Le funzioni goniometriche e i triangoli

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1 CAPITOLO 1 Le funzioni goniometriche e i triangoi 1. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE CON GEOGEBRA Per megio comprendere come vengono generati i grafici dee funzioni goniometriche fondamentai eseguiamo una particoare costruzione con GeoGebra che, sostanziamente, ripercorre i passi che abbiamo visto nea parte di teoria per i tracciamento de grafico. Segui con attenzione a procedura per tracciare i grafico dea funzione seno. Punto 1 Definiamo 'origine e disegniamo a circonferenza goniometrica aa sinistra de'asse y ponendo i centro ne punto di coordinate 2, 0 : attiviamo o strumento 2-Intersezione di due oggetti e, ciccando sugi assi cartesiani, definiamo 'origine dando a punto i nome O seezioniamo o strumento 6-Circonferenza dati centro e raggio cicchiamo su punto 2, 0 indichiamo 1come misura de raggio. Punto 2 Definiamo un angoo con vertice ne centro dea circonferenza: attiviamo o strumento 2-Nuovo punto, cicchiamo su un punto dea circonferenza e chiamiamo B questo punto attiviamo o strumento 8-Angoo e definiamo 'angoo ciccando ne'ordine su O, i centro dea circonferenza, B. Punto 3 Rappresentiamo su'asse x i punto D che ha come ascissa 'ampiezza de'angoo : attiviamo o strumento 3-Segmento di data unghezza da un punto cicchiamo su'origine indichiamo come unghezza de segmento diamo a punto i nome D. Se in modaitaá Muovi provi a spostare i punto B sua circonferenza, anche i punto D si muove su'asse x. Punto 4 Rappresentiamo i punto P che ha come ascissa e come ordinata 'ordinata di B, che rappresenta i seno di : nea riga di inserimento scriviamo: P ˆ, y B. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI 1

2 Punto 5 Tracciamo i grafico dea funzione seno: con i tasto destro de mouse cicchiamo su punto P mettiamo i segno di spunta suo strumento Traccia attiva in modaitaá Muovi spostiamo moto entamente i punto B sua semicirconferenza. Quando i punto B si muove ungo a circonferenza, anche i punto D e, di conseguenza, i punto P si muovono e i punto P ascia a traccia de suo percorso; abbiamo cosõá costruito i grafico dea funzione y ˆ sin x ne'intervao che va da 0 a 360. In modo anaogo si puoá costruire i grafico dea funzione coseno e queo dea funzione tangente. I grafici dee funzioni goniometriche possono ovviamente essere costruiti anche con Derive, ma con questo software non eá possibie evidenziare a costruzione geometrica. 2. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE CON EXCEL I vaore de seno, de coseno, dea tangente di un angoo si possono trovare usando Exce come una sempice cacoatrice. Vediamo e principai funzioni che operano sugi angoi; ricordiamo che una formua di Exce inizia sempre con i simboo ˆ. n La costante eá definita daa funzione PI.GRECO( ) Per esempio: ˆ PI.GRECO( )/4 restituisce i vaore numerico decimae corrispondente a 4. n Le funzioni goniometriche sono definite dae seguenti funzioni: SEN(argomento) COS(argomento) TAN(argomento) e restituiscono rispettivamente i seno, i coseno e a tangente de'angoo i cui vaore in radianti costituisce 'argomento dea funzione. Se 'angoo eá espresso in gradi, occorre prima fare a conversione in radianti. Per esempio: ˆ COS(2) restituisce i vaore de coseno di 2 radianti, cioeá 0,416146::: 2 Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

