Esercitazione: la scelta del consumatore.

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1 . Esercizio., La funzione di utilità di un consumatore è ( ) u. Il rezzo del bene è, il rezzo del bene è ed il reddito del consumatore è m 8. Determinare il aniere ottimo ( *, *) er il consumatore. Soluzione. Nel unto di ottimo il aniere scelto dal consumatore si trova sulla curva di indifferenza iù alta raiunibile con il suo vincolo di bilancio (vdb): in altri termini, nel unto di ottimo il vdb del consumatore è tanente ad una delle curve della sua maa di indifferenza. Poiché le due curve sono tanenti, in quel unto dovranno essere caratterizzate dalla stessa endenza. La endenza di una curva di indifferenza è esressa da MRS, ossia dal raorto fra le utilità marinali, mentre la endenza del vdb è esressa dal raorto fra i rezzi dei due beni. Nel unto di ottimo deve, quindi, essere verificata la seuente relazione: MRS, Nel caso secifico si ha: vincolo di bilancio: + m + 8 La endenza del vdb è La endenza di una delle curve di indifferenza della maa è, invece, data da:

2 MRS, Nel caso secifico si ha: Perciò nel unto di ottimo er il consumatore deve essere: MRS, 6 Nel unto di ottimo del consumatore, quindi, il consumo del bene sarà sei volte iù rande del consumo del bene. Inoltre, il aniere di consumo ottimale deve essere un aniere ammissibile er il consumatore, ossia deve trovarsi sul suo vdb. Perciò deve valere: * * Il aniere ottimale di consumo è ( *, *)(,). In corrisondenza di questo aniere il consumatore ha l utilità massima che uò raiunere con il suo vdb, corrisondente a u*u( *, *) * * 88.

3 Esercizio. Emiliano ha un saio marinale di sostituzione er la izza ed il elato ari a -. Il rezzo di una izza è 8, il rezzo di un elato è ed il reddito settimanale di Emiliano è 4. Determinare il unto di scelta ottima di Emiliano. Soluzione. I metodo Il saio marinale di sostituzione di Emiliano fra izza e elato è costante: i due beni sono, erciò, erfetti sostituti e la maa di indifferenza è costituita da rette inclinate neativamente. Si iotizzi che la enerica funzione di utilità che descrive la maa di indifferenza abbia equazione u(, )a +b con a e b costanti ositive e non note. Poiché il saio marinale di sostituzione fra izza e elato vale - si ha: MRS, a b Si uò, quindi, iotizzare che sia a e b (ma anche che sia a4 e b, etc.). In tal caso la enerica funzione di utilità diventa: u(, ) + Fra tutte le curve di indifferenza aartenenti alla maa Emiliano scelierà quella iù alta raiunibile con il suo reddito. Il vincolo di bilancio di Emiliano è +8 4 e corrisonde alla curva in rosso nella fiura sottostante

4 Come si uò notare dalla fiura in questo caso non esiste un unto di tanenza fra vincolo di bilancio e maa di indifferenza che ossa aiutare nella determinazione del unto di consumo ottimale: il vincolo di bilancio e le curve di indifferenza, infatti, sono rette con inclinazione differente e, quindi, mai tanenti fra loro. Il vincolo di bilancio interseca diverse curve di indifferenza, ma la iù alta (cioè quella ad utilità maiore) viene raiunta quando Emiliano consuma solo elato: in questo caso tutto il reddito di Emiliano sarà allocato sull acquisto del elato e si avrà 4, In corrisondenza di questo unto di consumo, l utilità di Emiliano sarà u(, ) + u(;,)*+,, N.B.: in enerale er i beni erfetti sostituti sia le curve di indifferenza, sia il vincolo di bilancio del consumatore sono rette inclinate neativamente. Sono, quindi, ossibili tre differenti casi:. il vincolo di bilancio ha endenza maiore della maa di indifferenza. 4

