BOZZA. Lezione n. 8. Il metodo dell equilibrio: esempio #2 Scelta dei movimenti indipendenti I coefficienti di ripartizione

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1 ezione n. 8 Il metodo dell equilibrio: esempio #2 Scelta dei movimenti indipendenti I coeicienti di ripartizione In questa lezione, sempre utilizzando un esempio, si discuterà della scelta dei movimenti indipendenti in una struttura e si introdurrà il concetto di coeiciente di ripartizione. a struttura analizzata, riportata nella igura seguente è ancora costituita da una trave inlessa, a due campate, che quindi può essere suddivisa nelle due aste e. In generale, la deinizione della deormata della struttura richiede la conoscenza degli spostamenti dei tre nodi, e. ei nove movimenti nodali, 5 sono impediti dai vincoli (le tre componenti di spostamento in, gli spostamenti verticali in e ), per cui la struttura può essere risolta, nell ottica del metodo dell equilibrio, impostando un problema con quattro incognite, costituite dai restanti valori incogniti degli spostamenti nodali: nodo : wx vx ϕx nodo : w vx ϕ per condizioni vincolari nodo : w vx ϕ a particolare condizione di carico, caratterizzata dall assenza di orze in direzione dell asse longitudinale della trave, permette di aermare che i valori degli spostamenti orizzontali dei tre punti, e debbano essere uguali tra loro, non essendoci deormazione longitudinale dell asse della trave. al momento che le condizioni vincolari impongono w =0, ne consegue che anche i valori degli spostamenti w e w saranno uguali a zero, riducendo il numero delle incognite da quattro a due. nodo : wx vx ϕx nodo : wx vx ϕ per condizioni vincolari e condizione di carico nodo : wx vx ϕ In realtà la struttura può essere studiata anche ricorrendo ad un solo movimento indipendente, e quindi impostando il problema con una sola incognita: il movimento ϕ può inatti essere visto come movimento dipendente dagli altri. Nel caso in esame, ϕ può quindi esprimersi in unzione dell unico movimento indipendente rimasto, ossia ϕ. E possibile rendersi conto della veridicità di questa aermazione pensando alla linea elastica di una singola membratura, quindi di una trave composta da una sola campata con vincoli soltanto alle estremità. Suddividendo la trave nei due tratti che la compongono, ed operando in maniera analoga a quanto già atto in precedenza, si può inatti pervenire alla soluzione della trave anche impostando come unico parametro di spostamento incognito il valore dello spostamento ϕ. nche per il tratto, indipendentemente dal tipo di carico applicato lungo la campata della trave si può inatti aermare che la conoscenza dello spostamento (per ora incognito) ϕ è suiciente a deinire completamente lo stato di deormazione e di sollecitazione della membratura. /2 OZZ /2 Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni Revisione 11/11/01

2 ezione n. 8 pag. VIII.2 ϕ ϕ ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) = φ( ) φ v = Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ /2 ( ) 0 ( ) = φ( ) φ /2 ( ) 0 ( ) = EJv ( ) 0 = Per entrambe le travi, la scrittura delle condizioni cinematiche e statiche consente di deinire un numero di condizioni al contorno suicienti all integrazione della linea elastica, separatamente per ognuno dei due tratti (*). parte il tratto di sinistra (che è già stato discusso in precedenza), per il tratto di destra non è quindi necessaria la conoscenza del valore di ϕ per risalire all espressione della linea elastica del tratto e, per successiva derivazione, alla determinazione dello stato di deormazione e di sollecitazione in tale tratto. Il movimento ϕ può quindi essere ricavato in dipendenza dal valore della rotazione ϕ, in maniera del tutto analoga a quanto già aermato a proposito del valore del momento lettente. a dipendenza del valore della rotazione ϕ da ϕ può essere acilmente spiegata osservando che il particolare vincolo in ornisce una condizione statica (l annullamento del momento lettente ) in sostituzione della condizione cinematica sul valore della rotazione. In altre parole, la conoscenza di una condizione di tipo statico in una sezione rende superlua la deinizione del valore della rota- (*) eettiva integrazione della linea elastica nel caso in esame sarebbe in realtà un po più laboriosa e richiederebbe la deinizione di 8 condizioni per deinire le costanti di integrazione. a presenza della orza concentrata in rende inatti discontinuo il diagramma del taglio in tale sezione, obbligando quindi a suddividere l integrazione della linea elastica in due tratti distinti, il tratto ed il tratto. Per entrambi i tratti, l equazione da integrare è del tipo EJ v ( IV ) = 0 in quanto non si hanno carichi distribuiti lungo l asse della trave, ed i due domini di integrazione sono deiniti su un intervallo di lunghezza /2. ( IV EJ v ) 1 = ( ) 0 ( ) v 1 = v = 1 φ 0 /2 ϕ /2 v1 ( ) = v2( ) v1 ( ) = v 2( ) v1 ( ) = EJ v ( ) ( ) = EJ v ( ) EJ 2 EJ v ( IV EJ v ) 2 = 0 ( ) 0 EJ v 2 ( ) = 0 v 2 = e quattro condizioni, deinite come condizioni di raccordo, scritte in corrispondenza della sezione garantiscono il atto che lo spostamento verticale, la rotazione ed il momento lettente siano, in tale sezione, continui, mentre il taglio presenti una discontinuità pari a. OZZ SOGGETT REVISIONE

