Capitolo 2. Funzioni

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1 Caitolo 2 Funzioni 2.1. De nizioni Un concetto di fondamentale imortanza è quello di funzione. roosito la seguente de nizione: Vale a questo De nizione 10 Dati due insiemi (non vuoti) X e Y, si chiama funzione (o alicazione, o corrisondenza) di X in Y una legge che ad ogni elemento x 2 X associa (al iù) un unico elemento y 2 Y. Una funzione è quindi caratterizzata da una situazione di questo tio: e non è ossibile che ad uno stesso x 2 X siano associati due o iù elementi y 2 Y, ad esemio in questo caso:

2 3 Caitolo 2. Funzioni non ci si trova in resenza di una funzione (er esemio la corrisondenza madre! figli, er cui ad una stessa madre ossono essere associati iù gli, non è una funzione). E invece ossibile che a diversi elementi x 2 X sia associato uno stesso elemento y 2 Y, cioè: (er esemio la corrisondenza figlio! madre, er cui a diversi gli uò essere associata la stessa madre, è una funzione). Si dice anche che una funzione costituisce una corrisondenza univoca. L insieme di artenza X rende il nome di dominio, mentre il sottoinsieme A X costituito dagli elementi x ai quali sono associati degli elementi y 2 Y viene detto insieme di esistenza (o camo di de nizione). L insieme di arrivo Y rende il nome di codominio, mentre il sottoinsieme f(x) costituito dagli elementi y 2 Y che corrisondono a qualche elemento x viene detto insieme delle immagini (in ratica, il codominio è l insieme in cui, a riori, la funzione uò assumere valori, mentre l insieme delle immagini è l insieme dei valori e ettivamente assunti dalla funzione). La corrisondenza (funzione) tra X e Y viene indicata con f, er cui si ha: f : X! Y oure f : A X! Y e anche: y = f(x) e si dice che y costituisce l immagine, tramite la funzione f, di x:

3 2.1. De nizioni 39 La variabile x, inoltre, viene detta variabile indiendente, mentre la variabile y viene detta variabile diendente. Si deve anche osservare che le lettere usate er indicare le variabili indiendente e diendente sono irrilevanti, ad esemio: y = f(x) ) y = 2x 3 e z = f(t) ) z = 2t 3 individuano esattamente la stessa funzione. Una nozione di rilievo è oi quella di funzione iniettiva: De nizione 11 Una funzione f : A X! Y si dice iniettiva quando elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, cioè: x 1 ; x 2 2 A; x 1 6= x 2 ) f(x 1 ) 6= f(x 2 ) Gra camente, nel caso di funzione iniettiva si ha una situazione di questo tio: ad esemio la funzione f(x) = x 3 è iniettiva, in quanto si ha: x 1 6= x 2 ) (x 1 ) 3 6= (x 2 ) 3 mentre nel caso di funzione non iniettiva si ha una situazione di questo tio:

4 40 Caitolo 2. Funzioni ad esemio la funzione f(x) = x 2 non è iniettiva, in quanto si ha: f( 3) = ( 3) 2 = 9 f(3) = (3) 2 = 9 da cui: x 1 6= x 2 ) f(x 1 ) = f(x 2 ) A questo unto diventa ossibile introdurre le funzioni in cui sia X sia Y sono insiemi numerici, in articolare X = Y = R, er cui si arla di funzioni reali di variabile reale: f : A R! R Poiché l insieme R coincide con i unti della retta, è ossibile raresentare la variabile indiendente x su di una retta (orizzontale) e la variabile diendente y su di un altra retta (verticale): doodiché si associa ad ogni x il corrisondente y = f(x) e si individuano i relativi unti del iano, ottenendo il gra co (o diagramma) della funzione, che è quindi dato da: G f = (x; y) 2 R 2 : x 2 A; y = f(x) Poiché una funzione uò essere identi cata con il suo gra co, è ossibile riformulare le de nizioni di funzione e di funzione iniettiva in termini gra ci. Per quanto riguarda la de nizione di funzione, dato che una funzione è una corrisondenza univoca che ad ogni x 2 A associa (al iù) un unico y 2 Y, dal unto di vista gra co ciò signi ca che ogni retta verticale di equazione x = k (con k costante) interseca il gra co di f al iù in un unto; in caso contrario, f non è una funzione. Si ha ad esemio (utilizzando il

5 2.1. De nizioni 41 cosiddetto criterio della retta verticale ): Per quanto riguarda la de nizione di funzione iniettiva, dal unto di vista gra co una funzione è iniettiva (cioè ad elementi distinti del dominio corrisondono immagini distinte) quando ogni retta orizzontale di equazione y = k (con k costante) interseca il gra co di f al iù in un unto; in caso contrario, f non è iniettiva. Si ha ad esemio (utilizzando il cosiddetto criterio della retta orizzontale ):

6 42 Caitolo 2. Funzioni 2.2. Funzioni monotòne, concave, convesse Una classi cazione imortante riguarda la monotonia di una funzione. questo roosito la seguente de nizione: Vale a De nizione 12 Una funzione f : A R! R si dice: (i) crescente quando: x 1 ; x 2 2 A con x 1 < x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) (ii) crescente in senso stretto quando: x 1 ; x 2 2 A con x 1 < x 2 ) f(x 1 ) < f(x 2 )

7 2.2. Funzioni monotòne, concave, convesse 43 (iii) decrescente quando: x 1 ; x 2 2 A con x 1 < x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) (iv) decrescente in senso stretto quando: x 1 ; x 2 2 A con x 1 < x 2 ) f(x 1 ) > f(x 2 )

8 44 Caitolo 2. Funzioni Un altra classi cazione di rilievo riguarda le funzioni concave e convesse. Vale la seguente de nizione: De nizione 13 Una funzione f : A R! R si dice convessa quando x 1 ; x 2 2 A il segmento che congiunge i unti (x 1 ; f(x 1 )) e (x 2 ; f(x 2 )) sta al di sora (o almeno non al di sotto) del gra co di f. In articolare, se nel gra co esistono tratti rettilinei la funzione è convessa (non in senso stretto), altrimenti è convessa in senso stretto: Vale oi anche la seguente de nizione: De nizione 14 Una funzione f : A R! R si dice concava quando x 1 ; x 2 2 A il segmento che congiunge i unti (x 1 ; f(x 1 )) e (x 2 ; f(x 2 )) sta al di sotto (o almeno non al di sora) del gra co di f. In articolare, se nel gra co esistono tratti rettilinei la funzione è concava (non in senso stretto), altrimenti è concava in senso stretto:

9 2.3. Funzioni ari e disari Funzioni ari e disari Un altra classi cazione è quella relativa alle funzioni ari e disari. Vale la seguente de nizione: De nizione 15 Una funzione f : A R! R con insieme di esistenza A simmetrico risetto all origine (cioè se x 2 A, allora anche x 2 A) si dice ari quando risulta: mentre si dice disari quando risulta: f( x) = f(x) x 2 A f( x) = f(x) x 2 A Nel caso di funzioni ari la condizione f( x) = f(x) signi ca che valori oosti attribuiti alla x hanno la stessa immagine, er cui una funzione ari, dal unto di vista gra co, risulta simmetrica risetto all asse delle ordinate, cioè: (x; y) 2 G f ) ( x; y) 2 G f Un semlice esemio di funzione ari è costituito da: er la quale si ha: y = f(x) = x 2 f( x) = ( x) 2 = ( x) ( x) = x 2 = f(x) che è aunto la condizione che deve essere veri cata a nché la funzione sia ari. Il suo gra co è: e in questo caso risulta evidente la simmetria risetto all asse delle y. Nel caso di funzioni disari la condizione f( x) = f(x) signi ca che valori oosti attribuiti alla x hanno immagini ooste, er cui una funzione disari, dal unto di vista gra co, risulta simmetrica risetto all origine, cioè: (x; y) 2 G f ) ( x; y) 2 G f

10 46 Caitolo 2. Funzioni Un semlice esemio di funzione disari è costituito da: er la quale si ha: y = f(x) = x 3 f( x) = ( x) 3 = ( x) ( x) ( x) = x 3 = f(x) che è aunto la condizione che deve essere veri cata a nché la funzione sia disari. Il suo gra co è: e in questo caso risulta evidente la simmetria risetto all origine. Nel caso di funzioni ari o disari è su ciente e ettuare lo studio di f er x 0, doodiché il gra co comlessivo della funzione si ottiene ribaltando quello ottenuto er valori non negativi delle x risetto all asse y (nel caso di funzioni ari) oure risetto all origine (nel caso di funzioni disari) Studio di funzioni: dominio, intersezioni con gli assi, segno e simmetrie Lo scoo dell analisi e ettuata sulle funzioni reali di variabile reale consiste nel artire dall esressione analitica er giungere alla loro raresentazione gra ca, attraverso quello che viene de nito studio di funzione. Il rimo roblema da a rontare nello studio di una funzione è costituito dall individuazione del suo dominio, che viene de nito come il iù amio sottoinsieme di R in cui sono ossibili le oerazioni indicate nell esressione f(x) (er cui si arla anche di dominio naturale di f). In generale, invece, non si rocede all individuazione dell insieme delle immagini, che in molti casi non è agevole da determinare, e ci si limita ad indicare il codominio (che er le funzioni considerate è costituito dall insieme R).

