Trigonometria sferica

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1 Trigonometria sferica Obiettivi conoscere gi oggetti dea geometria dea sfera conoscere e saper appicare i teoremi di trigonometria sferica risovere triangoi sferici appicare i concetti dea trigonometria sferica aa navigazione 1. LA GEOMETRIA SULLA SERA 1.1 I concetti fondamentai Lo studio dee superfici sferiche eá particoarmente importante se pensiamo ae sue appicazioni: una nave che, partendo da un porto sue coste de Portogao, deve attraversare 'oceano per raggiungere e coste de'argentina si deve muovere su un arco di circonferenza anche se ai passeggeri sembra che a nave si muova in inea retta; cosõá eá anche per chi si trova su un aereo. I modeo dea geometria eucidea, che funziona benissimo fino a che ci muoviamo su spazi ristretti che possono essere pensati come parti di un piano, non si puoá usare quando ci si muove sua sfera.per esempio, i percorso minimo per congiungere due punti A e B su un piano eá i segmento, ma un segmento non esiste sua superficie sferica e per arrivare in B partendo da A occorre muoversi su un arco di circonferenza (figura 1); visto poi che con i termine di distanza si intende sempre i percorso minimo, dobbiamo capire qua eá 'arco minimo che unisce A e B. Cominciamo aora a studiare a geometria dea sfera introducendo acuni concetti fondamentai. igura 1 Una superficie sferica eá i uogo dei punti deo spazio che hanno a stessa distanza r da un punto fisso O che ne rappresenta i centro, mentre r ne eá i raggio. La sfera eá invece i uogo dei punti deo spazio a cui distanza da centro eá minore o uguae a raggio; a sfera eá un soido, quindi un oggetto tridimensionae, mentre a superficie sferica eá un oggetto bidimensionae costruito neo spazio tridimensionae. Ogni retta che passa per i centro dea sfera interseca a sua superficie in due punti P e Q che si chiamano poi. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS TRIGONOMETRIA SERICA 1

2 Cerchio massimo eá i cerchio che si ottiene intersecando a sfera con un piano che passa per i suo centro O; quaunque atro piano non passante per i centro interseca invece a sfera ungo un cerchio che viene detto cerchio minore (figura 2).In modo anaogo, circonferenza massima, o anche circoo massimo, eá 'intersezione deo stesso piano con a superficie sferica.i diametro passante per i centro O dea sfera e perpendicoare a piano di un cerchio massimo interseca a superficie sferica in due poi P e Q che rappresentano ipoidiquecerchiomassimo. Le circonferenze massime sono poi caratterizzate da queste proprietaá (segui a figura 3): per ogni punto A sua superficie sferica passano infinite circonferenze massime per ogni coppia di punti A e B dea superficie sferica, che non siano i poi, passa sempre una circonferenza massima e una soa; infatti A e B con i centro O dea sfera individuano un soo piano che tagia a superficie sferica ungo una circonferenza massima per due poi passano invece infinite circonferenze massime due circonferenze massime si intersecano sempre in due poi. IL CERCHIO MASSIMO E LA DISTANZA SERICA igura 2 P e Q: poi igura 3 a. b. c. Come due punti su un piano definiscono una soa retta, cosõádue punti su una superficie sferica, che non siano i poi, individuano una soa circonferenza massima; essa assume quindi sua sfera o stesso ruoo che a retta ha ne piano.sembra dunque ogico definire a distanza tra due punti sua sfera come parte di una circonferenza massima.presi dunque due punti A e B sua superficie sferica, costruiamo a circonferenza massima che passa per essi; tae circonferenza viene divisa dai punti A e B in due archi, i minore dei quai sottende 'angoo convesso AOB d (figura 4). Chiamiamo distanza sferica fra due punti A e B, o anche geodetica, 'arco di circonferenza massima, sotteso ad un angoo minore di 180, che ha per estremi quei punti. Per trovare a misura dea distanza sferica tra due punti basta ricordare a proporzionaitaá tra archi e angoi a centro corrispondenti in una circonferenza: angoi espressi in gradi 2r : AB ˆ 360 : angoi espressi in radianti 2r : AB ˆ 2 : igura 4 Una geodetica eá una particoare curva che descrive ocamente a traiettoria piuá breve fra punti di un particoare spazio. AB ˆ 2r AB ˆ 2r ˆ r TRIGONOMETRIA SERICA Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

3 Due piani che passano per i centro di una sfera individuano due circonferenze massime che, intersecandosi in due poi P e Q, dividono a superficie sferica in quattro parti ciascuna dee quai viene detta fuso sferico (figura 5a); un fuso sferico eá quindi a parte di superficie sferica deimitata da due semipiani passanti per i centro e aventi 'origine in comune.come ampiezza de fuso sferico si assume quea de diedro formato dai due semipiani; di conseguenza 'ampiezza di un fuso sferico eá sempre minore di 180. Sezionando i fuso con un piano passante per i centro dea sfera e perpendicoare ai due semipiani che o generano si ottiene un arco di circonferenza massima AB; a distanza sferica tra i punti A e B coincide con 'ampiezza de fuso.anche 'angoo deimitato dae rette tangenti in P o in Q ae due semicirconferenze massime che deimitano i fuso ha ampiezza (figura 5b). L'angoo prende i nome di angoo sferico.l'angoo sferico eá retto se uno dei due circoi massimi passa per i poi de'atro (figura 5c). USI E ANGOLI SERICI Due semipiani aventi 'origine in comune definiscono un angoo diedro; ampiezza di un diedro eá 'angoo da esso individuato su un piano perpendicoare ao spigoo de diedro. igura 5 a. b. c. 1.2 I triangoo sferico I triangoo, che eá a figura fondamentae dea geometria de piano, eá definito da tre rette che si intersecano a due a due; nea geometria dea sfera i suo corrispondente eá i triangoo sferico che si definisce in modo anaogo. igura 6 Si dice triangoo sferico a parte di superficie sferica deimitata da tre circonferenze massime che si intersecano a due a due. I punti di intersezione A, B, C dee tre circonferenze sono i vertici de triangoo, gi archi AB, BC, AC ne sono i ati (figura 6a). Le semicirconferenze di origine A che deimitano i triangoo danno origine ad un angoo sferico a cui ampiezza eá quea de fuso corrispondente, cosõá come e semicirconferenze di origine B e quee di origine C.In un triangoo sferico, come in un triangoo de piano, individuiamo quindi tre angoi sferici i cui vertici sono i punti A, B e C; gi angoi sferici verranno indicati ne seguito con a ettera de proprio vertice: A, b B, b C. b Per indicare i ati di un triangoo sferico useremo e stesse convenzioni usate per i triangoi piani: a eá a unghezza de ato opposto a vertice A, b quea de ato opposto a vertice B, c quea de ato opposto a vertice C. I ati a, b, c de triangoo rappresentano e distanze sferiche tra i vertici e si misurano quindi in base agi angoi,,, misurati in radianti oppure in gradi, che hanno i vertice ne centro dea sfera e insistono su di essi (figura 6b): a ˆ r b ˆ r c ˆ r a. b. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS TRIGONOMETRIA SERICA 3