3 ezione n. 8 pag. VIII.3 zione nella stessa sezione, che può quindi essere ricavato in un momento successivo una volta integrata l equazione della linea elastica. Il atto è congruente con l osservazione, già atta a proposito del principio di identità, per cui non è possibile, in maniera arbitraria, assegnare in una stessa sezione di estremità di una trave, sia il valore del momento lettente che il valore della rotazione. E inatti la rigidezza della trave (intesa in senso lato) a governare il collegamento tra il valore della rotazione e quello della coppia applicata, per cui tali valori risultano tra loro intimamente connessi. Tutte le volte in cui le particolari condizioni di vincolo permettano di speciicare una condizione statica nella sezione di estremità della trave, risulterà quindi superluo introdurre il movimento correlativo nel novero dei movimenti da considerare indipendenti. E inine da sottolineare il atto che l evitare il ricorso alle considerazioni atte, e continuare quindi a studiare la struttura con due movimenti indipendenti, non costituisce un ostacolo alla soluzione della struttura stessa, come verrà meglio evidenziato in lezioni successive. Nel caso in esame, il considerare due movimenti indipendenti per la trave comporta soltanto un onere calcolativo maggiore, essendo necessario impostare un problema un po più complesso, ma conduce esattamente agli stessi risultati che si ricaverebbero risolvendo la struttura con un solo movimento indipendente (**). In ultima analisi, la struttura in esame può quindi essere risolta operando, nell ottica del metodo dell equilibrio, con il solo movimento indipendente ϕ. ϕ =? Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni nalogamente a quanto atto introducendo il metodo dell equilibrio, una volta identiicati i movimenti indipendenti, si opererà quindi in due asi: - ase I: soluzione della struttura con movimenti indipendenti bloccati - ase II: soluzione della struttura con movimenti indipendenti consentiti ed azioni soltanto nei nodi ase I: struttura con movimenti indipendenti bloccati Nella prima ase si impediscono nella struttura i movimenti assunti come indipendenti. Occorre quindi inserire un vincolo ausiliario ( morsetto ) in in modo da imporre ϕ =0. (**) /2 OZZ E già stato indicato il atto che il metodo dell equilibrio, più del metodo della congruenza, si presta ad una automatizzazione del procedimento di calcolo di strutture iperstatiche, ossia all implementazione di algoritmi di soluzione all interno di un elaboratore elettronico. Nel caso della soluzione tramite elaboratore, tutti i movimenti nodali incogniti (indipendentemente da osservazioni sui carichi, sull eventuale dipendenza di alcuni di questi da altri, sulla presenza di possibili simmetrie) vengono assunti come movimenti indipendenti, al ine di costruire una procedura che risulti di carattere generale e scollegata dalle particolari condizioni della travatura in esame. a riduzione dei movimenti indipendenti al loro numero minimo risulta quindi di una certa importanza soltanto quando si operi manualmente, con il ine di diminuire il numero di calcoli da eettuare. /2 /2 /2 OZZ SOGGETT REVISIONE

