Cenni sulle travi iperstatiche

Transcript

1 pprofondimento Cenni sue travi iperstatiche Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei 01 1 Generaità Ne primo voume de testo abbiamo trattato argomento dee reazioni dei vincoi e dea oro determinazione imitatamente ae travi isostatiche, considerate come corpi rigidi e indeformabii; in uesta ipotesi, infatti, i probema era ben determinato e facimente risovibie in uanto ae tre incognite da cacoare corrispondeva un ugua numero di euazioni. Lo studio dee travi iperstatiche, che sono soggette a un numero di vincoi sempici superiore ai gradi di ibertà de sistema, presenta, ne caso più sempice, uattro incognite da determinare, cosa impossibie se ci si avvae dee tre note euazioni dea statica: = 0 = 0 b = 0 ix iy i i e se non si tiene conto dee eventuai deformazioni che a struttura subisce per effetto dei carichi esterni. Ciò spiega i motivi che ci hanno costretto a imitare o studio dea statica ae soe travi isostatiche; soo ora dopo aver vautato gi effetti de infessione dee strutture (frecce e angoi di rotazione) siamo in condizione di procedere a cacoo dee reazioni e dee caratteristiche di soecitazione di acune travi iperstatiche. P procedimento più usato consiste ne sopprimere i vincoi in soprannumero, sostituendoi con e oro reazioni (intese come forze agenti sua struttur e imponendo a condizione che i punto di appicazione di tai forze non subisca spostamenti magrado a presenza dei carichi. n atre paroe, e reazioni incognite devono avere intensità tae da produrre spostamenti uguai e opposti a uei generati dai carichi in assenza dei reativi vincoi. Cacoate e reazioni dei vincoi in soprannumero, i probema non si differenzia da ueo reativo ae strutture isostatiche; e rimanenti reazioni si cacoano utiizzando e tre euazioni dea statica, dopodiché si procede a tracciare i diagrammi de momento fettente e de tagio, vautando contemporaneamente i vaori massimi dee due soecitazioni, vaori che serviranno per i dimensionamento o per a verifica di resistenza dea struttura. Travi con appoggio e incastro Le travi con appoggio e incastro (GUR 1 a pagina seguente) sono una vota iperstatiche; infatti, se i carichi sono comunue orientati, si dispone di tre euazioni, mentre e incognite da determinare sono rispettivamente i momento d incastro M, e reazioni de incastro R y e R x e a reazione de appoggio. Se i carichi sono Voume Capitoo Paragrafo 6 1

2 escusivamente verticai i probema non muta, perché manca a reazione R x, ma contemporaneamente si annua una dee euazioni, non esistendo componenti orizzontai dee forze esterne..1 Trave soggetta a un carico uniformemente ripartito 1 Riferiamoci aa trave di GU e proponiamoci di determinarne tutte e caratteristiche. Per uanto esposto ne paragrafo precedente, si può pensare di sostituire appoggio sovrabbondante con a sua reazione incognita, imponendo a condizione che estremo non subisca abbassamenti, come indicato in GUR b. Così facendo, a struttura risuta sottoposta a due diverse condizioni di carico, e precisamente: R y un carico uniformemente ripartito su tutta a unghezza, rivoto verso i basso (GUR ; una forza concentrata a estremo ibero, rivota verso ato (GUR d). M R x P Per soddisfare a condizione di euiibrio detta sopra, a forza deve produrre una freccia f 9 di vaore assouto uguae aa freccia f prodotta da carico esterno. 1 Trave con appoggio e incastro soggetta a carichi generici. d) f f f Trave con appoggio e incastro soggetta a un carico uniformemente ripartito. Ricordando e reazioni (.17) e (.19) de testo, deve essere: R a = E E e sempificando: ossia, ponendo Q = : R = a R a = Q (1) () Determinata a reazione, si procede come se a trave fosse isostatica. La reazione verticae R y de incastro vae: R = Q R = Q Q y a ossia: Ry = Q () mentre è evidente che R x = 0. momento d incastro, che nea figura abbiamo assunto negativo, vae: M R Q = a da cui, sostituendo espressione dea reazione, segue: M Q = () Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei 01 Voume Capitoo Paragrafo 6

