Esercizio 1. Travatura reticolare iperstatica. Carpentieri Gerardo 20/06/2009

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1 Scienza delle Costruzioni Travatura reticolare iperstatica Carpentieri Gerardo //. Descrizione preliminare della struttura. Studio della struttura S. Studio della struttura S. Calcolo dell incognita iperstatica e degli spostamenti nodali

2 . Descrizione preliminare della struttura È data una travatura reticolare iperstatica Figura Struttura S con aste aventi sezione di area A = - e modulo di Young E. Calcolare con il metodo delle forze gli sforzi nelle aste e gli spostamenti dei nodi supponendo ce sia = -. In primo luogo si procede allo studio del grado di iperstaticità della struttura utilizzando la formula: t s l i, dove: - t è il numero di tronci () - s è la somma delle molteplicità dei vincoli esterni ed interni () - l è il grado di labilità () - i è il grado di iperstaticità (). In definitiva la struttura in Figura risulta una volta iperstatica. ello spirito del metodo delle forze occorre individuare, tra le infinite soluzioni equilibrate, l unica ce risulta ance congruente. Il modo più semplice è considerare lo scema isostatico principale nel quale è stata introdotta l incognita iperstatica, corrispondente allo sforzo normale dell asta (sistema S ). In seguito si considera lo scema S sul quale agiscono le azioni esterne della struttura S e tutti i cedimenti e le distorsioni consentiti dai vincoli. Infine si analizza lo scema S ce contiene l incognita iperstatica posta ad un valore unitario.

3 Per la scrittura delle equazioni di congruenza in forma variazionale è possibile utilizzare il Principio dei avori Virtuali Complementare (PVC), utilizzando come tensioni virtuali i soli sforzi normali delle aste nello scema S e come deformazioni quelle della struttura S di partenza, ce si ottengono utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti. Siccome lo sforzo normale è costante nelle aste, gli integrali del PVC diventano delle sommatorie su tutte le aste. Il PVC per un corpo continuo si scrive: T dv T dv Tnu ds, T. C C Dove: - δt è il tensore di tensione virtuale - ε ed ε* sono i tensori di deformazione elastica e delle distorsioni - u* è il vettore dei cedimenti vincolari. Si nota ce, nel caso della travatura reticolare assegnata, il problema è semplificato percé alcuni degli sforzi normali nelle aste sono nulli e non ci sono distorsioni. C

4 . Studio della struttura S o scema della seguente figura risulta isostatico ed è possibile trovare le reazioni dei vincoli esterni dall equazione di equilibrio alla traslazione verticale e da quella alla rotazione intorno alla cerniera in A. Ay Ay. Per il calcolo degli sforzi normali nei nodi è stato utilizzato il metodo dell equilibrio ai nodi. odo A Ay odo E Figura Struttura S

5 odo C odo F ) ( odo G odo D odo B odo H

6 . Studio della struttura S o scema della seguente figura risulta isostatico e le reazioni dei vincoli esterni sono nulle percé, assieme con i carici esterni, devono costituire un sistema di forze equivalente a zero. Ay Per il calcolo degli sforzi normali nei nodi è stato utilizzato il metodo dell equilibrio ai nodi. odo A odo E odo C Figura Struttura S

7 odo G odo D Per simmetria: ella seguente tabella riassuntiva si riportano i risultati ottenuti dai due scemi analizzati, assumendo l incognita iperstatica pari a uno. Asta ungezza Scema S Scema S Tipo Asta Sforzo normale Sforzo normale Tipo Asta l Puntone Scarica l Scarica Scarica l Tirante Scarica l Puntone Scarica l Puntone l Tirante l Scarica l Puntone Puntone Puntone Tirante Puntone l Puntone Puntone l Scarica Scarica l Scarica l Puntone Scarica l Puntone Scarica

8 . Calcolo delle incognite iperstatice e degli spostamenti nodali Il PVC, applicato in questo caso, diventa:. iportando solo gli sforzi normali virtuali non nulli: Sostituendo gli sforzi normali trovati prima: iordinando i termini:. uindi: ) (. È possibile calcolare gli sforzi normali nella struttura S con la relazione:. ) ( ) (

9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Per determinare gli spostamenti dei nodi, verticali v ed orizzontali w, si utilizza la relazione matriciale: Dove: Cs. - C è la matrice cinematica - s è il vettore degli spostamenti incogniti: A A B B C C D D E E F F G G H T H s : v w v w v w v w v w v w v w v w - Δ è il vettore dei termini noti, degli allungamenti / accorciamenti delle aste. allungamento della generica asta i j, soggetta a degli spostamenti v e w agli estremi, è pari a: ij w j wi ij v j vi sen ij s cos. oto lo sforzo normale e la rigidezza estensionale della generica asta è possibile calcolare l allungamento dell asta: s ij ij ij ij sij ij. ij

10 Applicando le precedenti relazioni si ottengono le seguenti equazioni: AC s AC wc wa AC CD scd wd wc CD ( ) DB s DB wb wd DB BH sbh vb vh BH GH sgh wh wg GH FG sfg wg wf FG ( ) AAE s AE va ve AE CF scf vc vf CF ( ) DG sdg vd vg DG ( ) EC sec wc w E vc ve EC FD sfd wd wf v F vd FD DH sdh wh w D v D vh DH. Ovviamente deve poi risultare: v A = w A = v B =. e equazioni di sopra si possono riscrivere in forma matriciale. Invertendo la matrice cinematica è possibile ricavare le incognite.

11 C