5 In questo caso la curva di indifferenza ad utilità maiore si raiune nel unto di intersezione fra il vincolo di bilancio e l asse verticale: in altri termini, il consumatore scelierà di consumare solamente il bene ed il aniere ottimo sarà (, )*(;m/ ). il vincolo di bilancio ha endenza minore della maa di indifferenza. In questo caso la curva di indifferenza ad utilità maiore si raiune nel unto di intersezione fra il vincolo di bilancio e l asse orizzontale: in altri termini, il consumatore scelierà di consumare solamente il bene ed il aniere ottimo sarà (, )*(m/ ;). il vincolo di bilancio è arallelo alla maa di indifferenza. In questo caso la curva di indifferenza ad utilità maiore coincide con il vincolo di bilancio: in altri termini, tutti i anieri sul vincolo di bilancio avranno la stessa utilità e saranno ottimi er il consumatore. Nel caso in esame il vincolo di bilancio di Emiliano ha equazione

6 ossia 5 8 La endenza del vincolo di bilancio è, quindi, ari a -/8, mentre quella della maa di indifferenza è ari a -/: si tratta, quindi, del caso in cui la endenza del vincolo di bilancio è minore di quella della maa di indifferenza. Come ià visto il unto di ottimo del consumatore corrisonde, erciò, al unto di intersezione del vincolo di bilancio con l asse orizzontale: , Il unto di ottimo è (, )(,;) In corrisondenza del unto di ottimo l utilità del consumatore vale: u(, )u(,;)*+,, II metodo È noto che il unto di ottimo del consumatore corrisonde ad uno dei due unti di intersezione del vincolo di bilancio con li assi cartesiani se la endenza del vincolo di bilancio è uuale a quella della maa di indifferenza: in caso contrario tutti i unti del vincolo di bilancio saranno unti di ottimo. Il vincolo di bilancio di Emiliano ha equazione +8 4 e le sue intersezioni con li assi cartesiani sono: A(;5) e B(,;) L utilità di Emiliano nei due unti ha i seuenti valori: Punto A: u(, )u(;5)*5+ Punto B: u(, )u(,;)*+,, 6

7 Dal confronto fra le utilità dei due anieri raresentati dai unti di intersezione del vincolo di bilancio con li assi cartesiani risulta evidente che il aniere ottimo è il aniere B(,;). III metodo La funzione di utilità determinata er questi articolari beni erfetti sostituti è data da u(, ) + ed è una funzione in due variabili. Inoltre, il vincolo di bilancio di Emiliano ha equazione +8 4 È ossibile eslicitare una variabile dal vincolo di bilancio e sostituirla nella funzione di utilità, in modo che quest ultima diventi una funzione di una sola variabile. Si ha: 5 8 Sostituendo nella funzione di utilità si ottiene: ( ) u u La funzione di utilità è ora una funzione ad una sola variabile. L obiettivo di Emiliano diventa, a questo unto, di determinare quanti elati acquistare er massimizzare la roria utilità. Si noti che il roblema non è iù una massimizzazione vincolata in quanto il vincolo di bilancio è stato interato nella funzione di utilità attraverso il risetto della condizione 5 8 L ottimizzazione libera si effettua derivando la funzione di utilità risetto alla sua unica variabile. Si ha: 4 du d 4 > 7

8 La derivata della funzione di utilità risetto alla quantità di elati consumati è semre ositiva: ciò sinifica che Emiliano scelierà di consumare quanti iù elati ossibile comatibilmente con il suo vincolo di bilancio; inoltre, oiché il elato e la izza sono beni erfetti sostituti la scelta di Emiliano di aumentare il numero dei elati corrisonde a diminuire la quantità di izza consumata: Emiliano scelierà, quindi, di non consumare izza. Perciò si avrà: , Alla stessa conclusione si sarebbe iunti se, anziché eslicitare dal vincolo di bilancio, si fosse eslicitata la variabile. Infatti: +8 4 u(, ) + Eslicitando dal vincolo di bilancio Sostituendo nella funzione di utilità 4 8 Derivando risetto a u u ( ) + du d < La funzione di utilità è decrescente con la quantità di izza consumata: Emiliano deciderà, erciò, di diminuire al livello minimo il consumo di izza ( ) e di allocare tutto il rorio reddito in consumo di elati. Si avrà quindi: , 8

