LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI

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1 LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO 6 Per ricordare H Una funzione di secondo grado la cui equazione assume la forma y ˆ a b c si chiama arabola. Le sue caratteristiche sono le seguenti (osserva la figura ): se a > 0 la arabola eá concava verso l'alto, se a < 0eÁ concava verso il basso eá una curva simmetrica risetto alla retta ˆ b che rende il nome di asse della arabola a il unto V di tale asse che aartiene alla arabola si chiama vertice ed ha coordinate b a, essendo ˆ b ac. a Figura Per esemio, la arabola di equazione y ˆ, dove a ˆ, b ˆ, c ˆ, ha: concavitaá rivolta verso l'alto er asse di simmetria la retta ˆ ˆ vertice V nel unto di coordinate V ˆ y V ˆ ac b a ˆ ˆ! V, L'ordinata del vertice si uoá anche trovare sostituendo l'ascissa nell'equazione della arabola: y V ˆ ˆ Per costruire il grafico di una arabola si devono determinare il vertice e le coordinate di qualche unto; conviene oi individuare anche i simmetrici di tali unti risetto all'asse della arabola. Per trovare le coordinate di qualche unto si attribuiscono alla variabile Figura alcuni valori e si calcolano i corrisondenti valori di y come nella tabella che segue e che si riferisce alla recedente arabola y ˆ : 0 y 0 La scelta dei valori di eá del tutto arbitraria, ma conviene renderli tutti dalla stessa arte risetto all'asse di simmetria er evitare di trovare rorio i simmetrici di unti giaá noti. Il grafico della arabola eá in figura.

2 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 6 - LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO 09 H Punti rilevanti del grafico di una arabola sono le sue intersezioni con l'asse delle ascisse che rendono il nome di zeri della funzione e che si trovano risolvendo l'equazione a b c ˆ 0. A seconda del discriminante dell'equazione, una arabola uoá quindi avere: due zeri se > 0 un solo zero se ˆ 0 nessuno zero se < 0: Per esemio: la arabola y ˆ, essendo ˆ 0se ˆ ˆ, ha due zeri (figura a) la arabola y ˆ non ha zeri ercheá l'equazione ˆ 0 ha un discriminante negativo: ˆ 6 (figura b) la arabola y ˆ ha un solo zero ercheá l'equazione ˆ 0 ammette la sola soluzione ˆ. Figura a. b. c. H Il segno di un trinomio di secondo grado a b c uoá essere dedotto dal grafico della arabola y ˆ a b c ad esso associata (in figura il caso a > 0); il trinomio eá ositivo er i valori di che corrisondono ai rami ositivi della arabola (quelli che si trovano al di sora dell'asse delle ascisse), eá negativo er i valori di che corrisondono ai rami negativi (quelli che si trovano al di sotto dell'asse delle ascisse), si annulla er i valori di che si trovano sull'asse delle ascisse (sono gli zeri della funzione). Figura Non eá quindi necessario trovare il vertice della arabola e costruire il grafico con recisione, basta saere qual eá la sua concavitaá e in quanti unti interseca l'asse delle ascisse. Per esemio: il trinomio eá associato alla arabola y ˆ che interseca l'asse nei unti di ascissa e ed eá: ± ositivo er < > ± negativo er < < ± uguale a zero er ˆ ˆ

3 0 6 - LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA il trinomio 7eÁ associato alla arabola y ˆ 7 che ha concavitaá verso il basso e non interseca l'asse delle ascisse ercheâ ˆ 6 < 0; il trinomio eá quindi negativo er ogni valore di. H Lo studio del segno di un trinomio ci ermette di risolvere agevolmente le disequazioni di secondo grado, che assumono quindi la forma a b c <---0, > dove ossiamo semre suorre che sia a > 0 ercheá in caso contrario si ossono cambiare segno e verso alla disequazione. In ratica si rocede cosõá: si individuano gli zeri della funzione trovando le soluzioni dell'equazione a b c ˆ 0 si disegna la arabola (che ha semre concavitaá verso l'alto er la condizione osta su a) risettando la sua osizione relativamente all'asse delle ascisse si scelgono gli intervalli che rendono il trinomio ositivo o negativo a seconda del verso della disequazione. Per esemio: > 0 equazione associata: ˆ 0 soluzioni: ˆ ˆ Poiche si vuole saere quando il trinomio eá ositivo, l'insieme delle soluzioni eá l'intervallo esterno alla due radici: < > 6 < 0 equazione associata: 6 ˆ 0 essendo ˆ 6 60 < 0 non vi eá nessuna soluzione reale Poiche si vuole saere quando il trinomio eá negativo, l'insieme delle soluzioni eá vuoto. ESERCIZI DI CONSOLIDAMENTO Descrivi le caratteristiche delle arabole che hanno le seguenti equazioni e costruiscine il grafico. y ˆ 6 Essendo a ˆ, la arabola eá concava verso il basso; troviamo il suo vertice: V ˆ b a ˆ 6 ˆ y V ˆ 9 ˆ ertanto V ;

