SISTEMI DI EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE

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1 ESERCIZI SVOLTI SISTEMI DI EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE Il metodo di sostituzione Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema di primo grado nelle incognite x e y: x y x + y 1 Quando il sistema da risolvere è dato nella forma normale, cioè nella forma: ax + by c ax + by c (oppure ax + by + c 0 ) ax ' + by ' + c' 0 la prima cosa da fare è quella di isolare, in una delle due equazioni, una delle due incognite: la x oppure la y. Se si sceglie una variabile anziché l altra, il risultato finale non cambia, tuttavia le difficoltà di calcolo possono risultare maggiori in un caso e minori nell altro. In generale, potendo scegliere, è preferibile isolare la variabile che ha coefficiente 1 o -1. Nel nostro caso isoliamo la y dalla prima equazione e sostituiamo la sua espressione nella seconda equazione: y x y x x+ y 1 x+ ( x ) 1 Ora, dopo aver ricopiato la prima equazione, svolgiamo i calcoli indicati nella seconda equazione e poi ricaviamo la x: " " " 11 x+ x x 11 x 10 Abbiamo così trovato il valore numerico della prima incognita. Per ricavare il valore della y basterà sostituire alla x della prima equazione il valore : y x 11 x 10 y y y x x x Concludiamo scrivendo la soluzione del sistema: S ;. Se vogliamo verificare che la coppia ; rappresenta proprio la soluzione cercata, ci basterà sostituire alla x e alla y del 10 Prof. Salvatore Scialpi - Pag. 1/

2 sistema iniziale rispettivamente i valori 11 e 9 e constatare quindi che le due uguaglianze ottenute 10 risultino vere: La soluzione ; è stata pertanto verificata vera vera. 1 1 Esercizio. Risolvere il seguente sistema di primo grado nelle incognite x e y: x x y x x y Risolvo La prima cosa da fare è quella di ridurre il sistema alla forma normale, ossia ax + by + c 0. ax ' + by ' + c' 0 A tal fine spostiamo tutti i termini contenenti le variabili a sinistra dell uguale e tutti i gli altri a destra: x x+ y + 1 x+ y + x+ x+ y x+ y La variabile che meglio si presta ad essere isolata è la y della prima equazione: isoliamola e sostituiamo nella seconda equazione: y x+ y x+ " " x+ y x+ ( x+ ) x 10x+ 1 x 10 Dalla seconda equazione ricaviamo x che sostituita nella prima permette di ricavare y: 1 y x+ y + x x Concludiamo scrivendo la soluzione del sistema: 1 S ;. Prof. Salvatore Scialpi - Pag. /

3 Esercizio. Risolvere il seguente sistema di primo grado nelle incognite x e y: x + y y x x 1 1 y Risolvo. Trattandosi di un sistema di equazioni a coefficienti frazionari, prima di tutto elimineremo i denominatori, poi ridurremo il sistema a forma normale ed infine attaccheremo con le fasi risolutive. Eliminiamo i denominatori: x+ y y x ( x+ y) 8 y x x ( x+ y) 8 y x 1 y x 1 y x 1 1 y Riduciamo a forma normale: x+ y 8 x y Isoliamo la x dalla seconda equazione e sostituiamo nella prima: ( ) y + y 8 1y 7 x y x y 7 7 y y x y x 1 1 Infine: 17 7 S ; 1 1. Esercizio. Risolvere il seguente sistema di primo grado nelle incognite x e y: x 1 y + 1 y x 0 x Risolvo. Anche in questo sistema le equazioni hanno coefficienti frazionari, pertanto cominceremo con l eliminare i denominatori, poi ridurremo il sistema a forma normale ed infine attaccheremo con le fasi risolutive: Prof. Salvatore Scialpi - Pag. /

4 x + y 1x y 1 1 x + y x + y 8 ( x 0) 1x y ( x 0) 1x y ricavando la x dalla prima equazione e sostituendo nella seconda equazione abbiamo: 8 y x 8 y 1 y 0 8 y x 10 y 8y 10 Sostituendo y 0 nella prima equazione ricaviamo 8 y x y y x 0 { } Quindi: ( ;0) S. 8 0 x 0. Esercizio. Risolvere il seguente sistema lineare: 100x 0y 00 x + 8y Risolvo. Entrambe le equazioni possono essere semplificate dividendo ciascun membro della prima equazione per 0, per quelli della seconda: x y x + y 8 Ricavando la x dalla seconda equazione e sostituendo nella prima equazione abbiamo: 8 ( ) y y y 1 y y 9y 1 y x 8 y x 8 y x 8 y 1 x 8 y x 8 1 Concludiamo scrivendo la soluzione del sistema: S ;. Prof. Salvatore Scialpi - Pag. /

5 Esercizio. Risolvere il seguente sistema lineare: y 1 x x + y 1 ( x 1) y Risolvo. Cominciamo con l eliminare i denominatori dalla prima equazione: ( ) ( ) ( ) 1 y 1 x 1 x 1 y x + y ( ) 9y + 1x 1 x + 1 x y x + y x + 7y 11 x + y Ricaviamo la y dalla seconda equazione e sostituiamo nella prima: Dalla prima equazione ricaviamo x + 7 x ( x) x, per cui: 70 x 70 1 y x 70 x Pertanto: 70 1 S ; Prof. Salvatore Scialpi - Pag. /