4 ezione n. 8 pag. VIII.4 a presenza del vincolo in a sì che tale sezione sia, di atto, impedita di compiere qualunque spostamento, dal momento che v =0 per la presenza dell appoggio e w =0 per la condizione di carico esaminata. Si può allora suddividere la struttura nei due tratti e inserendo in un incastro. Il tratto, scarico, non richiede ulteriori approondimenti. Il tratto può invece essere analizzato, considerando inizialmente una trave con un vincolo un po diverso, impedendo, per il momento anche la rotazione in. /2 Il punto, per simmetria della struttura e del carico, può abbassarsi ma non ruotare. i conseguenza si ha: /2 /2 entre il valore della reazione verticale in assume il valore /2 per il rispetto dell equilibrio alla traslazione verticale, il valore del momento lettente in può essere ricavato nell ottica del metodo della congruenza, come il valore della sollecitazione che impedisce la rotazione delle due sezioni in e. Si ha quindi / 2 / 2 / 2 / 2 2 dφ ( ) ( ) () z φ φ = dφ = dz = dz = z dz dz EJ + = Imponendo i valori nulli alle rotazioni in e si ottiene 2 0 = + = /8 /2 /2 V OZZ /2 /2 =/8 /2 /2 /2 /2 Il valore del momento in è stato ricavato per equilibrio alla rotazione: = = + = Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

5 ezione n. 8 pag. VIII.5 Sruttando la simmetria, si possono quindi riportare i valori delle reazioni vincolari, disegnare i diagrammi e la deormata del tratto (per ora considerando ancora nulla la rotazione in ). /8 /2 /8 /2 /2 /2 /2 /2 /8 /8 a soluzione della trave è a questo punto abbastanza agevole: basta inatti osservare che il caso da studiare può essere scomposto nei due casi seguenti (***) : /8 /2 /8 /2 OZZ /2 /8 /2 /2 /8 = /2 /8 /2 + /2 /16 3/16 /8 /16 /8 T /8 3/16 (***) E da notare che tale modo di procedere rappresenta (nel caso del tratto in esame) un applicazione diretta del metodo dell equilibrio. asta viene inatti risolta inserendo dapprima un vincolo ausiliario (il vincolo che impedisce la rotazione in ) - e quindi operando secondo quella che è stata deinita come ase I - e successivamente rimuovendolo, attraverso l applicazione di una coppia uguale ed opposta alla reazione del vincolo ausiliario (analogamente alla ase II nel metodo dell equilibrio) Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

6 ezione n. 8 pag. VIII.6 a cui si ottiene: 3/16 11 /16 3/16 /2 5/32 /2 OZZ 5/16 a soluzione della trave in ase I porge quindi il risultato riportato in igura seguente. ase I: diagrammi inali 3/16 /2 /2 11 /16 5/16 11 /16 3/16 5/32 ase II: struttura con movimenti indipendenti consentiti ed azioni soltanto nei nodi Nella seconda ase occorrerà risolvere la struttura nella quale vengano rimossi i vincoli ausiliari posti in ase I, determinando i valori eettivi dei movimenti indipendenti. Nel caso in esame, l eliminazione del vincolo ausiliario in è equivalente all applicazione, in tale sezione, di un momento lettente uguale ed opposto alla reazione vincolare esercitata in ase I. Si ottiene quindi la trave riportata in igura: 5/16 T Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

7 ezione n. 8 pag. VIII.7 ϕ =? in cui, per semplicità di scrittura, si è posto 3 = 16 a soluzione della travatura può essere ricavata suddividendola nei due tratti che la compongono e utilizzando il concetto di rigidezza. Il collegamento tra il valore della rotazione in ed i momenti alle estremità delle membrature ornisce inatti: =t =2R ϕ ϕ =4R ϕ trave incastro-appoggio: rigidezza alla rotazione in : K =4R coeiciente di trasmissione: t=+1/2 OZZ =3R ϕ ϕ trave incastro-appoggio: rigidezza alla rotazione in : K =4R coeiciente di trasmissione: t=+1/2 a condizione di equilibrio ornisce quindi + = o anche K φ + K φ = in cui si sono indicate sia le rigidezze alla rotazione che i momenti con un doppio indice, evidenziando la sezione alla quale tali grandezze si rieriscono (primo indice) ed il tratto al quale sono relative (entrambi gli indici). Il valore della rotazione può quindi essere ricavato attraverso l espressione ( K + K ) φ = φ = K in cui si è posto K = K + K a grandezza K, che è costituita dalla somma delle rigidezze alle rotazione in di tutti i tratti concorrenti nel nodo, prende il nome di rigidezza alla rotazione del nodo. Sostituendo i valori relativi ai vari tratti si ha: K = K + K = 4R + 3R = 7R 1 φ = = K 7R I valori del momento lettente alle estremità delle membrature ammontano quindi a: Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