9 Esercizio. La funzione di utilità di un consumatore è (, ) min{, } u a) Determinare l utilità del consumatore in corrisondenza dei anieri (,)(4,), (,)(4,) e (,)(5,); b) Determinare l equazione del luoo eometrico costituito dai unti d anolo delle curva di indifferenza del consumatore; c) Determinare l equazione del vincolo di bilancio del consumatore nel caso in cui si abbia, e m8; d) Quale aniere scelierà il consumatore in questa situazione? e) Si suona che, 5 e che il consumatore acquisti unità del bene. Qual è il reddito del consumatore? Soluzione. a) I valori di utilità corrisondenti ai anieri dati sono: u u u ( 4, ) min{ 4, } min{ 4,9 } 4 ( 4, ) 4, } min{ 4,4} 4 ( 5, ) min{ 5, } min{ 5,4} 4 I anieri dati si trovano, erciò, sulla stessa curva di indifferenza del consumatore. In articolare, le curve di indifferenza sono quelle relative ai beni erfetti comlementi, raresentate tramite sezzate a L. b) I unti d anolo delle curve di indifferenza dei beni erfetti comlementi sono i unti nei quali i due beni si trovano nella iusta combinazione di consumo, ossia nei quali si ha: (, ) min{, } u Perciò il luoo dei unti d anolo delle curve di indifferenza di beni erfetti comlementi è raresentato dall equazione 9

10 ed è, quindi, una arabola con asse coincidente con l asse delle ascisse. Naturalmente, ai fini economici si considera solo il ramo della arabola er il quale entrambe le coordinate e sono non neative. In definitiva, l equazione del luoo dei unti d anolo diventa c) Se il consumatore acquista unità del rimo bene sende *, mentre se acquista unità del secondo bene sende *. La sesa comlessiva del consumatore non uò eccedere il suo reddito m. L insieme di bilancio del consumatore è quindi *+ * m Il vdb del consumatore raresenta la frontiera del suo insieme di bilancio. Si ha quindi vdb: *+ *m +8 d) Il consumatore scelie di consumare il aniere, fra quelli aartenenti al suo insieme di bilancio, che si trova sulla curva di indifferenza iù alta che uò raiunere. Tale aniere corrisonde eneralmente al unto di tanenza fra il vdb del consumatore ed una delle curve della sua maa di indifferenza. Nel unto di tanenza le endenze delle due curve devono essere uuali. Visto che la endenza del vdb è data dal raorto fra i rezzi dei due beni, mentre quella della maa di indifferenza corrisondente al MRS è data dal raorto fra le utilità marinali dei beni stessi nel unto di tanenza deve valere la seuente relazione MRS, Nel caso in esame, erò, le curve della maa di indifferenza sono sezzate a L e er essere non uò, quindi, calcolarsi la derivata dell utilità nel unto d anolo.

11 Un metodo alternativo er iunere alla determinazione del aniere di consumo è di imorre che contemoraneamente esso aartena al vdb e sia unto d anolo di una delle curve della maa di indifferenza del consumatore. Le due condizioni sono raresentate dal sistema: + 8 ± La soluzione -4 non è accettabile visto che il sistema comrende la condizione che debba essere non neativo. L unica soluzione accettabile, quindi, è cui corrisonde un livello di dato da 4. Il aniere scelto dal consumatore sarà quindi (*,*)(4,) ed in corrisondenza di questo aniere il consumatore avrà un utilità ari a u ( 4, ) min{ 4, } min{ 4,4} 4 e) Per beni erfetti comlementi il unto di consumo è semre un unto d anolo delle curve della maa di indifferenza: ertanto, se il consumatore acquista unità del bene si avrà anche un consumo di, ossia di (si ricorda che l altra soluzione ossibile - non è accettabile). Dato il livello dei rezzi dei due beni la sesa comlessiva sostenuta dal consumatore er i suoi acquisti sarà + *+5*.5

12 Poiché il aniere scelto dal consumatore deve essere il suo aniere ottimo esso deve raresentare il unto d anolo della curva di indifferenza iù alta che il consumatore uò raiunere dato il suo reddito: in altri termini, il unto di consumo deve trovarsi sul vdb. La conseuenza è che la sesa sostenuta dal consumatore er l acquisto deve coincidere con il suo reddito, erciò m.5