Calcolo delle Probabilità S.T.A.D

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1 Lezione 1 del 11 Aprile 2012 Calcolo delle Probabilità S.T.A.D Giuseppe Sanfilippo 11 aprile 2012

2 Libri adottati Calcolo delle Probabilità, Sheldon Ross, Apogeo, 2007 Incertezza e Probabilità, Romano Scozzafava, Zanichelli, 2003 dispense e compiti di esame svolti disponibili sul sito del docente Ulteriori approfondimenti dispense fornite dal docente Calcolo delle Probabilità, Giorgio Dall Aglio, Zanichelli, 2001 Calcolo delle Probabilità, Paolo Baldi, McGraw-Hill (2007, 2011) Teoria delle Probabilità, vol.1 e vol.2, Bruno de Finetti, Giuffrè (ristampa 2005) Calcolo delle Probabilità ed Elementi di Statistica, Luciano Daboni, Utet G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 1 del 11 Aprile pag. 1

3 Cenni storici Il calcolo delle probabilità si è sviluppato fra il XV e il XVI secolo, prevalentemente sulla base di studi e considerazioni teoriche riguardanti situazioni e problemi connessi ai giochi d azzardo. Il primo libro sul gioco d azzardo (Liber de ludo aleae) è stato scritto, anche se pubblicato successivamente, agli inizi del 1500 da Gerolamo Cardano (matematico, fisico, medico e astrologo italiano). Si è soliti far risalire l origini del CdP a certe questioni di scommessa poste dal Cavalier de Méré a Pascal e da questi discusse con Fermat. Lo sviluppo storico del calcolo delle probabilità è dovuto a grandi scienziati quali Galilei, Bernoulli, Pascal, Fermat, Laplace Nel secolo scorso la teoria delle probabilità si è sviluppata in molte direzioni grazie al lavoro di famosi matematici, fra i quali Kolmogorov e Bruno de Finetti. Figura 1: Kolmogorov e de Finetti G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 1 del 11 Aprile pag. 2

4 Problema del Cavalier De Méré Esempio 1 Determinare il più piccolo intero n tale che lanciando n volte un dado la probabilità di avere almeno un 6 sia maggiore di 1 2. Supponiamo di lanciare n volte un dado e consideriamo l evento A n : esce almeno una volta la faccia 6 su n lanci. I casi favorevoli ad A n si ottengono più facilmente sottraendo dai 6 n casi possibili (giudicati ugualmente possibili) quelli nei quali non si presenta il 6, che sono 5 n. Pertanto si ottiene P (A n ) = 6n 5 n 6 n. L intero n cercato è pari a 4 come si evince dalla Tabella 1 n=3 n=4 P (A n ) Tabella 1: Valori di P (A n ) per n = 3, 4 G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 1 del 11 Aprile pag. 3

5 Casi Possibili Ti viene proposto un gioco. Hai due urne U 1, U 2 contenenti palline di ugual forma e che possono differire per il colore: 1 bianca e 1 nera nella prima urna, 1 bianca e 4 nere nella seconda. Vinci un premio se ad occhi bendati riesci ad estrarre una pallina bianca. In quale urna ti conviene pescare? 1 Urna 2 Urna Figura 2: In quale delle due urne ti conviene pescare? G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 1 del 11 Aprile pag. 4

6 Ora disegna nelle due urne palline bianche e nere in modo che sia più conveniente pescare nella seconda urna. 1 Urna 2 Urna Figura 3: G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 1 del 11 Aprile pag. 5

7 Per vincere un premio devi estrarre pallina bianca. In quale urna pescheresti? 1 Urna 2 Urna Figura 4: G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 1 del 11 Aprile pag. 6

8 E in questo caso? Mi conviene pescare da U 1, Mi conviene pescare da U 2, Indifferente, Urna 2 Urna Figura 5: G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 1 del 11 Aprile pag. 7

9 E in questa situazione in quale urna pescheresti? Urna 2 Urna Figura 6: Perchè? Calcola, per ciascun urna, il rapporto tra il numero delle palline bianche ed il totale delle palline. 1 a Urna n. palline bianche n. palline totali = ; Urna 2 n. palline bianche n. palline totali = G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 1 del 11 Aprile pag. 8

10 Definizione classica Si ha. 1 a Urna n. palline bianche n. palline totali = 1 3 = ; Urna 2 n. palline bianche n. palline totali = 3 10 = 0.3 Osservando i rapporti si intuisce che è più probabile estrarre una pallina bianca dalla 1 a Urna. Infatti si ha 1 caso favorevole di estrarre la pallina bianca su 3 casi possibili. Nella 2 a Urna invece i casi favorevoli sono 3 e i casi possibili sono 10. Criterio classico di valutazione della probabilità G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 1 del 11 Aprile pag. 9

11 Criterio classico di valutazione della probabilità In molti problemi aleatori, per ragioni di simmetria o di mancanza di informazioni sul fenomeno studiato, i casi possibili sono giudicati ugualmente possibili. In tali situazioni, per valutare il grado di attendibilità di un evento A, è del tutto naturale basarsi sul numero di casi favorevoli a ciascuno degli eventi considerati. Definizione 1 (Classica) Considerato un esperimento aleatorio con m casi possibili, giudicati ugualmente possibili, ed un evento E con r E casi favorevoli, la probabilità P (E) di E è uguale al rapporto r E m. P (E) = # casi favorevoli a E # casi possibili = r E m. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 1 del 11 Aprile pag. 10

12 Esempio 2 (lancio di 2 dadi). Indichiamo con X, Y il risultato dei due dadi e con Z = X + Y il totale. I casi possibili (le coppie (x, y)) sono 6 6 = 36; P (Z = 3) = 2 36 = 1 18, in quanto le coppie favorevoli sono due : (1, 2), (2, 1). Calcolare P (Z = h) per h = 2, 3,..., 12. P (X > Y ) = = 5 12, 6 coppie favorevoli all evento (X = Y ) e delle restanti 30 quelle favorevoli all evento (X > Y ) sono 15. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 1 del 11 Aprile pag. 11

13 Esempio 3 Supponiamo di estrarre una carta da un mazzo di carte francesi (52 carte). Calcolare la probabilità, per ciascuno dei seguenti eventi, come rapporto tra casi favorevoli su casi possibili. 1. A= Si estrae una carta di cuori, P (A) = = B= Si estrae una carta di quadri, P (B) = = C= Si estrae una carta di colore rosso, P (C) = = 1 2. Osserva che P (C) = P (A) + P (B), perchè? 4. D= Si estrae un re, P (D) = = E= Si estrae una donna, P (E) = = F = Si estrae un fante, P (F ) = = G= Si estrae una figura, P (G) = = Osserva che P (G) = P (D) + P (E) + P (F ). 8. H= Si estrae un re o una carta rossa, P (H) = = = Osserva che P (H) P (C) + P (D). Perchè per P (H) non vale la regola della somma? G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 1 del 11 Aprile pag. 12

14 Eventi e insiemi Hai osservato che la probabilità di un evento come quello denominato C è risultata uguale alla somma delle probabilità dei due eventi A e B. Invece per un evento come H relativamente agli eventi C e D questo non avviene. Eppure si ha che A e B uniti costituiscono C; C e D uniti costituiscono H. Immaginiamo di associare a ciascun evento un insieme: ad esempio all evento A= estrazione di una carta di cuori associamo l insieme A={le carte di cuori del mazzo}. Usiamo cioè la stessa lettera maiuscola per rappresentare l evento e l insieme. Quindi all evento B= Estrazione di una carta di quadri associamo l insieme B = {le carte di quadri del mazzo}. E così via... Osserviamo che C = A B e che H = C D. Però notiamo che A B = e C D = { re di cuori, re di quadri }. Dati due eventi E 1, E 2 e considerata la loro rappresentazione insiemistica diciamo che: E 1, E 2 si dicono INCOMPATIBILI se E 1 E 2 =, E 1, E 2 si dicono COMPATIBILI se E 1 E 2. Ad esempio: A, B sono INCOMPATIBILI,mentre C, D sono COMPATIBILI. Sembra che dati due eventi incompatibili valga la seguente formula P (E 1 E 2 ) = P (E 1 ) + P (E 2 ), se E 1 E 2 =. Dati invece due eventi qualsiasi E 1, E 2 cosa possiamo dire della probabilità di E 1 E 2? G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 1 del 11 Aprile pag. 13

15 Proprietà Si può dimostrare che vale la seguente proprietà P (E 1 E 2 ) = P (E 1 ) + P (E 2 ) P (E 1 E 2 ). Pertanto, in riferimento all esempio 3, si ha P (H) = P (C D) = P (C) + P (D) P (C D) = = Esercizio 1 Supponendo di estrarre 5 carte da un mazzo di 52. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: 1. A= Si ottiene una sola Coppia 2. B= Si ottiene una Doppia Coppia 3. C= Si ottiene Poker 4. E= Si ottiene il Full ATTENZIONE. La definizione classica è valida solo se i casi possibili sono considerati ugualmente possibili. Esempio. Sia E l evento Tu superi l esame di maturità. Poichè i casi possibili sono 2 (superi o non superi) ritieni che P (E) = 1 2?. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 1 del 11 Aprile pag. 14

16 Figura 7: Ruota della Fortuna. Quanti sono i casi possibili? G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 1 del 11 Aprile pag. 15

17 Casi Possibili B= La lancetta indica il Blu V= La lancetta indica il Verde R= La lancetta indica il Rosso Figura 8: B, V, R sono ugualmente possibili? Ritieni che P (B) = P (V ) = P (R) = 1 3? G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 1 del 11 Aprile pag. 16

18 Figura 9: Casi possibili giudicati ugualmente possibili? E i = La lancetta indica il settore circolare i i = 1, 2,..., 10 G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 1 del 11 Aprile pag. 17