LIMITI E CONTINUITA. 1. Sul concetto di limite

Transcript

1 LIMITI E CONTINUITA. Su concetto di imite I concetto di imite nasce da esigenza di conoscere i comportamento di una funzione agi estremi de suo insieme di definizione D. Quaora esso sia costituito da unione di due o più intervai (imitati o iimitati bisognerà esaminare i comportamento agi estremi di ognuno di tai intervai precisando gi estremi di tai intervai appartengono o no a D. Chiaramente ne caso di intervai iimitati, gi estremi a infinito non appartengono a D perché e + sono simboi e non vaori numerici. La determinazione de comportamento dea funzione ne estremo a appartenente a D non prenta acuna difficotà : infatti ne può cacoare i vaore dea funzione in tae estremo, cioè f (a. Se invece estremo a non appartiene a D si può anaizzare cosa succede per i vaori di f ( man mano che a assume vaori che si avvicinano mpre di più a.si dice aora che ne cacoa i imite di f ( a tendere di ad a, in simboi si scrive im f (. Più precisamente si avvicina ad a da destra (cioè per vaori più grandi di asi dice che ne determina i imite destro di f ( a tendere di ad a e si scrive a im + a f ( ;simmetricamente si avvicina ad a da sinistra (cioè per vaori più piccoi di a si dice che ne determina i imite sinistro di f ( a tendere di ad a e si scrive im a f (. Si dice che i im f ( a esiste a funzione possiede sia i imite destro, sia i imite sinistro per tendente ad a e questi due imiti sono eguai. Ne caso di estremi a infinito,e scritture im f ( destro e di imite sinistro. e im f ( + hanno i significato di imite - Limiti e continuità -

2 Ciascuno di questi imiti (destro o sinistro, a finito e a infinito può esistere ed esre finito o infinito (più precisamente Ne caso in cui esista si scrive oppure oppure non esistere. im f (, con avvertenza che a o possono esre a sostituiti da uno dei simboi, +, -. I significato di tae scrittura, in termini matematici rigorosi, per i vari casi possibii, può esre unificato utiizzando i concetto di intorno ne modo guente. Sia f(:d R R e un punto di accumuazione di D. Si dice che im f ( in corrispondenza ad ogni intorno di, I(, esiste un intorno di, I(, tae che per ogni di tae intorno appartenente a dominio D di f(, escuso i punto, si abbia f( I(. im f ( I ( I ( : f ( I ( I ( D { } ( 2. Teoremi sui imiti Si dimostrano facimente i guenti teoremi. Teorema di unicità de imite. Se esiste i imite dea funzione f(, per tendente a,tae imite è unico. Teorema dea permanenza de gno. Se per tendente a a funzione tende ad un imite finito non nuo, esiste un intorno de punto per ogni de quae,appartenente a dominio dea funzione ed escuso a più, a funzione f( assume vaori deo stesso gno de suo imite. im f ( > ( < I *( : f ( > ( f ( < I * ( Teorema daa imitatezza ocae. Se im f ( R aora esiste un intorno di, I*(,in cui f( è imitata. ( in guito denoteremo I ( D { } con ( I. * - Limiti e continuità - 2

3 Teoremi de confronto asiano f(,, h( tre funzioni definite neo stesso intervao A tai che per ogni A risuta f( h(. Se im f ( im h( R aora è im bsiano f( e due funzioni definite neo stesso intervao A tai che per ogni A risuta f(.se im f ( + aora è im +.Se im aora è im f (. 3. Limiti notevoi Con considerazioni non de tutto banai si dimostrano i guenti imiti notevoi. n im + (purché angoo sia misurato in radianti ( 2 im e (2 Da imite gue: tg.a im.b cos cos im.c im 2 Da imite 2 gue: 2.a a a im + e e in particoare im e 2.b im( + e e in particoare im( e 2.c o + im 2.d a e im og a con a > e in particoare im 2 4. Operazioni sui imiti Siano f( e due funzioni definite in un intervao comune D R a vaori in R ed,m R nea guente tabea sono schematizzati i risutati espressi dai teoremi reativi ae operazioni sui imiti. I radiante è unità di misura degi angoi, esso è que angoo a centro di una circonferenza di raggio arbitrario che sottende un arco di arghezza uguae a raggio. Chiaramente si assume i raggio dea circonferenza come unità di misura degi archi e i radiante come unità di misura degi angoi, o stesso numero che dà a misura di un arco di una data circonferenza, dà a misura de corrispondente angoo a centro, e viceversa. - Limiti e continuità - 3

