TUTTA LA GEOMETRIA ANALITICA

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1 TUTTA LA GEOMETRIA ANALITICA Di Pietro Aceti NOTA:QUESTA DISPENSA PRENDE SPUNTO DALLE LEZIONI DEL PROF. MASSIMO BANFI INDICE 1-LA RETTA: FORMULARIO - LA CIRCONFERENZA.1- L ECQUAZIONE.1.1-OSSERVAZIONI.-CIRCONFERENZE PARTICOLARI.3-POSIZIONI RECIPROCHE.4-METODI DI TANGENZA.4.1-AVENDO LA CIRCONFERENZA E UN PUNTO.4.-DERERMINARE LE RETTE TAGENTI AVENDO LA CIRCONFERENZA E UN PUNTO r.4.3-avendo LA CIRCONFERENZA E UN PUNTO P γ (metodo della erendicolare).4.4-avendo LA CIRCONFERENZA E UN PUNTO P γ (SDOPPIAMENTO).5-DETERMINARE L EQUAZIONE.5.1-AVENDO CENTRO E RAGGIO.5.-AVENDO CENTRO E UN PUNTO γ.5.3-avendo 3 PUNTI γ.6-punti D INTERSEZIONE 3-LA PARABOLA 3.1-L EQUAZIONE 3.-FORMULE 3.3-PARABOLE PARTICOLARI 3.4-POSIZIONI RECIPROCHE 3.5-METODI DI TANGENZA AVENDO LA PARABOLA E UN PUNTO QUALSIASI DEL PIANO 3.5.-AVENDO LA PARABOLA E UN PUNTO P γ (SDOPPIAMENTO) 3.6-ALCUNE CONDIZIONI PER DETERMINARE L EQUAZIONE DI UNA PARABOLA 3.7- IL SEGMENTO PARABOLICO 3.8- LA PARABOLA DORMIENTE ( CON ASSE PARALLELO ALL ASSE DELLE X) 1 Disense di Geometria Analitica a cura di Pietro Aceti

2 4-L ELLISSE 4.1-NOZIONI BASE 4.-EQUAZIONE 4.3-POSIZIONI RECIPROCHE 4.4-METODI DI TANGENZA AVENDO L ELLISSE E UN PUNTO QUALSIASI DEL PIANO 4.4.-AVENDO L ELLISSE E UN PUNTO P γ (SDOPPIAMENTO) 4.5-ALCUNE CONDIZIONI PER DETERMINARE L EQUAZIONE DI UN ELLISSE 4.6-ECCENTRICITÀ 5. IPERBOLE (da fare) 6-FASCI E COMBINAZIONE LINEARE(da fare) Disense di Geometria Analitica a cura di Pietro Aceti

3 1 LA RETTA NOME FORMULA NORMALE 1 Distanza di un segmento orizzontale x x1 Distanza di un segmento verticale y y1 3 Distanza di un segmento obliquo ( x x ) ( y y ) 1 1 x x m e y y x y m x x x e y y y y bar ax by c 0 4 Punto medio Baricentro Eq generale delle rette (uò raresentare tutte le rette) 7 Eq eslicita della retta (raresenta tutte le y mx q rette tranne b=0 er le C.E.) 8 Coefficiente angolare ( è la m di una y y m equazione eslicita e indica la endenza di x x una retta) 9 Ordinata all origine (quindi x=0) 0 10 Rette verticali (b=0) 11 Rette orizzontali (a=0) x bar a c con mx=- e q=- b b 1 1 y mx q y m q y q xcostante y=- a b ycostante x=- c b 1 Rette assanti er l origine (c=0) y mx 13 Fascio di rette assanti er un unto P ( ; ) x y ( y y ) m( x x ) 14 Punto di incidenza tra rette Si mettono a sistema le rette 15 Condizione di aartenenza di un unto A alla retta r 16 Condizione di arallelità r//s se r s Il unto A aartiene a r se sostituendo le coordinate di A all equazione, quest ultima si verifica (quindi si annulla l equazione) m m m= coeff. angolare 17 Condizione di erendicolarità 1 r s (reciroco dell oosto ) se m s 18 Retta assanti er unti 1 1 m r x x y y x x y y Distanza di un unto da una retta ( x; y ) r= ax+by+c=0 a b ax by c 3 Disense di Geometria Analitica a cura di Pietro Aceti

4 LA CIRCONFERENZA Si definisce circonferenza il luogo geometrico dei unti equidistante da un unto dato detto centro. La distanza da questo unto è definito dal Raggio..1)EQUAZIONE GENERALE DELLA CIRCONFERENZA. Per arrivare all equazione generale della retta bisogna imostare una semlice equazione in cui reso un unto generico P(x;y) la distanza tra P e il centro C(α;β) sia uguale al raggio. Quindi: PC=r Ora sostituiamo - =A -β=b r C ( x ) ( y ) r Quindi arriviamo alla equazione generale della retta x y ax by c 0 x y x y r 0.1.1)OSSERVAZIONI -La circonferenza NON è una funzione erché x esistono valori della y Y Y1=Y infatti er =0 soluzioni uguali X1 y1 X -Una equazione del tio x y ax by c 0 non è semre una circonferenza erché l equazione corrisonde a una circonferenza solo se esiste il raggio, quindi solo se r>0 c >0 Si nota uò notare che l unico membro che uò rendere la radice negativa è il termine noto (c). Quindi una equazione con c 0 è sicuramente una circonferenza. 4 Disense di Geometria Analitica a cura di Pietro Aceti

5 .)LE C IRCONFERENZE PARTICOLARI -Circonferenza con centro sull asse y: a=0 0 -Circonferenza con centro sull asse x: b=0 0 -circonferenza assante er l origine: C=0 r 0 -circonferenza con centro nell origine: a=0 V b=0 0V 0 -circonferenza con centro sull asse x e assante er l origine: b=0 V c=0 0 r 0 -circonferenza con centro sull asse y e assante er l origine: a=0 V c=0 0 r 0.3)POSIZIONE RECIPROCA DI UNA RETTA CON UNA CIRCONFERENZA Si mettono a sistema la circonferenza con la retta e in base al si caisce la osizione della retta risetto alla circonferenza, infatti mettendoli a sistema si trovano i unti d intersezione della retta con la circonferenza: -se >O indica che la retta e la circonferenza s intersecano in unti distinti quindi la retta è secante alla circonferenza -se =0 la retta e la circonferenza s intersecano in unti coincidenti quindi la retta è tangente alla circonferenza -se <0 la retta non interseca la circonferenza quindi la retta è esterna alla circonferenza N.B. VALGONO LE STESSE REGOLE PER TUTTE LE CURVE 5 Disense di Geometria Analitica a cura di Pietro Aceti

6 .4)METODI DI TANGENZA.4.1)AVENDO LA CIRCONFERENZA E UN PUNTO circonferenza risolvendo il sistema troviamo una equazione dove andremo a discutere il =0 fasco di rette assanti er il unto.4.)dererminare LE RETTE TAGENTI AVENDO LA CIRCONFERENZA E UN PUNTO r a b Avendo la circonferenza x y ax by c 0 si deriva il centro ; raggio r c. 6 Disense di Geometria Analitica a cura di Pietro Aceti e il Ora si determina il fascio di rette assanti er il unto. Per determinare che una di questa rette assanti er il unto è tangente alla circonferenza bisogna dimostrare che la sua distanza dal centro sia uguale al raggio. EXS γ = X²+Y²-X=0 determino il centro: a ( ) = 1 b 0 β= 0 C(1;0) r c P 9 ;0 4 r r 1 determino il fascio assante er il unto: y-0=m(x-1) y-mx+ 9 4 m =0 imostiamo l equazione: distanza(c, retta)=r 9 mm 4 1 m 1 Togliamo il denominatore 9 mm m m 1 m m m 1 m 1 4

7 Eleviamo al quadrato er togliere la radice 9 m m m 1 m 81 m 9 m m 11 9 m m 16 m Troviamo risultati erché sono le rette tangenti P.4.3)AVENDO LA CIRCONFERENZA E UN PUNTO P γ (metodo della erendicolare) L esercizio è molto semlice -si scrive l equazione della retta assante er P e C -trovo il fascio di rette assante er P -si sceglie tra tutte le rette assanti er P quella erendicolare a PC C P.4.4)AVENDO LA CIRCONFERENZA E UN PUNTO P γ (SDOPPIAMENTO) Dalle coordinate del unto ossiamo ricavare, con una dimostrazione che ometto, le seguenti uguaglianze. x x0 y y0 x x x o y y y o x y Sostituendo questi valori all interno della equazione della circonferenza troviamo la retta tangente 7 Disense di Geometria Analitica a cura di Pietro Aceti

8 EXS P (5;5) x²+y²-x-6y-10=0 x 5 y 5 x x 5 x x 5 x y Sostituisco questi dati all equazione della arabola: x5 y5 5x 5y x 5y x 53y x y30 0 Ecco la retta: x+y-15.5)determina L EQUAZIONE.5.1)AVENDO CENTRO E RAGGIO Per determinare l equazione bisogna imostare una delle roriet{ fondamentali della circonferenza. Infatti si rende un unto generico P(x;y) e oi si dimostra che la distanza di P da C deve essere uguale al raggio; risolvendo si trova l equazione della circonferenza. PC=r EXS C(1;) r= P (x,y) x 1 ( y ) x 1 x y 4 4y Tolgo la radice elevando alla seconda: x 1 x y 4 4y Ecco l equazione x 1 x y 4 4y 4 x y x y )AVENDO CENTRO E UN PUNTO γ Bisogna arrivare a scrivere l equazione della circonferenza x²+y²+ax+by+c=0 Avendo 3 incognite (a,b,c) bisogna imostare un sistema a 3 equazioni. Le rime due equazioni le ricaviamo dalle coordinate del centro. L ultima invece la ricaviamo dalla circonferenza assante er il unto dato. C( x ; y ) P( x ; y ) c c 8 Disense di Geometria Analitica a cura di Pietro Aceti

9 a xc b yc x y ax by c 0 EXS C(3;4) P(1;) x y x1 3 x y y 1 y L equazione si ottiene sostituendo: x y x y )AVENDO 3 PUNTI γ Bisogna arrivare a scrivere l equazione della circonferenza x²+y²+ax+by+c=0 Avendo 3 incognite (a,b,c) bisogna imostare un sistema a 3 equazioni. Avendo i 3 unti bisogna mettere a sistema le circonferenze assanti er ciascun unto. A( x ; y ) B( x ; y ) C( x ; y ) a a xa ya axa bxa c 0 xb yb axb bxb c 0 xc yc axc bxc c 0 b b c c EXS A(-;-1) B(;1) C(1;0) 4 1 a b c 0 4a b 0 SI USA IL METODO DI RIDUZIONE 4 1 a b c 0 5 a b c 0 1 a c 0 1 a c 0 b a b a b a b 8 5 a a c 0 c 5 c 5 c 5 1 a c 0 1 a c 0 1 a 5 0 a 4 Quindi la circonferenza: x y x y Disense di Geometria Analitica a cura di Pietro Aceti

10 .6)PUNTI D INTERSEZIONE TRA CIRCONFERENZE Per trovare i unti d intersezione di circonferenze dobbiamo trovare le soluzioni comuni delle circonferenze. La retta che assa er questi unti si chiama asse radicale. circonferenza 1 cirrconferenza si resenta un roblema oichè questo è un sistema di 4 grado troo difficile da calcolare. Quindi si usa il metodo di riduzione che abbassa il grado del sistema. La retta che si ottiene usando il metodo di riduzione è l asse radicale. EXS x y x 3y 6 0 x 4y 0 con riduzione x y 4x y 8 0 x y 4x y 0 x y 1 x y 3 x y y 1 5y 11y quindi sostituendo si trovano le coordinate di unti. ( y 1) y 4( y 1) y 0 4y 1 4y y 8y 4 y 0 x y x1 3 x A B y y 1 y A ASSE B 10 Disense di Geometria Analitica a cura di Pietro Aceti

11 3 LA PARABOLA Si definisce arabola il luogo geometrico dei unti equidistante da un unto fisso detto FUOCO e da una retta detta DIRETTRICE. 3.1)EQUAZIONE Per ricavare l equazione rendiamo l esemio di una arabola con il vertice nell origine V(0;0) oi un unto casuale P ( x ; y ) oi il fuoco F (0; f ) e la direttrice y f Per definizione saiamo che PF=PH ( x 0) ( y f ) y f Eleviamo er eliminare la radice, ricordo che elevando il modulo non bisogna iù discuterlo. x f y fy y f yf Semlificando x yf 4 0 Eslicitiamo la y 1 y x 4 f Sostituiamo 1 a 4 f Ecco l equazione y ax 11 Disense di Geometria Analitica a cura di Pietro Aceti

