I grafici derivati - Funzioni esponenziali

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1 A I grafici derivati - Funzioni esponenziali A partire dal grafico della funzione y ¼ a possiamo costruire quello di altre funzioni esponenziali applicando opportune isometrie. Di seguito vediamo alcuni esempi. I esempio. Rappresentiamo il grafico di y ¼ Ricordiamo che la funzione y ¼ fðþ è la simmetrica rispetto all asse di y ¼ f ðþ, infatti la prima si ottiene dalla seconda operando le sostituzioni! e y! y Disegniamo quindi il grafico di y ¼ e costruiamo poi il suo simmetrico rispetto all asse. II esempio Costruiamo il grafico di y ¼. Possiamo ottenere il grafico di questa funzione mediante: l una prima simmetria rispetto all asse y della curva esponenziale y ¼ in modo da ottenere il grafico di y ¼, infatti la seconda si ottiene dalla prima operando le sostituzioni! e y! y l una seconda simmetria rispetto all asse di y ¼ in modo da ottenere il grafico di y ¼. In pratica, basta tracciare il grafico di y ¼ e costruire il suo simmetrico rispetto all origine.

2 III esempio Tracciamo il grafico di y ¼ þ. Se alla funzione y ¼ operiamo le sostituzioni! y! y otteniamo y ¼ cioè y ¼ þ. Costruiamo quindi il grafico di y ¼ e applichiamo ad esso la traslazione di vettore ~v ¼ ð0, Þ; l asintoto di questa funzione è la retta y ¼. IV esempio Disegniamo il grafico di y ¼ þ1. Basta tracciare il grafico di y ¼ (la base è maggiore di 1) e applicare ad esso la traslazione di vettore ~v ¼ ð 1, 0Þ cioè operare le sostituzioni! þ 1e y! y; l asintoto è ancora l asse. ESERCIZI Scegli la risposta giusta. 1 In quale delle seguenti trasformazioni la funzione di equazione y ¼ corrisponde alla y ¼? a. Nella traslazione di vettore ~v ¼ ð0, Þ. b. Nella traslazione di vettore ~v ¼ð, 0Þ. c. Nella traslazione di vettore ~v ¼ð, 0Þ. d. Nella simmetria rispetto all asse. In quale delle seguenti trasformazioni la funzione di equazione y ¼ þ corrisponde alla y ¼? a. Nella traslazione di vettore ~v ¼,. b. Nella traslazione di vettore ~v ¼,. c. Nella simmetria rispetto alla retta ¼ 0. d. Nella traslazione di vettore ~v ¼,.

3 Quale tra i seguenti è il grafico della funzione di equazione y ¼ þ 1? Quale tra i seguenti è il grafico della funzione di equazione y ¼ 1 1? 5 In quale tra le seguenti trasformazioni la funzione di equazione y ¼ þ 1 corrisponde alla y ¼? a. Nell applicazione successiva della traslazione di vettore ~v ¼ ð1, 0Þ e della simmetria rispetto all asse. b. Nell applicazione successiva della traslazione di vettore ~v ¼ð0, 1Þ e della simmetria rispetto all asse. c. Nell applicazione successiva della traslazione di vettore ~v ¼ð0, 1Þ e della simmetria rispetto all asse. d. Nell applicazione successiva della traslazione di vettore ~v ¼ð0, 1Þ e della simmetria rispetto all asse y. 6 Quale tra i seguenti è il grafico della funzione di equazione y ¼ þ? 7 Quale tra i seguenti è il grafico della funzione di equazione y ¼ 1 1?

4 8 Quale fra le seguenti è l equazione della funzione il cui grafico è in figura? a. y ¼ þ1 b. y ¼ 1 c. y ¼ þ 1 d. y ¼ 1 9 Ciascuna delle seguenti funzioni è la trasformata di quella scritta a fianco in una traslazione di vettore ~v; individua le componenti del vettore. y ¼ þ1 5 y ¼ La funzione data, che si può scrivere nella forma y þ 5 ¼ þ1,èassociata alla y ¼ nella traslazione di vettore ~v ¼ð 1, 5Þ. 0 ¼ 1 ¼ 0 þ 1 Le equazioni della trasformazione sono quindi: o anche y 0 ¼ y 5 y ¼ y 0 þ 5 1 y ¼ 1 10 y ¼ 1 y ¼ 11 y ¼ 1 1 y ¼ þ 1 y ¼ 1 y ¼ þ1 y ¼ þ1 þ9 y ¼ 1 y ¼ 7 þ y ¼ 7 15 y ¼ 9 9 Dopo aver scritto l equazione della funzione associata a quella data nella traslazione di vettore ~v, costruiscine il grafico. 16 y ¼ 5 ~v ¼ð1, 1Þ Le equazioni della traslazione sono 0 ¼ þ 1 ¼ 0 1 cioè y 0 ¼ y þ 1 y ¼ y 0 1 Dobbiamo allora operare con le sostituzioni! 1 y! y 1 L equazione della funzione corrispondente a quella data è quindi y 1 ¼ 5 1 cioe y ¼ 5 1 þ 1 Per costruire il grafico disegniamo la funzione y ¼ 5 (in blu nella figura) ed operiamo su di essa con la traslazione del vettore ~v assegnato (in verde nella stessa figura).

5 17 y ¼ ~v ¼ð1, 1Þ 18 y ¼ ð,5þ ~v ¼ð 1, 1Þ 19 y ¼ 5 ~v ¼ð0, 1Þ 0 y ¼ ~v ¼ð1, 0Þ 1 y ¼ 1 ~v ¼ 1, y ¼ ~v ¼ ð, 1Þ 7 Costruisci il grafico delle seguenti funzioni. y ¼ 1 þ1 L equazione data può essere riscritta nella forma y ¼ þ 1 La funzione base è y ¼ (in blu); ad essa dobbiamo applicare la traslazione di vettore ~v ¼ð0, 1Þ. L asintoto orizzontale diventa la retta y ¼ 1. þ1 5 y ¼ 1 þ1 y ¼ 1 6 y ¼ y ¼ þ 1 8 y ¼ þ 1 9 y ¼ y ¼ 1 1 y ¼ þ 1 y ¼ þ1 y ¼ 1 1 þ y ¼ 1 5 y ¼ 1 þ 6 y ¼ 1 þ 7 y ¼ þ 1 Risultati di alcuni esercizi. 1 b. b. b. d. 5 b. 6 c. 7 b. 8 b. 10 ~v ¼ð1, 0Þ 11 ~v ¼ð0, 1Þ 1 ~v ¼ð0, 1Þ 1 ~v ¼ð 1, Þ 1 ~v ¼ð, 0Þ 15 ~v ¼ð 1, þ 9Þ 17 y ¼ y ¼ð,5Þ þ1 þ 1 19 y ¼ 5 þ1 0 y ¼ 1 1 þ 1 y ¼ 1 y ¼ 1 7