3 Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei 01 ossia: M = () Si noti che a sceta de vincoo da sopprimere non è rigorosa; i probema si risove anche sostituendo incastro con un appoggio (un vincoo sempice a posto di uno doppio) e aggiungendo un momento incognito M tae da rendere nua a rotazione dea sezione estrema (GUR ). n ueste ipotesi, si ottiene 1 : e sempificando: M = E E M = come avevamo già ricavato. Cacoate e reazioni dei vincoi, o studio dea trave si competa rapidamente tracciando i diagrammi dee soecitazioni (GUR ): i momento fettente varia con egge paraboica e presenta un massimo negativo () a incastro e un massimo positivo nea sezione in cui si annua i tagio, che a sua vota varia con egge ineare da estremo ibero a incastro. L espressione generica de tagio è T = x0 Uguagiandoa a zero, si ricava ascissa x 0 cui corrisponde i massimo momento positivo [x 0 = ( / ) ], i cui vaore è. M = 9 f max 1 Trave soggetta a un carico concentrato in mezzeria Se a trave è soggetta a un carico concentrato a metà dea sua unghezza (GU a pagina seguente), i procedimento non subisce sostanziai modifiche; si può sopprimere appoggio di estremità (sostituendoo con a sua reazione) oppure considerare a trave appoggiata soggetta a un momento agente a uno dei due estremi otre, beninteso, a carico esterno. Operando secondo a prima ipotesi, a struttura è soggetta a due forze opposte, una dee uai ( ) appicata a estremo ibero e atra ( ) a metà dea sua unghezza (GURE b e. mponendo a condizione che estremo ibero non subisca acun abbassamento, e ricordando e reazioni (.17) e (.) de testo, possiamo scrivere: (6) tro metodo per i cacoo dee reazioni sovrabbondanti. Q Q x 0 S Q T 0 R y Q M 9 1 Q Diagrammi dee soecitazioni dea trave di figura La formua per i cacoo de angoo di rotazione prodotto da un momento agente a un estremo dea trave non è stata ricavata ne capitoo, ove si trattavano soo i casi più sempici; essa comunue appare negi esercizi reativi a capitoo suddetto. Voume Capitoo Paragrafo 6

4 R a = E E da cui, sempificando, segue: f R a = (7) Di conseguenza, a reazione verticae de incastro R y vae: R y = ossia: R = = 11 y () momento d incastro si cacoa ne modo consueto: M = R a f f d ) e) 11 Trave con appoggio e incastro soggetta a un carico concentrato. Sostituendo espressione di si ha: M = = (9) e risuta negativo, come era ogico prevedere. diagramma dei momenti (GUR d) presenta un massimo negativo M, in corrispondenza dea sezione d incastro, e un massimo positivo nea sezione in cui agisce i carico ; tae massimo vae: M = R = = f max a (10) diagramma de tagio ha i consueto andamento a gradini come iustrato in GUR e. Travi doppiamente incastrate Se i carichi sono escusivamente verticai, ueste travi sono due vote iperstatiche; si dispone infatti di due soe euazioni: = 0 b = 0 iy i i mentre e incognite de probema sono uattro, dovendosi determinare i due momenti d incastro e e due reazioni verticai. Ci imiteremo perciò a esaminare soo i casi più sempici. Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei 01 Voume Capitoo Paragrafo 6

5 .1 Trave soggetta a un carico uniformemente distribuito Se i carico è distribuito su tutta a unghezza dea trave (GUR 6, a struttura assume un particoare carattere di simmetria che faciita notevomente i probema. nfatti e due reazioni verticai sono uguai e vagono rispettivamente: R = R9 = y y Essendo uguai anche i due momenti d incastro, è sufficiente cacoarne uno soo per poter concudere rapidamente o studio dea trave. Per rimanere ne caso più generae, supporremo che, pur essendo caricata tutta a trave, e reazioni verticai siano incognite, e appicheremo i procedimento già iustrato per e travi con appoggio e incastro. È chiaro che, in ueste ipotesi, dovremo sopprimere due vincoi sempici, sostituendoi con e reative reazioni. Eiminiamo pertanto uno dei due incastri, riducendo a struttura a una comune mensoa, a cui estremo dovremo appicare una reazione verticae R9 y e un momento M9 y in sostituzione de incastro soppresso (GUR 6. R y M R y M M R y 1 P Questa vota, però, e condizioni da imporre sono due, e precisamente: estremo ibero non si deve abbassare (f = 0); estremo ibero non deve ruotare (α = 0). Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei 01 Per uanto riguarda a prima condizione, ricordando e reazioni (.19), (.17) e (.11) de testo, possiamo scrivere: R9 y M9 + E E E = 0 (11) e per a seconda condizione: R9y M9 + = 0 (1) 6E E E Risovendo i sistema formato dae (11) e (1), si ricavano i vaori dee due incognite R9 y e M9 y. Daa (1) si ottiene: M9 R9 y = E E 6E e, sostituendo tae espressione nea (11): R9 R9 y 1 y + 0 E E E 6 E = da cui segue, sviuppando i cacoo: R9y = 0 E 1 E d ) 6 Trave doppiamente incastrata soggetta a un carico uniformemente ripartito. Voume Capitoo Paragrafo 6

6 e, sempificando: Sostituendo tae vaore nea (1): si ottiene immediatamente: R9 = = R y M9 + = 0 6E E E M9 = = M 1 y (1) (1) di segno positivo, in accordo con i senso di rotazione riportato in figura. Cacoato i vaore dei momenti d incastro, i diagrammi dee soecitazioni si tracciano facimente; in una generica sezione S distante x da incastro di sinistra, i momento fettente è espresso da: ossia, ricordando a (1) e a (1): x M = M9+ R9 x f y M = x + x f 1 diagramma ha andamento paraboico, come indicato in GUR 6c, e presenta un massimo positivo in mezzeria (x = / ): M che, a cacoi fatti, diventa: f max = + ( / ) 1 M = f max (1) cioè pari aa metà de momento d incastro: M = 1 M f max È bene sottoineare che i diagramma de momento fettente si può ottenere anche sfruttando i principio dea sovrapposizione degi effetti; infatti a struttura in esame può essere frazionata in due diverse ipotesi di carico: una trave su due appoggi soggetta a un carico ripartito; i suo diagramma è paraboico con un massimo positivo in mezzeria: M9 = f max una trave appoggiata soggetta a due momenti negativi uguai; i reativo diagramma è un rettangoo di atezza: Eseguendo a differenza dee ordinate: M 99 = M = f max 1 M = M9 M f max f max Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei 01 6 Voume Capitoo Paragrafo 6

