TEORIA DELLA PROBABILITÁ

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1 TEORIA DELLA PROBABILITÁ

2 Cenni storici i rimi arocci alla teoria della robabilità sono della metà del XVII secolo (Pascal, Fermat, Bernoulli) gli ambiti di alicazione sono i giochi d azzardo e roblemi di assicurazioni la rima formalizzazione rigorosa si deve a Lalace (82) autori cui si devono imortanti svilui: De Moivre ( ), Gauss ( ) e Poisson (78-840) dalla metà del XIX secolo fino agli anni venti lo sviluo è strettamente connesso ai nomi di Cebysev, Markov e Ljaunov 2

3 Cosa si intende er PROBABILITÁ? Teorie della robabilità. teoria classica (Lalace) 2. teoria frequentista (Von Mises, Reichebach, Castelnuovo) 3. teoria soggettivista (De Finetti, Ramsey, Savage) 4. imostazione assiomatica (Kolmogorov) 3

4 insiemi Un insieme è una collezione di oggetti diversi tra loro e, generalmente non ordinati del tio: A = {a, a 2,..., a n } a n a a2 Α Un insieme senza elementi si chiama insieme vuoto: = { } 4

5 insiemi UNIVERSO COMPLEMENTARE A C = Ω A 5

6 oerazioni con gli insiemi UNIONE A B INTERSEZIONE A B 6

7 alcune definizioni fenomeno aleatorio = fenomeno non revedibile con esattezza; sazio camione Ω = insieme di tutti gli esiti ossibili di un dato fenomeno aleatorio unti camione = elementi di Ω evento = sottoinsieme dello sazio camione Ω (semlice o comosto), in simboli E Ω uno sazio camione è discreto se contiene un numero finito di elementi o se è un insieme infinito numerabile uno sazio camione è continuo se contiene una infinità non numerabile di unti 7

8 eventi certo quando si resenta sicuramente, coincide con lo sazio camione Ω (E = Ω) imossibile quando non uò mai verificarsi, coincide con l insieme vuoto (E = ) aleatorio quando uò resentarsi o meno semlice quando non uò essere scomosto ulteriormente, coincide con un unto dello sazio Ω comosto quando è dato dal raggruamento di eventi semlici 8

9 esemio Consideriamo il lancio di un dado: Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6} Eventi semlici sono: E = {6} E 2 = {3} Eventi comosti sono: E 3 = {2, 4, 6} E 4 = {3, 6} 9

10 eventi (2) Dati due eventi A e B, essi si dicono: incomatibili o disgiunti quando non hanno alcun elemento in comune (A B = ) Es. E = {6} e E 2 = {3}: E E 2 = comatibili quando hanno almeno un unto in comune (A B ) Es. E = {6} e E 2 = {3, 6}: E E 2 ={6} comlementari quando sono disgiunti e la loro unione dà luogo allo sazio camione (A B = Ω) in questo caso B si chiama comlementare di A e si indica con A c Es. E = {2,4,6} e E 2 = {, 3, 5}: E E 2 = Ω 0

11 raresentazione degli eventi INCOMPATIBILI COMPATIBILI

12 esemio 2 Si vuole calcolare la robabilità di ottenere un 3 lanciando un dado. Lo sazio camione è Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6} L evento che consideriamo è E 2 = {3} Dal momento che tutti gli eventi che comongono lo sazio camione sono UGUALMENTE PROBABILI ossiamo costruire la robabilità cercata come raorto ( ) E 2 = 6 2

13 esemio 3 Si vuole calcolare la robabilità di estrarre un asso da un mazzo di 40 carte. Lo sazio camione è dato dal mazzo di carte (casi ossibili = 40). L evento che consideriamo è E 3 = {AC, AQ, AF, AP} I casi favorevoli sono 4. Dal momento che i casi ossibili sono EQUIPROBABILI la robabilità cercata sarà ( E ) = = 0 3

14 definizione classica La robabilità di un evento A è data dal raorto tra i casi favorevoli al realizzarsi di esso (s) e i casi ossibili (n), a atto che i casi ossibili siano EQUIPROBABILI. Formalmente: ( A) = s n Limiti della definizione: non semre è ossibile conoscere n, numero di casi ossibili; non semre gli eventi ossibili sono equirobabili. 4

15 Dal momento che l insieme dei casi favorevoli è un sottoinsieme dei casi ossibili ossiamo scrivere: 0 s Se dividiamo tutti i termini er n otteniamo: n s 0 n Da cui deriva la rorietà fondamentale: 0 ( E ) La robabilità di un evento è semre un numero comreso tra 0 e. 5

16 rorietà. La robabilità di un evento è semre comresa tra zero e uno 0 ( E ) 2. La robabilità di un evento certo è ( Ω ) = 3. La robabilità di un evento imossibile è 0 ( ) = 0 4. Dato l evento A, la robabilità del suo comlementare A c sarà: c ( A ) = ( A) 6

17 esemio 4 Un urna contiene 20 alline colorate: 5 sono bianche e 5 rosse. Vogliamo calcolare la robabilità che la allina estratta non sia bianca. L evento che consideriamo è c E 4 = {non esce bianca} la cui robabilità coincide con la robabilità di estrarre una allina rossa e cioè ( E c ) = si noti che ( c 4 E ) + ( E ) = 4 7

18 esemio 5 Sia dato un cilindro di lastica infrangibile, le cui facce vengono indicate con A, B, C. Vogliamo calcolare la robabilità che, se lo lanciamo in aria, esso cada con la faccia C rivolta verso l alto. Lo sazio camione sarà: Ω = {A, B, C} Possiamo dire che? ( C) = 3 Evidentemente NO erché gli eventi non sono EQUIPROBABILI 8

19 esemio 5 (2) Suoniamo di lanciare il cilindro NELLE STESSE CONDIZIONI er un gran numero di volte (ad es n = 00). Se osserviamo che l evento da noi considerato si resenta s = 20 volte otremo assumere la frequenza relativa dell evento come stima della sua robabilità: f ( C) = Possiamo attenderci che la stima migliorerà aumentando il numero delle rove. 9

20 definizione frequentista La robabilità di un evento A è data dal valore intorno al quale tende a stabilizzarsi la frequenza relativa di resentazione dell evento al crescere del numero di rove. Formalmente: ( A) = lim n s n Limiti della definizione: non è ossibile determinare la robabilità con esattezza; se le rove non vengono effettuate nelle medesime condizioni la stima non è attendibile 20

21 esemio 6 Vogliamo calcolare la robabilità che un giocatore di basket faccia centro ad un tiro libero. Lo sazio camione sarà: Ω = {farà centro, non farà centro} Sicuramente non ha senso dire che ( centro ) = Suoniamo di saere che nelle recedenti artite ha segnato 82 volte su 00 tiri, quindi f ( centro ) =

22 esemio 7 Vogliamo calcolare la robabilità che il risultato del lancio di un dado sia 3 oure un multilo di 2. L evento in questione E è costituito da due eventi tra loro incomatibili: E = {3} E 2 = {2, 4, 6} in articolare E è dato dall UNIONE dei due eventi: E = E E 2 = {2, 3, 4, 6} 22

23 esemio 7 (2) Graficamente Notiamo che ( E ) = e quindi 6 ( E ) = 4 6 ( E 2 ) = ( E ) = ( E ) + ( E ) 23

24 legge della somma Dati due eventi incomatibili A e B, la robabilità dell evento unione A B è data dalla somma delle singole robabilità dei due eventi. Formalmente: se A B = allora ( A B) = ( A) + ( B) Ciò vale anche se gli eventi sono genericamente n, a atto che siano a due a due incomatibili 24

25 esemio 8 Vogliamo calcolare la robabilità che il risultato del lancio di un dado sia un multilo di 3 oure un numero maggiore di 4. Questa volta i due eventi che comongono l evento unione E sono comatibili: E = {3, 6} E 2 = {5, 6} l elemento 6 è resente in entrambi gli insiemi E = E E 2 = {3, 5, 6} 25

26 esemio 8 (2) Graficamente ( E ) = 3 6 Notiamo che ( E ) = e quindi 2 6 ( E 2 ) = ( E ) < ( E ) + ( E ) 26

27 esemio 8 (3) Si ha ( E E 2 ) < ( E ) + ( E 2 ) erché i casi favorevoli nel secondo membro vengono contati due volte; er ristabilire l equilibrio bisogna sottrarre al secondo membro la robabilità dell intersezione. Avremo ertanto: 2 2 ( E ) = + =

28 legge della somma Dati due eventi comatibili A e B, la robabilità dell evento unione A B è data dalla somma delle singole robabilità dei due eventi meno la robabilità della loro intersezione A B. Formalmente: se A B allora ( A B) = = ( A) + ( B) ( A B) 28

29 esemio 9 Si lancino insieme un dado ed una moneta. Vogliamo calcolare la robabilità di ottenere testa e 3. E = {testa} E 2 = {3} I due eventi sono tra loro INDIPENDENTI L evento comosto E si verifica quando si verificano entrambi gli eventi che lo comongono, si tratta ertanto di una INTERSEZIONE E = E E 2 = {testa e 3} 29

30 esemio 9 (2) Gli eventi ossibili sono 2, solo uno di essi è favorevole al verificarsi di E; ertanto la robabilità cercata sarà ( E ) = 2 30

31 esemio 9 (3) Notiamo che la robabilità dell uscita TESTA (E ) è data da ( E ) = 2 mentre la robabilità dell uscita 3 (E 2 ) da ( E 2 ) = 6 la robabilità dell evento comosto (E) è data dal rodotto tra le due ( E ) = ( E E 2 ) 2 6 = = 2 3

32 legge del rodotto Dati due eventi indiendenti A e B, la robabilità dell evento intersezione A B è data dal rodotto delle singole robabilità dei due eventi. Formalmente: se allora A e B indiendenti ( A B) = ( A) ( B) Ciò vale anche se gli eventi sono genericamente n, a atto che siano a due a due indiendenti 32

33 esemio 0 Abbiamo un sacchetto contenente due gettoni rossi ed uno nero. Estraiamo due gettoni in sequenza (senza reinserire il rimo estratto nel sacchetto); vogliamo determinare la robabilità dell evento E = {i gettoni estratti sono entrambi rossi} L evento E risulta comosto dai due eventi elementari: E = {R } E 2 = {R } E = E E 2 Si noti erò che, mentre (E ) = 2/3, non così vale er (E 2 ) che uò variare a seconda del risultato della rima estrazione. 33

34 esemio 0 (2) Gli eventi ossibili sono 6, quelli favorevoli al verificarsi di E sono due; ertanto la robabilità cercata sarà ( E ) =

35 esemio 0 (3) La robabilità di estrarre come rimo un gettone rosso (E ) è data da ( E ) = la robabilità di estrarre un rosso anche alla seconda estrazione (E 2 ) diende dal risultato della rima; suonendo di avere estratto già un gettone rosso tale robabilità sarà 2 3 ( E \ E ) = 2 la robabilità dell evento comosto (E) è data dal rodotto tra le due ( E ) = ( E E2 ) = =

36 legge del rodotto Dati due eventi non indiendenti A e B, la robabilità dell evento intersezione A B è data dal rodotto della robabilità del rimo er la robabilità del secondo condizionata al rimo. Formalmente: se A e B non indiendenti allora ( A B) = ( A) ( B \ A) 36

37 definizioni dati due eventi A e B con (B) > 0, si chiama robabilità condizionata di A dato B (scritto formalmente (A\B)) la quantità ( A \ B) = ( A B) ( B) in ratica (A\B) indica la robabilità che si verifichi A quando si è verificato B due eventi A e B si dicono indiendenti se e solo se vale che ( A B) = ( A) ( B) 37

38 riassumendo eventi (A,B) comatibili A B incomatibili A B = indiendenti (B\A) = (B) diendenti (B\A) (B) 38