: p = pa + γ h 25 Distribuzione della pressione in un fluido in quiete 26

14 Pressione assoluta e relativa Pressione assoluta (p): è il modulo dello sforzo normale assoluto agente su un elemento di superficie immerso in un fluido Pressione relativa (p r ): differenza tra la pressione assoluta e la pressione atmosferica: p = p r p a La pressione relativa può anche essere negativa, mentre la pressione assoluta può assumere solo valori positivi 27 Piano dei carichi idrostatici I punti per i quali si ha p r = 0 (superficie libera) appartengono ad un piano che viene chiamato piano dei carichi idrostatici relativi (p.c.i.r.) I punti per i quali si ha p = 0 giacciono su un piano che viene chiamato piano dei carichi idrostatici assoluti (p.c.i.a.) 28

15 Piano dei carichi idrostatici z p a /γ z=0 p.c.i.a. p.c.i.r. h γ p a p = p a + γ h p p a = γ h La distanza z fra i piani dei carichi idrostatici relativo ed assoluto è pari a: z = p a γ 29 Piano dei carichi idrostatici z p a /γ z=0 p.c.i.a. p.c.i.r. h γ p a p = p a + γ h p p a = γ h Nel caso in cui p a assuma il valore di 1 atm = 1.02 bar = 102 kpa = Pa (N m -2 ),, si ha: 2 p Nm a z = = = m 3 γ 9806 Nm 30

16 Distribuzione della pressione in un fluido in quiete Dalla legge di Stevino in un fluido in quiete la pressione assoluta o relativa in un punto è pari al prodotto del peso specifico del fluido per l affondamentol del punto stesso sotto il corrispondente piano dei carichi idrostatici (assoluto o relativo) p = γ h p r * = γ h Ne deriva che, nota la pressione in un punto, il piano dei carichi idrostatici sovrasta il punto stesso di una quantità pari all altezza altezza piezometrica h = p/γ 31 Distribuzione della pressione in un fluido in quiete 32

17 Diagramma delle pressioni Rappresenta l andamento l della pressione lungo una parete, sia essa verticale, orizzontale o inclinata Il diagramma ha andamento lineare e parte da zero se la parete contiene la superficie libera 33 Variazione della pressione all interno di un liquido: applicazioni Fluidi non miscibili 34

18 Variazione della pressione all interno di un liquido: applicazioni Gas sovrapposto ad un liquido 35 Variazione della pressione all interno di un liquido: applicazioni Gas sovrapposto ad un liquido + fluido a pressione uguale a p atm 36

19 Variazione della pressione all interno di un liquido: applicazioni Gas sovrapposto ad un liquido + fluido a pressione maggiore di p atm 37 Variazione della pressione all interno di un liquido: applicazioni Gas sovrapposto ad un liquido + fluido a pressione minore di p atm 38

20 Variazione della pressione all interno di un liquido: applicazioni 39 Equazione globale dell idrostatica 40

21 Equazione globale dell idrostatica Forza di massa (G) e di superficie (Π)( agenti sull elemento di volume V occupato dal fluido e supposto isolato G + Π = 0 Equazione globale dell idrostatica 41 Equazione globale dell idrostatica Caso 1: G Il corpo risale in superficie G = peso del volume del corpo supposto occupato dal liquido 42

22 Equazione globale dell idrostatica Π + G = 0 Equazione di equilibrio applicata al corpo intero Equazione globale applicata al volume immerso che si immagina occupato dal fluido G G = peso del volume immerso supposto occupato dal liquido 43 Legge di Archimede Ne deriva che: Π = - G G Legge di Archimede un corpo immerso in un fluido riceve una spinta (Π ) dal basso verso l alto l pari al peso del volume di fluido spostato (G ) 44

23 Equazione globale dell idrostatica Caso 2: P = G Π = - G = - P Peso proprio del corpo immerso La spinta non dipende dalla profondità di immersione 45 Caso 3: Equazione globale dell idrostatica Reazione del fondo 46

24 Spinta idrostatica su superfici piane e curve 47 Definizione di spinta La spinta Π su una superficie A è la risultante degli sforzi elementari φ n agenti su ciascuna delle superfici elementari da: Π = φ n A da Essa, ovviamente, ha le dimensioni di una forza 48

