La distribuzione delle pressioni all interno di un fluido in quiete, pesante e incomprimibile, è governata da:

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1 Statica 1 Distribuzione delle pressioni La distribuzione delle pressioni all interno di un fluido in quiete, pesante e incomprimibile, è governata da: z+p/= cost LEGGE DI STEVINO Indicando con h l affondamento rispetto al piano dei carichi idrostatici, la pressione in un punto posto a profondità h risulta pertanto: p=h Nota la pressione in un punto, la legge di Stevino ci consente di individuare con facilità la distribuzione delle pressioni nell intera massa liquida. E su tale proprietà che si basano la maggior parte degli strumenti per la misura della pressione. Il più semplice è il piezometro. Esso è costituito da un tubo, verticale o inclinato, aperto in sommità e collegato all altra estremità con il recipiente contenente il liquido. All interno del tubo, il liquido si innalzerà fino alla quota del piano dei carichi idrostatici. Se le pressioni del liquido sono elevate e quindi il piano dei carichi idrostatici è molto alto, il dispositivo risulta di difficile attuazione pratica e conviene adottare un manometro semplice. Questo è costituito da un tubo ad U di cui una estremità è in collegamento con il recipiente contenente il fluido, l altra è in comunicazione con l atmosfera. Nella parte inferiore del tubo ad U si dispone un liquido con peso specifico superiore a quello del fluido nel recipiente. Solitamente si usa mercurio (m= N/m ). Per effetto della pressione nel recipiente il liquido monometrico si porterà a quote diverse nei due rami del manometro e si potrà leggere facilmente il dislivello. Applicando Stevino: 1

2 Essendo h l affondamento del menisco M sotto il piano dei carichi idrostatici. Se le pressioni sono molto alte anche i manometri semplici trovano difficoltà pratiche di attuazione e conviene utilizzare manometri metallici, fra i quali il modello più comune è quello di Bourdon. Tali strumenti si basano sulle deformazioni elastiche dei corpi solidi. Il manometro di Bourdon, è essenzialmente costituito da un tubo metallico di sezione ellittica, piegato a forma di cerchio. Un tale tubo ha la proprietà di espandersi quando all'interno di esso si esercita una pressione (e ciò perché la sezione ellittica tende ad assumere Ia forma circolare, e il tubo tende a raddrizzarsi). Il tubo T ha l'estremo A fisso, mentre l'estremo B è libero di muoversi: i suoi movimenti sono trasmessi mediante l'asta C alla leva D, alla quale è attaccato un indice scorrevole su di una scala. Questo strumento richiede un apposita taratura. Di norma si effettua in modo tale che la pressione indicata dalla strumento sia pari a quella della quota relativa al baricentro dello strumento stesso. Quando infine si voglia valutare il dislivello tra i piani dei carichi idrostatici di due masse liquide, contenute in diversi recipienti, si utilizza il cosiddetto manometro differenziale, costituito da un tubo ad U contenente un liquido con peso specifico maggiore di quello dei fluidi nei due recipienti. Nel caso di recipienti contenenti lo stesso liquido, letto il dislivello tra i due menischi, applicando Stevino: Il manometro differenziale non consente quindi di ricavare la quota dei piani dei carichi idrostatici ma solo il loro dislivello. Nel caso in cui i due recipienti contengano liquidi con diverso peso specifico con ragionamento del tutto analogo, si ottiene:

3 Spinta su superficie piana La spinta su di una superficie piana, comunque inclinata, è una forza diretta normalmente alla superficie stessa con modulo pari al prodotto della pressione po nel suo baricentro per l area della superficie. S= poa=hoa Assumendo un riferimento cartesiano con asse x coincidente con una retta di massima pendenza del piano in cui giace la superficie e asse y coincidente con la retta di sponda (intersezione tra il piano dei carichi idrostatici e il piano della superficie), il centro di spinta avrà coordinate: I M I xy M Essendo I il momento di inerzia della superficie rispetto alla retta di sponda, Ixy il momento centrifugo della superficie rispetto agli assi x e y, M il momento statico della superficie rispetto alla retta di sponda. 3

4 Nel caso frequente di superficie rettangolare con due lati di lunghezza L orizzontali, indicando con l angolo formato dalla superficie con l orizzontale e con h1 e h gli affondamenti dei lati orizzontali sotto il piano dei carichi idrostatici, il modulto della spinta vale: S L ( h h 1) sen Il centro di spinta, per simmetria, giace sulla mediana di massima pendenza e sulla normale alla superficie che passa per il baricentro del diagramma delle pressioni. In particolare, se il lato superiore del rettangolo giace sul piano dei carichi idrostatici (h1=0), si ha: L S h sen L b sen sen o x G b 6 o 3 b 4

