I triangoli e i criteri di congruenza

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1 CAPITOLO 2 I triangoi e i criteri di congruenza 1. I POLIGONI CON GEOGEBRA La costruzione di un poigono avviene mediante 'uso deo strumento 5-Poigono; a guida sintetica che si trova a ato dea Barra degi strumenti ci avvisa che dobbiamo: Fare cic su tutti i vertici e nuovamente su punto iniziae Vae a dire che se i poigono eá un quadriatero ABCD, dobbiamo ciccare ne'ordine sui punti A, B, C, D edi nuovo su A, atrimenti i poigono non viene "chiuso". Mediante a scheda ProprietaÁ de Menu contestuae (che si apre con un cic de tasto destro de mouse quando i puntatore si trova su poigono) possiamo poi modificare i coore e i iveo di riempimento, o stie e o spessore de tratto. Nee esercitazioni che seguono avoreremo con i triangoi. Come prima cosa ci chiediamo quanti e quai eementi eá necessario assegnare per costruire un triangoo. Osserviamo aora che, in base ai criteri di congruenza, due triangoi sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti: 1 due ati e 'angoo fra essi compreso 2 un ato e i due angoi ad esso adiacenti 3 i tre ati. EÁ quindi possibie costruire un triangoo assegnando gi eementi indicati dai criteri in quanto gi atri vengono ad essere automaticamente individuati. Esercitazione 1. Costruire un triangoo dati due ati e 'angoo fra essi compreso Ne piano eucideo disegniamo due segmenti e un angoo mediante due semirette a e b aventi 'origine V in comune (usa i menu contestuae per rinominare i punto). Dobbiamo adesso trasportare i due segmenti ciascuno su uno dei ati de'angoo. Per faro possiamo usare o strumento Trasporto di un segmento che abbiamo costruito ne capitoo 1 oppure seguire questa procedura: 1 usando o strumento 6-Compasso disegniamo a circonferenza di centro V, vertice de'angoo, e avente come raggio i primo ato: seezioniamo ne'ordine i primo ato e i punto V; 2 determiniamo i punto di intersezione dea circonferenza con uno dei ati de'angoo, per esempio i ato a: usiamo o strumento 2-Intersezione di due oggetti e chiamiamo P questo punto; 3 ripetiamo i passi 1 e 2 per trasportare i secondo ato su'atro ato de'angoo e chiamiamo Q i punto di intersezione. Abbiamo in questo modo individuato i tre vertici de triangoo. 4 Come utimo passo disegniamo i triangoo VPQ con o strumento 5-Poigono seezionando in senso orario oppure Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 2: I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA 1

2 antiorario i tre vertici e come utimo di nuovo i primo; per esempio cicchiamo ne'ordine su V, P, Q, V. Per una migiore visuaizzazione de triangoo, usando i Menu contestuae, eá poi possibie nascondere gi oggetti ausiiari che sono serviti aa costruzione (togiere a spunta su Mostra oggetto), come per esempio i punti indicati con F e G e e due circonferenze. I passi dea costruzione geometrica I programma GeoGebra possiede uno strumento di grande utiitaá che permette di visuaizzare i passi che sono stati affrontati per eseguire una costruzione; si accede ad esso con i comando Visuaizza/Protocoo di costruzione. Come si vede anche daa figura a ato, e che eá reativa aa precedente esercitazione, nea finestra reativa a questo comando, sono eencati ne'ordine tutti gi oggetti man mano costruiti ed eá anche possibie ripercorrere a ritroso, oppure in avanti, tutto i processo, sia usando i quattro pusanti che si trovano ne'utima riga dea finestra, sia facendo un doppio cic su ciascuna riga de protocoo. I primo pusante riporta a costruzione direttamente a passo iniziae, i quarto a'utimo passo; i due intermedi fanno rispettivamente retrocedere o avanzare a costruzione di un passo aa vota. A centro eá indicato i passo corrente rispetto a numero compessivo dei passi. Uno strumento simie eá a Barra di navigazione per i passi dea costruzione a cui si accede sempre da menu Visuaizza. In questa barra, che si apre normamente nea parte inferiore dea pagina grafica, ci sono gi stessi quattro pusanti de Protocoo di costruzione e, piuá a destra, si trova i pusante Esegui che consente a ricostruzione passo passo de'intera figura con un intervao di tempo fra un passo e 'atro indicato da numero di secondi nea casea a fianco. A termine dea riga