4 2 Con tae simboo e viene indicato un numero (irrazionae compreso tra 2 e 3, detto numero di Nepero, i cui vaore approssimato per difetto fino aa nona cifra, è: Esso è assunto come ba dei ogaritmi naturai o neperiani. - Limiti e continuità - 4

5 im f ( im im[ f ( + ] im f ( f ( im m + m m > < m ( m < > >, > <, < >, < <, > m m > m < m > m < m m < m > m < m > > < < > > > < < < > - Limiti e continuità - 5

6 I casi in cui compare, e cioè,,, sono dette forme indeterminate, ne nso che non esiste un teorema che assicura quae sia i risutato, cioè i imite cercato può non esistere, oppure esre +, - o anche un numero finito. I teoremi precedenti esprimono dee condizioni sufficienti, essi non sono invertibii; cioè può esistere finito i imite di una funzione somma, prodotto, quoziente di due funzioni nza che esiste i imite dee singoe funzioni. Empio: Esiste i imite per dea funzione somma di funzione n 2 con cos 2 (esso vae mentre non esiste i imite per di ciascuna dee due funzioni. Se si considera im f ( g (, a conda dei casi che si possono prentare per i imiti di f( e, si hanno i guenti casi di indeterminazione:,,. Poiché g ( g ( og f ( f ( e essi vengono trasformati nea forma oppure 5. Continuità. Una funzione y f( si dice continua in un punto appartenente a suo insieme di definizione D im f ( im f ( f ( + La funzione y f( si dice continua su D essa è continua in ogni punto di D. Questa definizione traduce in termini rigorosi i fatto intuitivo che una funzione è continua non prenta sati, cioè si può dignare i suo grafico nza mai staccare a penna da fogio.questo aspetto intuitivo dea continuità vae soo per quee funzioni i cui insieme di definizione D è un unico intervao (imitato o iimitato. Ne caso in cui D sia invece costituito da due o più intervai staccati, o stesso aspetto intuitivo dea continuità - Limiti e continuità - 6

7 va riferito ai singoi intervai di D. Gi eventuai punti nei quai una funzione prenta dei sati, si chiamano punti di discontinuità. Si prova che : e funzioni poinomiai, e funzioni esponenziai e ogaritmiche, e funzioni no e cono sono continue. e somme, e differenze e i prodotti di funzioni continue sono funzioni continue. a funzione composta di funzioni continue è una funzione continua. a funzione inversa di una funzione continua è continua. una funzione definita a tratti mediante funzioni continue è continua, purché e funzioni considerate sui singoi tratti si raccordino tra oro. a funzione quoziente di due funzione continue, nei punti in cui i denominatore non si annua è una funzione continua; nei punti dove si annua i denominatore, poiché essi non fanno parte de insieme di definizione, non si può parare di discontinuità; tai punti più propriamente sono detti punti singoari per a funzione. Si dimostra : (Teorema di Weierstrass Se f( è una funzione continua in un intervao chiuso e imitato aora essa assume ivi i minimo assouto e i massimo assouto. (Teorema didarbou-bozano. Se f( è una funzione continua in un intervao chiuso e imitato aora,ameno una vota,assume ogni vaore compreso tra i suo minimo assouto e i suo massimo assouto. Da quest utimo teorema gue che a funzione assume agi estremi de intervao chiuso vaori di gno opposto, esiste ameno un punto interno a intervao in cui assume i vaore. - Limiti e continuità - 7