Capitolo 4. L equilibrio dei solidi

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1 Capitolo 4 L equilibrio dei solidi 1

2 L equilibrio dei corpi Un corpo è in equilibrio quando è fermo e rimane fermo. 2

3 Il modello del punto materiale Un punto materiale è un oggetto che è considerato un punto perché è piccolo rispetto all ambiente in cui può muoversi. Un punto materiale può traslare ma, non avendo dimensioni, non può ruotare né deformarsi. Un pallone da calcio è piccolo rispetto al campo. Può essere descritto come un punto materiale. Il punto materiale è un modello, cioè una descrizione semplificata di un oggetto reale (non consideriamo le sue rotazioni e deformazioni). 3

4 Il modello del corpo rigido Per studiare il moto di rotazione di un oggetto bisogna estendere il modello del punto materiale e considerare l oggetto come un corpo rigido. Un corpo rigido è un oggetto esteso che può traslare e ruotare, ma che non si deforma mai, qualsiasi siano le forze a esso applicate. Anche il corpo rigido è un modello perché non esistono oggetti del tutto indeformabili. 4

5 L equilibrio del punto materiale F tot Se la risultante delle forze applicate a un punto materiale fermo è nulla, esso rimane fermo. Viceversa, se il punto materiale è fermo e rimane fermo significa che c è uguale a zero. F tot Un punto materiale fermo è in equilibrio, cioè rimane fermo, quando la risultante delle forze che agiscono su di esso è nulla. La condizione di equilibrio è espressa dalla relazione vettoriale: Ftot F1 F2... Fn 0 5

6 Le forze vincolari Un vincolo è un corpo fisso che impedisce a un altro corpo di compiere alcuni movimenti. Sono esempi di vincoli: il terreno sotto i nostri piedi; un piano di appoggio; un chiodo nel muro a cui è appeso un quadro; la corda di un aquilone. I vincoli possono esercitare delle forze dette forze vincolari. 6

7 Le caratteristiche delle forze vincolari La direzione e il verso della forza vincolare dipendono dal tipo di vincolo: la forza vincolare di un piano su un oggetto è sempre perpendicolare al piano e ha verso tale da respingere l oggetto. la forza vincolare di una corda è sempre parallela alla corda e ha verso tale da tirare l oggetto. Inoltre: la forza vincolare non ha un intensità prestabilita: la sua intensità cambia a seconda delle forze che agiscono sull oggetto. N.B.: tutti i vincoli si rompono se sono sottoposti a forze eccessive. 7

8 L equilibrio su un piano inclinato Un piano inclinato esercita sui corpi a contatto una forza vincolare perpendicolare al piano. F V Un punto materiale è anche soggetto alla forzapeso, che è conveniente scomporre nei vettori componenti perpendicolare e parallelo al piano inclinato. Poiché all equilibrio il punto materiale non si stacca dal piano inclinato, ciò significa che, nella direzione perpendicolare al piano, F V controbilancia. F 8

9 La forza equilibrante Poiché il punto materiale resta fermo in equilibrio, su di esso deve agire anche una forza equilibrante F E che, nella direzione parallela al piano, controbilancia. F V La condizione di equilibrio, F, scomposta tot 0 nelle direzioni perpendicolare e parallela al piano inclinato, diventa perciò: FV F e FE F 9

10 Il modulo della forza equilibrante Dalla similitudine dei triangoli rettangoli ABC e EDF risulta: DF : DE BC : AB da cui: DF BC h DE ovvero: F Fp AB l Quindi: F sen p inclinazione del piano 10

11 La pendenza di un piano inclinato In topografia la pendenza di una strada o di un terreno è indicata dal rapporto. hb Nei segnali stradali la pendenza è espressa in percentuale: h 100% b Esempio: una strada con pendenza del 12% sale in altezza (h) di 12,0 m per ogni spostamento orizzontale (b) di 100 m. La lunghezza della strada percorsa effettivamente è data dal teorema di Pitagora: l h b , m 101 m 11

12 Gli effetti delle forze sul corpo rigido Forze che agiscono lungo la stessa retta La retta d azione di una forza è la retta che coincide con la sua direzione. Su di essa giace il vettore che la rappresenta. Se due forze sono applicate a un corpo rigido in punti diversi, ma sulla stessa retta d azione, la forza risultante è la somma vettoriale delle due forze e può essere spostata lungo la retta d azione senza che i suoi effetti cambino. 12

13 Gli effetti delle forze sul corpo rigido Forze concorrenti Due forze si dicono concorrenti quando le loro rette d azione si intersecano in un punto P. La forza risultante si ottiene spostando le due forze lungo le rette d azione fino al punto P e calcolando la somma vettoriale con la regola del parallelogramma. 13

14 Gli effetti delle forze sul corpo rigido Forze parallele Due forze parallele si dicono discordi quando hanno versi opposti. Due forze parallele si dicono concordi quando hanno lo stesso verso. Il punto di applicazione della forza risultante è individuato dalla proporzione: 14

15 Gli effetti delle forze sul corpo rigido Forze parallele concordi Forze parallele discordi F tot Il punto di applicazione di è compreso tra quelli di F1 e F2, più vicino a quello della forza maggiore; Ftot F F F Il modulo è la somma dei moduli: ; 1 2 Ftot F1 2 è parallela e ha lo stesso verso di e. Il punto di applicazione di tot è esterno a e c, dalla parte della forza maggiore; F 2 F 1 Il modulo è il valore assoluto della differenza dei moduli: ; F tot F F F tot 1 2 è parallela alle forze e ha il verso della forza maggiore. F 15

16 Gli effetti delle forze sul corpo rigido 16

17 Le rotazioni attorno a un asse fisso Molti oggetti, vincolati a un perno, possono ruotare attorno a un asse di rotazione fisso, passante per il perno e perpendicolare al piano di rotazione. Per chi guarda, una rotazione attorno a un asse fisso può avere due versi: orario o antiorario. 17

18 Il braccio di una forza Il braccio di una forza F rispetto a un punto O è dato dalla distanza tra O e la retta di azione di F. Normalmente il punto O coincide con il centro di rotazione del corpo rigido. Quindi, Considerando il triangolo rettangolo OPQ, vale la relazione: OQ OP b r sen da cui: b rsen il braccio dipende dal punto di applicazione e dall inclinazione della forza. 18

19 Il momento di una forza Il momento di una forza F rispetto a un punto O è uguale al prodotto tra il modulo di F e il braccio b di F rispetto a O: Fr sen Per convenzione si prende: il segno «+» quando la forza F tende a far ruotare il corpo rigido in verso antiorario; il segno «-» quando F tende a produrre una rotazione oraria. 19

20 L effetto rotazionale di una forza L effetto di rotazione di una forza è descritto dal momento della forza. Il momento di una forza dipende dalla forza e dal suo braccio. Quindi: per mettere in rotazione in corpo rigido attorno a un asse fisso, la retta d azione della forza applicata deve essere perpendicolare all asse di rotazione e non deve intersecarlo (altrimenti b = 0); una forza di minore intensità applicata più lontano dall asse di rotazione (b maggiore) produce lo stesso effetto rotazionale di una forza maggiore, di uguale direzione e verso, applicata più vicino. 20

21 Il momento risultante delle forze Se a un corpo rigido sono applicate n forze F perpendicolari 1, F2,..., Fn all asse di rotazione, il momento risultante M tot di tali forze rispetto al punto O è la somma algebrica dei singoli momenti calcolati rispetto al medesimo punto O: M tot M1 M 2... M Il segno di M tot indica il verso di rotazione del corpo, risultante dall azione delle n forze. n 21

22 La coppia di forze Una coppia di forze è costituita da due forze uguali e opposte, applicate in due punti diversi di un corpo rigido. L effetto rotazionale di una coppia di forze è descritto dal momento della coppia. 22

23 Il momento di una coppia di forze Il momento di una coppia è il momento risultante delle due forze che compongono la coppia: per il segno si adotta la stessa convenzione del momento di una forza: positivo o negativo a seconda che la coppia tenda a produrre una rotazione antioraria o oraria; il momento di una coppia di forze è indipendente dal punto O rispetto a cui è calcolato. 23

24 L equilibrio di un corpo rigido Un corpo rigido può traslare (muoversi nello spazio) e ruotare, quindi un corpo rigido è in equilibrio (è fermo e resta fermo) quando: la somma vettoriale delle forze a esso applicate è uguale a zero (equilibrio rispetto alla traslazione); la somma dei momenti di tali forze, rispetto a un punto scelto arbitrariamente, è uguale a zero (equilibrio rispetto alla rotazione). La sintesi di queste condizioni è espressa dalla forma: F M tot tot

25 L equilibrio dei solidi Riepilogo 25

26 Le leve Le leve sono dispositivi per amplificare o ridurre le forze. Una leva è un asta rigida che può ruotare attorno a un punto fisso chiamato fulcro. Scegliendo O coincidente con il fulcro: F R b R F M è la forza resistente (da bilanciare); è il suo braccio (braccio resistente); è la forza motrice (che deve bilanciare ): b M F R è il suo braccio (braccio motore). 26

27 Equilibrio delle leve La condizione di equilibrio rotazionale del corpo rigido applicata alle leve diventa: Una leva si dice: vantaggiosa se permette di equilibrare una forza resistente più intensa mediante una forza motrice più debole; svantaggiosa in caso contrario. 27

28 Classificazione delle leve 28

29 Il baricentro Il baricentro o centro di gravità di un corpo rigido è il punto di applicazione della forza-peso totale del corpo. I corpi di forma simmetrica e omogenei hanno il baricentro nel centro di simmetria. Invece nei corpi di forma irregolare e/o disomogenei il baricentro può trovarsi anche all esterno del corpo. 29

30 L equilibrio di un corpo Appeso Un corpo appeso per un punto P è in equilibrio se il suo baricentro G si trova sulla retta verticale che passa per P. Appoggiato Un corpo appoggiato su un piano orizzontale è in equilibrio se la retta verticale che passa per il suo baricentro interseca la base di appoggio. 30