un'icona permette di accedere direttamente a Protocoo di costruzione. Esercitazione 2. Costruire un triangoo dati i tre ati Disegniamo ne piano eucideo tre segmenti a, b, c, di unghezze non moto diverse tra oro, e assumiamo i ato c come base de triangoo. La costruzione eá moto sempice: 1 con centro in uno degi estremi de ato c tracciamo a circonferenza avente per raggio i segmento a (strumento 6-Compasso); 2 con centro ne'atro estremo de ato c tracciamo a circonferenza avente per raggio i segmento b; 3 troviamo i punto di intersezione dee due circonferenze; 4 disegniamo i triangoo avente per vertici gi estremi de ato c e i punto trovato a passo 3. 2 Tema 5 - Cap. 2: I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

3 Abbiamo cosõá disegnato i triangoo richiesto. A questo punto si puoá controare se questa costruzione funziona sempre. Proviamo a modificare a unghezza de ato a facendoa dapprima diminuire e poi aumentare: in modaitaá 1-Muovi usiamo i metodo de trascinamento su uno dei punti estremi. Ci accorgiamo che, ad un certo punto, e due circonferenze non si intersecano piuá e quindi non eá piuá possibie definire i triangoo. Tutto cioá eá giustificato da teorema reativo ae disuguagianze triangoari: in ogni triangoo ciascun ato eá minore dea somma degi atri due e maggiore dea oro differenza. Quando facciamo diminuire i ato a, ad un certo punto c diventa maggiore di a b; quando o facciamo aumentare, c diventa minore di a b e e disuguagianze triangoari non sono piuá rispettate. Aa fine possiamo anche rivedere 'intera costruzione utiizzando i Protocoo di costruzione, oppure a Barra di navigazione. 2. I POLIGONI CON CABRI Gi strumenti indispensabii per eseguire una quaunque costruzione geometrica sono a riga ed i compasso: con a riga tracciamo rette, semirette e segmenti, con i compasso tracciamo circonferenze, archi, trasportiamo segmenti. Abbiamo giaá imparato ad usare gi strumenti de primo tipo ne precedente capitoo, in questo ci serviremo anche degi strumenti egati a'uso de compasso che sono i seguenti: n da'icona Curve (a quarta da sinistra): Circonferenza che permette di costruire una circonferenza che ha centro in un punto e che passa per un atro punto (questo secondo punto definisce in sostanza a unghezza de raggio) Arco di Circonferenza che permette di tracciare un arco di circonferenza dando ne'ordine i primo estremo de'arco, un punto de'arco ed i secondo estremo; in questo caso non eá noto a priori dove si trovi i centro dea circonferenza. n da'icona Costruisci (a quinta da sinistra) hai a disposizione o strumento: Compasso che permette di costruire una circonferenza dando i raggio ed i centro; i raggio puoá essere assegnato ciccando su un segmento giaá disegnato oppure su due punti che ne rappresentano gi estremi. Nea figura a ato, come eá anche evidenziato, abbiamo dato un esempio di utiizzo di questi tre strumenti. Esercitazione 1. La costruzione di un poigono La procedura eá moto sempice se eseguita con o strumento Poigono da'icona Rette (a terza da sinistra): dopo aver seezionato questo strumento, cicca in un punto de piano (primo vertice de poigono) e poi sugi atri punti che ne rappresentano i vertici seguendo 'ordine orario oppure antiorario; da utimo, per "chiudere" i poigono, cicca di nuovo su primo vertice. La posizione di ciascun vertice puoá poi essere modificata mediante trascinamento. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 2: I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA 3

4 I poigono puoá anche essere coorato con o strumento Riempimento de'icona Disegna ('utima a destra): dopo aver seezionato i coore, basta spostare i mouse sua poigonae che deimita i poigono (compare i messaggio Questo poigono con i disegno de secchieo de coore) e ciccare. La procedura per costruire un triangoo eá anaoga; tuttavia Cabri mette a disposizione o strumento Triangoo con i quae non eá necessario chiudere i poigono: basta indicare i tre vertici e a poigonae viene tracciata automaticamente. Esercitazione 2. La costruzione di un triangoo isoscee Non esiste uno strumento predefinito per disegnare un triangoo isoscee e ogni vota occorre seguire a procedura appropriata a seconda degi eementi che sono noti. Per eseguire queste