7 si ottiene: M = = f max 1 R y R y vaore coincidente con ueo espresso daa (1). diagramma degi sforzi di tagio, iustrato in GUR 6d, ha inizio con un ordinata uguae a vaore dea reazione R y, poi decresce con egge ineare annuandosi in mezzeria; in definitiva, esso coincide con ueo di una trave appoggiata soggetta a identica condizione di carico. nche a freccia d infessione si può determinare appicando i principio dea sovrapposizione degi effetti; con e stesse ipotesi assunte in precedenza, si ha: f = f 9 f 99, in cui f 9 rappresenta a freccia prodotta da carico ripartito e f 99 uea (negativ dovuta ai due momenti d incastro. Ricordando e reative espressioni, si ottiene: M f = E E M R y M M Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei 01 e, sostituendo i vaore (1) di M : 1 f = E E Si perviene infine aa reazione:. 1 f = E () Trave soggetta a un carico concentrato in mezzeria Per uesta condizione di carico si può ripetere uanto esposto a proposito de carico uniformemente ripartito. Data evidente simmetria dea struttura GUR 7a, e reazioni orizzontai sono nue e uee verticai vagono: R y = R9 = y per cui rimangono da determinare i due momenti d incastro, peratro uguai: M = M 9 P Eiminando uno dei due incastri e sostituendoo con e rispettive reazioni, a struttura assume aspetto di GUR 7b. Come già fatto in precedenza, si impone a condizione che estremo ibero non subisca abbassamento (f = 0) né rotazione (α = 0) rispetto aa configurazione iniziae. d ) 7 Trave doppiamente incastrata soggetta a un carico concentrato in mezzerìa. Voume Capitoo Paragrafo 6 7

8 Perché sia nua a freccia, deve essere: 9 Ry M9 = 0 E E E Ponendo in uesta euazione R9 y = /, si ottiene: M9 E 6E E e sempificando: M9 = E E Risovendo rispetto a incognita M9 risuta: = 0 M 9 = (17) Lo stesso risutato si ottiene imponendo a condizione che estremo ibero non subisca acuna rotazione; a reativa euazione: R9y M9 = 0 E E E si risove sostituendo espressione dea reazione verticae R9 y. Determinate e reazioni dei vincoi, o studio dea struttura si competa con i consueti diagrammi; i momento fettente varia con egge ineare, decrescendo progressivamente da vaore iniziae (17), che si verifica nea sezione d incastro, fino ad assumere vaori positivi. n una sezione S distante x da incastro citato, i momento fettente è dato da M = M9+ R9 x, ossia: da cui segue: M f y M = + f x f max = + = (1) (19) Quindi i massimi, positivo e negativo, hanno o stesso vaore assouto, e i diagramma assume a conformazione di GUR 7c. diagramma degi sforzi di tagio non si differenzia da ueo di una trave appoggiata, come iustrato in GUR 7d; esso ha inizio con un ordinata positiva pari aa reazione R9 y, prosegue costante fino aa mezzeria, ove inverte i segno, in accordo con a presenza di una punta di massimo momento fettente, e si concude a estremo opposto con intensità uguae a R y. Travi su tre appoggi Una trave soggetta a carichi normai a suo asse geometrico e vincoata con tre appoggi sempici è una vota iperstatica; ne caso più generae di n appoggi, a struttura è tante vote iperstatica uanti sono gi appoggi meno due (trave continu e i cacoo dee reazioni sovrabbondanti si presenta ancora più aborioso. Ci imiteremo perciò a un breve cenno sue travi munite di tre appoggi, considerando soo e ipotesi di carico più sempici. Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei 01 Voume Capitoo Paragrafo 6

9 .1 Trave soggetta a un carico uniformemente ripartito La struttura è composta da due campate uguai, ciascuna di unghezza (GUR, ed è soggetta a un carico per unità di unghezza. Per i cacoo dee reazioni dei tre appoggi, disponiamo di due soe euazioni, essendo automaticamente nua a sommatoria dee componenti orizzontai. P Eiminiamo pertanto appoggio centrae C, sostituendoo con a sua reazione incognita R c. È chiaro che a struttura non deve presentare i minimo abbassamento ne punto C, per cui a freccia f 9 prodotta da carico distribuito e a freccia f 99 sviuppata daa reazione R c devono essere uguai GURE b e : f 9 = f 99. Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei 01 Per i cacoo dea freccia f 9, riprendiamo a formua (.) de testo: f 9 = E che ne caso in esame diventa: ( ) f 9 = = E E (0) La freccia f 99 prodotta daa reazione R c, si esprime con a reazione (.) de testo che, appicata aa struttura di unghezza doppia, diventa: Rc( ) Rc f 99 = = (1) E E Uguagiando a (0) e a (1): Rc = E E dopo e opportune sempificazioni, si ottiene: R = c () Poiché i carico totae agente sua struttura è Q =, data evidente simmetria, e reazioni degi appoggi di estremità vagono: 1 R = R = a b = () momento fettente varia con egge paraboica, come sempre accade uando i carico è uniformemente ripartito (GUR d); esso presenta un massimo negativo in corrispondenza de appoggio centrae e due massimi positivi uguai (per motivi di simmetri nee due campate adiacenti. Poiché tai massimi reativi non si manifestano nee mezzerie dee campate, è necessario ricorrere a espressione generica de tagio e uguagiara a zero: T = x 0 = 0 per cacoare ascissa x 0 dea sezione sottoposta a d) e) R c f C f R c 9 1 Trave su tre appoggi con carico ripartito uniformemente. R b Voume Capitoo Paragrafo 6 9

10 R c R b massimo momento fettente positivo. Senza diungarci in un procedimento ormai ben noto, si rieva che è M = 9 () f 1 massimo negativo, in corrispondenza de appoggio centrae, si cacoa con i metodo tradizionae: M = R f() c a da cui segue, sostituendo espressione () dea reazione : f e in definitiva: M = f() c R a f 9 Trave su tre appoggi con carichi concentrati a metà campata. f R c M = 1 f() c () superiore, in vaore assouto, a massimo positivo. Ne segue che i dimensionamento dea trave verrà eseguito tenendo conto dea soecitazione (). diagramma de tagio (GUR e) varia con egge ineare; su appoggio di sinistra è T = R = a a poi decresce fino ad annuarsi nea sezione distante x 0 da appoggio stesso. n corrispondenza de vincoo intermedio o sforzo di tagio assume i vaori: T9 = R = = c a T99 = R + R = + = c a c e i diagramma si competa in modo anaogo nea seconda campata.. d ) Trave soggetta a carichi concentrati in mezzeria La struttura è rappresentata in GUR 9a; per maggior sempicità supporremo che i carichi concentrati nee mezzerie dee due campate, unghe, siano uguai. n uesta ipotesi a struttura è simmetrica e i procedimento per i cacoo dea reazione sovrabbondante R c si imposta in modo anaogo a ueo adottato per i carichi distribuiti. Eiminiamo perciò appoggio intermedio C sostituendoo con a sua reazione incognita; così facendo, a struttura si decompone secondo gi schemi dee GURE 9b e 9c. La freccia f 99 dovuta aa reazione R c è stata già cacoata in precedenza: Rc f99 = E (6) Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei Voume Capitoo Paragrafo 6

11 Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei 01 mentre a freccia f 9 prodotta dai due carichi concentrati deve essere ricavata mediante i principio dea sovrapposizione degi effetti. tae scopo osserviamo che essa è identica a uea che si manifesta su metà dea trave, considerata incastrata in C e soggetta ai due carichi, e R9 a, uguai e di verso opposto (GUR 9d). Per uanto riguarda i carico di estremità R9 a, è noto che a freccia a esso dovuta vae: R9 a fa = = E E mentre per i carico agente a metà unghezza dea mensoa, avevamo trovato ne paragrafo de capitoo : f = f E Poiché e due forze hanno verso opposto, si ha: f9= fa ff = E E Eseguendo i cacoi, si ottiene espressione dea freccia reativa aa trave di GUR 9b: 11 f9 = E Uguagiando a (6) e a (7): R c 11 = E E e sempificando, si perviene aa reazione: R c = 11 (7) () Le reazioni degi appoggi di estremità vagono pertanto: 1 11 R = R = a b = diagrammi dee soecitazioni sono riportati in GUR 10: momento fettente massimo positivo: momento fettente massimo negativo: M R = = = f a (9) (0) 1 M max R f = a = = (1) sforzo di tagio su appoggio : T = R = a a sforzo di tagio nea sezione in cui agisce i carico : 11 T = R = = 1 a Diagrammi dee soecitazioni reativi aa trave di figura 9. Voume Capitoo Paragrafo 6 11

12 sforzi di tagio in corrispondenza de appoggio centrae: 11 T9 = c T99 = R + R = + = c a c Cacoate e reazioni e e caratteristiche di soecitazione, i probema si concude con i dimensionamento (o a verific dea struttura. Travi Gerber 11 Travi Gerber. C 1 C C 1 C Le travi Gerber sono travi su più appoggi, rese isostatiche da un numero di cerniere pari a ueo dei vincoi sovrabbondanti; di conseguenza una trave di uesto tipo su uattro appoggi è corredata da due cerniere disposte secondo gi schemi dee GURE 11a e 11b. Rispetto ae travi continue staticamente indeterminate e travi Gerber presentano i vantaggio non indifferente di non risentire gi effetti di eventuai cedimenti degi appoggi, come è facie rievare daa GUR 1: a trave continua, per effetto de cedimento de appoggio C, subisce una notevoe deformazione che ne atera sensibimente i regime statico, mentre a trave Gerber «accompagna» i cedimento ruotando intorno ae due cerniere e mantenendo rettiinei i vari tronconi. Trattandosi di strutture isostatiche, o studio dee travi Gerber avrebbe dovuto trovare a sua più ogica coocazione nei capitoi precedenti, o addirittura, ameno per uanto concerne a ricerca dee reazioni, ne primo voume de testo; abbiamo ritenuto più opportuno invece inserire adesso, considerandoe come un evouzione dee travi su più appoggi. cacoo dee reazioni dei vincoi in una trave Gerber può essere impostato in diversi modi. 1. mpiegando e euazioni fondamentai dea statica e aggiungendo tante euazioni ausiiarie uante sono e cerniere presenti nea struttura; ogni euazione ausiiaria esprime annuarsi dea sommatoria dei momenti dee forze esterne e dee reazioni dei vincoi rispetto aa cerniera stessa. Preferiamo non insistere su uesto metodo che comporta un sistema di euazioni tanto più compesso uanto più numerosi sono i vincoi sovrabbondanti; a souzione de probema è aboriosa, ed è preferibie perciò ricorrere ad atri metodi di cacoo. C C 1 Effetti prodotti da cedimento di un appoggio su una trave continua ( e su una trave Gerber (. Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei 01 1 Voume Capitoo Paragrafo 6

