L analisi matriciale

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1 L anaisi matriciae L anaisi matriciae consente un anaisi accurata e rapida di strutture anche compesse sottoposte sia a carichi dinamici che statici. Si basa su concetto di sostituire a struttura reae con un modeo equivaente fatto di eementi strutturai discreti aventi proprieta eastiche ed inerziai note ed esprimibii sotto forma di matrici. I cacoo in campo eastico dee strutture e generamente riconducibie ad una sequenza di operazioni matriciai. Mentre, ne metodo dee forze, e incognite primarie de probema sono e reazioni iperstatiche di una struttura, ne metodo degi spostamenti, e incognite primarie de probema sono e componenti di movimento (spostamenti e rotazioni) dei nodi dea struttura. Quando si opera per via automatica, i metodo degi spostamenti e preferibie. Esso non richiede infatti acuna sceta dee incognite, poiche sono fissate univocamente dao schema strutturae ne quae si opera. I metodo de anaisi matriciae si basa pertanto su metodo degi spostamenti. Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara

2 I modeo strutturae Da JS Przemieniecki, Theory of matrix structura anaysis, Dover, 968 I passo fondamentae ne cacoo matriciae dee strutture riguarda a formuazione di un modeo matematico discreto che ideaizzi a struttura effettiva. I modeo discreto e necessario ao scopo di avere un sistema con un numero finito di gradi di iberta che si presti ad essere studiato con i metodo de anaisi matriciae. La formuazione de modeo strutturae si basa su principi di equivaenza energetica tra i sistema continuo e queo discreto. Per certi tipi di strutture, quee costituite da eementi strutturai coegati da nodi discreti, come e strutture reticoari ed i teai, i modeo discreto consente a souzione esatta de probema. Quando e connessioni tra eementi strutturai non sono modeabii sotto forma di vincoi discreti aora i modeo strutturae rappresenta un approssimazione de modeo reae. Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara

3 Se gi eementi strutturai dea struttura reae sono connessi da giunti discreti (NODI), interazione tra i singoi eementi viene introdotta sotto forma di forze o spostamenti nodai. Strutture reticoari (pin-jointed truss) e teai con nodi rigidi (rigidey-connected beams) sono esempi di strutture connesse attraverso nodi. Le interazioni tra gi eementi strutturai in un teaio si rappresentano come forze nodai (tagio e sforzo normae) e momenti fettenti e torcenti. In tai casi, e teorie eementari di fessione e torsione consentono direttamente di arrivare aa formuazione matriciae. Quaora a struttura reae non sia rappresentabie attraverso eementi strutturai coegati da giunti nodai, occorre invece utiizzare i metodo degi eementi finiti. Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara

4 Anaisi matriciae di teai e reticoari La souzione si presta ad essere organizzata secondo una sequenza di fasi ogiche: a Definizione dee azioni interne nee sezioni di estremita di ogni trave per effetto dei carichi e degi spostamenti b Utiizzo dee azioni interne de punto a) per a formuazione di automatica de sistema di equazioni di equiibrio in termini di spostamento c Determinazione dee componenti di spostamento incognite come souzione de sistema di equazioni di equiibrio. d Cacoo dee soecitazioni di ogni trave dovuti ai carichi ed agi spostamenti. Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara

5 Richiami matrice di rigidezza de eemento ASTA k e = u u u u EA EA EA EA () u u matrice di rigidezza de eemento TRAVE k e = u u u u u u u u u EJ 6EJ EJ 6EJ u 6EJ EJ 6EJ EJ EJ 6EJ EJ 6EJ 6EJ EJ 6EJ EJ () u u Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara 5

6 Strutture reticoari: eemento asta y P 5 L x L Figure : L=.5 m, L= m. Aste (eemento rod) di una reticoare (truss)soggette soo a deformazioni assiai (x, y) i riferimento gobae o esterno generica asta (eemento e) viene riferita ad un riferimento ocae (x e, y e ) avente origine ne primo nodo i L e = (x j x i ) + (y j y i ) rappresenta a unghezza de asta, E e i moduo di Young ed A e area dea sezione trasversae Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara 6