costruzioni ci servono anche gi strumenti di trasporto dei segmenti e degi angoi che abbiamo imparato ad usare ne precedente capitoo; conviene quindi aprire queste macro in modo da avere a disposizione fra gi strumenti de'icona Macro. n Costruire un triangoo isoscee che abbia un segmento a come base e un segmento b come ato obiquo: disegniamo a semiretta dea base e trasportiamo i segmento a su di essa usando o strumento Compasso tracciamo e due circonferenze che hanno centro negi estremi dea base e per raggio i segmento b: cicca prima su segmento b (i raggio) e poi su'estremo dea base i vertice de triangoo eá uno dei due punti di intersezione dee due circonferenze; essi si individuano con o strumento Intersezione di due oggetti de'icona Punti (a seconda da sinistra) i triangoo puoá essere adesso tracciato con o strumento Triangoo. A questo punto tutti gi oggetti che sono serviti aa costruzione (ne nostro caso a semiretta dea base e e due circonferenze) possono essere nascosti con o strumento Mostra/Nascondi de'icona Disegna; dopo aver seezionato o strumento basta ciccare su questi oggetti: iniziamente essi appaiono tratteggiati, quando seezioni a modaitaá Puntatore scompaiono da disegno. Per rivederi basta agire di nuovo su Mostra/Nascondi. n Costruire un triangoo isoscee che abbia un segmento a come base ed un angoo come angoo aa base: disegna a semiretta dea base e trasporta i segmento a su di essa trasporta 'angoo su tae semiretta (i vertice eá ne'estremo sinistro dea base) definisci una seconda semiretta che contiene a e che ha 'origine ne'atro estremo dea base e trasporta di nuovo 'angoo (i vertice eá ne'estremo destro dea base) definisci i terzo vertice de triangoo ridisegna i triangoo e riempio con un coore a tua sceta. 4 Tema 5 - Cap. 2: I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

5 Esercitazione 3. La costruzione di un triangoo e i criteri di congruenza Un triangoo si puoá disegnare se sono noti i suoi vertici; grazie ai criteri di congruenza questi utimi si possono individuare se de triangoo sono noti ameno un ato e atri due eementi, per esempio un atro ato e 'angoo fra essi compreso (I criterio), oppure gi angoi ad esso adiacenti (II criterio), oppure ancora gi atri due ati (III criterio). Ti diamo e indicazioni essenziai per i primi due criteri e asciamo come proposta di avoro a costruzione in base a terzo. n Costruzione di un triangoo noti due ati e 'angoo fra essi compreso (primo criterio). Basta disegnare 'angoo, trasportare i segmenti sui suoi ati e competare i triangoo con i terzo segmento. n Costruzione di un triangoo noti un ato e i due angoi ad esso adiacenti (secondo criterio). Puoi reaizzare questa costruzione trasportando i due angoi su ato assegnato. Le figure che seguono iustrano i risutato che si ottiene nei due casi. ESERCIZI 1. Costruisci un triangoo isoscee e verifica che a mediana e a bisettrice reative aa base sono rappresentate dao stesso segmento. 2. Costruisci un triangoo isoscee che abbia base e ato obiquo di unghezze assegnate; trova poi e ampiezze dei suoi angoi. 3. Costruisci un triangoo equiatero di ato assegnato. 4. Disegna due triangoi isoscei aventi a base in comune; verifica che a retta che passa per i vertici non comuni dei due triangoi eá mediana e bisettrice. 5. Disegna un triangoo isoscee ABC di vertice C e traccia e mediane AD e BE reative ai ati congruenti. Verifica che tai mediane sono congruenti e che i triangoi ADB e AEB sono congruenti. 6. Disegna un triangoo equiatero e i triangoo che si ottiene congiungendo i punti medi dei suoi ati; verifica che tae triangoo eá anch'esso equiatero. 7. Di un triangoo sono assegnati due ati e 'angoo opposto a uno di essi. Determina i numero di triangoi che si possono costruire con queste informazioni. 8. Due segmenti AB e CD, comunque disposti ne piano, sono e basi di atrettanti triangoi isoscei che hanno i vertice P in comune. Trova i vertice P e disegna i triangoi. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 2: I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA 5