12 3.)UN PO DI FORMULE Prendiamo in esame l equazione generale della arabola y ax bx c risolvendola e alicando una traslazione ossiamo trovare delle formule generali er trovare il vertice, fuoco, direttrice e asse b V ; a 4a Faccio notare che il fuoco ha semre la stessa ascissa del vertice erché giacciono sulla stessa retta F b 1 ; a 4a La direttrice a equazione 1 y 4a L asse della arabola, che corrisonde alla retta assante er vertice e fuoco, è evidentemente arallela all asse delle y e ha equazione b x a 3.3)PARABOLE PARTICOLARI Prendiamo l equazione della arabola: y ax bx c ed esaminiamone tutti i ossibili casi: a=0 Una arabola con a=0 non uò essere considerata tale erché non è resente il termine di secondo grado ertanto abbiamo una retta b=0 Una arabola con b=0 è un arabola simmetrica risetto all asse delle y. c=0 Una arabola con c=0 è una arabola assante er l origine O(0;0) b=0 V c=0 Questa è una arabola con vertice nel centro. 3.4)POSIZIONE RECIPROCA DI UNA RETTA CON UNA PARABOLA Si mettono a sistema la arabola con la retta e in base al si caisce la osizione della retta risetto alla arabola, infatti mettendoli a sistema si trovano i unti d intersezione della retta con la arabola: -se >O indica che la retta e la arabola s intersecano in unti distinti quindi la retta è secante alla arabola -se =0 la retta e la arabola s intersecano in unti coincidenti quindi la retta è tangente alla arabola -se <0 la retta non interseca la arabola quindi la retta è esterna alla arabola N.B. LE STESSE REGOLE VALGONO PER TUTTE LE CURVE 1 Disense di Geometria Analitica a cura di Pietro Aceti

13 3.5) METODI DI TANGENZA 3.5.1)AVENDO LA PARABOLA E UN PUNTO QUALSIASI DEL PIANO arabola risolvendo il sistema troviamo una equazione dove andremo a discutere il =0 fasco di rette assanti er il unto 3.5.)AVENDO LA PARABOLA E UN PUNTO P γ (SDOPPIAMENTO) Dalle coordinate del unto ossiamo ricavare, con una dimostrazione che ometto, le seguenti uguaglianze. x x0 y y0 x x x o y y y o x y Sostituendo questi valori all interno della equazione della arabola troviamo la retta tangente 3.6)ALCUNE CONDIZIONI PER DETERMINARE L EQUAZIONE DI UNA PARABOLA Poiché nell equazione della arabola y ax bx c abbiamo 3 incognite (a,b,c). Evidentemente er trovare le tre incognite abbiamo bisogno di tre condizioni da mettere in un sistema. Di seguito riorto i dati necessari er costruire un sistema: -le ascisse e le ordinate del vertice e del fuoco -le coordinate del vertice o del fuoco e la direttrice -3 unti non allineati della arabola -avendo l asse e unti non allineati -avendo un unto della arabola e le coordinate del vertice o del fuoco -avendo un unto e avendo noto asse e direttrice -avendo la retta tangente e unti non allineati N.B. i rocedimenti di calcolo sono molto simili a quella delle circonferenza 3.7) IL SEGMENTO PARABOLICO Per determinare l area di una orzione di arabola detto segmento arabolico ( in giallo nella figura) bisogna alicare una determinata rorietà. Infatti bisogna calcolare Area Del rettangolo circoscritto alla Porzione dei iano e oi Bisogna dividerla er 3 Area segmento arabolico= area rettangolo 3 13 Disense di Geometria Analitica a cura di Pietro Aceti

14 3.8) LA PARABOLA DORMIENTE Fino a questo unto abbiamo considerato arabole con l asse arallelo a quello delle y. Esistono anche arabole con asse arallelo a quello delle x; er quest ultime valgono le stesse regole sora illustrate ma cambiano le formule, infatti variando l equazione variano anche le formule er trovare vertice fuoco direttrice e asse. L equazione: x ay by c b 4a a 1 b ; 4a a 1 x 4a b y a Vertice: ; Fuoco: Direttrice: Asse: 14 Disense di Geometria Analitica a cura di Pietro Aceti

15 4 L ELLISSE Si definisce ELLISSE il luogo geometrico dei unti tali che la somma delle loro distanze da due unti fissi detti fuochi sia costante 4.1)NOZIONI BASE A 1e 1e 1e 1 1 e B sono vertici F sono i fuochi A A asse maggiore= a BB asse minore= b -faccio notare che vale il teorema di Pitagora quindi vale la a b c relazione 4.)EQUAZIONE Nello studio consideriamo solo un caso articolare di ellissi: quelle aventi i fuochi sull'asse delle x, simmetrici risetto all'origine. Poniamo quindi: F1 = (-c, 0) e F = (c, 0) Suoniamo che la somma costante delle distanze valga a, con a > c, e consideriamo un generico unto P = (x, y) dell'ellisse Alicando la definizione otteniamo la seguente equazione: Svolgendo i calcoli: PF1 + PF = a 15 Disense di Geometria Analitica a cura di Pietro Aceti

16 ( ) ( ) x c y x c y a ( x c) y a ( x c) y ( x c) y 4 a ( x c) y 4 a ( x c) y 4cx 4a 4 a ( x c) y a c x a cx a x a c a cx a y 4 ( a c ) x a y a ( a c ) essendo a > c, ossiamo orre: a² c² = b² Sotto tali iotesi l'equazione dell'ellisse si scrive nella forma: Ne deriviamo l equazione: x a con a e b coefficienti reali ositivi, a > b. b²x² + a²y² = a²b² y 1 b 4.3)POSIZIONE RECIPROCA DI UNA RETTA CON UN ELLISSE Si mettono a sistema l ellisse con la retta e in base al si caisce la osizione della retta risetto all ellisse, infatti mettendoli a sistema si trovano i unti d intersezione della retta con l ellisse: -se >O indica che la retta e l ellisse s intersecano in unti distinti quindi la retta è secante all ellisse -se =0 la retta e l ellisse s intersecano in unti coincidenti quindi la retta è tangente all ellisse -se <0 la retta non interseca l ellisse quindi la retta è esterna all ellisse N.B. LE STESSE REGOLE VALGONO PER TUTTE LE CURVE 16 Disense di Geometria Analitica a cura di Pietro Aceti

17 4.4) METODI DI TANGENZA 4.4.1)AVENDO LA ELLISSE E UN PUNTO QUALSIASI DEL PIANO ellisse risolvendo il sistema troviamo una equazione dove andremo a discutere il =0 fasco di rette assanti er il unto 4.4.)AVENDO L ELLISSE E UN PUNTO P γ (SDOPPIAMENTO) Dalle coordinate del unto ossiamo ricavare, con una dimostrazione che ometto, le seguenti uguaglianze. x x x o y y y o Sostituendo questi valori all interno della equazione del ellisse troviamo la retta tangente 4.5)ALCUNE CONDIZIONI PER DETERMINARE L EQUAZIONE DI UN ELLISSE L'equazione di un'ellisse uò esser determinata artendo da alcune sue rorietà; osserviamo che conoscere un fuoco equivale a conoscerli entrambi, er ragioni di simmetria; stesso ragionamento er le direttrici e i vertici sullo stesso asse. Ecco alcuni esemi di condizioni sufficienti er determinare l'equazione di un'ellisse: 1. si conosce un fuoco e una direttrice;. si conosce un fuoco e la somma delle distanze dai unti dell'ellisse; 3. si conosce un fuoco e un vertice; 4. si conoscono vertici su assi diversi; 5. si conosce un fuoco e un unto dell'ellisse; 6. si conosce l'eccentricità e un fuoco; 7. si conosce l'eccentricità e un unto dell'ellisse; 8. si conoscono unti dell'ellisse, non simmetrici risetto all'origine o agli assi; 17 Disense di Geometria Analitica a cura di Pietro Aceti

18 4.6)ECCENTRICITÀ l eccentricit{ è quel numero che ci indica la distanza dei fuochi risetto alle roorzioni dell ellisse, infatti iù questo numero è alto iù l ellisse sar{ basso e lungo iù il valore sar{ alto iù l ellisse sar{ alto e stretto. distanza focale c c e semiasse maggiore a a Faccio notare che se il valore dell eccentricit{ è zero (e=0) i fuochi sono sovraosti quindi non abbiamo iù un ellisse ma una circonferenza Inoltre se il valore dell eccentricit{ è uguale a uno ( e=1) vorrà dire che la distanza focale e il semiasse maggiore hanno la stessa lunghezza quindi saremo di fronte non ad un ellisse ma ben si ad una retta. Quindi in conclusione il valore dell eccentricit{ dell ellisse uò oscillare solo tra 0 e 1 (0<e>1) 18 Disense di Geometria Analitica a cura di Pietro Aceti