25 Spinta su una superficie piana p 0 = γ h 0 = pressione nel baricentro Il modulo della spinta (S) è uguale al prodotto tra la pressione nel baricentro (p 0 ) e l area l della superficie piana (A) S = p 0 A = γ h 0 A 49 Spinta su una superficie piana Su una superficie parzialmente immersa,, di altezza h e larghezza L, la spinta S vale: S = p o A S = γ h o L h S = γ (h/2) L h = γ h 2 L/2 50

26 Spinta su una superficie piana Con metodo alternativo, calcolando l area del diagramma delle pressioni e moltiplicando per la profondità della parete,, il modulo della spinta S è: S = p h/2 L = γ h h/2 L = γ h 2 L/2 51 Spinta su una superficie piana Sulla stessa superficie, questa volta completamente immersa,, la spinta S vale: S = p o A S = γ h o L a S = γ (a/2+h) L a 52

27 Spinta su una superficie piana In alternativa, calcolando l area del diagramma delle pressioni e moltiplicando per la profondità della parete, il modulo della spinta S è: S = (p( A + p B ) a/2 L = [ γ (h + a) + γ h] a/2 L = (γ( h a + γ a 2 /2) L = γ (h + a/2) L a 53 Spinta su una superficie piana Per definire completamente la spinta S bisogna individuare la retta di applicazione della forza e quindi il punto in cui S incontra la parete (centro di spinta,, C) La spinta agisce sempre ortogonalmente alla superficie sollecitata dalla spinta e la sua retta di azione passa per il baricentro del diagramma delle pressioni Il centro di spinta C non coincide con il baricentro G della superficie premuta dall acqua, acqua, ma sarà sempre posto più in basso Solo nel caso di spinta su superficie orizzontale sarà C = G 54

28 Spinta su una superficie piana Nel caso di parete rettangolare parzialmente immersa (diagramma delle pressioni triangolare) la retta di applicazione della spinta S passa ad una distanza pari ad un terzo dell altezza del diagramma a partire dalla base 55 Spinta su una superficie piana 56

29 Spinta su una superficie piana Sia A una superficie immersa in un liquido e giacente su un piano che forma un angolo α con l orizzontalel Retta (o linea) di sponda: intersezione della superficie A con il p.c.i. 57 Spinta su una superficie piana Coordinate del suo punto di applicazione o centro di spinta: ξ, η y p.c.i. x0 ξ A η x 58

30 Spinta su una superficie piana Si applicano le equazioni di equilibrio dei momenti attorno agli assi y ed x L ascissa del centro di spinta (ξ) è data dal rapporto tra il momento d inerziad ed il momento statico della superficie su cui si esercita la spinta, entrambi calcolati rispetto alla retta di sponda ξ = I y M y 59 Spinta su una superficie piana Per l ordinata (η) del centro di spinta, si ha: η = I M xy y L ordinata del centro di spinta è data dal rapporto tra il prodotto d inerziad rispetto alla retta di sponda ed alla retta di massima pendenza ed il momento statico della superficie A rispetto alla retta di sponda 60

31 Spinta su una superficie piana 61 Spinta su una superficie curva (con applicazione dell equazione equazione globale) Equazione globale (G G + Π = 0) applicata al volume ABC: Π = Π ABC + Π AC G + Π = G + Π ABC + Π AC = 0 Spinta esercitata dal fluido su ABC: - Π ABC S = - Π ABC = G + Π AC 62

32 Elementi di statica delle superfici piane 63 Elementi di statica delle superfici piane Momento del primo ordine o momento statico M X = A y da M y = x da A 64

33 Elementi di statica delle superfici piane Momento del secondo ordine o momento di inerzia I y = A x 2 da I x = 2 A y da 65 Elementi di statica delle superfici piane Prodotto di inerzia o momento centrifugo I xy = A x y da 66

34 Elementi di statica delle superfici piane Teorema di Varignon h c = γ I/S h c = affondamento del centro di spinta rispetto alla superficie libera γ = peso specifico del liquido S = spinta idrostatica I = momento di inerzia della superficie su cui agisce la spinta rispetto alla superficie libera 67 Elementi di statica delle superfici piane Teorema di Varignon I si calcola come: I = I o + A h 2 o I o = momento di inerzia baricentrico A = area della superficie h o = distanza tra il baricentro della superficie e la superficie libera 68

35 Calcolo dei momenti del primo e del secondo ordine delle figure geometriche più comuni Momento statico S = A a cm 3 H 3 2 ( H 2 2 h H ) 2 BH H ( BH ) 2 H ( BH bh ) 2 69 Calcolo dei momenti del primo e del secondo ordine delle figure geometriche più comuni 70