4 In particoare, se assumiamo che a sfera abbia raggio unitario, i ati de triangoo hanno proprio misura, e. La sfera di raggio 1 prende i nome di sfera trigonometrica. Ne seguito ci riferiremo sempre ad una sfera trigonometrica. I triangoi sferici godono dee seguenti proprietaá, acune dee quai sono anaoghe a quee dei triangoi piani. Ogni ato eá minore di una semicirconferenza massima, quindi eá minore di ; inotre a ato maggiore eá sempre opposto 'angoo maggiore. Ogni ato eá maggiore dea differenza degi atri due ati e minore dea oro somma. La somma dei ati eá minore di 2 : a b c < 2. La somma degi angoi non eá costante come nei triangoi piani, ma eá compresa tra 180 e 540. L'area di un triangoo sferico eá di S ˆ ba bb b C. In un triangoo piano a somma degi angoi interni eá costante, in un triangoo sferico questa caratteristica non eá piuá vera. Se a sfera ha raggio r, aora S ˆ ba B b C b r 2 igura 7 L'espressione: D ˆ 2 a b c viene detta difetto sferico. L'espressione: E ˆ ba bb b C viene detta eccesso sferico. L'area di un triangoo sferico definito su una superficie sferica trigonometrica eá quindi uguae a suo eccesso sferico. isto che i ati di un triangoo sferico si misurano tramite 'ampiezza de'angoo a centro ad esso sotteso, eá possibie avere triangoi i cui ati misurano 90 ; diremo che un triangoo eá rettiatero se ha un soo ato di unghezza 90, birettiatero se ne ha due, trirettiatero se ne ha tre. Anche gi angoi sferici de triangoo possono essere retti e, come ne caso dei ati, possono esistere triangoi che hanno uno, due o anche tre angoi retti; essi vengono detti rispettivamente rettangoi, birettangoi e trirettangoi (in figura 7 un triangoo birettangoo). Un triangoo piano puoá avere un soo angoo retto, un triangoo sferico puoá averne anche due o tre. ERIICA DI COMPRENSIONE 1. Se P e Q sono due poi per una circonferenza massima di raggio 1, quai dee seguenti affermazioni sono vere? a. ogni punto di ha a stessa distanza da P p b. a distanza di P da eá 2 c. se A eá un punto di e O eá i centro dea sfera, 'angoo POA d eá retto d. e precedenti affermazioni sono tutte vere. 2. Di un triangoo sferico su una sfera trigonometrica possiamo dire che: a. puoá avere un soo ato retto b. puoá avere piuá angoi sferici retti c. a sua area eá uguae a suo eccesso sferico d. a somma dei suoi angoi eá uguae a TRIGONOMETRIA SERICA Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

5 2. LA TRIGONOMETRIA SERICA Reativamente ai triangoi sferici, e in questo capitoo avoreremo soo con a sfera trigonometrica, possiamo enunciare acuni teoremi che, anaogamente ai teoremi di trigonometria sui triangoi piani, esprimono reazioni tra i suoi ati e i suoi angoi. Per comprendere i oro significato ci serviremo de triangoo sferico rappresentato in figura 8, estratto daa sfera trigonometrica.in esso i punti A, B e C sono i vertici de triangoo, O eá i centro dea sfera e i segmenti OA, OB e OC sono i raggi unitari; di conseguenza: igura 8 a ˆ I teorema dei seni BOC d b ˆ AOC d c ˆ AOB d In ogni triangoo sferico i rapporto tra i seno di un angoo ed i seno de ato ad esso opposto eá costante: sin A b sin a ˆ sin bb sin b ˆ sin C b sin c Dimostrazione. Per dimostrare questa reazione, tracciamo da vertice A a perpendicoare AH a piano OBC edah e perpendicoari HK a raggio OB e HT a raggio OC (figura 9). In questo modo, per i teorema dee tre perpendicoari (AH? piano OBC, HK? OB! OB? piano AKH), risuta che AK? OB e anaogamente AT? OC. Nea figura si individuano quindi acuni triangoi rettangoi piani per i quai vagono i teoremi dea trigonometria piana. Triangoo ATH, rettangoo in H : AH ˆ AT sin ATH d Triangoo AKH, rettangoo in H : AH ˆ AK sin AKH d L'angoo ATH d ha entrambi i ati perpendicoari a raggio OC, dunque, per definizione di angoo sferico, ATH d eá uguae a'angoo sferico C. b Anaogamente, 'angoo AKH d ha entrambi i ati perpendicoari a raggio OB, dunque AKH d eá uguae a'angoo sferico bb. Da confronto tra e due reazioni e usando gi angoi sferici troviamo che: AT sin b C ˆ AK sin b B Consideriamo adesso i triangoi OAT e OAK : triangoo OAT, rettangoo in T : AT ˆ OA sin AOT d cioeá, tenendo presente che OA ˆ 1 AT ˆ sin b triangoo OAK, rettangoo in K: AK ˆ OA sin d AOK cioeá AK ˆ sin c (A) Teorema dee tre perpendicoari se r? e PH? t aora t? igura 9 Riprendendo a precedente reazione (A) e sostituendo i vaori trovati abbiamo infine che: sin b sin C b sin B ˆ sin c sin bb cioeá b sin b ˆ sin C b sin c Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS TRIGONOMETRIA SERICA 5