7 s e : vettore degi sforzi nodai ocai u e : vettore degi spostamenti nodai ocai s e = ( s e s e ) = Ee A e L e ( ) ( ) u e u e () L equazione () scritta in forma compatta diventa: s e = k e u e () y e e u u i= se j= Figure : e s e x e Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara 7

8 NB:i generico coefficiente di rigidezza k ij rappresenta o sforzo nodae s e j corrispondente ad un movimento u i unitario ne riferimento ocae. ye u u X i= j= se xe uje Figure : XL e E e A e =, s i = kij e = X = A e Ee L e s j = kjj e = X = Ee A e L e. Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara 8

9 Le equazioni di equiibrio vanno scritte ne riferimento gobae. Tuttavia, i riferimento gobae (esterno) in generae e distinto da queo ocae. ye y i= j= x α xe Per asta si ha: Figure : nodo i =, x = 0, y =, nodo j =, x =.5, y = 0, unghezza L = 6.5 =.5 m cos α = x j x i L e =.5.5 ; sin α = y j y i L e =.5 ; Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara 9

10 Da riferimento ocae a queo gobae Y Ysin P α Xsin α y Xcos α x α X Figure 5: ( x y ) = ( cos α sin α sin α cos α) ( X Y ) x = RX (5) ( X Y ) = ( ) ( cos α sin α x sin α cos α y ) X = R t x (6) Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara 0

11 Da riferimento ocae a queo gobae Matrice di rotazione R e de eemento e cos α sin α 0 0 R e = sin α cos α cos α sin α (7) 0 0 sin α cos α dove: s e = R e S e, u e = R e U e (8) U e ed S e : vettore degi spostamenti e degi sforzi ne riferimento gobae R e è ortonormae (rotazione propria) tae che R e R et = I, R et = R e, det R e = e quindi S e = R et s e, U e = R et u e (9) Sostituendo s e = k e u e si ottiene S e = R et s e = R et k e u e = R et k e R e U e (0) S e = K e U e dove K e = R et k e R e è a matrice di rigidezza ne riferimento gobae. Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara

12 Matrice di rigidezza ne riferimento gobae dove K e = R et k e R e R e = cos α sin α 0 0 sin α cos α cos α sin α 0 0 sin α cos α u e cos α sin α u e = sin α cos α cos α sin α sin α cos α s e cos α sin α s e = sin α cos α cos α sin α sin α cos α U e U e U e U e S e S e S e S e Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara

13 K e = cos α sin α 0 0 sin α cos α cos α sin α 0 0 sin α cos α ovvero: k 0 k k 0 k cos α sin α 0 0 sin α cos α cos α sin α 0 0 sin α cos α K e = EA cos α sin α sin α cos α sin α sin α cos α cos α sin α cos α cos α sin α cos α cos α sin α cos α cos α sin α cos α sin α sin α cos α sin α sin α dove k = EA e Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara

14 Assembaggio Proprietà di sommabiità dee matrici di rigidezza: La matrice di rigidezza de intera struttura K può essere ottenuta per addizione diretta di coefficienti di rigidezza omooghi dee singoe aste cacoati ne riferimento gobae. φ A C φ h B Figure 6: Ad es., a rigidezza aa rotazione de nodo C dea struttura in figura 5 e data daa somma dea rigidezza dee aste concorrenti ne nodo. EJ e assunto costante In particoare, diventa a rigidezza aa rotazione ρ R C ρ R C = ρ R CA + ρ R CB = EJ + EJ h () Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara

15 P y U U U U L 5 U6 U8 U5 U7 x L Figure 7: Figura 6, EA e assunto costante U i vettore degi spostamenti generaizzati U t = [U U U... U 7 U 8 ] () numerati secondo i sistema gobae. Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara 5

16 Un esempio di matrice topoogica: CALFEM viene fissata una numerazione di nodo e di eemento; Si scrivono per ogni eemento i gradi di iberta ad esso afferenti: eemento u i x u i y u j x u j y () Si ripercorre a struttura eemento per eemento generando a matrice di rigidezza ne riferimento gobae. La conoscenza de grado di iberta mediante identificatore consente di conoscere in quae posizione dea matrice di rigidezza gobae K sommare i singoi coefficienti K e ij Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara 6

