Esame di Calcolo Numerico per Informatica Prof. S. De Marchi Padova, 2 settembre 2013

Transcript

1 Esame di Calcolo Numerico per Informatica Prof. S. De Marchi Padova, 2 settembre Domande aperte 1. Ogni matrice quadrata (di ordine n) strettamente definita positiva è invertibile. Perchè? Risposta. Si è dimostrato che tali matrici hanno gli autovalori positivi. Essendo det(a) = n i=1 λ i > 0 si conclude che una tale matrice è invertibile. 2. Si dica come si deduce il metodo di Gauss-Seidel per la soluzione di sistemi lineari e si scriva la corrispondente funzione Matlab che lo implementa. Risposta. Questo lo si trova al capitolo 3.6. La funzione Matlab richiesta (con i commenti) è la seguente function [sol,iter,err, flag]=gaussseidel(a,b,x0,kmax,tol) % % Funzione che implementa il metodo iterativo % di Gauss-Seidel % % Inputs % A, b: matrice e termine noto, rispettivamente % x0 : guess iniziale % tol : tolleranza calcoli % % Outputs % sol : vettore soluzione % iter: numero delle iterazioni % err: vettore errori relativi in norma infinito % flag: booleano convergenza o meno % n=length(x0); flag=1; D=diag(diag(A)); L=tril(A)-D; U=triu(A)-D; DI=inv(D+L); GS=-DI*U; disp( raggio spettrale matrice iterazione di Gauss-Seidel ); max(abs(eig(gs))) b1=di*b; x1=gs*x0+b1; k=1; err(k)=norm(x1-x0,inf)/norm(x1); 1

2 while(err(k)>tol & k<=kmax) x0=x1; x1=gs*x0+b1; k=k+1; err(k)=norm(x1-x0,inf)/norm(x1); end if iter>kmax, disp( ** Gauss-Seidel non converge nel numero di iterazioni fissato ); flag=0; end sol=x1; iter=k-1; 3. Si dimostri che la formula d errore puntuale d interpolazione polinomiale f(x) p n (x) si maggiora in modulo come segue f(x) p n (x) 1 (n + 1)! max x [a,b] (x x 0) (x x n ) f (n+1) (x). Risposta. Basta ricordare che l errore d interpolazione è f(x) p n (x) = (x x 0 ) (x x n ) f (n+1) (ξ) (n + 1)!, con ξ generico punto appartenente all interno dell intervallo che contiene i punti d interpolazione. Passando al modulo e maggiornando si ottiene la formula richiesta. 2

3 2 Esercizi 1. Data la matrice A = / /4 7 1/ / (a) Senza calcolarlo, dire perchè det(a) 0. (b) La matrice è irriducibile? (c) Si consideri ora il sistema lineare Ax = b la cui soluzione è x=ones(5,1). Partendo dalla soluzione iniziale x (0) = [ 1, 0, 1, 0 1] T e usando il metodo iterativo x (k+1) = (A θi)x (k) + θb con θ = 1/2, si dica quale componente di x (1) converge alla corrispondente componente della soluzione. (a) La matrice è strettamente diagonalmente dominante per righe. Pertanto tutti i cerchi di Gerschgorin non toccano mai l origine. Significa che tutti gli autovalori sono diversi da zero e quindi che il determinante è non nullo. (b) La matrice è irriducibile perchè il grafo associato è fortmente connesso: esiste un cammino chiuso che partendo da ogni nodo raggiunge tutti gli altri. Disegnandolo si vede facilmente. (c) Osservo che b=a*ones(5,1)=(8, 3/2, 15/2, 3/2, 13) T. Pertanto x (1) = (A 1 2 I)x(0) + 1 b = ( 1/2, 19/4, 11/4, 5/4, 6)T 2 e quindi la componente che più si avvicina a 1 è la quarta componente. 2. Data la funzione f(x) = log(x 2 + 1) (s intende il logaritmo naturale). (a) Dire perchè f ha una ed una sola radice α. (b) Individuare un metodo di punto fisso x k+1 = g(x k ) di ordine almeno quadratico convergente su R. (c) Partendo da x 0 = 1/2, facendo 3 iterazioni, si calcoli l errore assoluto e 3 = x 3 α. Quanto vale l errore relativo rispetto ad x 3? 3

4 (a) La funzione f è definita, pari e 0 su tutto l asse reale (vedi Figura 1). Inoltre lim x ± f(x) = +. Pertanto log(x 2 + 1) = 0 se e solo se x 2 = 0 ovvero se x = 0 che è la radice cercata che è radice anche di f (x) = 2x, quindi di x 2 +1 ordine 2. Figure 1: Grafico della funzione f(x) nell intervallo [ 5, 5] (b) Un metodo del secondo ordine è quello di Newton modificato la cui funzione d interazione è g(x) = x 2 f(x). Ovvero g(x) = x 2 log(x2 +1)(x 2 +1). Infatti f (x) 2x g (x) = 1 2 4x2 (1 + log(x 2 + 1)) 2 log(x 2 + 1)(x 2 + 1) 4x 2 che si semplifica come g (x) = 1 2(log(x 2 +1)+1)+ log(x2 +1)(x 2 +1). Valutandola x 2 in x = 0, usando de l Hospital per il terzo termine, vale ancora 0. Pertanto il metodo è almeno del secondo ordine. (c) Partendo da x 0 = 1/2, si ha: x , x e 5 e x e 13. L errore assoluto e 3 = x 3 mentre l errore relativo rispetto a x 3, vale invece Si consideri nell intervallo [0, 3] la funzione { 1 se x [1, 2] f(x) = 0 altrimenti 4

5 (i) Scrivere il polinomio interpolante p 3 (x) nei quattro punti equidistanti x i = i, i = 0,..., 3 e trovare l errore (in valore assoluto) compiuto nel punto x = 0.2. (ii) Ripetere quanto eseguito al punto (i) utilizzando quattro punti di Chebyshev- Lobatto. Nota: approssimare il valore dei nodi alla seconda cifra decimale dopo la virgola. (i) Il polinomio d interpolazione di f in forma di Lagrange nei punti X = {0, 1, 2, 3} ha solo due termini (essendo f(0) = f(3) = 0): p 3 (x) = 1 2 x(x 2)(x 3) 1 x(x 1)(x 3) = x x 2. Pertanto p 3 (0.2) = L errore assoluto in 0.2 è p 3 (0.2) f(0.2) = = (ii) Intanto calcolo i punti di Chebyshev-Lobatto in [ 1, 1] e poi li traslo in [0, 3]. Detti punti sono x k = cos(kπ/n), k = 0, 1, 2, 3. Ovvero x 0 = 1, x 1 = 0.5, x 2 = 0.5, x 3 = 1. La formula di traslazione è = x k. Quindi i punti di Chebyshev-Lobatto in [0, 3] sono x k Tempo: 2 ore. x 0 = 0, x 1 = 0.75, x 2 = 2.25, x 3 = 3. Il polinomio corrispondente risulta essere p 3 (x) = 0 essendo tutti i punti esterni all intervallo [1, 2] dove la funzione è diversa da zero. Di conseguenza p 3 (0.2) = 0, che è pure l errore assoluto richiesto. 5