3 ˆ SEN(60*PI.GRECO( )/180) restituisce i vaore de seno di 60 dopo avero convertito in radianti motipicandoo per i fattore di conversione 180. La conversione in radianti di un angoo a cui ampiezza eá espressa in gradi puoá anche essere fatta con una funzione specifica: n RADIANTI(n) Per esempio: = (RADIANTI(30) restituisce i vaore in radianti di un angoo di 30. n La conversione da radianti a gradi si esegue motipicando per i fattore di conversione 180, oppure con a funzione GRADI(n) dove n eá 'ampiezza de'angoo in radianti. Per esempio: = GRADI(PI.GRECO( )/6) restituisce 30 che eá 'ampiezza in gradi de'angoo che in radianti misura 6. Vediamo adesso come sfruttare queste funzioni per risovere i seguente probema: noto i vaore dea funzione goniometrica di un angoo, trovare i vaori dee atre funzioni. Supponiamo dapprima di conoscere i vaore di sin e di voer trovare queo dee atre funzioni goniometriche. Prepariamo i fogio di avoro come iustrato daa seguente descrizione. nee cee da A4 a B7 abbiamo inserito una egenda per specificare a tipoogia de'angoo identificandoa con un numero intero da 1a 4; questo a fine di poter attribuire ae funzioni goniometriche di i segno corretto. nea cea B9 si deve inserire ogni vota i dato reativo aa tipoogia usando i numeri da 1a 4 nea cea E4 si deve inserire i vaore di sin (nea figura eá inserito i vaore 0,6 con tipoogia 2). Le formue da inserire nee cee dea coonna E sono e seguenti: E5: ˆ SE(O(B9ˆ1;B9ˆ4);RADQ(1 E4^2); RADQ(1 E4^2)) p dove, a seconda dea tipoogia, viene appicata a formua 1 sin 2 oppure p 1 sin 2 E6: ˆ E4/E5 dove viene appicata a formua tan ˆ sin ; in questo caso non eá necessario testare a tipoogia de'angoo in cos quanto giaá stabiita da vaore de seno e de coseno. In questo modo, ogni vota che si attribuisce un vaore a seno di un angoo e si indica a sua tipoogia, vengono cacoati i vaori di tutte e atre funzioni. A B C D E 1 FUNZIONI GONIOMETRICHE 2 3 TIPOLOGIA DELL'ANGOLO 4 0 < x < 90 1 seno 0, < x < coseno 0, < x < tangente 0, < x < TIPOLOGIA 2 10 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI 3

4 Lo strumento Ricerca obiettivo Supponiamo adesso di conoscere come dato di ingresso i vaore di cos, per esempio cos ˆ 0,25 e di sapere che appartiene a primo quadrante; possiamo preparare un fogio anaogo a questo sostituendo acune formue, oppure possiamo usare o strumento di Exce Ricerca obiettivo che si trova ne menu Strumenti. Questo comando consente di risovere i probemi inversi di queo impostato; ne nostro caso ci consentiraá di usare o stesso fogio appena preparato per trovare i vaori dee atre funzioni goniometriche conoscendo una quasiasi di esse. Dopo aver impostato a 1a cea dea tipoogia de'angoo, a procedura da seguire eá a seguente: si attiva i comando Ricerca obiettivo che apre a finestra a ato nea casea Imposta cea si deve inserire i nome dea casea nea quae si vuoe inserire i dato de probema, ne nostro caso a cea E5 che rappresenta i vaore de coseno (basta ciccare sua cea, osserva i riferimento assouto) nea casea A vaore si deve inserire i dato, ne nostro caso i vaore 0,25 de coseno nea casea Cambiando a cea si deve inserire i nome dea cea che contiene i dato da cambiare, cioeá a cea E4 che ne probema iniziae aveva come dato di ingresso i vaore di sin. Confermando e scete con i pusante OK, Exce modifica i vaore di quest'utima cea fincheâ trova queo che rende vera a formua specificata nea casea Imposta cea. Puoi ripetere a procedura attribuendo un vaore a tan o a una dee atre funzioni. 3. LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI CON EXCEL I fogio eettronico, con e sue capacitaá di cacoo, ci puoá essere di aiuto per impostare a risouzione dei triangoi nei vari casi che si possono presentare. Distingueremo i caso dei triangoi rettangoi da queo dei triangoi che non o sono, dando dee brevi indicazioni su tipo di cacoo da effettuare I triangoi rettangoi Con riferimento aa figura 1, i casi che si possono presentare sono i seguenti. n Conosciamo a misura de'ipotenusa e quea di un angoo acuto, cioeá conosciamo a e. Ricaviamo che ˆ 90 b ˆ a sin c ˆ a cos Figura 1 n Conosciamo a misura de'ipotenusa e quea di un cateto, cioeá conosciamo a e b. Ricaviamo che p c ˆ a 2 b 2 sin ˆ b ˆ 90 a n Conosciamo a misura dei cateti, cioeá conosciamo b e c. Ricaviamo che p a ˆ c 2 b 2 tan ˆ b ˆ 90 c n Conosciamo a misura di un cateto e quea di un angoo acuto, cioeá conosciamo b e. Ricaviamo che ˆ 90 c ˆ b tan a ˆ b cos 4 Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

5 Apriamo aora un fogio di avoro e impostiamo i cacoo inserendo stringhe, dati e formue nee cee specificate, come eá indicato di seguito. Nea preparazione de fogio, di cui puoi vedere un esempio in figura, abbiamo tenuto conto de fatto che e funzioni goniometriche di Exce, come abbiamo giaá visto ne'esercitazione de'unitaá precedente, usano angoi a cui misura eá espressa in radianti mentre noi prevediamo di assegnare e misure degi angoi in gradi (abbreviato ne fogio di esempio in "gr"); quando uno dei vaori noti eá un angoo, eá quindi prevista una cea in cui cacoare i corrispondente vaore de'angoo in radianti (abbreviato ne fogio di esempio in "rad"). A B C D E F G H 1 RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI o CASO - ipotenusa e angoo acuto: a, beta RISULTATI 4 a beta (gr) beta (rad) gamma (gr) b c ,5 0, ,5 4, , o CASO - ipotenusa e cateto: a, b RISULTATI 8 a b beta (gr) gamma (gr) c , , o CASO - i due cateti: b, c RISULTATI 12 b c beta (gr) gamma (gr) a , , , o CASO - cateto e angoo acuto: b, gamma RISULTATI 16 b gamma (gr) gamma (rad) beta (gr) c a ,57 0, ,43 13, , Le funzioni di Exce che consentono di ricavare 'ampiezza di un angoo nota una dee sue funzioni goniometriche sono: n ARCSEN x n ARCCOS x n ARCTAN x dove x eá i vaore dea funzione goniometrica. Per esempio ARCSEN(1/2) restituisce 'angoo i cui seno vae 1 2. Reativamente a primo caso, abbiamo posto in A5 a misura de'ipotenusa a (10) e in B5 a misura in gradi nea forma decimae de'angoo 27,5. Le formue da inserire sono poi e seguenti: C5 ˆ RADIANTI(B5) (formua per trasformare a misura di in radianti) F5 ˆ 90 B5 (formua per i cacoo di in gradi) G5 ˆ A5 SEN C5 (formua per i cacoo di b) H5 ˆ A5 COS C5 (formua per i cacoo di c) Prosegui impostando gi atri casi come eá iustrato ne'esempio; ti indichiamo soamente e formue da inserire nee cee specificate asciando a te i compito di inserire e stringhe. F9 ˆ GRADI ARCSEN B9=A9 (cacoo di in gradi) G9 ˆ 90 F9 (cacoo di in gradi) H9 ˆ RADQ A9 A9 B9 B9 (cacoo di c) F13 ˆ GRADI ARCTAN A13=B13 (cacoo di in gradi) G13 ˆ 90 F13 (cacoo di in gradi) H13 ˆ RADQ A13 A13 B13 B13 (cacoo di a) Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI 5

6 C17 ˆ RADIANTI B17 (conversione in radianti dea misura di ) F17 ˆ 90 B17 (cacoo di in gradi) G17 ˆ A17 TAN C17 (cacoo di c) H17 ˆ A17=COS C17 (cacoo di a) 3.2. I triangoi quaunque Con riferimento aa figura 2, i casi che si possono presentare nea risouzione di un triangoo quasiasi sono i seguenti. Figura 2 n Conosciamo a misura di due angoi e quea di un ato, ad esempio, e b. Ricaviamo che ˆ 180 a ˆ b sin sin c ˆ b sin sin n Conosciamo a misura di due ati e quea de'angoo compreso, ad esempio a, c e. Usiamo i teorema di Carnot: b ˆ p a 2 c 2 2ac cos cos ˆ b2 c 2 a 2 2bc ˆ 180 n Conosciamo a misura dei tre ati, cioeá conosciamo a, b e c. Usando i teorema di Carnot ricaviamo che: cos ˆ b2 c 2 a 2 2bc cos ˆ a2 c 2 b 2 2ac ˆ 180 Impostiamo i fogio di avoro in questo modo (osserva a figura per inserire e stringhe, i dati e convertire gi angoi, noi ti indichiamo soamente e formue di cacoo degi eementi de triangoo) A B C D E F G H I 1 RISOLUZIONE TRIANGOLI QUALSIASI o CASO - due angoi e un ato: afa, gamma, b RISULTATI 4 b afa (gr) gamma (gr) afa (rad) gamma (rad) beta (gr) a c ,25 50,65 0, , ,1 8, , o CASO - due ati e 'angoo compreso: a, c, beta RISULTATI 8 a c beta (gr) beta (rad) b afa (gr) gamma (gr) , , , , , o CASO - tre ati: a, b, c RISULTATI 12 a b c afa (gr) beta (gr) gamma (gr) , , , o CASO G5 H5 I5 2 o CASO G9 H9 I9 ˆ 180 B5 C5 ˆ A5 SEN D5 =SEN RADIANTI G5 ˆ A5 SEN E5 =SEN RADIANTI G5 ˆ RADQ A9 A9 B9 B9 2 A9 B9 COS D9 ˆ GRADI ARCCOS G9 G9 B9 B9 A9 A9 = 2 G9 B9 ˆ 180 C9 H9 6 Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

7 3 o CASO G13 H13 I13 ˆ GRADI ARCCOS B13 B13 C13 C13 A13 A13 = 2 B13 C13 ˆ GRADI ARCCOS A13 A13 C13 C13 B13 B13 = 2 A13 C13 ˆ 180 G13 H13 ESERCIZI 1. Con una procedura simie a quea usata ne paragrafo 1, costrusci i grafici dee funzioni coseno e tangente usando GeoGebra. 2. Usando i fogio di Exce preparato ne'esercitazione de paragrafo 2, cacoa i vaori dee atre funzioni goniometriche de'angoo sapendo che: a. sin ˆ 0,8 e 180 < x < 270 b. cos ˆ 0,36 e 0 < x < 90 c. tan ˆ 3 e 270 < x < 360 d. sec ˆ 4,28 e 90 < x < Prepara un fogio di avoro con Exce che, assegnata a misura di un angoo in gradi, trovi i vaori dee sue funzioni goniometriche. 4. Prepara un fogio di avoro che, assegnato i vaore di una dee funzioni goniometriche di, trovi sia in radianti che in gradi. 5. Usando i fogio di Exce preparato ne paragrafo 3.1, risovi i seguenti triangoi rettangoi: a. a ˆ 12,5 ˆ 26,15 b. b ˆ 54,6 c ˆ 25,8 c. b ˆ 10,4 ˆ 37,8 d. c ˆ 12 ˆ 33 e. a ˆ 24 ˆ 45,5 6. Usando i fogio di Exce preparato ne paragrafo 3.2, risovi i seguenti triangoi: a. a ˆ 26,6 b ˆ 34; 2 c ˆ 28; 3 b. a ˆ 24,75 b ˆ 25,4 ˆ 65,4 c. a ˆ 84,6 ˆ 36,8 ˆ 54,9 d. b ˆ 20 ˆ 15 ˆ 33 e. b ˆ 22,31 c ˆ 15,76 ˆ 28,6 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI 7

8 Approfondimento La goniometria nea Fisica Le funzioni goniometriche sono argamente impiegate in vari settori dee scienze percheá, come forse avrai giaá avuto modo di intuire e come vedrai megio in seguito, esse stabiiscono dee reazioni fra angoi e segmenti, consentendo a descrizione di moti fenomeni. A titoo di esempio, vogiamo iustrarti ora quache situazione, tratta daa fisica, in cui 'intervento dee funzioni goniometriche consente di descrivere esaurientemente un fenomeno. Immaginiamo di avere a disposizione un meccanismo come queo in figura 1 che consiste sostanziamente in una moa a riposo vincoata ad un estremo. Attacchiamo una massa a suo estremo ibero e aunghiamoa di un tratto r. Quando asciamo ibera a moa, questa si contrae e comincia ad osciare sottoponendo a massa ad una forza eastica a cui intensitaá eá funzione de'aungamento r ed eá espressa daa reazione Figura 1 Figura 2 F ˆ kr dove isegno negativo indica che ~ F e ~r hanno versi opposti. Osserviamo subito che imoto decorpo non eá uniforme (figura 2): amomento deriascio (posizione A) imoto eá acceerato e tae si mantiene fino a che i corpo transita per a posizione O (punto di equiibrio), esso poi raenta fino a raggiungere a posizione B; arrivato in B si ferma, inverte isenso di marcia e ridiventa acceerato. Se rappresentiamo in un grafico spazio-tempo e sue posizioni nei successivi istanti che compongono una osciazione competa (tratto A-B-A), otteniamo un grafico come queo in figura 3. Un moto di questo tipo, come giaá saprai, prende inome di moto armonico; esso puoá essere visto come a proiezione di un moto circoare uniforme su un diametro di una circonferenza. Infatti, se consideriamo un punto P su una circonferenza di raggio r ea sua proiezione Q su un diametro prefissato, quando P si muove su con veocitaá angoare! costante (si definisce veocitaá angoare i rapporto tra 'angoo, in radianti, descritto daraggio OP ed itempo impiegato a descrivero), Q si muove percorrendo idiametro avanti e indietro (figura 4). Figura 3 Figura 4 8 Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

9 Se fissiamo un sistema di riferimento come queo in figura 5, 'ascissa di P eá a stessa di quea di Q. Se a'istante t ˆ 0 'angoo POA eá, ad ogni istante t successivo 'angoo POA eá!t percheá a veocitaá angoare eá costante. Irapporto fra isegmento OQ ed iraggio OP eá i coseno de'angoo!t, e quindi possiamo dire che cos!t ˆOQ ƒƒ! r L'ascissa di Q eá, quindi, ad ogni istante x ˆ r cos!t : Figura 5 Se avessimo considerato come diametro di riferimento queo intercettato su'asse y (figura 6), avremmo ottenuto in modo anaogo 'ordinata di Q da'equazione y ˆ r sin!t Figura 6 Un moto armonico eá quindi un moto che ha un grafico di tipo sinusoidae; r viene detto ampiezza demoto, rappresenta a fase iniziae de moto, cioeá 'angoo a'istante t ˆ 0. Per disegnare igrafico di queste funzioni possiamo usare sia Derive che GeoGebra. Se, ad esempio,! ˆ e ˆ 0, otteniamo per Q e seguenti equazioni a seconda che consideriamo i movimento di P proiettato su'asse x o su'asse y : 3 x ˆ r cos 3 t y ˆ r sin 3 t In figura 7 puoi vedere i grafici di queste curve nei casi in cui r ˆ 1, r ˆ 2, r ˆ 3. L'atezza dea curva, e quindi 'ampiezza de'osciazione, cresce a crescere di r. Figura 7 x ˆ r cos 3 t x ˆ r sin 3 t Se invece varia a veocitaá angoare, varia conseguentemente i periodo dea funzione. Se, ad esempio, poniamo r ˆ 1eˆ0, e coordinate di Q soddisfano e seguenti equazioni: x ˆ cos!t y ˆ sin!t Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI 9

10 In figura 8 puoi vedere i grafici corrispondenti ai casi in cui! ˆ 1 2,! ˆ 1,! ˆ 2. Osserviamo che, acrescere di!, siha una proporzionae diminuzione de periodo dea funzione. La costante determina, infine, o sfasamento dea curva, cioeá di quanto a curva eá spostata verso destra o verso sinistra rispetto a quea che passa per 'origine. In figura 9 puoi osservare i grafici dea curva x ˆ cos!t per! ˆ 1 Figura 8 Figura 9 x ˆ cos!t e ˆ 3, ˆ 2, ˆ Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

11 Missione umanitaria Mario e Paoo fanno parte di una ONG, cioeá di una organizzazione non governativa che in questo momento, ne'ambito dea cooperazione e sviuppo di un piccoo paese africano, eá impegnata in un progetto di costruzione di un pozzo per 'approvvigionamento di acqua. Per trasportare i materiae necessario utiizzano un piccoo aereo e sorvoano a zona per ocaizzare i punto di atterraggio piuá vicino a viaggio. Figura 1 Con gi strumenti di bordo possono misurare gi angoi di depressione, vae a dire gi angoi misurati tra a direzione orizzontae ne punto in cui si trova 'osservatore O e a direzione che congiunge 'osservatore con 'oggetto osservato (figura 1). Riescono cosõá a determinare 'angoo di depressione con i uogo di atterraggio e 'angoo di depressione con i viaggio in cui deve essere costruito i pozzo. I dati rievati sono i seguenti (osserva a figura 2): atezza h de'aereo: angoo angoo : 55 : 2000m Figura Con e conoscenze cha hai acquisito in questo capitoo, puoi senz'atro dare una risposta ai seguenti quesiti. d formato daa inea che con1 Quanto misura 'angoo OAV giunge 'aereo con i uogo di atterraggio e a inea de terreno? d 2 Quanto misura 'angoo OVA? 3 Quanto sono unghi i ati OA e OV? 4 Quanto dista i viaggio da uogo di atterraggio? 5 I seguente eá un probema assegnato a'esame di Stato de Vuoi provare a risovero? Otre ae conoscenze di trigonometria ti serve anche quache nozione di Fisica. Un turista, che osserva un ago scozzese daa cima di un fiordo ato 100 metri, vede spuntare a testa di un mostro acquatico in un punto per i quae misura un angoo di depressione di 18,45. I mostro, che nuota in inea retta aontanandosi da'osservatore, si immerge, per riemergere cinque minuti piuá tardi in un punto per cui 'angoo di depressione vae 14,05. Con che veocitaá, in metri a'ora, sta nuotando i mostro? OA 2442m; OV 3487m Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI m m/h Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA 11