4 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 6 - LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO L'asse di simmetria eá quindi la retta di equazione ˆ. Troviamo alcuni unti della arabola attribuendo ad valori a nostra scelta e calcolando i corrisondenti valori di y : 0 y 0 Il grafico della arabola eá in figura. y ˆ concavita verso l'alto; V ; ; asse ˆ y ˆ concavita verso il basso; V ; 6 ; asse ˆ Š y ˆ concavita verso il basso; V ; 6 ; asse ˆ Š y ˆ 0 concavita verso l'alto; V ; 0 ; asse ˆ Š 6 y ˆ concavita verso l'alto; V ; 6 ; asse ˆ Š 7 y ˆ concavita verso il basso; V 0; ; asse ˆ 0Š y ˆ concavita verso l'alto; V 0; ; asse ˆ 0Š 9 y ˆ concavita verso l'alto; V 0; 0 ; asse ˆ 0Š 0 y ˆ concavita verso il basso; V 0; 0 ; asse ˆ 0Š y ˆ concavita verso l'alto; V ; ; asse ˆ Š y ˆ concavita verso il basso; V ; ; asse ˆ Determina le ascisse dei unti di intersezione con l'asse delle ascisse (gli zeri) delle seguenti arabole. y ˆ Devi risolvere l'equazione ˆ 0 cioeá ˆ 0 ; Š a. y ˆ b. y ˆ a: ; b. ; a. y ˆ b. y ˆ 6 a: ; b. ; 6 a. y ˆ b. y ˆ 6 a: ; ; b. ; 7 a. y ˆ b. y ˆ a: ; ; b. ; a. y ˆ b. y ˆ 6 a: ; b. ; 0

5 6 - LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 9 Studia come varia il segno dei seguenti trinomi di secondo grado. 6 Dobbiamo trovare i unti di intersezione della arabola y ˆ 6 con l'asse delle ascisse e stabilire la sua osizione risetto a tale asse. 6 6 ˆ 0! ˆ ˆ La arabola ha concavitaá verso l'alto e interseca l'asse nei unti di ascissa 6 e. Il trinomio eá quindi: ositivo se < 6 > negativo se 6 < < si annulla se ˆ 6 ˆ 0 0 La arabola y ˆ 0 ha la concavitaá verso il basso e interseca l'asse nei unti di ascissa e. Il trinomio eá quindi: ositivo se... negativo se... si annulla se... y > 0se < > ; y < 0se < < Š 9 y > 0se < < ; y < 0se < > Š 9 y > 0se < > ; y < 0se < < y > 0se < < ; y < 0se < > 0 La arabola y ˆ 0 eá concava verso l'alto e l'equazione 0 ˆ 0 ha soluzione ˆ. Il trinomio eá quindi: ositivo se... negativo... si annulla se...

6 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 6 - LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO 6 La arabola eá concava verso l'alto e non interseca l'asse delle ascisse ercheá... Il trinomio eá quindi semre y > 0 6ˆ y < 0 RŠ 9 y > 0 RŠ 0 9 y < 0 6ˆ Risolvi le seguenti disequazioni intere di secondo grado. 0 Risolviamo l'equazione associata: ˆ ˆ 6 Disegniamo la arabola evidenziandone la osizione risetto all'asse : L'intervallo delle soluzioni eá quello che corrisonde ai valori di che rendono ositivo o nullo il trinomio, cioeá 6 > 0 Risolvi l'equazione: 6 ˆ 0! ˆ :::: ˆ ::::: Comleta il disegno raresentando la osizione della arabola risetto all'asse e riorta i segni assunti dal trinomio. L'insieme delle soluzioni eá : < 0 < < 7 0

7 6 - LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA (Suggerimento: cambia rima i segni ed il verso della disequazione) 7 < 00 S ˆ RŠ 9 0 Š Š 0 0 (Suggerimento: rima di trovare le soluzioni dell'equazione associata, fai il denominatore comune che uoi eliminare moltilicando er ) 9 9 < 0 < < 0 ˆ 7 > 0 < > < < > 7 6 Š 6 < < < 7 9 < S ˆ RŠ S ˆ Š < 9 < < 7 > < < Š < 0 < < Š