6 Matematica e storia La storia dea geometria NecessitaÁ pratiche, curiositaá e desiderio di conoscere hanno sempre spinto 'uomo ad indagare i mondo che o circonda; e prime figure geometriche nacquero probabimente in epoche primitive da tentativo di riprodurre i disco de Soe e dea Luna o a figura di un animae o de'uomo stesso. Nee civitaá piuá antiche, quae quea egiziana, e conoscenze geometriche erano giaá abbastanza sviuppate; bisognava ricacoare i confini dei terreni che ogni piena de Nio regoarmente canceava, a costruzione dee piramidi e dei tempi comportava giaá anche dee conoscenze ad un certo iveo di astrazione. Ma per osservare uno sviuppo maggiore di questo processo di astrazione occorre arrivare a VII secoo a.c., quando i matematici greci, ed in specia modo Taete, vennero a conoscenza, grazie soprattutto a numerosi viaggi in Oriente, degi studi di popoi mediorientai e i rieaborarono in chiave piuá formae. Nea cutura greca si priviegiava o studio teorico, distinto dae necessitaá pratiche, e questa tendenza, che a distingueva da atre cuture, si accentuoá con 'affermarsi dea fiosofia di Patone nea prima metaá de IV secoo a.c.. Questo processo di progressivo aontanamento dea geometria dai suoi contenuti concreti per diventare sempre piuá una costruzione de pensiero che studia i puri egami fra figure, trovoá quindi un ambiente ideae fra gi studiosi dea Magna Grecia. Pitagora prima (VI secoo a.c.) ed Eudosso poi (IV secoo a.c.) diedero un notevoe contributo in questo senso, ma 'intervento piuá importante fu queo di Eucide (300 a.c. circa), uno dei piuá famosi protagonisti dea storia dea matematica. Nea sua opera, i 13 ibri degi Eementi, che sono i primo trattato scientifico arrivato fino a noi, Eucide raccose e conoscenze geometriche de'epoca e e espose in modo sistematico, astratto e generaizzato, creando cosõá un modeo di teoria matema- Eucide tica che rimase insuperato per secoi. Nee epoche successive, i "metodo geometrico", esposto nei ibri di Eucide fu stimato come i modo certo per ottenere risutati rigorosi e fu appicato ao studio di atre scienze e persino dea fiosofia. Per secoi Eucide fu considerato un'autoritaá scientifica indiscutibie e a sua geometria (a cosiddetta geometria eucidea) costituõá i modeo di base per a rappresentazione dea reataá in gran parte de mondo. Essa infuenzoá non soo e dottrine specuative, ma 'arte, 'architettura, e a stessa psicoogia de'uomo, i suo modo di vedere e cose e di pensare. Nei suoi ibri Eucide segue uno schema ogico ben preciso. Per prima cosa vengono date e definizioni, chiamate "termini", cioeá a spiegazione de significato dee paroe usate ne seguito. Successivamente vengono enunciate dee proposizioni non dimostrate, che sono di due tipi: ± e nozioni comuni, suggerite a chiunque daa reataá; per esempio: "cose uguai ad una stessa cosa sono uguai tra oro"; ± ipostuati, enunciati che si chiede di ritenere veri e che sono riferiti piuá specificatamente agi enti geometrici (postuato eá 'anaogo di cioá che noi oggi chiamiamo assioma); per esempio: "tutti gi angoi retti sono uguai fra oro". Ogni atra proposizione si chiama teorema e viene dedotta da nozioni comuni e postuati mediante processi di ragionamento chiamati dimostrazioni. Naturamente Eucide non fu i soo importante studioso di geometria de'antichitaá. Un contributo originae nea storia dea geometria si deve, ad esempio, ad Archimede di Siracusa ( a.c.), che, a contrario de'autore degi Eementi, fu interessato sempre aa souzione di probemi tecnici e pratici e sotanto in momenti successivi ne fornõá un'eaborazione teorica. Egi risose in maniera geniae probemi riguardanti a misura di aree di figure imitate da inee curve, oppure a misura di voumi, per esempio queo dea sfera. Con Archimede si chiuse un'epoca particoarmente feice per a geometria. Infatti i Romani non diedero nessun contributo significativo a questa scienza e neanche ne Medioevo ci furono progressi importanti. Fu sotanto verso a fine de 1500 e 'inizio de 6 Tema 5 - Cap. 2: I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