6 Tracciando adesso da vertice B a perpendicoare a piano OAC e ripetendo o stesso ragionamento troviamo a reazione: sin A b sin a ˆ sin C b sin c Da confronto tra queste utime segue a tesi de teorema. Iteoremidecoseno Primo teorema de coseno. In un triangoo sferico i coseno di un ato eá uguae a prodotto dei coseni degi atri due ati aumentato de prodotto dei oro seni per i coseno de'angoo sferico fra essi compreso. cos a ˆ cos b cos c sin b sin c cos b A cos b ˆ cos a cos c sin a sin c cos bb cos c ˆ cos a cos b sin a sin b cos b C Questo teorema eá noto come teorema di Euero; e sue formue mettono in reazione i tre ati de triangoo con uno dei suoi angoi. Dimostrazione. Riprendiamo i triangoo sferico ABC e tracciamo da vertice A e tangenti ae semicirconferenze massime che individuano i ati b e c; tai rette intersecano i piano OBC nei punti N e M (figura 10a).Concentriamo a nostra attenzione sui triangoi OAM e OAN, entrambi rettangoi in A (figura 10b): igura 10a. igura 10b. n triangoo OAM : n triangoo OAN : AM ˆ tan ˆ tan c MO ˆ 1 cos ˆ 1 cos c AN ˆ tan ˆ tan b NO ˆ 1 cos ˆ 1 cos b Consideriamo adesso i triangoo MNO ed appichiamo i teorema di Carnot per trovare MN 2 : MN 2 ˆ OM 2 ON 2 2 OM ON cos ˆ 1 cos 2 c 1 cos 2 b 2 1 cos c 1 cos b cos ˆ ˆ cos2 b cos 2 c 2cos b cos c cos cos 2 b cos 2 c Appichiamo i teorema di Carnot a triangoo AMN ('angoo MAN d eá 'angoo sferico de triangoo) e troviamo ancora MN 2 : 6 TRIGONOMETRIA SERICA Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

7 MN 2 ˆ AM 2 AN 2 2 AM AN cos b A ˆ tan 2 c tan 2 b 2 tan c tan b cos b A Uguagiamo e due reazioni: cos 2 b cos 2 c 2cos b cos c cos a cos 2 b cos 2 c ˆ sin2 c cos 2 c sin2 b cos 2 b 2sin c sin b cos A b cos c cos b ˆ sin2 c cos 2 b sin 2 b cos 2 c 2sin c sin b cos c cos b cos b A cos 2 b cos 2 c ˆ sin2 c cos 2 b sin 2 b cos 2 c 2sin c sin b cos c cos b cos b A cos 2 b cos 2 c Eiminiamo i denominatori e riorganizziamo i termini in modo da avere cos a a primo membro: cos 2 b cos 2 c 2cos b cos c cos a ˆ sin 2 c cos 2 b sin 2 b cos 2 c 2sin c sin b cos c cos b cos b A 2cos b cos c cos a ˆ cos 2 b cos 2 c sin 2 c cos 2 b sin 2 b cos 2 c 2sin c sin b cos c cos b cos A b 2cos b cos c cos a ˆ cos 2 b 1 sin 2 c cos 2 c 1 sin 2 b 2sin c sin b cos c cos b cos A b 2cos b cos c cos a ˆ cos 2 b cos 2 c cos 2 c cos 2 b 2sin c sin b cos c cos b cos b A cos a ˆ 2cos2 b cos 2 c 2sin c sin b cos c cos b cos b A 2cos b cos c In definitiva, sempificando a frazione otteniamo a prima reazione de teorema: cos a ˆ cos b cos c sin b sin c cos b A In modo de tutto anaogo si dimostrano e atre due. ormue simii che mettono in reazione i tre angoi con uno dei ati sono e seguenti (ci imitiamo ad enunciare): Secondo teorema de coseno. In un triangoo sferico i coseno di un angoo eá uguae a'opposto de prodotto dei coseni degi atri due angoi aumentato de prodotto dei oro seni per i coseno de ato fra essi compreso. cos b A ˆ cos bb cos b C sin bb sin b C cos a cos bb ˆ cos b A cos b C sin b A sin b C cos b cos b C ˆ cos b A cos bb sin b A sin bb cos c Si vede subito che, a contrario di queo che accade per i triangoi piani, a conoscenza dei tre angoi di un triangoo sferico permette di trovare e unghezze dei ati (vedi 'esempio 3 successivo). I teorema dee cotangenti Combinando e reazioni dei due teoremi precedenti si giunge ae cinque formue che seguono e che vengono dette formue di ieta; esse egano tra oro quattro eementi consecutivi de triangoo sferico, due ati e due angoi: cotan a sin b ˆ cos b cos b C sin b C cotan b A cotan a sin c ˆ cos c cos b B sin b B cotan b A Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS TRIGONOMETRIA SERICA 7