17 y U U U8 K = K K K K K K K K U7 x K K K K K K K K K = R T k R T. () Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara 7 α

18 U U U U U K + K + K K + K + K K K U K + K + K K + K + K K K U K K K + K + K5 K + K5 U K K K + K5 K + K + K5 U5 K K K 5 K 5 U6 K K K 5 K 5 U7 K K K K U8 K K K K U5 U6 U7 U8 U K K K K U K K K K U K 5 K 5 K K U K 5 K 5 K K U5 K + K5 K + K5 0 0 U6 K + K5 K + K5 0 0 U7 0 0 K + K K + K U8 0 0 K K + K Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara 8

19 Carichi appicati sui nodi In fase di input, vengono assegnate per ogni nodo e forze esterne direttamente secondo i riferimento gobae. Mediante a matrice di identificazione ID, i carichi vengono poi associati a grado di iberta. Poiche i carichi concentrati possono generamente sia essere appicati sui nodi che in punti diversi dai nodi, occorre trasformari in carichi nodai equivaenti. Anaogamente, i carichi distribuiti devono essere trasformati in carichi nodai equivaenti. i carichi vengono trasformati in carichi nodai equivaenti S eq NB: S eq possono anche essere visti come reazioni di vincoo perfetto cambiate di segno In ta caso, per i principio di sovrapposizione degi effetti, per i singoo eemento e o sforzo gobae agente e dato da S e = K e U e S e eq. (5) In aternativa, si osservi che i vettore Seq e rappresenta proprio e reazioni di incastro perfetto Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara 9

20 Carichi appicati sui nodi y P y P/ / P P/ P /P L 5 / / L 5 x x / / Figure 8: Esempio Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara 0

21 y Carichi o distorsioni appicati su eemento T y αtea α TEA X T X L 5 L 5 x x Figure 9: α T = X EA, X = α T EA. L assembaggio de vettore dei carichi nodai consiste ne sommare equazione per equazione i contributi dei carichi direttamente appicati ai nodi e dei carichi nodai equivaenti. Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara

22 Imposizione dee condizioni di vincoo vincoi vengono supposti perfetti, ovvero isci e biateri. gradi di iberta U (spostamenti generaizzati) de intera struttura U T = [U T U T 0 ] (6) U L : vettore dei gradi di iberta iberi (incogniti) U o indica i vettore dei gradi di iberta assegnati. vettore dei carichi F F T = [ F T R T ] (7) F : vettore dei carichi assegnati; R: vettore dee reazioni vincoari. Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara

23 L assembaggio dee matrici di rigidezza eementari e de vettore dei carichi nodai fornisce i modeo agebrico de comportamento di una struttura in campo ineare. I sistema di equazione che si ottiene rappresenta e equazioni di equiibrio di tutti i nodi KU = F ( ) ( ) KLL K L0 UL = K 00 U 0 K 0L ( F R ) (8) { KLL U L + K L0 U 0 = F (9) K 0L U L + K 00 U 0 = R da cui U L = K LL ( F K L0 U 0 ) (0) OSS: Si mette da parte a riga corrispondente ai gradi di iberta vincoati U 0, si risove i sistema di equazioni che corrispondono ai gradi di iberta U L OSS: Se i vincoi sono rigidi: U 0 = 0 e quindi e incognite nodai si cacoano come: U L = K LL F () K LL : matrice di rigidezza dea struttura dopo avere tenuto conto dei vincoi. Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara

24 Proprietà di K LL Posto che a struttura non sia abie, a souzione de sistema (9) esiste ed e unica (teorema di Kirchhoff). Pertanto a matrice K LL deve essere non singoare (detk LL 0) La matrice di rigidezza K LL e simmetrica (Teorema di Betti-Maxwe); si memorizza e/o costruisce soo meta di essa. La simmetria di K o di K LL comporta che δu T (KU F ) = δπ(u) sia un differenziae esatto e δπ(u) = 0 rappresenti a condizione di stazionarietà de Energia Potenziae Totae dea struttura: Π(U) = U T KU U T F () Tra tutti i campi di spostamento cinematicamente ammissibii (congruenti e che verificano e condizioni di vincoo), rappresentati dai parametri Lagrangiani U, queo che verifica e equazioni di equiibrio rende minima Energia Potenziae Totae (). Si noti che in assenza di vincoi EPT risuta soo debomente convessa e K LL semi-definita positiva. Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara

25 matrice K LL, matrice Hessiana dea EPT dea struttura vincoata, risuta pertanto definita positiva. Quindi, condizione necessaria e sufficiente affinche K LL sia definita positiva e che: tutti gi autovaori di K LL siano positivi (si ricordi che detk LL = n i λ i > 0) tutti i minori principai e quindi anche tutti i termini sua diagonae principae sono positivi inotre, risuta che U T K LL U 0, per ogni U L e U T K LL U = 0 sse U L = 0. Se sono possibii moti rigidi a matrice K LL risuta semidefinita positiva ed ha determinate nuo; inotre ad ogni atto di moto rigido corrisponde un autovaore nuo. 5 La matrice K LL e sparsa; in particoare, i termini diversi da zero sono addensati in prossimita dea diagonae principae (matrice a banda), e a dimensione dea banda dipende daa numerazione dei nodi. Cio riduce di moto onere di cacoo de sistema e o spazio di memoria necessario. Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara 5

26 Esercizi La souzione di un esercizio si articoa nee seguenti fasi: Assembaggio matrice di rigidezza Imposizione dee condizioni a contorno Souzione sistema KU = F Cacoo dee reazioni vincoari Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara 6

27 Aste in serie La matrice topoogica (connectivity matrix) assegna un numero di nodo gobae ad ogni nodo de eemento. Per esempio, ne caso di aste in serie, a matrice topoogica diventa I I I = I I I I = () Figure 0: Aste in serie Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara 7

28 Aste in paraeo ed in serie u P u u u P Figure : DATI: E i, area dea sezione trasversae A i, unghezza i, con i =,, matrice topoogica:id = matrice di rigidezza E A 0 E A 0 E A 0 E A 0 K = E A E A E i A i E A i i 0 0 E A E A Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara 8

29 sistema risovente EA 0 E A 0 E A EA E A E A i EiAi i 0 0 E A 0 0 E A EA u u u u = R R P R () Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara 9

30 Si impongono e condizioni a contorno: u = 0, u = 0, u = 0 Nea souzione manuae, si traasciano e equazioni di equiibrio reative ad u, u, u : verranno usate aa fine per i cacoo dee reazioni vincoari. daa equazione che governa equiibrio ungo u si ha P u = E A + E A + E (5) A Le reazioni vincoari si cacoano attraverso e equazioni di equibrio reative ai gradi di iberta vincoati (post-processing): E A R 0 E A 0 R E A = 0 E A 0 R 0 0 E A E A dove u = 0, u = 0, u = 0 e u 0 u u u u Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara 0

31 Un esempio di struttura reticoare P u u6 P u u5 u α u Figure : Reticoare Vogiamo determinare gi spostamenti orizzontai e verticai de nodo dee struttura reticoare di figura. nr. e. nodi Geom Mat. α A, = E 0 o A, = E 5 o A, = E 90 o matrice topoogica ID = eemento u i x u i y u j x u j y (6) Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara

32 K = matrice di rigidezza gobae K + K K + K K K K K K + K K K K K K + K K + K K K K + K K K K + K K + K K + K (7) vettore dee forze nodai : F = F + F F + F F + F F + F P P (8) Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara

33 Si impongono e condizioni a contorno: u = u = u = u = 0 Nea souzione manuae, si traasciano e equazioni di equiibrio reative ad u, u, u, u ; verranno recuperate aa fine per i cacoo dee reazioni vincoari Dae equazioni reative ad u 5 ed u 6, si ha: EA ( ) ( ) u u 6 = ( P P ) u 5 = P EA, u 6 = ( + ) P EA = 5.88 P EA Dae equazioni reative ad u, u, u, u, si cacoano e reazioni vincoari: F = F + F F + F F + F = EA F + F 0 0 ( u5 u 6 ) dove si e gia sostituito u = u = u = u = 0. Corso di progettazione strutturae assistita- AA 005/006 Dip. Ingegneria di Ferrara