7 1600, con i Rinascimento e a conseguente riscoperta dei testi cassici (in particoare degi Eementi di Eucide), che si risvegioá 'interesse per a geometria. Con i avori di Cartesio ( ) e di Pierre de Fermat ( ) nacque a geometria anaitica, che permetteva di studiare e reazioni tra figure geometriche, traducendoe in reazioni agebriche, spesso piuá agevoi da sviuppare. Questo metodo rese Cartesio possibii grandi progressi neo studio dee curve, grazie aa contemporanea nascita de cacoo differenziae ed integrae, e ne 1795, con a pubbicazione di GeÂomeÂtrie descriptive, Gaspard Monge sistemoá definitivamente da un punto di vista teorico 'appicazione de'anaisi matematica aa geometria, studiando anche quea deo spazio con i sistema dee coordinate cartesiane. Monge introdusse anche a geometria proiettiva, cioeá i metodo, usato anche oggi ne disegno tecnico, di proiettare 'oggetto da rappresentare su due piani perpendicoari fra oro, facendo poi ruotare i piano verticae in modo da fari coincidere. Fra a fine de Settecento e 'inizio de'ottocento, comincioá a sviupparsi a critica ai fondamenti dea geometria eucidea, (giaá avanzata sporadicamente da studi precedenti), con particoare riferimento a V postuato, i quae afferma che per un punto esterno ad una retta passa una e una soa paraea aa retta data. I primo che tentoá o sviuppo di una geometria indipendente da questo postuato fu Geroamo Saccheri ( ); egi non metteva in dubbio a vaiditaá di tae asserto, ma era convinto che esso potesse essere dedotto dae precedenti proposizioni. Ne tentativo di provare a sua tesi partendo daa negazione de V postuato, egi dedusse tutta una serie di teoremi di geometria non eucidea. La sua opera conobbe una certa fama dopo a sua morte, ma poi andoá dimenticata. A'inizio de XIX secoo, Kar Friedrich Gauss ( ) comincioá a pensare di costruire una geometria che non ritenesse vaido i quinto postuato di Eucide, ma non pubbicoá mai i risutati dei suoi studi. Su questa idea avorarono anche, indipendentemente 'uno da'atro, i matematico russo Nikoaj Ivanovic Lobacewskji ( ) e 'ungherese Janos Boyai ( ), che costruirono una geome- Gauss tria basata sua considerazione che, data una retta r ed un punto P fuori di essa, esistesse piuá di una paraea per P a r ; a questa geometria fu dato i nome di geometria iperboica. Un sempice modeo che puoá far capire i presupposti su cui si basa a geometria iperboica eá i seguente. Consideriamo una circonferenza e chiamiamo punto un quasiasi punto interno a (non sua circonferenza); chiamiamo piano 'insieme dei punti interni a e chiamiamo retta 'insieme dei punti di una corda dea circonferenza, escusi gi estremi dea corda. In questo piano vagono i primi assiomi dea geometria eucidea, per esempio due punti distinti C e D individuano una e una soa retta, a retta AB divide i piano in due semipiani in cui vae ancora 'assioma di partizione (figura 1), ma non eá piuá vero che a paraea ad AB per i punto P eá unica (figura 2): ci sono infinite rette che non intersecano AB, comprese e due rette rosse PA e PB (ricorda che abbiamo detto che e rette sono prive degi estremi) che deimitano in un certo senso i campo dee rette che non intersecano AB. Figura 1 Figura 2 Nea geometria iperboica vagono ancora moti teoremi dea geometria eucidea, per esempio gi angoi opposti a vertice sono ancora congruenti ed eá ancora vero che 'angoo esterno di un triangoo eá maggiore degi angoi interni non adiacenti; Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 2: I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA 7

8 non eá piuá vero invece che a somma degi angoi interni di un triangoo eá un angoo piatto ed i triangoi simii non esistono piuá. Successivamente George F.B. Riemann ( ), sempre negando i quinto postuato di Eucide, costruõá un'atra geometria, detta geometria eittica, basata su presupposto che per un punto esterno ad una retta non si possa condurre acuna paraea. Un modeo di geometria eittica eá costruito mediante una sfera, in Riemann cui chiamiamo piano a superficie dea sfera, punto ogni coppia di punti diametramente opposti, retta ogni circonferenza massima dea sfera. Con riferimento aa figura 3, sono per esem- Figura 3 pio punti e coppie A, A 0, B, B 0, P, P 0 ; a retta r che passa per i punti A, A 0 e B, B 0 eá a circonferenza massima che passa per A, A 0, B, B 0. Anche in questo caso sono ancora vaidi moti assiomi dea geometria eucidea, ma e rette paraee non esistono piuá: preso un punto P, P 0 ne piano cosõá definito, non eá possibie trovare una retta per tae punto che non intersechi a retta r. Per cercare