8 cotan b sin a ˆ cos a cos C b sin C b cotan bb cotan b sin c ˆ cos c cos A b sin A b cotan bb cotan c sin a ˆ cos a cos bb sin bb cotan C b cotan c sin b ˆ cos b cos A b sin A b cotan C b Per ricordare queste formue, di cui omettiamo e dimostrazioni, si deve tenere a mente o schema dee funzioni goniometriche usate: cotan ::::: sin ::::: ˆ cos ::::: cos ::::: sin ::::: cotan ::::: igura 11 Gi angoi e i ati che devono essere inseriti si ricavano dao schema grafico che si puoá vedere nea figura 11; in essa eá segnato i percorso che consente di scrivere a prima formua.si parte da ato a (cotan a), si va verso i ato b che viene usato due vote (ci sono due punte di freccia: cotan a sin b ˆ cos b), si raggiunge 'angoo C b che viene anch'esso usato due vote (cotan a sin b ˆ cos b cos C b sin C) b e si termina ne'angoo A b (formua competa: cotan a sin b ˆ cos b cos C b sin C b cotan A). b ItriangoisfericirettangoiearegoadiNepero Tutte e formue dei precedenti teoremi si sempificano notevoemente ne caso in cui i triangoo sferico abbia un angoo retto.per determinare i dati incogniti, noti due eementi de triangoo, vae una regoa mnemonica che viene detta regoa di Nepero. Dividiamo 'angoo giro in cinque parti e, in ogni settore che si viene a determinare, inseriamo un eemento de triangoo sferico satando 'angoo retto e sostituendo ai cateti i oro compementari; procedendo in senso orario e supponendo che sia A b ˆ 90 (figura 12): a primo posto inseriamo 'ipotenusa a accanto a'ipotenusa incontriamo 'angoo b C, scriviamoo ne settore a fianco di a subito dopo troviamo i cateto b, procedendo in senso orario scriviamo 90 b ne settore a fianco de precedente poi incontriamo 'angoo retto b A che satiamo quindi i cateto c e scriviamo 90 c ne settore successivo infine 'angoo bb che scriviamo ne'utimo settore ibero. La regoa di Nepero afferma che: igura 12 a. b. I coseno di un eemento eá uguae: a prodotto dee cotangenti degi eementi adiacenti, oppure a prodotto dei seni degi eementi opposti (i piuá ontani ne pentagono). Per esempio, facendo riferimento a pentagono dea precedente figura 12: cos a ˆ cotan bb cotan b C cos a ˆ sin 90 c sin 90 b ˆ cos c cos b. Queste formue si ottengono dai due teoremi de coseno ponendo in essi A b ˆ TRIGONOMETRIA SERICA Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

9 ESEMPI 1. Di un triangoo sferico appartenente aa sfera trigonometrica sono note e misure dei tre ati (espresse in gradi): igura 13 a ˆ 84 b ˆ 72 c ˆ 45 Cacoiamo e misure dei tre angoi de triangoo e a sua area. Dobbiamo appicare i teorema de coseno (figura 13): cos a ˆ cos b cos c sin b sin c cos A b da cui ricaviamo che cos b A ˆ cos a cos b cos c sin b sin c Sostituendo i vaori dati da probema otteniamo cos b A ˆ 0,16948:::! b A ˆ In modo anaogo troviamo e ampiezze degi atri angoi: cos b ˆ cos a cos c sin a sin c cos bb! cos bb ˆ cos c ˆ cos a cos b sin a sin b cos b C! cos b C ˆ cos b cos a cos c sin a sin c cos c cos a cos b sin a sin b! bb ˆ ! b C ˆ Per determinare 'area cacoiamo 'eccesso sferico (occorre trasformare e misure degi angoi in radianti): area ˆ E ˆ ˆ 0, Di un triangoo sferico sono noti i seguenti eementi (e misure dei ati e degi angoi sono espresse in radianti): a ˆ 6 b ˆ 4 bc ˆ 3 Cacoiamo e misure dei rimanenti ati e angoi. igura 14 Appicando i teorema di Euero (figura 14) possiamo trovare a misura de ato c (in radianti): cos c ˆ cos 6 cos 4 sin 6 sin 4 cos ˆ 0, ! c ˆ 0,661 3 Per trovare e misure degi angoi b A e bb possiamo appicare sia i teorema dei seni che queo di Euero: con i teorema dei seni: sin A b sin a ˆ sin C b sin c sin bb sin b ˆ sin C b sin c con i teorema di Euero:! sin b A ˆ sin b C sin a sin c! sin bb ˆ sin b C sin b sin c cos a ˆ cos b cos c sin b sin c cos b A! cos b A ˆ cos b ˆ cos a cos c sin a sin c cos bb! cos bb ˆ ˆ 0, ! b A ˆ 0,783 ˆ 0, ! bb ˆ 1,500 cos a cos b cos c sin b sin c cos b cos a cos c sin a sin c ˆ 0, ! b A ˆ 0,782 ˆ 0, ! bb ˆ 1,494 Tenendo in considerazione errori di arrotondamento nea vautazione di bb, i risutati ottenuti sono gi stessi. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS TRIGONOMETRIA SERICA 9

10 3. Di un triangoo sferico rettangoo sono note e misure degi angoi: igura 15 ba ˆ 90 bb ˆ 85 b C ˆ 72 Cacoiamo e misure dei ati. Si tratta di un triangoo rettangoo in A; appichiamo a regoa di Nepero riferendoci ao schema de pentagono in figura 15: cos a ˆ cotan 85 cotan 72 ˆ 0, ! a ˆ cos 90 b ˆ sin a sin 85 cioeá sin b ˆ sin a sin 85 ˆ 0, ! b ˆ cos 90 c ˆ cotan 90 b cotan 85 cioeá sin c ˆ tan b cotan 85 ˆ 0, ! c ˆ ERIICA DI COMPRENSIONE 1. Indica in quai dei seguenti casi non si puoá risovere un triangoo sferico.sono note e misure di: a. tre ati b. tre angoi c. due angoi d. due ati d. due ati e 'angoo compreso f. due angoi e i ato opposto ad uno di essi 2. Di un triangoo sferico sono noti gi angoi bb e C b e i ato a; voendo risovere i triangoo, a prima operazione che si puoá fare eá: a. trovare i terzo angoo percheâ a somma degi angoi interni eá sempre 180 b. appicare per primo i teorema dei seni per trovare i ato b oppure i ato c c. appicare e formue de secondo teorema de coseno per trovare 'angoo A b d. appicare i teorema dee cotangenti per trovare i ato b. 3. UN'APPLICAZIONE: LA NAIGAZIONE ORTODROMICA igura 16 I sistema di riferimento sua Terra Per individuare a posizione di un punto sua Terra eá necessario fissare un sistema di riferimento; se assumiamo che a Terra abbia a forma di una sfera, i sistema di riferimento puoá essere individuato fissando due circonferenze massime, in modo che ciascuna passi per i poi de'atra, e che si assumono come fondamentai (figura 16a). La prima circonferenza massima fondamentae eá 'equatore, 'atra eá i meridiano di Greenwich; i poi associati a'equatore sono i Poi terrestri che individuano 'asse di rotazione. Un punto P quaunque sua superficie dea Terra puoá essere individuato assegnando (figura 16b): a atitudine, cioeá a distanza angoare tra 'equatore e i circoo minore che passa per P; eá un angoo compreso tra 0 e90 verso Nord e verso Sud a ongitudine, cioeá a distanza angoare tra i meridiano di Greenwich e i meridiano che passa per P; eá un angoo compreso tra 0 e 180 verso Est e verso Ovest. a. b. 10 TRIGONOMETRIA SERICA Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

11 Se assumiamo come unitaá di misura per e unghezze i suo raggio, a Terra diventa una sfera trigonometrica e ad essa possiamo appicare e conoscenze acquisite nei precedenti paragrafi. In questo caso, indicato con R i punto di intersezione de'equatore con i meridiano fondamentae e con T a proiezione di P su'equatore, a atitudine eá a misura de segmento sferico PT, a ongitudine eá a misura de segmento sferico RT. In questo sistema di riferimento, un punto P ha quindi coordinate che scriviamo in questo modo: P : at P, ong P Con queste posizioni, a unghezza de segmento sferico che passa per due punti A e B di coordinate A : at A, ong A e B : at B, ong B si cacoa appicando i teoremi dea trigonometria sferica a triangoo KAB dove con K abbiamo indicato i poo de'emisfero de punto di partenza (figura 17). Se i punto di partenza A e queo di arrivo B si trovano neo stesso emisfero e daa stessa parte rispetto a meridiano di Greenwich: 'angoo sferico AKB d eá a differenza tra e ongitudini di B edia : AKB d ˆ ong B ong A i segmento KA eá a differenza tra un quarto di circonferenza massima e a atitudine di A : KA ˆ 90 at A igura 17 anaogamente per i segmento KB : KB ˆ 90 at B Appicando i teorema di Euero si trova che: cos AB ˆ cos KA cos KB sin KA sin KB cos AKB d ˆ ˆ cos 90 at A ˆ sin at A sin at B In definitiva: AB ˆ arccos sin at A cos 90 at B cos at A sin at B sin 90 at A cos at B cos at A sin 90 at B cos ong B ong A cos at B cos ong B ong A Ne caso in cui i punti di partenza e di arrivo si trovino in emisferi diversi o da parti opposte rispetto a meridiano fondamentae, si deve ragionare di vota in vota sua vautazione de'angoo AKB d e dei segmenti KA e KB.Per mantenere a stessa regoa, puoá essere utie a seguente convenzione: atitudini di punti che si trovano ne'emisfero nord vengono assunte positive atitudini di punti che si trovano ne'emisfero sud vengono assunte negative ongitudini di punti che si trovano entrambi a Est o entrambi a Ovest vengono assunte positive ongitudini di punti che si trovano una a Est e 'atra a Ovest vengono assunte una positiva e 'atra negativa. cos ong B ong A ˆ La navigazione ortodromica Questi concetti si appicano aa navigazione oceanica, dove e distanze sono grandi e, per congiungere due ocaitaá, eá necessario seguire i percorso piuá bre- Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS TRIGONOMETRIA SERICA 11

12 ve.si para in questo caso di navigazione ortodromica. I triangoo AKB che ha come vertici i punto di partenza, queo di arrivo e i poo de'emisfero a cui appartiene i punto di partenza viene detto triangoo ortodromico. I segmento AB viene detto cammino ortodromico o ortodromia. L'angoo KAB d eá 'angoo di rotta; esso indica a rotta iniziae da seguire per arrivare in B partendo da A. Poiche a navigazione non avviene in inea retta, 'angoo di rotta cambia in continuazione (figura 18) e deve essere continuamente ricacoato. ediamo un esempio e cacoiamo 'ortodromia e 'angoo di rotta iniziae noti i punti A : at A ˆ 27 Nord, ong A ˆ 25 Est e B : at B ˆ 74 Nord, ong B ˆ 34 Ovest. igura 18 Per cacoare AB appichiamo a formua tenendo presente che: ong B ong A ˆ ˆ ˆ 59 cos AB ˆ sin 27 sin 74 cos 27 cos 74 cos 59 ˆ 0, ! AB ˆ L'angoo iniziae di rotta eá 'angoo b A che cacoiamo riferendoci a triangoo ABK in figura 19; in esso: igura 19 bk ˆ 59 KA ˆ ˆ 63 KB ˆ ˆ 16 AB ˆ Possiamo appicare sia i teorema dei seni che queo dee cotangenti: con i teorema dei seni: sin K b sin AB ˆ sin A b sin KB! sin b A ˆ sin b K sin KB sin AB ˆ 0, da cui b A ˆ con i teorema dee cotangenti: cotan KB sin KA ˆ cos KA cos bk sin bk cotan b A!! cotan b A ˆ cotan KB sin KA cos KA cos b K sin bk ˆ 3, ! b A ˆ ERIICA DI COMPRENSIONE 1. Barra vero o faso. a. La atitudine e a ongitudine servono per individuare un punto sua superficie dea Terra. b. La ongitudine rappresenta a distanza de punto da'equatore terrestre. c. L'angoo di rotta rappresenta a direzione da seguire per raggiungere i punto finae di un cammino ortodromico. d. L'angoo di rotta eá costante e non cambia mai durante a navigazione. 12 TRIGONOMETRIA SERICA Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

13 I concetti e e regoe La sfera e i suoi eementi I principai eementi che si possono individuare sua superficie sferica sono: a circonferenza massima,individuata da'intersezione dea superficie sferica con un piano passante per i centro dea sfera; ogni circonferenza individuata da un piano non passante per i centro viene detta circonferenza minore a distanza sferica fra due punti A e B,o anche geodetica,che eá i piuá piccoo tra gi archi di circonferenza massima che hanno per estremi quei punti i fuso sferico,che eá a parte di superficie sferica deimitata da due semicirconferenze massime 'angoo sferico che rappresenta 'ampiezza de fuso sferico i triangoo sferico,che eá a parte di superficie sferica deimitata da tre circonferenze massime che si intersecano a due a due. La sfera di raggio unitario prende i nome di sfera trigonometrica; in ta caso a distanza sferica tra due punti eá esattamente uguae a'ampiezza de'angoo che a sottende avente vertice ne centro dea sfera. Queste considerazioni permettono di affermare che in un triangoo sferico: a somma degi angoi eá compresa tra 180 e 540 'area di un triangoo sferico eá uguae a b A b B b C a somma dei ati eá minore di 360 : a b c < 360. I triangoo sferico e i teoremi ad esso reativi In un triangoo sferico vagono i seguenti teoremi. Teorema dei seni In ogni triangoo sferico i rapporto tra i seno di un angoo ed i seno de ato ad esso opposto eá costante: sin A b sin a ˆ sin B b sin b ˆ sin C b sin c Teoremi de coseno In un triangoo sferico i coseno di un ato eá uguae a prodotto dei coseni degi atri due ati aumentato de prodotto dei oro seni per i coseno de'angoo sferico fra essi compreso: cos a ˆ cos b cos c sin b sin c cos A b cos b ˆ cos a cos c sin a sin c cos B b cos c ˆ cos a cos b sin a sin b cos C b In un triangoo sferico i coseno di un angoo eá uguae a'opposto de prodotto dei coseni degi atri due angoi aumentato de prodotto dei oro seni per i coseno de ato fra essi compreso: cos A b ˆ cos B b cos C b sin B b sin C b cos a cos B b ˆ cos A b cos C b sin A b sin C b cos b cos b C ˆ cos b A cos b B sin b A sin b B cos c Teorema dee cotangenti cotan a sin b ˆ cos b cos C b sin C b cotan A b cotan a sin c ˆ cos c cos B b sin B b cotan A b Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS TRIGONOMETRIA SERICA 13

14 cotan b sin a ˆ cos a cos C b sin C b cotan B b cotan b sin c ˆ cos c cos A b sin A b cotan B b cotan c sin a ˆ cos a cos B b sin B b cotan C b cotan c sin b ˆ cos b cos A b sin A b cotan C b Se i triangoo sferico ha un angoo retto,i teoremi precedenti si possono riassumere in un'unica regoa mnemonica,nota come regoa di Nepero,che ha come riferimento a suddivisione pentagonae in figura nea quae si suppone che 'angoo retto sia in A. La regoa afferma che: i coseno di un eemento eá uguae: - a prodotto dee cotangenti degi eementi adiacenti,oppure - a prodotto dei seni degi eementi opposti (i piuá ontani ne pentagono). La navigazione ortodromica Se assumiamo che a Terra sia sferica,possiamo fissare un sistema di riferimento su di essa individuando due circonferenze massime ortogonai tra oro: 'equatore e i meridiano di Greenwich. La posizione di un punto P sua superficie viene in questo modo individuata assegnando a atitudine e a ongitudine che vengono definite come segue: atitudine eá a distanza angoare tra 'equatore e i circoo minore che passa per P; eá un angoo compreso tra 0 e90 verso Nord e verso Sud ongitudine eá a distanza angoare tra i meridiano di Greenwich e i meridiano che passa per P; eá un angoo compreso tra 0 e 180 verso Est e verso Ovest. I cammino ortodromico,cioeá a distanza sferica tra due punti A : at A, ong A e B : at B, ong B eá dato daa formua AB ˆ arccos sin at A sin at B cos at A cos at B cos ong B ong A 14 TRIGONOMETRIA SERICA Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

15 Trigonometria sferica LA GEOMETRIA SULLA SERA Comprensione 1 Barra vero o faso. a. Su una superficie sferica esiste un soo circoo massimo. b. Intersecando una sfera con un piano si ottiene sempre un circoo massimo. c. Per due punti su una sfera passa una e una soa circonferenza massima. d. I centro di un circoo massimo coincide con i centro dea sfera. 2 Su una superficie sferica: a. tre punti individuano sempre un triangoo sferico b. tre punti non appartenenti aa stessa circonferenza massima individuano un triangoo sferico c. due semicirconferenze massime che hanno i diametro in comune individuano un fuso che ha come ampiezza 'angoo formato dae due semicirconferenze d. i cammino piuá breve che congiunge due punti eá un quasiasi arco di circonferenza che passa per quei due punti. 3 In un triangoo sferico: a. a somma degi angoi eá maggiore di 180 b. i ati si possono misurare in gradi c. ci puoá essere piuá di un angoo retto d. a somma dei ati non puoá essere maggiore di un angoo piatto. 4 Competa. In ogni triangoo sferico ABC: a. si chiama difetto sferico... b. si chiama eccesso sferico... c. 'area eá uguae a... Appicazione 5 Stabiisci in quai dei seguenti casi non esiste i triangoo sferico spiegandone i motivo. a. a ˆ 15 b ˆ 25 c ˆ 132 b. A b ˆ 130 B b ˆ 78 C b ˆ 97 c. a ˆ 150 b ˆ 112 c ˆ 215 d. A b ˆ 27 B b ˆ 32 C b ˆ 45 [a., c., d.] Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS TRIGONOMETRIA SERICA 15

16 6 Cacoa i difetto sferico nei seguenti casi: a. a ˆ 87 b ˆ 95 c ˆ 65 b. a ˆ 115 b ˆ 108 c ˆ 125 c. a ˆ 92 b ˆ 74 c ˆ ,12,88 Š 7 Cacoa 'eccesso sferico nei seguenti casi: a. A b ˆ 92 bb ˆ 77 C b ˆ 136 b. A b ˆ 215 bb ˆ 117 C b ˆ 184 c. A b ˆ 90 bb ˆ 218 C b ˆ Cacoa 'area dei seguenti triangoi sferici appartenenti aa sfera trigonometrica. a. A b ˆ 68 bb ˆ 135 C b ˆ 95 b. A b ˆ 208 bb ˆ 164 C b ˆ 125 c. A b ˆ 68 bb ˆ 95 C b ˆ , 336, 323 Š 118, 317, 137 Š LA TRIGONOMETRIA SERICA Comprensione 9 Indica quai tra e seguenti reazioni esprimono correttamente a reazione de teorema dei seni. a. sin A b sin c ˆ sin a sin C b sin b b. sin C b ˆ sin c sin bb c. sin A b sin B b ˆ sin b sin a d. sin c sin B b ˆ sin b sin C b 10 Di un triangoo sferico sono assegnati acuni eementi. In quai dei casi presentati di seguito eá possibie risovere i triangoo? a. a, b, c b. a, b, C c. A, B, b d. b, c, B 11 Se sono noti tre eementi di un triangoo sferico eá sempre possibie risovere i triangoo. E' vera o fasa questa affermazione? 12 In ciascuno dei seguenti casi sono noti acuni eementi; specifica quae teorema si deve appicare per trovare queo indicato. a. eementi noti: b c A b eemento da trovare: a b. eementi noti: b A b B b C eemento da trovare: b c. eementi noti: b B b C a eemento da trovare: c d. eementi noti: b A b B a eemento da trovare: b Appicazione Risovi i seguenti triangoi sferici noti i tre angoi. 13 ESERCIZIO GUIDA ba ˆ 145 bb ˆ 95 C b ˆ 107 Usiamo i secondo teorema de coseno per trovare i tre ati: 16 TRIGONOMETRIA SERICA Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

17 cos A b ˆ cos bb cos C b sin bb sin C b cos a! cos a ˆ cos A b cos bb cos C b sin bb sin C b! a ˆ cos bb ˆ cos A b cos C b sin A b sin C b cos b! cos b ˆ cos bb cos A b cos C b sin A b sin C b! b ˆ cos C b ˆ cos A b cos bb sin A b sin bb cos c! cos c ˆ cos C b cos A b cos bb sin A b sin bb! c ˆ ˆ 0, ! ˆ 0, ! ˆ 0, ! 14 b A ˆ 84 bb ˆ 124 b C ˆ b A ˆ 87 bb ˆ 97 b C ˆ b A ˆ 156 bb ˆ 128 b C ˆ ; ; Š ; ; Š ; ; Š Risovi i seguenti triangoi sferici noti due ati e 'angoo compreso. 17 ESERCIZIO GUIDA a ˆ 76 b ˆ 66 b C ˆ 148 Appichiamo i primo teorema de coseno e troviamo i ato c : cos c ˆ cos a cos b sin a sin b cos b C ˆ cos 76 cos 66 sin 76 sin 66 cos 148 ˆ 0, da cui c ˆ Per trovare gi angoi A b e bb puoi adesso appicare ancora o stesso teorema oppure i teorema dei seni; nea vautazione degi angoi tieni sempre presente che a ato maggiore eá opposto 'angoo maggiore. A b ˆ ; bb ˆ b ˆ 125 c ˆ 164 A b ˆ 92 a ˆ ; bb ˆ ; C b ˆ a ˆ 87 c ˆ 48 bb ˆ 65 b ˆ ; A b ˆ ; C b ˆ a ˆ 114 b ˆ 132 C b ˆ 118 c ˆ ; A b ˆ ; bb ˆ Risovi i seguenti triangoi sferici noti due angoi e i ato tra essi compreso. 21 ESERCIZIO GUIDA ba ˆ 63 b B ˆ 87 c ˆ 154 Possiamo appicare i teorema dee cotangenti per trovare i ato a : cotan a sin c ˆ cos c cos B b sin B b cotan A b cotan a ˆ cos c cos bb sin bb cotan A b sin c da cui a ˆ ˆ cos 154 cos 87 sin 87 cotan 63 sin 154 ˆ 1, Puoi adesso procedere appicando i teorema dei seni o i primo teorema de coseno. bc ˆ , b ˆ Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS TRIGONOMETRIA SERICA 17

18 22 A b ˆ 85 C b ˆ 106 b ˆ 93 a ˆ ; c ˆ ; bb ˆ bb ˆ 168 C b ˆ 168 a ˆ 142 b ˆ c ˆ ; A b ˆ A b ˆ 94 bb ˆ 103 c ˆ 42 b ˆ ; a ˆ ; C b ˆ Risovi i seguenti triangoi sferici noti due ati e 'angoo opposto a uno di essi. 25 ESERCIZIO GUIDA a ˆ 88 b ˆ 115 bb ˆ 120 Appichiamo i teorema dei seni per cacoare A b : sin A b sin a ˆ sin bb sin b! sin b A ˆ sin bb sin a sin b ˆ sin 120 sin 88 sin 115 ˆ 0, PuoÁ quindi essere A b ˆ oppure A b ˆ Ci sono dunque due possibiitaá. Per trovare i ato c e 'angoo C b dobbiamo scrivere i seguente sistema che sfrutta i due teoremi de coseno: ( cos c ˆ cos a cos b sin a sin b cos C b cos C b ˆ cos A b cos bb sin A b sin bb cos c ( cos c ˆ cos 88 cos 115 sin 88 sin 115 cos C I caso: b cos C b ˆ cos cos 120 sin sin 120 cos c ( cos c ˆ cos 88 cos 115 sin 88 sin 115 cos C II caso: b cos C b ˆ cos cos 120 sin sin 120 cos c Risovendo i due sistemi (conviene usare un software adeguato) si competa a risouzione de triangoo. c 1 ˆ ; C1 b ˆ ; c 2 ˆ ; C2 b ˆ a ˆ 68 b ˆ 92 A b ˆ 140 bb ˆ ; C b ˆ ; c ˆ b ˆ 67 c ˆ 65 bb ˆ 82 C b ˆ ; a ˆ ; A b ˆ a ˆ 45 c ˆ 95 C b ˆ 84 A b ˆ ; b ˆ ; bb ˆ Risovi i seguentri triangoi rettangoi sferici. 29 ESERCIZIO GUIDA bb ˆ 90 a ˆ 72 c ˆ 66 Costruiamo i pentagono per appicare a regoa di Nepero: Appichiamo a seconda regoa e troviamo i ato b: cos b ˆ sin 18 sin 24 ˆ 0, da cui b ˆ TRIGONOMETRIA SERICA Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

19 Appichiamo a prima regoa per trovare gi angoi b A e b C : cos b A ˆ cotan b cotan 24 ˆ 0, ! b A ˆ cos b C ˆ cotan b cotan 18 ˆ 0, ! b C ˆ bb ˆ 90 a ˆ 14 b ˆ 25 C b ˆ ; c ˆ ; A b ˆ A b ˆ 90 b ˆ 64 c ˆ 87 a ˆ ; bb ˆ ; C b ˆ A b ˆ 90 c ˆ 124 a ˆ 102 bb ˆ ; C b ˆ ; b ˆ C b ˆ 90 A b ˆ 127 c ˆ 98 a ˆ ; bb ˆ ; b ˆ C b ˆ 90 bb ˆ 87 a ˆ 115 A b ˆ ; c ˆ ; b ˆ bb ˆ 90 b A ˆ 118 b C ˆ 136 b ˆ ; c ˆ ; a ˆ Š UN'APPLICAZIONE: LA NAIGAZIONE ORTODROMICA Comprensione 36 Un punto sua superficie terrestre eá individuato in modo unico assegnando: a. a atitudine b. a ongitudine c. sia a atitudine che a ongitudine d. a atitudine, a ongitudine e a distanza dai poi 37 I cammino ortodromico tra due punti A e B dea Terra eá: a. i segmento che ha per estremi A e B b. a distanza sferica tra A e B c. un quaunque arco di circonferenza che appartiene aa sfera e che unisce A e B d. a somma degi archi AN e NB dove N eá uno dei due poi terrestri. 38 In un cammino ortodromico tra due punti A e B fissati, 'angoo di rotta eá: a. costante e minore di un angoo retto b. costante e minore di 180 c. variabie a seconda dea posizione sua distanza AB d. variabie a seconda dea distanza di A e B dai poi. Appicazione Trova i percorso minimo che unisce i punti A e B che hanno e coordinate indicate. 39 A : 15 Est, 68 Nord B : 24 Est, 40 Nord 40 A : 34 Ovest, 64 Nord B : 12 Ovest, 20 Sud 41 A : 32 Est, 68 Sud B : 24 Ovest, 15 Sud 42 A : 65 Ovest, 18 Nord B : 8 Est, 39 Sud 43 A : 154 Est, 25 Sud B : 11 Est, 72 Nord 44 A : 62 Ovest, 62 Nord B : 37 Est, 25 Sud Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS TRIGONOMETRIA SERICA 19

20 Cacoa 'angoo di rotta iniziae nei seguenti cammini ortodromici. 45 A : 48 Est, 16 Nord B : 12 Ovest, 65 Nord 46 A : 115 Est, 26 Nord B : 86 Est, 66 Sud 47 A : 82 Ovest, 20 Sud B : 30 Est, 15 Nord Per a verifica dee competenze 1 Cerca a atitudine e a ongitudine di Roma e di New York e cacoa a oro distanza minima sua superficie terrestre tenendo presente che i raggio medio dea Terra eá di 6 367,45km. 2 Ripeti a stessa vautazione de'esercizio precedente cacoando a distanza tra Londra e Buenos Aires. 3 Determina 'angoo iniziae di rotta de'ortodromia che congiunge Atene con Pechino. Souzioni esercizi di comprensione 1 a., b., c., d. 2 a., b., c., d. 3 a., b., c., d. 4 a. D ˆ 360 a b c, b. E ˆ ba bb C b 180, c. S ˆ ba bb C b a., d. 10 c., d a. I teorema de coseno, b. II teorema de coseno, c. teorema dea cotangente, d. teorema dei seni 36 c. 37 b. 38 c. r 2 20 TRIGONOMETRIA SERICA Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

21 Testfinae di autovautazione 1 Su una superficie sferica una geodetica eá: a. una quasiasi inea che congiunge due punti b. a inea di unghezza minore che unisce due punti c. un arco di circonferenza che unisce due punti d. i segmento che attraversa a sfera e che unisce due punti. 10 punti 2 Barra vero o faso. a. La distanza sferica tra due punti si misura tramite 'angoo che ha vertice ne centro dea sfera i cui ati passano per i due punti. b. Un fuso sferico eá a parte di sfera deimitata da due semipiani aventi come origine comune un diametro dea sfera. c. Un triangoo sferico eá a parte di superficie sferica deimitata da tre circonferenze massime che si intersecano a due a due. d. Iati di un triangoo sferico si misurano in funzione degi angoi che hanno i vertice ne centro dea sfera e insistono su di essi. 10 punti 3 Su una sfera di centro O rappresenta i seguenti eementi: una circonferenza massima e un suo poo P, una circonferenza minore ad essa paraea, due circonferenze massime uscenti da P che intersecano in A e B ea circonferenza minore in C e D. Quai dee seguenti affermazioni sono vere? a. I triangoo PAB eá birettangoo. b. I triangoo PCD eá trirettangoo se e circonferenze massime uscenti da P sono perpendicoari. c. Tra i segmenti sferici rappresentati non ne esistono di congruenti. d. Se PCD eá trirettangoo, o eá anche PAB. 10 punti 4 Di un triangoo sferico ABC si sa che b ˆ 32, c ˆ 30 e A b ˆ 90. Per trovare 'ipotenusa a utiizzando a regoa di Nepero si deve usare a formua: a. cos a ˆ sin 60 sin 58 b. cos a ˆ sin 30 sin 32 c. cos a ˆ cotan 60 cotan 58 d. cos a ˆ cotan 30 cotan punti 5 Di un triangoo sferico sono noti i seguenti eementi: a ˆ 40, b ˆ 60, b C ˆ 120. Risovi i triangoo. 25 punti 6 Trova i percorso minimo che unisce i punti A : 27 E,12 S e B : 82 E,85 S. 20 punti Esercizio Totae Punteggio Souzioni oto: totae 10 1 ˆ 1 b. 2 a., b., c., d. 3 a., b., d. 4 a. 5 c ˆ , b A ˆ , b B ˆ Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS TRIGONOMETRIA SERICA 21