13 . razionando a struttura in un certo numero di travi sempici; a tae scopo, si eiminano e cerniere sostituendoe con e reazioni mutue che e due parti dea struttura si trasmettono attraverso articoazione soppressa. Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei 01 ESEMPO Un esempio servirà a chiarire megio i concetto. Consideriamo a trave di GUR 1a, soggetta a un carico uniformemente ripartito su parte dea campata aterae destra e a un carico concentrato agente in un punto dea campata aterae sinistra, mentre uea di centro è scarica. Scomponiamo a struttura secondo o schema di GUR 1b, ottenendo tre travi più sempici, in ciascuna dee uai figurano, otre i carichi, e reazioni mutue R c 1 e R c trasmesse daa cerniera. Per a campata sinistra, daa condizione di euiibrio intorno a punto : i bi= a Rc1 1= 0 si ottiene: e di conseguenza: R = a c1 1 R = b a La reazione R c 1 si trasmette, con verso opposto, aa campata centrae, che è scarica. Essendo incognite e reazioni degi appoggi ( 1 e ) e a reazione mutua R c trasmessa daa seconda cerniera, è preferibie considerare prima euiibrio dea campata destra. Per evidenti motivi di simmetria è R = R = c b per cui, cacoata a R c, è facie concudere i procedimento passando a tratto centrae in cui figurano due. Un atro metodo per o studio dee travi Gerber sfrutta a conoscenza de momento fettente e a circostanza che, in ueste strutture, esso si annua in corrispondenza dee cerniere. procedimento è rapidissimo, anche se presenta i consueti inconvenienti di tutte e rappresentazioni grafiche. Le varie campate dea trave di GUR 1a, considerate separatamente, danno uogo a due diagrammi triangoari (carichi concentrati) e a un diagramma paraboico (carico uniformemente ripartito). Tracciati perciò i tre diagrammi suddetti riferiti a orizzontae MN (GUR 1, si abbassano e verticai dae due cerniere, individuando i punti S e T di momento nuo; successivamente, congiunto M con S e N con T, si determina a vera inea fondamentae (M-S-T-N) de diagramma compessivo dei momenti. diagramma definitivo si ottiene riferendo e singoe ordinate a una nuova inea orizzontae. 1 termini noti (R c 1 e R c ) e due incognite ( 1 e R b 1 ). Per euiibrio aa rotazione intorno a punto 1 : i bi= Rc1 ( λ+ ) Ra1 R c λ= 0 si ottiene: n modo anaogo risuta: Rc1 λ λ = ( R + ) Rc a1 Rc R = b1 ( λ+ ) Rc λ 1 cacoo dee reazioni dei vincoi è uindi competato. Successivamente si tracceranno i diagrammi de momento fettente e de tagio seguendo e normai regoe enunciate ne capitoo 7. a C b λ λ R c1 R c1 C 1 1 R b1 R c C R c 1 Cacoo dee reazioni in una trave Gerber. M 1 C 1 C S 1 Diagramma de momento fettente reativo a una trave Gerber T R b N Voume Capitoo Paragrafo 6 1

14 ESERCZ 1 ESERCZO SVOLTO rgomento Trave con appoggio e incastro Studiare a trave con appoggio e incastro schematizzata in GUR 1a. P La struttura è una vota iperstatica, in uanto otre aa reazione de appoggio si devono cacoare a reazione verticae R y de incastro e i reativo momento. D atra parte e euazioni fondamentai dea statica si riducono a due, essendo automaticamente soddisfatta a condizione: ix = 0 in uanto i carico è verticae. Eiminando appoggio e sostituendoo con a sua reazione incognita deve essere: Ra = E E poiché tae reazione deve annuare a freccia prodotta da carico. Si ricava pertanto: R = = 6000 = 670N a Di conseguenza risuta: R y = = = 11 0 N e i momento d incastro vae: M = R = = 670 N m a La trave però è soggetta anche a un momento fettente positivo; i suo vaore massimo si ha nea sezione in cui si annua o sforzo di tagio. mpostata perciò a reazione: si ricava: Pertanto: x 0 T = x 0 = 0 = Ra 670 = 6000 = 11, m M R x x = 0 = ,, f a Nm è i momento massimo positivo, inferiore però a ueo (negativo) che si manifesta nea sezione d incastro (GUR 1. L eventuae dimensionamento dea trave deve essere eseguito perciò vautando: M f max = N mm supponendo che sia σ am = 10 N / mm si ottiene: Wf = 00 mm 10 1 x N/m m M f M f max T max Quindi si può impiegare (v. tabee) un «doppio T» PE 10, cui corrisponde W f = 000 mm, con un ampio margine di sicurezza. diagramma de tagio ha inizio con ordinata T a = = 670 N e decresce inearmente fino ad annuarsi nea sezione distante 1,1 m da appoggio. Successivamente prosegue ne campo negativo con a stessa incinazione e si concude con T a = R y = 11 0 N vaore che costituisce i massimo dea soecitazione. ESERCZ PROPOST 1.a Studiare a trave con appoggio e incastro schematizzata in GUR a. Souzione: = 1 N; R y = 67 N; M f = 60 N m; M = 700 N m. 1.b Cacoare e reazioni dei vincoi dea trave iustrata in GUR 17a e tracciare i diagramma de momento fettente. Souzione: = 9600 N; R y = 600 N; M = 600 N m. Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei 01 1 Voume Capitoo Paragrafo 6