8 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 6 - LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO 6 > < > 7 6 < < < Risolvi le seguenti disequazioni intere di grado sueriore al secondo. < 0 Per saere quando l'esressione al rimo membro eá negativa studiamo il segno dei due fattori onendo ciascuno di essi maggiore di zero e costruiamo una tabella di segni: > 0! > > 0! < > Dalla distribuzione dei segni ricavata dalla tabella (stiamo cercando gli intervalli in cui l'esressione al rimo membro eá negativa), deduciamo l'insieme delle soluzioni: < < < 9 < 0 < < < Š 60 6 > 0 < < > Š 6 0 Š 6 0 ˆ Š Š Š 6 < 6 < < < Š 66 > 0 > Š 67 < 6 < < Š 6 7 Š < < < < 7 > < < 0 > 7 9 Š

9 6 6 - LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 7 Risolvi le seguenti disequazioni frazionarie. 0 Per il dominio della disequazione dobbiamo imorre che sia 6ˆ : Studiamo adesso il segno dei fattori al numeratore e al denominatore onendo quello al numeratore maggiore o uguale a zero, quello al denominatore solo maggiore di zero: 0! > 0! > Per indicare nella tabella dei segni che il numero non aartiene al dominio abbiamo messo una doia linea verticale in corrisondenza di questo numero. L'insieme delle soluzioni eá quello che rende ositiva la frazione: > Š 7 > 0 0 < < > 76 > 0 < > 0Š 77 6 < Trasortiamo darima tutti i fattori al rimo membro: Facciamo il denominatore comune e svolgiamo i calcoli: 6 < 0 6 < 0! 6 Cambiamo i segni al numeratore in modo da avere il coefficiente di ositivo e cambiamo verso alla disequazione: 6 > 0 Continua adesso come negli esercizi recedenti. 6 < < 0 > Š < < > < > < > Š

10 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 6 - LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO 7 6 < 0 S ˆ Š 0 0 < < > < < < > 0Š < 6 < < 0 < < Š < < Š 6 < 0 < < Š < < 0 > Š < > 7 9 < < Š 90 Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni. > A B Per risolvere un sistema di disequazioni si deve risolvere ciascuna disequazione e trovare oi l'intersezione delle soluzioni: disequazione A : > 0! < 0 > disequazione B : 9 0! Costruiamo la tabella delle soluzioni: L'insieme delle soluzioni eá formato dagli intervalli in cui entrambe le disequazioni A e B sono verificate, cioeá : < 0 < < 0 < < 0 < Š < < < < Š

11 6 - LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA < 0 0 > < 0 0 >< >: > 0 >< >: < >< >: 6 < : > < 6 0 : > < 0 < 6 > 0 : > > < > : 0 < 0 < : > 0 < < : 7 > 0 S ˆ Š < < S ˆ RŠ < < 9 < > Š 6 < < Š < < Š S ˆ Š < <

12 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 6 - LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO 9 ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO Risolvi le seguenti disequazioni di vario tio. 6 9 < 0 < < > ˆ Š > < < > > < < > Š Š 9 < 0 6 < < > Š 0 6 < 0 < < Š (Suggerimento: il olinomio al rimo membro si scomone in ) > < < > 0 < S ˆ Š < 9 < < Š (Suggerimento: trasortati tutti i termini al rimo membro e cambiato segno e verso alla disequazione, il olinomio ottenuto si scomone in ) 7 6 Š

13 0 6 - LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 9 < < 0 0 < 0 < > < < < > < < 0 < < < < < 7 9 > > 0 < > Š < 0 > < < > 0 < < < 0Š 9 < > Stabilisci er quali valori del arametro k le seguenti equazioni ammettono radici reali e distinte. k k ˆ 0 k < k > (Suggerimento: l'equazione ha soluzioni reali e distinte se > 0, quindi se k k > 0) k k ˆ 0 k RŠ k k ˆ 0 k 6ˆ Š k 6k k ˆ 0 < k < Determina i valori di k er i quali le seguenti equazioni soddisfano alla condizione indicata. k k ˆ 0 ammette soluzioni reali k k

14 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 6 - LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO 6 k k ˆ 0 non ammette soluzioni reali < k < 7 k k ˆ 0 ammette soluzioni reali distinte < k < Š k k ˆ 0 ammette soluzioni reali coincidenti oure non ammette soluzioni reali k Š Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni. >< 9 >: >< > >: 0 >< 9 >: < 0 >< >: < 0 >< >: 9 < < : > >< >: < < : 6 < >< < >: > Š < Š < < < > 7 < 6 < < 0 > 6Š <

15 6 - LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA >< < >: > >< >: < >< > > >: >< >: > 0 > < 0 >< < >: 0 Š S ˆ Š < < Š S ˆ Š < < < < Š Risolvi le seguenti equazioni con i moduli. j 6j ˆ 6 Per togliere il modulo dobbiamo valutare il segno del suo argomento: < 0 6 ˆ 6 6 ˆ 6 Osserviamo che la disequazione dei due sistemi eá suerflua ercheá, er quanto riguarda il rimo sistema, se 6 deve essere uguale a 6, allora eá anche maggiore di zero; analogamente, er quanto riguarda il secondo sistema, se 6 deve essere uguale a 6, allora eá anche minore di zero. L'equazione data eá quindi equivalente alle due equazioni: 6 ˆ 6 6 ˆ 6 7 che hanno soluzioni ˆ ˆ 0 ˆ

16 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 6 - LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO j j 7 ˆ S ˆ ; ; j j ˆ 0 S ˆ Š 6 j6 j ˆ S ˆ ; 7 j j ˆ S ˆ ; ˆ j j S ˆ Š 9 ˆ j j S ˆ ; ; ; 60 j 7 6j ˆ 0 S ˆ Š 6 j 9j 7 ˆ 0 S ˆ f; gš 6 j j 6 ˆ j j ˆ S ˆf ; gš L'equazione eá equivalente ai due sistemi 0 ˆ < 0 ˆ Questa volta eroá non ossiamo ritenere suerflua la disequazione; questo significa che dovremo vedere se le radici delle due equazioni soddisfano le disequazioni del rorio sistema: rimo sistema: ˆ 0 risolvendo l'equazione si ottiene ˆ che sono entrambe accettabili secondo sistema: < < ˆ 0 risolvendo l'equazione si ottiene ˆ 0 ed eá accettabile solo ˆ 0 In definitiva, l'insieme delle soluzioni eá S ˆ f ; 0; g. 6 j j ˆ S ˆ f0; gš 6 j 6j ˆ 6 S ˆ f ; 0; ; gš 66 j j ˆ S ˆ 0; h n 67 j j ˆ oi S ˆ 0;

17 6 - LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 6 j j ˆ j j Valutiamo il segno dei olinomi di ciascun modulo e riortiamoli in una tabella: Devi quindi risolvere i seguenti quattro sistemi: < ˆ ˆ < > ˆ ˆ S ˆ f gš 69 jj j j ˆ S ˆ ; ; 0 70 j j ˆ jj S ˆ 6 ; 7 Risolvi le seguenti disequazioni con i moduli. j j < La disequazione eá equivalente ai due sistemi: 0 < < 0 > Il rimo sistema ci dice che l'esressione deve essere comresa fra 0 e o anche uguale a zero; il secondo che deve essere comresa fra e 0. In sostanza deve essere comreso fra e. La disequazione data eá quindi equivalente al sistema > che ha soluzione < < < < < 7 j j < < < 7 j6 j < 0 < < 7 j j < 7 < < < < 7 7 j j < 6 S ˆ Š 76 j j > 6 La disequazione eá equivalente ai due sistemi: 0 > 6 < 0 < 6 La rima disequazione di entrambi i sistemi eá suerflua; basta allora risolvere le due rimanenti disequazioni e unire i due insiemi soluzione:

18 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 6 - LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO > 6! 7 > 0! < 7 > < 6! < 0! er nessun valore di L'insieme delle soluzioni eá quindi < 7 >. 77 j j > 6 < > Š 7 j j > S ˆ RŠ 79 j j > < > 0 j j > La disequazione eá equivalente ai due sistemi 0 > < 0 > Il rimo sistema ha soluzione... Il secondo sistema ha soluzione... Unendo i due insiemi trovi la soluzione della disequazione data: < > j j > 6 R fg Š j 9j ^ ˆ Š > j j < < 6 j Š j j < S ˆ Š 6 j 0j j j j j < > 6Š 9 j j > 0 < 0 < < 6Š 90 j j j j Determiniamo innanzi tutto la variazione dei segni dei due binomi nei due moduli e riortiamoli in una tabella.

19 6 6 - LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA Devi quindi risolvere i seguenti quattro sistemi e determinare l'unione delle soluzioni: ( < < : < < : ( > j j > j j > Š 9 7 j j > 9 < < 7 9 j j > j j < < 9 j j j j 9 Determina il dominio delle seguenti funzioni. y ˆ Un radicale di indice ari esiste se il suo argomento eá ositivo o nullo; devi quindi risolvere il sistema: 0 0 r 96 y ˆ 97 y ˆ r r 9 y ˆ < 0 Š 0 < > 0Š 99 y ˆ > Š 7 00 y ˆ 0 Š