5 Esercizi 1) Sia dato un serbatoio a pareti verticali contenente acqua. Il livello del pelo libero all interno del serbatoio sia h. Si determini la pressione sul fondo e si disegnino i diagrammi delle pressioni. Pfondo=h ) Sia dato un serbatoio a pareti verticali contenente tre strati di liquido di densità rispettivamente 1,, 3. Siano h1, h e h3 gli spessori dei tre liquidi. Si determini: - la pressione sulle superfici di separazione dei liquidi e sul fondo del serbatoio. - la posizione del P.C.I. di ciascun fluido - i diagrammi delle pressioni p A =1*g*h1 p B =1*g*h1+*g*h p C =1*g*h1+*g*h++3*g*h3 3) Si consideri il serbatoio in figura. Determinare la distribuzione delle pressioni. PCI Pn hc Pn+*h hc=pn*10 5 /m 4) Si consideri il serbatoio in figura. Determinare l indicazione del manometro semplice e del manometro metallico. (=0.86 m, n=1.59 bar) n = *h1/(10^5)= 1.59 bar 5

6 =h*m = 0.86 m 5) Si consideri la situazione rappresentata in figura. Si determini la pressione sul fondo e sulla sommità del serbatoio. (Psommità = Pa, Pfondo = Pa) s c f n pn = m=*10^4 Pa hn=m/m pf= pn+ h =.09*10^4 Pa pc= pn- h1 = 1.43*10^4 Pa hc=pc/m ps=pc-*h = 9.88*10^3 Pa 6) Determinare l indicazione del manometro differenziale (Δ = 0.40 m). m 7) Si consideri il serbatoio dell esercizio 3. Si calcoli la spinta idrostatica S ed il punto di applicazione sulla superficie piana AA. (S= N) Sliquido=*(hc+h/)*h*a = N Saria=pn*(H-h)*a = N S=Saria+Sliquido Coordinate dei punti di applicazione delle spinte Saria e Sacqua, misurate a partire dalla retta di sponda (cioè dell intersezione fra il prolungamento della superficie AA e il PCI: aria = G = hc (H h)/ = m acqua = G + o = (hc+h/) + IG/Mst = m dove: IG = 1/1*a*h 3 momento d inerzia baricentrico della superficie premuta 6

7 Mst = (hc+h/)*a*h momento statico della superficie premuta rispetto alla retta di sponda Saria*aria + Sacqua*acqua = S * S S = m 8) Determinare la reazione necessaria per mantenere chiusa la paratoia in figura (R=78867 N). Soluzione: hg=h+a/*sen(50 ) = 3.76 m S=hG*a^ = N = G + o = (hg/sen(50 )) + IG/Mst = 4.97 m dove: IG = 1/1*a*a 3 = 1.93 m^4 Mst = hg/sen(50 )*a*a = m^3 b= h/sen(50 ) = m S*b=R*a R = 7804 N 9) Determinare la spinta sulla superficie AA di sezione circolare. (S=147 N). 7

8 PCIg1 h PCIg C Pc = *(h-d*cos(h h = 0.63 m S = (h + D/*cos(D /4 = 145 N 10) Trovare la spinta risultante e la posizione del centro di spinta che agisce su una paratoia rettangolare di dimensioni ab, sommersa come indicato nella figura. Soluzione 1 1 h 1 h h 1-h ) 1 b h1 b / 1 ( h b / ) 1 h b b / 1 ( h b / ) )) 1 1 ( ( h1 h 11) Determinare il valore della spinta idrostatica e la posizione del centro di spinta sulla parete rettangolare divisoria di larghezza b= m, =60 del serbatoio d acqua rappresentato in figura (1==10000 N/m 3 ). (S= N, =1.64 m) r.s. 8 x s r.s. h 1 =.4 m

9 Soluzione 1 1 z=0 h 1 h h 1-h ) Considerando 1 = = N/m 3, i valori della spinta su ogni lato della parete e l affondamento dei rispettivi centri di spinta sono: h.4 h 1.4 b N b N sen sen h m h1 h.3 m 3 sen 3 sen La spinta totale è la somma di 1 e e l affondamento del centro di spinta rispetto alla retta di sponda si può determinare considerando l equilibrio dei momenti rispetto a questa retta come segue: N m 1 1 considerando che la parete premuta è simmetrica rispetto all asse longitudinale; le coordinate (s,x) del centro di spinta risultano: cs (b/,(1,1.64) 9