15 ESERCZO SVOLTO rgomento Trave con appoggio e incastro La trave de esercizio 1 è sostenuta a suo estremo da un fio metaico ( = 1 cm) ungo m, anziché da soito appoggio. Cacoare o sforzo S sopportato da fio e abbassamento de estremità dea trave. P L estremità dea trave può abbassarsi di una certa uantità λ pari a aungamento eastico subìto da fio; poiché i fio sostituisce appoggio, a condizione di euiibrio si esprime con a reazione: Ra Ra = 1 E E E 6000 N 1, m m M f M avendo indicato con 1 a unghezza de fio e con area dea sua sezione retta. Da tae condizione si ricava: 17 1 Ra + E E = E da cui segue: R a= 1 + e avendo ricavato dae tabee = mm, risuta: Ra= 660 N , Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei 01 Passando ai vaori numerici, essendo = 6 N / mm = π 10 = 7, mm N m m diagramma di M f M f M T max La reazione costituisce o sforzo S che soecita i fio a trazione; abbassamento λ de estremità dea trave vae pertanto: S λ = E Se i fio è di acciaio, numericamente si ha: ESERCZ PROPOST λ = 1, 6 mm ,.a Cacoare i momento fettente positivo M f e ueo negativo M agenti sua struttura de esercizio precedente. Souzione: M f 66 N m; M 710 N m..b L appoggio di estremità dea trave citata ne esercizio 1.a dista cm daa trave stessa, che è costituita da un profiato PE 10. Cacoare a reazione. Souzione: 1 N..c Studiare a trave con appoggio e incastro schematizzata in GUR 1a a pagina seguente. Souzione: 109 N; R y 906 N; M 6 N m. Voume Capitoo Paragrafo 6 1

16 000 N/m 9000 N/m m m m R y M M α N m T max 6000 N m 1 ESERCZO SVOLTO rgomento Trave doppiamente incastrata Tracciare i diagrammi dee soecitazioni che agiscono sua trave doppiamente incastrata di GUR 19a. P La struttura ha tre vincoi sovrabbondanti; tuttavia, data a simmetria de carico, è facie prevedere che R9y= Ry= M9= M Pertanto e incognite de probema si riducono sensibimente. Lo studio dea struttura può essere impostato ne modo seguente: eiminiamo uno dei due incastri sostituendoo con e reative reazioni; una di ueste (R9 y ) è nota, mentre atra è costituita da momento d incastro M9. mponendo a condizione che sia nuo angoo di rotazione α de estremità resa ibera (GUR 19, si ha: Ricordando che R9y = si ottiene: e sempificando: R9y M9 + = 0 6E E E M9 + = 0 6E E E M9 + = 0 1E E da cui si ricava facimente: M9 = 1 d) 19 e con i dati numerici de testo: 9000 M9 = 1 = Nm Ricavati i due momenti d incastro e e due reazioni verticai, i cacoo preiminare è concuso. momento fettente varia ungo a trave con egge paraboica (GUR 19 e presenta un massimo positivo in mezzeria: (/) Mfmax= M9+ R9y che numericamente vae: 9000 Mf max= = 6000 Nm come era facie ricavare direttamente daa (1). diagramma de tagio non si discosta da ueo di una trave appoggiata soggetta ae stesse condizioni di carico; ordinata iniziae vae: in mezzeria risuta: T9= R9= = 1000 N y y T = R9 = = 0 0 y T N Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei 01 Voume Capitoo Paragrafo 6