11 2.4. Studio di funzioni: dominio, intersezioni con gli assi, segno e simmetrie 47 Con riferimento al dominio si ossono incontrare i seguenti tii di roblemi, che richiedono di imorre le corrisondenti condizioni di realtà, allo scoo di giungere alla determinazione del camo di esistenza della funzione in esame: 1. Se la variabile indiendente comare al denominatore di una frazione si deve richiedere che il denominatore sia non nullo. 2. Se la variabile indiendente comare sotto il segno di una radice ad indice ari si deve richiedere che il radicando sia non negativo. 3. Se la variabile indiendente comare nell argomento di un logaritmo si deve richiedere che l argomento sia strettamente ositivo. 4. Se la variabile indiendente comare sia nella base sia nell esonente di una otenza, cioè si ha un esressione del tio f(x) g(x), si deve richiedere che la base della otenza sia strettamente ositiva (come risulta evidente riscrivendo la funzione nella forma f(x) g(x) log f(x)g(x) = e = e g(x) log f(x), nella quale f(x) diventa l argomento di un logaritmo, e quindi deve essere strettamente maggiore di zero). Esemio 2.1 Determinare il dominio della funzione: f(x) = 1 x + 3 In questo caso deve essere x + 3 6= 0, cioè x 6= 3, er cui il dominio è: D = ( 1; 3) [ ( 3; +1) Esemio 2.2 Determinare il dominio della funzione: f(x) = x 3 + 5x In questo caso deve essere x 3 0, cioè x 3, er cui il dominio è: D = [3; +1) Esemio 2.3 Determinare il dominio della funzione: f(x) = log(x 2 4) è: In questo caso deve essere x 2 4 > 0, cioè x < 2 _ x > 2, er cui il dominio D = ( 1; 2) [ (2; +1)

12 4 Caitolo 2. Funzioni Esemio 2.4 Determinare il dominio della funzione: f(x) = (3x) x+5 In questo caso deve essere 3x > 0, come risulta evidente anche scrivendo innanzitutto la funzione nella forma: f(x) = e log(3x)x+5 doodiché si ottiene x > 0, e il dominio è: D = (0; +1) (x+5) log(3x) = e Sesso alcune di queste situazioni si resentano contemoraneamente, er cui er determinare il camo di esistenza di una funzione occorre considerare solo quei valori della x che soddisfano contemoraneamente le diverse condizioni imoste (cioè occorre risolvere un sistema di disequazioni e/o inuguaglianze). Esemio 2.5 Determinare il dominio della funzione: f(x) = log(x 3) In questo caso si deve avere contemoraneamente (er le condizioni di realtà del logaritmo e della radice ad indice ari): < x 3 > 0 < x 3 > 0 < x > 3 ) ) ) x 4 : : : log(x 3) 0 x 3 1 x 4 er cui il dominio è: D = [4; +1) Esemio 2.6 Determinare il dominio della funzione: 3x 2 f(x) = x 3 In questo caso si uò innanzitutto riscrivere la funzione nella forma: f(x) = e log( 2 x 3) 3x 2 (3x) = e log( x 3) e si deve avere contemoraneamente (er le condizioni di realtà della frazione e del logaritmo): x 3 6= 0 >< < x 6= 3 ) ) x > 3 >: 2 x 3 > 0 : x > 3

13 2.4. Studio di funzioni: dominio, intersezioni con gli assi, segno e simmetrie 49 er cui il dominio è: D = (3; +1) In alcuni casi, inoltre, uò accadere che non interessi usare er intero il dominio naturale di una funzione, ma solo una sua arte. Nel caso in cui la variabile x raresenti una grandezza di natura economica (quantità, rezzo), ad esemio, non hanno senso valori negativi er questa variabile, e quindi occorre eventualmente considerare solo una arte del dominio naturale (si arla in questo caso di dominio economico di f). Doo l individuazione del dominio di una funzione, il asso successivo consiste nella determinazione delle intersezioni (se esistono) della funzione con gli assi cartesiani e nello studio del segno della funzione stessa. In articolare, le intersezioni con gli assi si ottengono risolvendo il sistema formato dall equazione che costituisce l esressione analitica della funzione e dall equazione dell asse in questione. Il segno di una funzione, invece, si ottiene determinando innanzitutto l insieme dei valori della x er i quali la funzione è ositiva o nulla (cioè risolvendo la disequazione f(x) 0), doodiché si ha che er i valori rimanenti della x (aartenenti al camo di esistenza) la funzione è negativa.. Di conseguenza, er trovare le (eventuali) intersezioni con l asse delle ascisse si risolve il sistema: < y = f(x) : y = 0! equazione asse delle ascisse mentre er trovare l (eventuale) intersezione con l asse delle ordinate si risolve il sistema: < y = f(x) : x = 0! equazione asse delle ordinate tenendo resente che l intersezione con l asse delle ordinate, se c è, è unica (er de nizione di funzione). Per studiare il segno della funzione, invece, occorre risolvere la disequazione f(x) 0, che ermette di individuare gli intervalli in cui f è ositiva o nulla (e di conseguenza anche quelli in cui f è negativa). Esemio 2.7 Determinare le eventuali intersezioni con gli assi e il segno della funzione: f(x) = x 2 5x + 6 Si uò innanzitutto osservare che non vi sono restrizioni da imorre al dominio della funzione, che quindi coincide con R. A questo unto le (eventuali) intersezioni con l asse x si individuano risolvendo il sistema formato dall equazione y = f(x) e dall equazione dell asse delle ascisse (che è y = 0): < : y = x 2 5x + 6 y = 0 < x = 2 ) : y = 0 < x = 3 _ : y = 0

14 2.10. Esercizi da svolgere Esercizi da svolgere Determinare il dominio delle seguenti funzioni: 1) f(x) = log x 2 3 2) f(x) = e x 2 3 3) f(x) = log x ) f(x) = (3x) x 2 4 5) f(x) = log(x 2 3) 6) f(x) = log x 2 3 jx 2 4j 1 7) f(x) = log x ) f(x) = 9) f(x) = log( x) 1 2 x x + 5 log(x + 3) 10) f(x) = (4x) 2 x 11) f(x) = log (4 e x ) 12) f(x) = jxj x + jxj 13) f(x) = log x 1 14) f(x) = 1 e x 2 4 r 3x 15) f(x) = log (x 3) 16) f(x) = x + 5 log (x 2 4) 17) f(x) = log x 2 3 e x 2 +3

15 104 Caitolo 2. Funzioni 1) f(x) = (log x) x 19) f(x) = x + 2 x 2 20) f(x) = 3 log x2 x 2 Determinare intersezioni con gli assi e segno delle seguenti funzioni: 21) f(x) = x(log x 3) 2 22) f(x) = e 2 x 1 x 23) f(x) = j x2 4 j e x 24) f(x) = x2 + 2x + 5 x ) f(x) = 3 x2 2 jxj + 1 jxj ) f(x) = log x x 2 27) f(x) = log 2x 1 x + 2 Determinare se le seguenti funzioni resentano simmetrie: 2) f(x) = x 2 x 4 x 3 29) f(x) = 3x 2x 3 + x 30) f(x) = 2 jxj + x2 x 3 31) f(x) = 3 x 3 x 5 jxj

16 2.10. Esercizi da svolgere ) f(x) = x 2 x 4 x 4 33) f(x) = 3 x 2 x x Date le funzioni f e g, determinare le funzioni comoste g f e f g: 34) f(x) = 3 x 1 g(t) = t ) f(x) = x g(t) = 3 t ) f(x) = log x g(t) = e t+3 37) f(x) = log x g(t) = jt 2j 3) f(x) = log(x + 1) g(t) = e t 39) f(x) = log (x + 1) g(t) = t 40) f(x) = log x 2 g(t) = t 41) f(x) = jx 1j g(t) = t 42) f(x) = log x g(t) = e t+1 43) f(x) = e x+2 g(t) = log t Date le seguenti funzioni, determinare le corrisondenti funzioni inverse: 44) f(x) = 2x ) f(x) = x ) f(x) = x ) f(x) = log jxj

17 106 Caitolo 2. Funzioni < 2 x se x 1 4) f(x) = : x se x > 1 < 2x 3 se x < 1 49) f(x) = : log x 3 se x 1 x se x 3 >< 50) f(x) = x + 3 se 3 < x < 3 >: log x se x 3