8 ezione n. 8 pag. VIII.8 4 = K φ = 4R = 7R 7 3 = K φ = 3R = 7R 7 Il risultato ottenuto può essere sintetizzato come segue: il momento applicato si ripartisce tra le membrature della trave in misura proporzionale alle rispettive rigidezze. Per ogni tratto inatti si ha che, alle estremità, agisce una razione del momento totale pari a: K J J = KJ φ = KJ = K K in cui, con J, si è indicato il secondo indice relativo al tratto cui tale momento si rierisce (quindi J=,). Si può riscrivere l equazione precedente introducendo il concetto di coeiciente di ripartizione del tratto J, indicato con ρ J e deinito dalla relazione K ρ J J = K che rappresenta la quota parte di momento applicato in assorbita dalla membratura con estremità nei nodi e J. In termini più generali, se in uno stesso nodo conluiscono n aste, si deinirà coeiciente di ripartizione dell asta j-esima (delimitata dal nodo e dal nodo J) la grandezza ρ J rappresentata da un numero puro e deinita da K ρ = J J n KI i= 1 in cui il termine al denominatore prende il nome di rigidezza (alla rotazione) del nodo e si può indicare semplicemente con K n K = K I i= 1 Nella relazione precedente si è supposto che la i-esima asta abbia estremi nei nodi e I. ata la deinizione introdotta, è ovvia la validità della relazione n ρi = 1 i= 1 ossia la somma dei coeicienti di ripartizione di un nodo, estesa a tutte le aste concorrenti in tale nodo, assume un valore pari all unità. adozione del concetto di coeiciente di ripartizione permette di stabilire immediatamente l aliquota di momento assorbita da ognuna delle aste conluenti in uno stesso nodo senza avere la necessità di determinare l eettivo valore della rotazione del nodo in esame. Rierendoci al caso oggetto di studio, potremmo inatti deinire immediatamente i valori dei due coeicienti di ripartizione K 4R 4 K 3R 3 ρ, ρ = = = = = = K + K 4R + 3R 7 K + K 4R + 3R 7 e di conseguenza aermare che OZZ Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

9 ezione n. 8 pag. VIII = ρ =, = ρ = 7 7 senza avere quindi bisogno di ricavare il valore della rotazione ϕ. Si ottengono perciò i risultati in igura: =2/7 =4/7 2/7 6/(7) ϕ 4/7 6/(7) =3/7 3/7 OZZ ϕ 3/(7) 3/(7) questo punto, la soluzione della trave in ase II si può determinare combinando i risultati dei singoli tratti, ottenendo i graici riportati in igura in termini di reazioni vincolari, diagrammi del taglio, diagramma del momento e deormata. =2/7 6/(7) 2/7 6/(7) ase II: diagrammi inali 3/7 4/7 3/(7) 3/(7) 3/(7) T ϕ = /(7R) Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

10 ezione n. 8 pag. VIII.10 omposizione delle due asi Sommando i risultati ottenuti nelle due asi è possibile pervenire ai risultati inali, riportati in igura seguente in termini di reazioni vincolari, diagramma del momento lettente e deormata. 3 /56 3 /56 9 /56 3 /56 9 /56 3 /56 3 /16 3/16 3 /16 /2 5/32 /2 11 /16 5/16 9 /112 3/16 9 /112 3 /28 OZZ /2 /2 9 / /56 11 /28 3 /28 11 /56 ase I ase II ase I + ase II ϕ = 3 /(112R) Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

11 ezione n. 8 pag. VIII.11 eterminazione del valore di ϕ lla luce delle considerazioni atte all inizio della lezione, dovrebbe a questo punto essere possibile ricavare il valore della rotazione in, assunto come movimento dipendente dagli altri (e quindi da ϕ ). Sruttando ancora il PSE, si può aermare che il valore di ϕ può essere ricavato sommando al valore che tale grandezza assume in ase I il valore da essa assunto in ase II. Isolando il solo tratto si ottengono i risultati riportati nel seguito. ase I Scomponendo il caso in esame nei due disegnati si ottiene: 3 /16 (I) ϕ = /8 da cui /2 () 1 φ I = 0 + = 8 4 R 32 R ase II 3/7 ϕ ase I + ase II φ ϕ (II) /2 /8 ϕ =0 + /2 () I ( II) 1 3 = φ + φ = + 32 R 224 R = /2 /16 ( ) = = 7 6R 14 R φ II = R OZZ R ϕ /8 Osservazione: per la trave in igura si è già notato che ( II φ ) φ = 2 Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE