ESERCIZI DI CALCOLO NUMERICO

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1 ESERCIZI DI CALCOLO NUMERICO Eserciio : equaioni non lineari Esercii di riepilogo Mawell Dopo aver localiato le soluioni dell equaione non lineare studiare la convergena del metodo di punto isso φ applicato alle unioni φ ; ( ) φ ; φ ; per determinare le radici dell equaione Soluione: Localiaione: ± < < con

2 Mawell < > Quindi * ( ) La prima unione è Φ La sua derivata è ( ) Quanto vale Φ ( *) in * Φ? Non si conosce il valore esatto della derivata prima calcolata Tuttavia si conosce l andamento della derivata prima e si può aermare < * < Per questo motivo dato ce ce per * ( ) ( *) si a sicuramente Φ è strettamente maggiore di non può esserci convergena (assicurata invece per ( *) Φ minore di ) La seconda unione è Φ ( ) Φ ed a derivata Nel campo di variaione di * si a < ( * ) < ( ) ( ) < e può ( * ) esserci convergena a patto di trovare un buon punto iniiale Quindi sicuramente ( * ) > Di conseguena Φ ( *) Per trovare un buon punto iniiale si studia l intervallo [ b] [ ] a : Φ C [ a b] percé l unico punto di non derivabilità di appartiene all intervallo [ a b] ; Φ : [ ] a [ ] inatti < < < ( ) < 7 < < 7 ( ) ; Φ ( ) < ( ) Φ non e quindi si a percé la derivata prima della unione è monotona in quanto composiione di unioni monotone ed in particolare è decrescente Quindi Φ ( ) < [ ] L ordine di convergena è in quanto Φ ( *) La tera unione è Φ derivata prima Per deiniione * * non è mai nulla ( * ) ( ) ( ) Φ ( ) ( ) ( ) è la nel punto isso quindi ( *) < punto isso nell intervallo [ ] Per questo motivo il metodo è sicuramente Φ solamente ne

3 Mawell convergente L ordine di convergena è poicé Φ ( *) e questo risultato è logico in quanto la riormulaione data è stata ricavata da un metodo di ordine Eserciio : equaioni diereniali ordinarie È assegnato il seguente Problema di Cauc: Riscriverlo come un sistema lineare del primo ordine Successivamente ornire un approssimaione della soluione in usando il metodo di Eulero esplicito con Soluione: In orma normale il sistema risulta: Applicando la sostituione standard si deve trovare un sistema di tante equaioni quanto è il grado dell equaione diereniale di partena In questo caso : a cui si sommano i dati iniiali ottenendo in tal modo la riscrittura del Problema di Cauc come sistema del primo ordine

4 Mawell Applicando il metodo di Eulero esplicito con passo si ottiene dato ce l eserciio riciede il calcolo della sola è possibile omettere il calcolo delle altre componenti di Quindi Eserciio : Si ricavi la regione di assoluta stabilità per il metodo di Eulero modiicato Soluione: Applicando il metodo di Eulero modiicato al problema test < R e si ottiene e poicé Si deduce quindi

5 Mawell R a C : ( ) < Eserciio : Stabilire se abbia senso cercare un passo per cui un qualce metodo numerico sia assolutamente stabile per i seguenti Problemi di Cauc: ( ) a) b) ; ( ) ; ( ) c) d) ; π e) ; ( ) ) 7 ; ( ) g) 7 ; ( ) Applicando il metodo di Heun si esegua un passo di integraione per il caso 7 ( ) Soluione: Solamente per i problemi ce risultano asintoticamente stabili a senso cercare il passo per cui un qualce metodo numerico sia assolutamente stabile a) problema asintoticamente stabile; b) problema non asintoticamente stabile; c) ricerca del sistema lineare del primo ordine equivalente dove Calcolo degli autovalori: ( ) ( )( ) quindi problema asintoticamente stabile; d) ricerca del sistema lineare del primo ordine equivalente dove Calcolo degli autovalori: ± ( ) ± quindi problema non asintoticamente stabile; e) ricordando ce il polinomio caratteristico di una equaione diereniale ordinaria a coeicienti costanti a gli stessi coeicienti dell equaione

6 Mawell diereniale di partena e ce il grado del associato a ciascun coeiciente è pari all ordine della derivata corrispondente è immediato scrivere ± ± Si ottengono i seguenti autovalori problema non asintoticamente stabile; ) 7 ± 7 ± i autovalori complessi e coniugati Re problema non asintoticamente stabile; ± ± g) 7 ± i complessi e coniugati Re problema asintoticamente stabile La regione di assoluta stabilità del metodo di Heun è la seguente R a C : ( ) < Nel caso in esame si a ± i ( ± i) (( ± i) ) ± i ± i ± i < 7 ( ± i) ( m i) ± m ( ) i < i < ( ) < < < < ad esempio < 7 Applicando la sostituione standard all equaione 7 e riportando i dati iniiali si ottiene il sistema lineare del primo ordine 7

7 Mawell 7 Utiliando il metodo di Heun si ottiene e dato ce 7 si a 7 7 Eserciio : Sono assegnati 7 A b Stabilire se il metodo di Jacobi per la risoluione del sistema lineare b A è applicabile Stabilire inoltre se il metodo di Jacobi per la risoluione del sistema lineare b A è convergente Soluione: Il metodo di Jacobi per la risoluione del sistema lineare b A è sicuramente applicabile in quanto se si deinisce la matrice M come la parte diagonale della matrice A si nota ce essa è invertibile poicé non vi sono elementi ii a nulli sulla diagonale di A Determinaione della convergena

8 Mawell 7 7 J J J N M B 7 7 B J P ± m > B J ρ il metodo di Jacobi non converge Eserciio : Sono assegnati 7 A b Si enunci il Teorema di Stein Rosenberg citando correttamente ipotesi e tesi Applicando il Teorema di Stein Rosenberg indicare se il metodo di Gauss Seidel per la risoluione del sistema lineare b A risulta convergente Soluione: Teorema di Stein Rosenberg Sia n n A R con ij a j i e > ii a Allora si veriica uno e uno solo dei seguenti risultati: < < < J GS B B ρ ρ ; J B GS B ρ ρ < < ; J GS B B ρ ρ ; J GS B B ρ ρ Applicaione del teorema Nel nostro caso poicé la matrice soddisa le ipotesi del teorema si può concludere ce J B GS B ρ ρ < <

9 Mawell e quindi il metodo di Gauss Seidel risulta non convergente Eserciio 7 : Sono assegnate le seguenti coppie di valori i i per i i i si scriva il polinomio P n ce interpola i dati sia nella orma di Newton sia in quella di Lagrange Ai dati viene aggiunta la coppia ( ) Calcolare il nuovo polinomio P n ce interpola i dati Si esprima quest ultimo polinomio nella orma annidata di Ruini Horner Si risponda alla seguente domanda: sotto quali ipotesi il polinomio interpolante con i n esiste ed è unico? n coppie di dati Soluione: i i Usando la orma di Newton si costruisce la tavola delle dierene divise ( ) ( ) quindi p ω ω ω ω ( ) ( )( ) dove ω ω ω ω ( )( ) ( )( ) è la base di Newton Per scrivere il polinomio prima la base di Lagrange l l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p nella orma di Lagrange è necessario calcolare

10 Mawell l l si può ora scrivere il polinomio nella orma di Lagrange l l l l l l p Per inserire il nuovo dato è suiciente aggiornare la tavola delle dierene divise da cui p p ω avendo deinito la base di Newton ω ω ω ω ω In orma annidata di Ruini Horner p Risposta alla domanda: Se i nodi i sono distinti tra di loro il polinomio interpolante i i con n i esiste ed è unico Nodi distinti garantiscono inatti l invertibilità della matrice di Gram e quindi l esistena ed unicità della soluione di un sistema lineare ce ornisce i coeicienti del polinomio Eserciio : È assegnato il seguente Problema di Cauc

11 Mawell cos ( πt) t con ( ) t Si indici se il problema è lineare sti da ricondurre ad un sistema del primo ordine Indicare il numero minimo di passi da eettuare con il metodo di Eulero esplicito per determinare l approssimaione della soluione in t usando un passo e garantisca l assoluta stabilità del metodo Si calcoli l approssimaione della soluione in t con il metodo di Eulero implicito usando un passo ce garantisca l assoluta stabilità del metodo Si risolvano gli eventuali sistemi lineari con un qualunque metodo numerico Soluione: Il sistema è sicuramente lineare poicé non contiene termini non lineari nella variabile Il sistema non è del primo ordine quindi è da ricondurre ad un sistema del primo ordine Calcolo degli autovalori ( )( ) l autovalore positivo è ragionevolmente piccolo rispetto all ampiea dell intervallo di integraione ; l autovalore negativo è tale da soddisare la seguente riciesta << Per questi motivi è possibile concludere ce il problema è sti Numero minimo di passi con Eulero esplicito < con < < Per ottenere la soluione in t si deve coprire un intervallo di ampiea pari a e perciò è necessario compiere almeno passi Con Eulero implicito

12 Mawell > > < qualunque passo > garantisce l assoluta stabilità Si sceglie Il metodo di Eulero implicito a la seguente orma t Riscrivendo il problema sotto orma di sistema del primo ordine si ottiene cos t t π e in orma matriciale posto si a t g A dove A e t t t g π cos Applicando il metodo di Eulero implicito A I A A A t g A ce è un sistema lineare risolvibile con eliminaione gaussiana con pivoting

13 Mawell La soluione cercata è Eserciio : Sono assegnati i vettori ( ) e ( ) con una parabola i dati ( i i ) usando il metodo dei minimi quadrati Soluione: Si vogliono approssimare Per ottenere i coeicienti della parabola si deve costruire e risolvere il sistema T T lineare A Aa A Si deiniscono ϕ ϕ ( ) e ( ) La matrice A è la seguente ϕ A e quindi A T A La matrice A T è la seguente

14 Mawell A T Quindi il sistema da risolvere è a a a Risolvendo il sistema si determinano i coeicienti della parabola a a a Eserciio : È assegnata la matrice A Si riciede di a) calcolare la attoriaione LU PA usando la strategia del pivoting pariale; b) determinare l inversa della matrice A risolvendo tre sistemi lineari i b A i con T b T b e T b usando la attoriaione determinata al punto precedente; c) calcolare il numero di condiionamenti di A in norma ; d) spiegare l inluena del numero di condiionamento della matrice A sulla soluione di un generico sistema lineare b A Soluione: a) A P A A P A

15 Mawell da cui si ricavano acilmente le matrici L ed U L U e la matrice di permutaione è P P P P det det det det det det det det P U L A U L A P b) L inversa della matrice A è quella matrice X per cui I AX Se si deiniscono X X e X le colonne della matrice X si può porre X X X A ce equivale ai tre sistemi lineari AX AX AX ce si possono risolvere singolarmente applicando la attoriaione LU PA Si svolge solamente il primo caso Gli altri sono identici nel procedimento cambiano solo i valori numerici

16 Mawell U Pb L dove X b Pb e Pb L quindi Risolvendo U si ottiene la prima colonna della matrice inversa di A è X Svolgendo analogi calcoli per le due rimanenti colonne si ottiene A X

17 Mawell c) K ( A) A A ( ) ma( 7 ) A ma d) Il problema riciede di spiegare il concetto di condiionamento di un problema Si rimanda al testo e agli appunti per tale spiegaione Eserciio : Dato il Problema di Cauc cos ( ) t t ( T ) eseguire un passo di integraione utiliando il metodo di Eulero esplicito con passo Soluione: Applicando la consueta sostituione standard: cos ( ) t e il metodo di Eulero esplicito: ( ) ( cos( ) t ) cos ( ) cos E quindi la soluione del problema è cos 7

18 Mawell Eserciio : Si consideri l integrale ln( ) I d Si indici una strategia possibile per approssimare l integrale con un metodo numerico con errore ineriore a Si calcoli l approssimaione di I ce si ottiene con il metodo di Simpson composito usando complessivamente nodi Soluione: I ln d ln d Applicando Simpson composito: [ ] c b a N N R S N b a N N ( ) ( ) ( c ( c) ) ( c) ( ) ( ) monotona decrescente quindi ma [ ] ( ) ( ) R S N < N N > Calcolo dell approssimaione dell integrale I ln ( ) ( ) ( ) ln Eserciio : ln ln ln Data la seguente equaione non lineare ln sin

19 Mawell indicare uno o più punti iniiali ce garantiscono la convergena e l ordine di * convergena sapendo ce l intervallo di localiaione della soluione è Soluione: Nell intervallo dato la unione non è di classe C [ a b] ε > piccolo a piacere tale per cui se [ a b] [ ε ] allora C [ a b] ε ( a) ( b) <? < ( ) > sì; >? [ ε] cos > < Si sceglie quindi un percé somma di due unioni positive nell intervallo considerato sì; >? [ ε] sin < percé somma algebrica di due < unioni negative nell intervallo considerato sì Quindi la convergena è garantita per ogni ogni tale per cui ( ) < In altre parole per molto piccolo L ordine di convergena è Eserciio : È assegnata la unione [ ] * tale ce ρ poicé sicuramente ( *) > ossia per φ e sin ce ammette un unico punto isso in Enunciare (citando correttamente ipotesi e tesi) il teorema da applicare per dimostrare ce il metodo delle iterate successive applicato al problema in (dimostrarlo) questione converge [ ] Soluione: Sia [ a b] ciuso e limitato tale ce φ C [ a b] φ : [ a b] a [ a b] > < tale ce φ < [ a b] allora il metodo delle iterate successive converge all unico punto isso di φ presente in [ a b] Dimostraione φ C [ R] quindi in particolare C [ ] φ ;

20 Mawell φ : [ ] a [ ] inatti se [ ] vale e [ ] e sin [ ] e sin [ ] ; la derivata prima della unione φ è e perciò φ e cos ; φ e cos < e cos < è quindi possibile dire ce φ < < [ a b] cvd