18 B.2. Esercizi Caitolo ) La tavola di verità di ( ) q), ^ q è: q ) q ( ) q) q ^ q ( ) q), ^ q V V V F F F V V F F V V V V F V V F F F V F F V F V F V 50) La tavola di verità di ( ) q) ^ (q ) r) ) ( ) r) è: q r ) q q ) r ( ) q) ^ (q ) r) ) r ( ) q) ^ (q ) r) ) ( ) r) V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V F V V V F F F V F F V F V V V V V V V F V F V F F V V F F V V V V V V F F F V V V V V B.2. Esercizi Caitolo 2 1) D = 1; 2) D = 1; 3) D = R 4) D = [2; +1) 3 [ 3; +1 3 [ 3; +1 5) D = ( 1; 2] [ [2; +1) 6) D = ( 1; 2) [ 2; 3 [ 3; 2 [ (2; +1) 7) D = R n f0g ) D = ; (insieme vuoto) 9) D = ( 3; 2) [ ( 2; +1) 10) D = (0; 2] 11) D = ( log 4; +1) 12) D = (0; +1)

19 492 Aendice B. Soluzioni degli esercizi 13) D = [e; +1) 14) D = ( 1; 2] [ [2; +1) 15) D = (4; +1) 16) D = 5; 17) D = 1; 1) D = (1; +1) 19) D = [0; 4) [ (4; +1) 20) D = R n f0g 5 [ 5; 2 [ 2; 5 [ 5; +1 3 [ 3; +1 21) f interseca l asse x nel unto (e 3 ; 0), mentre non interseca l asse y, inoltre f(x) 0 x 2 D = (0; +1). 22) f non interseca l asse x, mentre interseca l asse y nel unto (0; e 2 ), inoltre f(x) > 0 x 2 D = Rn f1g. 23) f interseca l asse x nei unti ( 2; 0) e (2; 0) e l asse y nel unto (0; 4), inoltre f(x) 0 x 2 D = R. 24) f non interseca l asse x, mentre interseca l asse y nel unto 0; 5, inoltre 2 f(x) < 0 er x < 2 e f(x) > 0 er x > 2 (tenendo resente che il dominio è dato da D = Rn f 2g). 25) f interseca l asse x nei unti ( 1; 0) e (1; 0) e l asse y nel unto (0; 3), inoltre f(x) 0 x 2 D = R. 26) f interseca l asse x nel unto (1; 0), mentre non interseca l asse y, inoltre f(x) < 0 er 0 < x < 1 e f(x) > 0 er x > 1 (tenendo resente che il dominio è dato da D = (0; +1)). 27) f interseca l asse x nel unto (3; 0), mentre non interseca l asse y, inoltre f(x) > 0 er x < 2 e er x > 3 e f(x) < 0 er 1 2 < x < 3 (tenendo resente che il dominio è dato da D = ( 1; 2) [ 1 2 ; +1 ). 2) f è disari. 29) f è ari. 30) f è disari.

20 B.2. Esercizi Caitolo ) f è disari. 32) f è ari. 33) f non è né ari né disari. 34) g f = g(f(x)) = x, mentre f g = f(g(t)) = t. 35) g f = g(f(x)) = 3 x 3 + 2, mentre f g = f(g(t)) = t ) g f = g(f(x)) = e log x+3 = xe 3 er x > 0, mentre f g = f(g(t)) = log e t+3 = t ) g f = g(f(x)) = jlog x 2j er x > 0, mentre f g = f(g(t)) = log jt 2j t 6= 2. 3) g f = g(f(x)) = e log(x+1) = x + 1 er x > 1, mentre f g = f(g(t)) = log(e t + 1). 39) g f = g(f(x)) = log (x + 1) er x 0, mentre f g = f(g(t)) = log t + 1 er t 0. 40) g f = g(f(x)) = log x 2 er x e 2, mentre f g = f(g(t)) = log t 2 er t > 0. 41) g f = g(f(x)) = jx 1j, mentre f g = f(g(t)) = t 1 er t 0. 42) g f = g(f(x)) = xe er x > 0, mentre f g = f(g(t)) = t ) g f = g(f(x)) = x + 2, mentre f g = f(g(t)) = te 2 er t > 0. 44) f 1 (x) = 1 2 x ) f 1 (x) = 3 x 3 46) f 1 (x) = x 2 2 er x 0 47) L inversa della restrizione di f all intervallo ( 1; 0) è f 1 (x) = e x. L inversa della restrizione di f all intervallo (0; +1) è f 1 (x) = e x. < log 2 x se 0 < x 2 4) f 1 (x) = : x 2 se x > 3