17 e i diagramma (GUR 19d) si concude con ordinata negativa: T y = = = N = R y 00 N ESERCZ PROPOST Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei 01.a Una trave doppiamente incastrata, unga,60 m, costituita da un profiato a «doppio T» PE 100, è soggetta a un carico uniformemente ripartito = 000 N / m su tutta a sua unghezza. Supponendo che gi incastri siano perfetti, verificare a resistenza dea trave assumendo σ r = 00 N / mm. Souzione: σ 1 N / mm ; a,..b Studiare a trave con due incastri schematizzata in GUR 0a. Tracciare anche i diagrammi de momento fettente e de tagio. Souzione: R y = R9 y 700 N; M 700 N m; M f 700 N m..c Una trave doppiamente incastrata, unga m, soggetta a un carico di 0 kn concentrato in mezzeria, è costituita da due ferri a «C» rigidamente connessi ungo a costoa. Verificare a resistenza assumendo σ r = 0 N / mm. Souzione: s 1, N / mm ; a,1..d Dimensionare a trave di GUR 1 e tracciare i diagrammi dee soecitazioni. Souzione: M 770 N m; M9 110 N m; M f 90 N m; si scegie un profiato PE 10 con W f = mm N m m 1 ESERCZO SVOLTO rgomento Trave su tre appoggi Dimensionare una trave su tre appoggi GU (a pagine seguente) soggetta a un carico uniformemente ripartito ( = kn / m) su tutta a sua unghezza. P Togiendo appoggio intermedio C e sostituendoo con a sua reazione incognita R c, uest utima deve avere intensità tae da rendere nua a freccia prodotta da carico ; poiché tae freccia si esprime con a formua: f = E in cui rappresenta a unghezza compessiva dea trave, deve essere (GUR : Sempificando: si ottiene: diagramma di M f diagramma di T E e con i dati numerici: m m 1 Rc = E = Rc Rc= Rc= = 000 N Voume Capitoo Paragrafo 6 17

18 000 N/m dimensionamento dea struttura deve essere eseguito basandosi su massimo vaore assouto dea soecitazione; assunto perciò: C M f max = N mm m m e ritenendo, in mancanza di dati più precisi, σ am = = 10 N / mm, risuta: Mf Wf = = 9 00 mm = 9, cm σ 10 max am R c profiato più adeguato ae caratteristiche di carico è HE 100, cui corrisponde W f = 90 cm. Con tae sceta a tensione interna dovuta aa fessione diventa: diagramma di M f 1 00 N m 700 N m σ = 19 N/mm ESERCZ PROPOST d) diagramma di T 1 00 N 700 N.a Studiare a trave su tre appoggi schematizzata in GU; tracciare anche i diagrammi dee soecitazioni. Souzione: = R b 1 N; R c 1 70 N; M f(c) 700 N m; M f 60 N m. Le atre reazioni risutano: Rc Ra= Rb= = = 700 N e i diagramma degi sforzi di tagio assume aspetto iustrato in GUR d. momento fettente varia con egge paraboica nee due campate e presenta un massimo negativo in corrispondenza de appoggio centrae; tae massimo (GUR vae: M fc ( ) e con i dati numerici: (/) = Ra 000 MfC ( ) = 700 = 1 00 Nm Per uanto concerne i massimo positivo, ricaviamo dapprima ascissa x 0 dea sezione nea uae esso si verifica; imponendo a condizione: si ottiene: x 0 = 0 Ra 700 x0= = = 1,7 m 000 e i momento positivo risuta: M 700 1, ,7 f= 700 Nm.b La trave de esercizio precedente è costituita da un profio a «doppio T» PE 10. Ritenendo che i carichi appicati siano di kn ciascuno, verificare a resistenza dea struttura. ssumere σ r = 0 N / mm. Souzione: σ 1 N / mm ; a,0. diagramma di M f N N C m m Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei 01 1 Voume Capitoo Paragrafo 6

19 ESERCZO SVOLTO rgomento Trave Gerber Studiare a trave Gerber schematizzata in GUR a. P nterrompiamo i coegamento fra i due tronchi di trave togiendo a cerniera C e sostituendoa con a reazione mutua R c. Lo schema dea struttura assume perciò aspetto iustrato in GUR b, consentendo i cacoo separato dei due tronchi. Considerando euiibrio aa rotazione de tronco di sinistra, possiamo scrivere: e infine: R d = R c + R b = = N Competato i cacoo dee reazioni, si passa aa vautazione de momento fettente nee varie sezioni; su appoggio è M f () = 1 1 = 00 N m Successivamente i diagramma varia con egge ineare fino ad annuarsi in corrispondenza dea cerniera; a titoo di controo, cacoiamo: M f (C) = 1 + = = 0 Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei 01 da cui segue: 1 1 R c = 0 R = 1 = 100 N c notre daa condizione di euiibrio aa trasazione verticae si ha: e uindi: 1 + R c = 0 = 1 + R c = = 00 N Tenendo conto che a reazione R c si trasmette a atro tronco dea struttura, è facie ricavare e reazioni dei vincoi rimanenti; annuando a sommatoria dei momenti rispetto a appoggio D: si ottiene: R c 1 + R b = 0 Rc Rb= + + = = 7 N 1 00 N 1 1 m 1 m M f () C R c C D R c R d R b C D M 0 M f (D) 00 N m m M f () come era stato previsto. Ne punto di appoggio centrae D i momento fettente assume i vaore: M f (D) = 1 + = = 100 N m positivo, in contrasto con uanto accade nee travi continue. L utimo vaore dea soecitazione riguarda a sezione in cui è appicato i carico : M f () = R b = 7 = 0 N m vautato con e forze a destra dea sezione per maggior comodità di cacoo. diagramma de momento fettente è stato ottenuto direttamente «sadando» fra oro i diagrammi parziai dei due tronchi (GUR e tracciando a inea fondamentae passante per i punti in cui a soecitazione deve necessariamente annuarsi. L eventuae dimensionamento dea struttura verrà eseguito assumendo M f max = 0 N m, vaore che si manifesta nea sezione in cui è appicato i carico. ESERCZ PROPOST.a Risovere esercizio ne ipotesi che sua struttura agisca i soo carico 1 di 00 N. Souzione: = 00 N; R c = 100 N; R d = 1 N; R b = N; M f () = 00 N m; M f (C) = 0; M f (D) = 100 N m; M f () = 0 N m..b Risovere esercizio ne ipotesi che i carico concentrato sia sostituito da un carico uniformemente ripartito ( = 00 N / m) su tronco di destra e 1 = 00 N. Souzione: = 00 N; R c = 100 N; R d = 7 N; R b = N; M f () = 00 N m; M f (C) = 0; M f (D) = 100 N m; M f () = 0 N m. Voume Capitoo Paragrafo 6 19