di capirne i motivo puoi fare i paragone con un'arancia: se tagi a buccia in iste moto sottii che equivagono ae circonferenze massime, non riesci a fare in modo che ci siano due iste che non si incontrano. I motipicarsi di queste teorie e 'impossibiitaá di verificare empiricamente portoá scompigio ne mondo dei matematici, fincheâ Feix Kein ( ) nee sue Considerazioni comparative intorno a ricerche geometriche recenti (1872), pubbicate in occasione de suo ingresso a'universitaá di Kein Erangen e per questo piuá note come Programma di Erangen, evidenzioá una struttura generae che comprende in seâ e varie discipine geometriche. Ne 1899 David Hibert ( ) pubbicoá I fondamenti dea geometria, una sistemazione rigorosa dee varie teorie assiomatiche. Egi considera tre Hibert sistemi di oggetti che chiama punti, rette e piani, a cui descrizione competa segue dagi assiomi proposti, senza acun riferimento a'intuizione. Le nozioni geometriche non hanno quindi piuá un carattere di veritaá assouto, bensõá reativo: esse vengono descritte dagi assiomi cui devono obbedire. 8 Tema 5 - Cap. 2: I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

9 1 Quanti triangoi equiateri sono presenti nea seguente figura? a. 16 b. 20 c. 25 d. 26 e. 27 e: Š es. 1 2 Quanti pentagoni si vedono nea figura a fianco? a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 d: Š es. 2 3 Nea figura a ato vedi un triangoo ABC in cui da vertice A partono due diversi segmenti con secondo estremo su ato opposto, e o stesso accade da vertice B. I quattro segmenti cosõá tracciati ripartiscono i triangoo in 9 regioni disgiunte (savo per i bordi). Se da ciascuno dei due vertici A e B si tracciano quattro diversi segmenti, invece di due, fino ad incontrare i ato opposto, qua eá i numero di regioni (disgiunte, savo per i bordi) in cui risuta ripartito i triangoo? a. 16 b. 25 c. 36 d. 42 e. 49 b: Š es. 3 4 Per i dodici anni di Jacob, i suoi genitori hanno ordinato a pasticciere dei doci moto particoari... a forma di triangoo con i perimetro di 12 cm. Tutti i ati dei triangoi hanno una misura in cm corrispondente ad un numero intero. Quante forme diverse i pasticciere potraá reaizzare? [3 forme] 5 Quando non ha niente da fare, Cara gioca con i fiammiferi. Oggi ne ha disposti nove sua sua scrivania, come ne disegno. Spostandone poi 3, riesce a formare 5triangoi. Disegna a figura ottenuta da Cara. es. 5 6 Un unico pezzo di corda passa attraverso i fori di un fogio di cartone, come mostrato nea prima figura. Quae dei seguenti disegni non puoá essere cioá che si vede su'atra faccia de cartone? e: Š a. b. c. d. e. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 2: I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA 9

10 Le costruzioni con i Geomag Un gioco "matematicamente" creativo eá senza dubbio Geomag, un gioco di costruzione reaizzato con barre magnetiche di unghezza variabie e sfere di acciaio con e quai si possono costruire una infinitaá di forme e figure geometriche bidimensionai e tridimensionai, come per esempio quea in figura a ato. Anche se probabimente non hai Geomag a casa tua o a scuoa, puoi uguamente eseguire e costruzioni proposte negi esercizi che seguono usando dee strisce di cartoncino o dee cannucce per e bibite, tenute insieme da egacci simii a quei che si usano per chiudere i sacchetti per a conservazione dei cibi. 1 Per verificare una dee proprietaá piuá interessanti de triangoo, vae a dire a sua struttura rigida, si puoá costruire un quadriatero, appoggiaro su piano de tavoo e poi, premendo su due vertici opposti, cercare di deformare i poigono; queo che si ottiene eá visibie in figura. Quae operazione si deve fare per rendere rigido i quadriatero? 2 Qua eá i numero minimo di segmenti che occorre tracciare per rendere rigida a struttura nea figura a ato? 3 Quanti triangoi isoscei diversi si possono costruire con 5barrette tutte uguai fra oro? E con 9 oppure 11? 4 Con un certo numero di barrette di due unghezze diverse si possono costruire e figure che seguono. In ciascuna figura individua: a. i triangoi isoscei b. i triangoi equiateri c. i triangoi congruenti. 1 basta tracciare una diagonae , 2, 3 10 Tema 5 - Cap. 2: I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA