Marzia Re Fraschini - Gabriella Grazzi

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2 Marzia Re Fraschini - Gabriea Grazzi ISBN Edizione Direzione Editoriae: Roberto Invernici Redazione: Domenico Gesmundo, Mario Scavini Progetto grafico: Ufficio Tecnico Atas Fotocomosizione, imaginazione e disegni: GIERRE, Bergamo Coertina: Vavassori & Vavassori Stama: L.E.G.O. S..A. - Vicenza L'editore si imegna a mantenere invariato i contenuto di questo voume, secondo e norme vigenti. I materiae iustrativo roviene da'archivio iconografico Atas. L'editore eá a disosizione degi aventi diritto non otuti reerire. I resente voume eá conforme ae disosizioni ministeriai in merito ae caratteristiche tecniche e tecnoogiche dei ibri di testo. Con a coaborazione dea Redazione e dei Consuenti de'i.i.e.a. Ogni riroduzione de resente voume eá vietata Le fotocoie er uso ersonae de ettore ossono essere effettuate nei imiti de 15% di ciascun voume/fascicoo di eriodico dietro agamento aa SIAE de comenso revisto da'art. 68, commi 4 e 5, dea egge arie 1941 n Le fotocoie effettuate er finaitaá di carattere rofessionae, economico o commerciae o comunque er uso diverso da queo ersonae ossono essere effettuate a seguito di secifica autorizzazione riasciata da CLEARedi, Centro Licenze e Autorizzazioni er e Riroduzioni Editoriai, Corso di Porta Romana 108, 01 Miano, e-mai [email protected] e sito web Q 01 b ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 413 Bergamo - Via Crescenzi, 88 - Te. (035) Fa (035)

3 Presentazione I rogetto I nuovi Istituti Tecnici sono caratterizzati da una soida base cuturae a carattere scientifico tecnoogico ed in quest'ottica si inquadra a disciina Comementi di matematica, tesa a rafforzare 'asse cuturae matematico garantendo 'acquisizione di saeri e di cometenze che ermetteranno ao studente di saersi orientare consaevomente nei diversi contesti de mondo contemoraneo. In questa rosettiva i Comementi ai Lineamenti di Matematica si roongono come un'oera mista mutimediae e digitae tesa a favorire 'acquisizione dei metodi e de inguaggio rori dea matematica er organizzare e utiizzare informazioni di tio diverso a fine di investigare fenomeni de mondo reae. Argomenti de'oera Luoghi geometrici, curve in forma arametrica, coordinate oari, coordinate ogaritmiche Derivate arziai e differenziae totae Equazioni differenziai Integrai curviinei Trigonometria sferica Probemi di sceta in condizioni di incertezza, ricerca oerativa (scorte, PERT) Programmazione ineare in due variabii Pooazione e camione, statistiche, distribuzioni camionarie e stimatori, verifica di iotesi statistiche Imostazione e caratteristiche didattiche Ogni argomento viene roosto con rigore, ma senza mai dare nua er scontato; numerosi esemi cometano oi a trattazione teorica e faciitano 'aicazione dei concetti aresi. Per un costante monitoraggio de'arendimento, nea trattazione teorica o studente eá inotre sesso chiamato a risondere a quesiti secifici che servono a testare i iveo di conoscenza de'argomento trattato rima di assare a queo successivo. A termine di ogni caitoo si trova a rubrica I concetti e e regoe, utie come sintesi dei concetti aresi e anche come riasso veoce dei contenuti. Gi esercizi roosti sono diversificati e in numero tae da soddisfare ogni esigenza; si resentano in due tioogie: esercizi di comrensione, sesso in forma di test er a verifica dee conoscenze esercizi di aicazione er sviuare caacitaá ogiche, aicare nuove tecniche di cacoo, sviuare abiitaá nea sceta dee rocedure er a risouzione dei robemi esercizi er a vautazione dee cometenze acquisite. Significativa eá a scheda finae che contiene un test di autovautazione de iveo di arendimento raggiunto, utie anche ai fini dea rearazione dee verifiche sommative. Materiai onine La versione a stama si cometa con un ricco reertorio di materiai, disonibii su sito dea casa editrice a'indirizzo htt://ibreriaweb.edatas.it, tra i quai: aboratorio di informatica con i software gratuiti GeoGebra e Wiris, noncheâ Derive e Cabri acchetti di uteriori esercizi esercizi in ingua ingese. PRESENTAZIONE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

4 CAPITOLO 1: Funzioni di due variabii e raresentazioni grafiche neo sazio 1. Funzioni di due variabii e derivate Le derivate arziai 6 1. I significato geometrico e i iano tangente Le derivate successive 11. I differenziae totae La ricerca dei massimi e dei minimi 14 I concetti e e regoe 18 ESERCIZI 179 Test finae 191 CAPITOLO : Modei ed equazioni differenziai 1. Introduzione: i modei differenziai 19. Le definizioni 0 3. Le equazioni de rimo ordine 3.1 Le caratteristiche e i robema di Cauch 3. Le equazioni dea forma 0 ˆ f Le equazioni a variabii searabii Le equazioni ineari 7 4. Le equazioni de secondo ordine Le caratteristiche e i robema di Cauch Le equazioni dea forma 00 ˆ f Le equazioni ineari a coefficienti costanti 31 Arofondimenti Le equazioni non omogenee Modei descritti da equazioni differenziai Modei de rimo ordine Modei de secondo ordine: 'equazione dea dinamica di Newton 38 I concetti e e regoe 41 ESERCIZI 193 Test finae 10 CAPITOLO 3: Sistemi di riferimento e curve 1. Le equazioni arametriche di una curva 4 Arofondimenti Curve arametriche neo sazio 45. I sistema di riferimento oare 46 Arofondimenti I riferimento oare neo sazio La scaa ogaritmica 48 I concetti e e regoe 5 ESERCIZI 1 Test finae 18 Onine Su sito trovi... Onine Su sito trovi... Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica I aboratorio di informatica I aboratorio di informatica La scheda storica e e curiositaá La scheda storica e e curiositaá La scheda storica e e curiositaá Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS INDICE 3

5 CAPITOLO 4: Integrai curviinei CAPITOLO 5: Trigonometria sferica CAPITOLO 6: I camionamento 1. La unghezza di una inea 53 Arofondimenti Curve neo sazio 54. Integrai curviinei: rima secie 56.1 Caratteristiche dee curve 56. L'integrae su una inea 58 Arofondimenti Curve neo sazio Integrai curviinei: seconda secie 6 Arofondimenti Curve neo sazio 64 I concetti e e regoe 67 ESERCIZI 19 Test finae 7 1. La geometria sua sfera I concetti fondamentai I triangoo sferico 70. La trigonometria sferica 7 3. Un'aicazione: a navigazione ortodromica 77 I concetti e e regoe 80 ESERCIZI 8 Test finae Pooazione e camione I camionamento 8 1. Le variabii camionarie 85. Parametri e stimatori 87.1 La media camionaria 88. La varianza camionaria 89.3 La roorzione camionaria I caso dea distribuzione normae 9 4. Stima untuae dei arametri Stima untuae dea media Stima untuae dea frequenza Stime er intervao: efficacia di un rodotto o di un servizio Stima er intervao dea media Stima er intervao di una frequenza La verifica dee iotesi Le iotesi statistiche: controo de'efficacia di un rodotto o servizio Le regoe di decisione 107 I concetti e e regoe 111 ESERCIZI 35 Test finae 5 Onine Su sito trovi... Onine Su sito trovi... Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica I aboratorio di informatica I aboratorio di informatica La scheda storica e e curiositaá La scheda storica e e curiositaá La scheda storica e e curiositaá 4 INDICE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

6 CAPITOLO 7: Ricerca oerativa: i robemi di sceta CAPITOLO 8: Ricerca oerativa: a rogrammazione ineare 1. La ricerca oerativa e i suoi robemi Le fasi Probemi di sceta: a cassificazione 115. Probemi di sceta in condizioni di certezza con effetti immediati I caso continuo 115. I caso discreto La sceta tra iuá aternative Probemi di sceta in condizioni di certezza con effetti differiti I concetti fondamentai di Matematica Finanziaria I criteri di sceta Probemi di sceta in condizioni di incertezza I criterio de vaor medio Scete che tengono conto de rischio Un esemio concusivo Un robema articoare: a gestione dee scorte 145 I concetti e e regoe I modeo de robema 150. Le disequazioni ineari in due variabii I metodo grafico Probemi in due variabii Probemi riconducibii a due variabii I metodo de simesso La forza standard di un robema di PL La rocedura di risouzione Lo schema de simesso I Pert 17 I concetti e e regoe 177 ESERCIZI 81 Test finae 98 ESERCIZI 53 Test finae 79 Onine Su sito trovi... Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica I aboratorio di informatica La scheda storica e e curiositaá La scheda storica e e curiositaá Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS INDICE 5

7 CAPITOLO Funzioni di due variabii e raresentazioni grafiche neo sazio Obiettivi comrendere i significato di derivata arziae cacoare derivate arziai comrendere i concetto di differenziae totae saer aicare i concetto di derivata arziae aa determinazione dei massimi e dei minimi di una funzione di due variabii 1. FUNZIONI DI DUE VARIABILI E DERIVATE 1.1 Le derivate arziai Saiamo che: Gi esercizi di questo aragrafo sono a ag. 179 una funzione f di due variabii esrime una egge che ad ogni coia di numeri reai, aartenente ad un certo insieme D associa uno ed un soo numero reae z; si scrive in questo caso che z ˆ f,. In un sistema di riferimento cartesiano ortogonae neo sazio una funzione di due variabii eá raresentata da una suerficie; non eá facie costruire con carta e enna i grafico di una funzione di questo tio, ma ci sono dei software come Wiris oure Derive che eseguono questo comito mettendo in evidenza e caratteristiche fondamentai di queste figure. Per esemio, in figura 1 eá raresentato i grafico dea funzione di equazione z ˆ sin cos. Osserviamo che sua suerficie sono disegnate acune inee nere che, intersecandosi, mettono in evidenza 'andamento dea suerficie stessa; queste inee sono e intersezioni dea suerficie con i iani araei a quei coordinati z e z. Per ottenere, si fissa un vaore dea variabie (iano araeo a iano z) oure dea variabie (iano araeo a iano z) e si raresenta a inea in que iano. Per esemio se ˆ si disegna neo sazio a funzione z ˆ sin cos cioeá z ˆ 1 cos Figura 1 6 Caitoo 1: FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

8 Nea figura eá raresentato i iano ˆ ; a curva z ˆ 1 cos eá a inea intersezione dea suerficie con tae iano. Ne voume base queste inee sono state chiamate inee di iveo. Studiare e inee di iveo, determinando tutte e oro caratteristiche, quindi unti di massimo e di minimo, fessi e concavitaá, ermette di dare una forma aa suerficie f,. Le inee di iveo sono funzioni di una soa variabie e studiando e oro derivate ossiamo determinare tutte e caratteristiche iuá imortanti di ciascuna di esse: massimi, minimi, fessi, concavitaá. Rirendendo a funzione f de'esemio: se consideriamo come vaore costante e come vaore variabie, ossiamo vautare z 0 derivando risetto a ed in questo caso eá: z 0 risetto a : sin se consideriamo come vaore costante e come vaore variabie, ossiamo vautare z 0 derivando risetto a ed in questo caso eá: z 0 risetto a : cos Abbiamo in questo modo introdotto in modo intuitivo i concetto di derivata arziae. Diamo adesso una definizione iuá recisa e rigorosa di quanto detto. Consideriamo dunque una funzione f, definita in un insieme I e sia P 0 0, 0 un unto di I. Mantenendo fisso 0, che significa intersecare i grafico di f con i iano ˆ 0, a funzione data diende daa soa variabie e di essa ossiamo cacoare i raorto incrementae reativo a unto 0 e ad un incremento h: f 0 h, 0 f 0, 0 h Ad esemio, data a funzione f, ˆ 3 1 che ha er dominio R e fissato i unto P 0 1, di tae insieme, mantenendo fissa 'ordinata, ossiamo cacoare i raorto incrementae reativo a unto 1 in questo modo f 1 h, f 1, h ˆ 1 h h 1 3 h ˆ h h h ˆ h 1 Saiamo che, se esiste finito i imite er h che tende a zero di tae raorto (cosa che accade ne'esemio visto), a funzione f, 0 eá derivabie in P 0. Possiamo aora dare a seguente definizione. Figura f 1 h, eá a funzione che si ottiene sostituendo 1 h a osto di e a osto di : 1 h 4 31 h 1 f 1, ˆ ˆ 3 Si dice derivata arziae risetto a dea funzione f, ne unto P 0 0, 0 i imite, se esiste finito er h che tende a zero, de raorto incrementae di f, reativo a unto 0 e a'incremento h; in simboi si one f 0 h, 0 f 0, 0 im ˆ f 0 h!0 h 0, 0 Ne'esemio visto a derivata arziae risetto a dea funzione data ne unto P 0 eá im h 1 ˆ 1. h!0 Come ne caso dee funzioni di una soa variabie, accade oi che, se i imite de raorto incrementae esiste finito er tutti i unti de'insieme I, aora a funzione f eá derivabie arziamente risetto a in tutto I. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Caitoo 1: FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO 7

9 In modo de tutto anaogo ossiamo definire a derivata arziae dea funzione f risetto a ; basta ensare di mantenere fisso 0 e far subire un incremento k a 0. Diamo aora a seguente definizione. Si dice derivata arziae risetto a dea funzione f, ne unto P 0 0, 0 i imite, se esiste finito er k che tende a zero, de raorto incrementae di f reativo a unto 0 e a'incremento k; in simboi f 0, 0 k f 0, 0 im ˆ f 0 k!0 k 0, 0 Anche in questo caso, se i imite de raorto incrementae esiste finito er tutti i unti de'insieme I, aora a funzione f eá derivabie arziamente risetto a in tutto I. Le derivate arziai di una funzione f in un unto, si indicano generamente con uno dei seguenti simboi er e derivate arziai risetto a f z er e derivate arziai risetto a f z Attenzione! Saiamo che se una funzione di una variabie eá derivabie in un unto 0, aora eá anche continua in tae unto. Questo non vae iuá er e funzioni di due variabii: esistono funzioni derivabii arziamente in un unto P che non sono continue in tae unto. La derivabiitaá arziae non eá iuá quindi una condizione sufficiente er a continuitaá. Per i cacoo di una derivata arziae ci affidiamo oi ae regoe imarate er i cacoo dee derivate dee funzioni in una soa variabie: basta infatti tener resente che nea derivazione risetto a, va considerata come una costante, mentre er a derivazione risetto a eá che deve essere considerata costante. Vediamo acuni esemi. ESEMPI Cacoiamo e derivate arziai risetto ad entrambe e variabii dee seguenti funzioni. 1. z ˆ Si ha subito che: z 0 4 (a derivata di 3 5eÁ nua ercheâ eá a derivata di una costante) z 0 (a derivata di 3 4 5eÁ nua ercheâ eá a derivata di una costante). z ˆ Si tratta di una funzione razionae fratta, quindi: z 0 ˆ ˆ z 0 ˆ ˆ 8 Caitoo 1: FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

10 3. z ˆ 4 Si tratta di una funzione irrazionae, quindi: z 0 ˆ 1 z 0 4 ˆ 4 4 ˆ z ˆ e 3 3 z 0 ˆ e 3 3 e ˆ e e 3 3 ˆ e z 0 ˆ e 3 3 e ˆe 3 3 3e 3 3 ˆ e z ˆ n z 0 ˆ 1 1 ˆ 4 z 0 ˆ VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Data a funzione f, ˆ 4 3 : a. f 0 eá uguae a: b. f 0 eá uguae a: L'esressione raresenta a derivata arziae risetto a dea funzione: a. b. n c. n d. n 1. I significato geometrico e i iano tangente La derivata di una funzione di una soa variabie cacoata in un unto P raresenta i coefficiente angoare dea retta tangente aa curva in que unto. Possiamo dare un'interretazione anaoga anche ae derivate arziai di una funzione di due variabii. Data a funzione z ˆ f, e reso un suo unto A 0, 0, z 0, abbiamo visto che, er cacoare a derivata arziae risetto a dea funzione, dobbiamo tenere fisso 0. Da unto di vista geometrico questo significa sezionare a suerficie con i iano ˆ 0 ; aora, er come eá stata definita, a derivata arziae risetto a raresenta i coefficiente angoare dea retta r tangente aa curva sezione ne unto A (in giao nea figura 3a di agina seguente). Anaogamente a derivata arziae risetto a ne unto A raresenta i coefficiente angoare dea retta s tangente aa sezione dea suerficie con i iano ˆ 0 in tae unto (in rosso nea stessa figura). Se ora teniamo resente che due rette che si intersecano definiscono semre un iano, e due rette tangenti ae curve sezioni definiscono un iano che eá i iano tangente aa suerficie ne unto A considerato (figura 3b). Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Caitoo 1: FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO 9

11 Figura 3 a. b. Si uoá dimostrare che, se e derivate arziai sono continue ne unto A, i iano tangente ha equazione z ˆ f 0, 0 f 0 0, 0 0 f 0 0, 0 0 Facciamo ora acune considerazioni su tae iano. n Innanzi tutto, i iano tangente, otre ae due rette menzionate, contiene anche tutte e rette tangenti in A ae curve che si ottengono sezionando a suerficie f con un iano er A; tai rette sono rorio e intersezioni dei iani sezione con i iano tangente. Figura 4 n PuoÁ darsi che a suerficie f non abbia iano tangente in A; cioá caita quando anche e curve sezioni non hanno a retta tangente. Ad esemio i vertice di un cono non ha iano tangente; una quaunque suerficie che resenta dei "unti angoosi" non ha iano tangente in quei unti (in figura 4 in A non vi eá iano tangente). n Come er e funzioni di una soa variabie a retta tangente arossima a funzione in un intorno de unto di tangenza, cosõái iano tangente arossima a suerficie in un intorno de unto A. ESEMPI 1. Determiniamo i iano tangente aa suerficie di equazione z ˆ 4 3 ne suo unto di ascissa 1 e ordinata 1. Cacoiamo innanzi tutto a quota de unto di tangenza f 1, 1 ˆ. Cacoiamo ora e derivate arziai f 0 ˆ 3 ed eá f 0 1, 1 ˆ 1 f 0 ˆ 8 ed eá f 0 1, 1 ˆ 8 L'equazione de iano tangente eá aora z ˆ cioeá z ˆ 8 5. Data a suerficie di equazione z ˆ, stabiiamo in quae unto i iano tangente ha equazione z ˆ 1. Sia P a, b, c i unto di tangenza dove c ˆ f a, b ˆa b ab. Cacoiamo e derivate arziai f 0 ˆ ed eá f 0 a, b ˆa b f 0 ˆ ed eá f 0 a, b ˆa b 10 Caitoo 1: FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

12 I concetti e e regoe Le derivate arziai Data una funzione f,, si definisce: derivata arziae di f risetto a in un unto P0, 0 i imite, se esiste finito, er h! 0 de raorto incrementae reativo aa soa variabie : f 0 ˆ im f 0 h, 0 f 0, 0 h!0 h derivata arziae di f risetto a in un unto P0, 0 i imite, se esiste finito, er k! 0 de raorto incrementae reativo aa soa variabie : f 0 ˆ im f 0, 0 k f 0, 0 k!0 k Per cacoare una derivata arziae si aicano e regoe di derivazione dee funzioni di una soa variabie considerando 'atra come una costante. Se e derivate arziai di una funzione f sono continue in un unto P, iiano tangente aa suerficie ha equazione z ˆ f 0, 0 f 0 0, 0 0 f 0 0, 0 0 Se e derivate arziai rime sono funzioni a oro vota derivabii, si ossono cacoare e derivate successive risetto a una quasiasi dee variabii: f 00 eá a derivata arziae di f 0 risetto a 00 f eá a derivata arziae di f 0 risetto a f 00 eá a derivata arziae di f 0 risetto a 00 f eá a derivata arziae di f 0 risetto a Le utime due derivate si chiamano derivate miste e, se sono continue in un insieme I, si verifica che f 00 ˆ f 00 in tutti i unti di I (teorema di Schwarz). I differenziae Se una funzione f, eá derivabie in un unto P 0, 0, si uoá definire: i differenziae arziae di f risetto a : df ˆ f 0 0, 0 d i differenziae arziae di f risetto a : df ˆ f 0 0, 0 d i differenziae totae di f : df ˆ f 0 0, 0 d f 0 0, 0 d Se una funzione eá differenziabie in un unto P, aora eá continua in P; a derivabiitaá non eá invece garanzia di continuitaá. La determinazione dei unti stazionari I unti stazionari sono i unti che annuano contemoraneamente e due derivate arziai rime f 0 e f 0 e si trovano quindi risovendo i sistema: ( f 0 ˆ 0 Chiamiamo oi hessiano di f, i determinante H, f 0 ˆ 0 ˆ f 00 Se P 0, 0 eá un unto stazionario, aora esso raresenta: f 00 f 00 f 00 un unto di minimo reativo se: H0, 0 > 0 ^ f 00 0, 0 > 0 un unto di massimo reativo se: H0, 0 > 0 ^ f 00 0, 0 < 0 un unto di sea se: H0, 0 < 0. Non si uoá trarre acuna concusione su unto P se H 0, 0 ˆ Caitoo 1: FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

13 ESERCIZI CAPITOLO Funzioni di due variabii e raresentazioni grafiche neo sazio FUNZIONI DI DUE VARIABILI E DERIVATE a teoria eá a ag. 6 RICORDA n I iano tangente aa funzione f, in un unto P 0, 0 de suo dominio ha equazione z ˆ f 0, 0 f 0 0, 0 0 f 0 0, 0 0 Comrensione 1 La derivata arziae dea funzione f, risetto a ne unto P 0, 0 si definisce come: f 0 h, 0 f 0, 0 f 0, 0 k f 0, 0 a. im b. im h!0 h k!0 k f 0 h, 0 k f 0, 0 c. im h!0 h f 0 k, 0 f 0, 0 d. im k!0 k Individua tra e seguenti, e funzioni che raresentano e derivate arziai rime di f, ˆ 3 risetto a e risetto a : a. 3 b. 6 c. 3 d. 6 3 I iano tangente aa funzione f, ˆ 3 ne unto di ascissa e ordinata 3 ha equazione: a. z ˆ 3 1 b. z ˆ 4 3 c. z ˆ 3 1 d. z ˆ 3 4 Saendo che f ˆ 3 si uoá dire che f eá uguae a: a. 1 3 b. 3 c. 3 d. non eá ossibie risondere ercheâ non si conosce a funzione f. Aicazione I cacoo dee derivate rime Cacoa e derivate arziai rime dee seguenti funzioni, aicando e regoe di derivazione. 5 z ˆ , 6 z ˆ , 6 7 z ˆ , 8 3 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Caitoo 1: FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO 179

14 8 z ˆ , z ˆ, 4 10 z ˆ ,9 11 z ˆ 1 4 8, Š 1 z ˆ, 13 z ˆ , " # 14 z ˆ, " # 15 z ˆ 3 3, ˆ 4 17 z ˆ 3 18 z ˆ z ˆ z ˆ 4 8, " # 3 3, " # , " # 3 4, 4 4, 1 z ˆ cos sin, sin Š z ˆ cos cos cos sin, cos sin Š 3 z ˆ sin sin cos, sin cos Š 4 z ˆ arcsin " # q, q z ˆ sin cos 6 z ˆ z ˆ 3 1 cos, 1Š 4 3 3, 1 6 1, 8 z ˆ 3 3, 3 9 z ˆ 1, 1 30 z ˆ 4 1, 31 z ˆ 3 8 1, Caitoo 1: FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

15 3 z ˆ , 1 33 z ˆ r 34 z ˆ r 35 z ˆ 36 z ˆ n 37 z ˆ n 1, " r r #, " r r #, 3,, 3 " 38 z ˆ n #, z ˆ e e, 1 e 40 z ˆ e 41 z ˆ sin cos sin cos " # e e, " # cos 1 sin sin cos, sin sin sin cos 4 z ˆ n sin 1 cotan 1, cotan 1 Š " # 43 z ˆ 44 z ˆ n 45 z ˆ n n 3, 4 1 n, n n 1 n, 1 n 46 z ˆ n, 1 47 z ˆ n e 1 1, 48 z ˆ arctan r 49 z ˆ n r sin sin 50 z ˆ sin sin 51 z ˆ n sin cos sin " # 3, 3, " r r # sin sin cos sin sin sin sin sin ; sin sin sin cos sin sin sin sin cos sin cos sin cos 1 ; sin sin cos Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Caitoo 1: FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO 181

16 147 f, ˆ f, ˆ minimo in 0, 0 ; f 0, 0 ˆ0 unto di sea in A 1 17, 9 17 ; f A 4 ˆ unto di sea in B , 9 17 ; f B 4 ˆ unto di sea in 0, 3 ; f 0, 3 3 ˆ minimo in A 4 3, 6 3 ; f A ˆ massimo in B , 6 3 ; f B ˆ Per a verifica dee cometenze r 1 Cacoa e derivate arziai rime dea funzione f, ˆarctan e verifica che risuta f 0 f 0 ˆ 0. Cacoa e derivate arziai rime dea funzione f, ˆ 3 3 e verifica che risuta f 0 f 0 ˆ 3 f,. 3 Cacoa e derivate arziai dea funzione f, ˆn e verifica che risuta f 00 f ˆ 0, f ˆ. 4 Data a funzione f, ˆ k k 1 k 1, determina i vaore de arametro k in modo che essa abbia in P 4 17, 6 un unto di sea. k ˆ Š 17 5 Data a funzione di equazione z ˆ a 4 b 4 c, determina i vaori dei arametri a, b, c in modo che essa abbia un unto estremante in P 1, 1,. Stabiisci oi a natura di tae unto e se esistono atri estremanti. a ˆ 1, b ˆ 1, c ˆ 4; m 1, 1,, m 1, 1, ; unto di sea ne'origineš 6 Data a funzione f, ˆ a b c, determina i vaori dei arametri a, b, c in modo che essa abbia unti estremanti in 0, 1 e, 0 e che assi er i unto A 3, 1 3, 4. Stabiisci oi a natura 7 di tai unti e se esistono atri estremanti. a ˆ 1, b ˆ, c ˆ ; unti di sea ne'origine e in 0, 1,, 0 ; i unto A e un minimo Souzioni esercizi di comrensione 1 a. f 0 : a.; f 0 : d. 3 b. 4 c. 96 a. F, b. F, c. V, d. F, 97 c. 98 c. 110 necessaria 111 b. 11 c. 190 Caitoo 1: FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

17 Testfinae di autovautazione 1 Dea funzione f, ˆ q n 4 si uoá dire che: f 0 eá uguae a: a. b c. f 0 eá uguae a: a. 1 8 b c. I iano tangente aa funzione z ˆ ne unto P 1, ha equazione: 4 6 unti a. z ˆ 3 b. z ˆ 3 1 c. z ˆ 3 1 d. z ˆ 3 3 Considerata una quasiasi funzione f,, i unti stazionari si ottengono: ( f 0 a. risovendo i sistema ˆ 0 ( f 0 f 00 ˆ 0 b. risovendo i sistema ˆ 0 f 0 ˆ 0 5 unti 8 4 c. risovendo searatamente e equazioni f 0 ˆ 0ef0 ˆ 0 e combinando i risutati in tutti i modi ossibii. unti 4 Cacoa e derivate arziai rime risetto a e risetto a dee seguenti funzioni: a. z ˆ b. z ˆ 5 3 q c. z ˆ 3n d. z ˆ e n 8 unti 5 Cacoa 'equazione de iano tangente aa suerficie data ne unto indicato: a. z ˆ 3 1 in P 0, b. z ˆ 3 8 in P 4, 1 10 unti 6 Data a funzione z ˆ 3, determina i iano ad essa tangente che eá araeo a iano. 7 Cacoa e derivate arziai seconde dee seguenti funzioni: 5 unti a. z ˆ b. z ˆ n 3 8 unti 8 Cacoa i differenziae totae dee seguenti funzioni: a. z ˆ e 3 b. z ˆ n 3 8 unti 9 Trova i unti stazionari dee seguenti funzioni e stabiiscine a natura: a. f, ˆ b. f, ˆ e 10 unti 10 Cacoa un vaore arossimato dea funzione z ˆ og 10,1 1001,3 usando i differenziae dea funzione z ˆ og ne unto 10, unti Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Caitoo 1: FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO 191

18 11 Determina i vaore de arametro k in modo che a funzione di equazione z ˆ k 4 non abbia unti stazionari. 10 unti 1 Determina i vaore dei arametri a e b in modo che a funzione di equazione z ˆ a b 6 abbia un unto stazionario in, 1 ; determina oi a natura di tae unto e se esistono atri unti stazionari. 10 unti Esercizio Totae Punteggio Voto: totae 10 1 ˆ Souzioni 1 a., b. d. 3 b. 4 a. z 0 ˆ 10 83, z 0 ˆ 4; b. z 0 ˆ c. z 0 ˆ 3, z 0 ˆ ; d. z 0 ˆ 5 a. z ˆ 1 6; b. z ˆ z ˆ , z 0 ˆ 15 ; e, z 0 ˆ e 7 a. z ˆ 1, z ˆ, z ˆ z ˆ 3; b. z ˆ 1 00, z ˆ 6 1, z 00 ˆ z 00 ˆ 0 8 a. e 6 d 3 d; b. 3 d 1 d 9 a. unto di sea in 1,1 ; f 1,1 ˆ 7; b. minimo in 1,0 ; f 1,0 ˆ 1 e 10, k ˆ 1 1 a ˆ 3, b ˆ 4;,1 unto di sea, non esistono atri unti stazionari 19 Caitoo 1: FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

19 Caitoo 1: Funzioni di due variabii e raresentazioni grafiche neo sazio Pag a., b. ;. c. Pag d.;. a., d. Pag a. F, b. V, c. V, d. F;. c. Caitoo : Modei ed equazioni differenziai Pag. 1. a.;. a. V, b. V, c. F Pag b.;. b., c., e.; 3. ˆ 3 c Pag ˆ ke ;. ˆ e 3 3 Pag a. 6 7 ˆ 0, b. 1 ˆ 1, ˆ 7, c. ˆ c 1 e c e 7 ;. a.; 3. c. Caitoo 3: Sistemi di riferimento e curve Pag a., c.;. b. Pag b.;. d. Caitoo 4: Integrai curviinei Pag a. V, b. F, c. V, d. F Pag a. f non definita in t ˆ 0; c. 0 t e 0 t si annuano entrambe in ˆ 0 Pag a., b. Caitoo 5: Trigonometria sferica Pag a., c.;. a. F, b. V, c. V, d. F Pag c., d.;. a. F, b. F, c. V, d. V Pag a. V, b. F, c. V, d. F Caitoo 6: I camionamento Pag c.;. b. Pag b.;. c. Pag b. Pag d. Pag b.;. a. Pag a. F, b. F, c. V, d. V Caitoo 7: Ricerca oerativa: robemi di sceta Pag b.;. a. V, b. F, c. V, d. F Pag a.;. c.; 3. a., b. Pag a. 7,1; b. 7,3; c. 6,4; d. B;. C Pag a ; b. 8; c. 8 ; d. 3q Caitoo 8: Ricerca oerativa: a rogrammazione ineare Pag c. Pag a. 300 SOLUZIONI VERIFICHE DI COMPRENSIONE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

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