20 x 0 C 1 D 1 D C m 1 m 1 m R c1 00 N/m Per motivi di simmetria risuta anche: R d 1 = 100 N Detta x 0 ascissa dea sezione in cui si verifica i massimo momento positivo, imponiamo a condizione: x 0 = 0 ricavando: Rc1 C 1 R d1 R d D 1 D R c R c R b x 0 = Ra 00 = 00 = m come era ogico prevedere in uanto i momento stesso deve annuarsi in corrispondenza dee due cerniere. massimo positivo vae: C 00 M f () = 0 = 00 Nm x 0 M f (0) M f (D) 0 N m M 0 M 0 per entrambe e campate aterai. Sui due appoggi intermedi è invece: M f D ( ) = = 1000 Nm e i diagramma assume a configurazione iustrata in - GUR c con una punta in mezzeria di 0 N m. 6 ESERCZO SVOLTO rgomento Trave Gerber Una trave Gerber su uattro appoggi è soggetta a un carico uniformemente ripartito ( = 00 N / m). Cacoare e reazioni dei vincoi e i momenti fettenti massimi (GUR. P probema non si discosta sensibimente da ueo considerato ne esercizio, anche se a simmetria de carico ne sempifica notevomente i cacoi. razionata a struttura in tre tronchi (GUR è evidente che i risutati ricavati per i tronco di sinistra vagono anche per ueo di destra. Otteniamo perciò direttamente: e anche: 00 Ra= Rc1= = 00 N R b = R = 00 = 00 N c Possiamo perciò passare immediatamente a cacoo dee reazioni dei due appoggi D 1 e D posti ne tratto centrae; da euiibrio aa rotazione intorno a appoggio D 1 si ha: R c 1 1 Q 1, + R d R c = 0 da cui si ottiene: 00 1, Rd = = 100 N ESERCZ PROPOST 6.a Risovere esercizio 6 ne ipotesi che siano caricate ( = 00 N / m) soo e due campate aterai. Souzione: = R b = 00 N; R d 1 = R d = 100 N; M f (0) = 00 N m; M f (D) = 1000 N m; M f (mezz.) = 1000 N m. 6.b Studiare a trave Gerber schematizzata in GU- R 6a e tracciare i diagramma dei momenti. Souzione: = R b = 00 N; R d 1 = R d = 00 N; M f (0) = 00 N m; M f (D) = 00 N m; M f (mezz.) = 00 N m 6 00 N 1000 N 1000 N C 1 C D 1 D m 1, m 1, m diagramma di M f Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei 01 0 Voume Capitoo Paragrafo 6

21 QUEST 1 Esporre, a massimo in 0 paroe, a definizione di travi Gerber. Descrivere, a massimo in 10 righe, i vantaggi offerti dae travi Gerber rispetto a una trave continua. La struttura iustrata a fianco è: 9 a abie. b isostatica. R c R b c iperstatica. C La struttura iustrata a fianco è: 0 a abie. b isostatica. c iperstatica. La struttura iustrata a fianco è: Pidatea, errari ggradi, Pidatea, Corso di meccanica, macchine ed energia Zanichei 01 a abie. b isostatica. c iperstatica. 6 La struttura iustrata a fianco è: a abie. b isostatica. c iperstatica. 7 Nea trave di GUR 7f = 100 N e = 1 m; cacoare i momento d incastro M. La trave doppiamente incastrata di GUR, unga 1 m, è caricata in mezzeria da una forza = 00 N. Cacoare e reazioni verticai che si hanno nei due incastri Con riferimento aa trave una vota iperstatica di GUR 9, spiegare in non più di righe i procedimento da usare per trovare a reazione in. 10 Con riferimento aa trave una vota iperstatica di GUR 0, spiegare in non più di righe i procedimento da usare per trovare a reazione in C. 11 Con riferimento aa trave una vota iperstatica di GUR 1, si possono avere tre diversi casi. Caso 1: = 1 kn, = m Caso : = 1 kn, = 1 m Caso : = 1 kn, = m La reazione R : a sarà maggiore ne caso 1. b sarà maggiore ne caso. c sarà maggiore ne caso. d sarà sempre a stessa. 1 Con riferimento aa trave una vota iperstatica di GUR 1, si possono avere tre diversi casi. Caso 1: = kn, = m Caso : = kn, = 1 m Caso : = 1 kn, = m La reazione R : a sarà maggiore ne caso 1. b sarà maggiore ne caso. c sarà maggiore ne caso. d sarà sempre a stessa. Voume Capitoo Paragrafo 6 1