4 C. Prati. Il teorema del campionamento

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1 4 C. Prati Il terema del campinament Esercizi di verifica degli argmenti svlti nel quart capitl del test Segnali e Sistemi per le Telecmunicazini McGraw-Hill. ESERCIZIO Sia dat il seguente segnale temp cntinu sin( πbt) x( t) = πbt Si tracci il grafic della trasfrmata di Furier del segnale x(t) e si trvi il minim valre della frequenza di campinament f s per evitare alias in frequenza. Utilizzand una frequenza di campinament f s dppia rispett a quella minima richiesta dal terema del campinament si traccin ii grafici della trasfrmata di Furier sia in frequenza f sia in frequenza nrmalizzata φ della sequenza x n = x(nt ). 3 - Si calcli l energia del segnale x(t) e della sequenza x n = x(nt ). f - X ( f ) = rect che e un rettangl centrat nell rigine cn altezza e base B. B B B La massima prequenza del segnale e B e dunque il minim valre della frequenza di campinament f s per evitare alias in frequenza vale B. f - X ( f ) = rect peridica di perid 4 B. B X ( φ) = rect φ peridica di perid. ( ) 3 - E x n E x ( t ) = E = T x( t) B = ESERCIZIO Il seguente cdice Matlab cnsente di visualizzare i campini di una sinuside a 3Hz campinata cn una frequenza di campinament a scelta. Si prvi a visualizzare il segnale campinat utilizzand frequenze di campinament superiri ed inferiri al minim richiest per evitare alias in frequenza. Si cnfrntin e si analizzin i risultati ttenuti nel temp cn i rispettivi risultati in frequenza da calclare tericamente. In particlare si sservi l effett dell alias in frequenza sia nel dmini del temp che in quell della frequenza. clear t=(0:.00:4); k=length(t); x(:k)=sin(*pi*3*t);

2 figure() plt(t,x) hld n fs=input('frequenza di campinament fs? '); T=/fs; nt=(0:t:4); kk=length(nt); xn(:kk)=sin(*pi*3*nt); figure() stem(nt,xn,'r') hld ff temp (secndi) Risultat del cdice Matlab ttenut utilizzand una frequenza di campinament di Hz. Il terema del campinament è rispettat e il segnale cntinu è esattamente ricstruibile dai campini.

3 temp (secndi) Risultat del cdice Matlab ttenut utilizzand una frequenza di campinament di 3.5Hz. Il terema del campinament nn è rispettat, si intrduce alias in frequenza e il segnale cntinu ricstruit dai campini è una sinuside cn frequenza più bassa ( cicl gni secndi: 0.5Hz) e segn negativ. ESERCIZIO 3 Sia dat il seguente segnale temp cntinu x( t) = Asin( π t ) T - Si calcli la trasfrmata di Furier della sequenza x n = x( nt 4) sia in frequenza f sia in frequenza nrmalizzata φ. - Si calcli la trasfrmata di Furier della sequenza x n = x(nt ) ja ja La trasfrmata di Furier del segnale temp-cntinu è X ( f ) = δ f + δ f. T T Campinand cn intervall di campinament T 4 nn s intrduce alias in frequenza e si ttiene: ja ja X ( f ) = δ f + δ f peridica di perid 4 T T T T T ja ja X ( φ) = δ φ + δ φ peridica di perid 4 4

4 - Campinand cn intervall di campinament T s intrduce alias in frequenza e si ttiene: ( ) 0 x( nt ) = Asin π n = X ( f ) = 0 ESERCIZIO 4 Sia dat il seguente segnale temp cntinu x( t) = Acs( π f t +ϑ) Si calcli l espressine del segnale temp cntinu ricstruit dai campini della sequenza x = x n f ). n ( ( πn + ϑ) cs( ϑ) xn = x( n f) = Acs = A che è una cstante csì cme il segnale temp cntinu ricstruit dai campini della sequenza ESERCIZIO 5 Sia dat il seguente segnale temp cntinu sin( π 90t) x( t) = cs( π 000t) πt Si descriva un prcediment che cnsenta di ricstruire crrettamente il segnale x(t) dai campini della sequenza x n = x(nt ) utilizzand il minim valre pssibile della frequenza di campinament. Il segnale dat e del tip passa-banda cn banda del segnale mdulat (80Hz) mlt più piccla della frequenza prtante (000Hz). Il terema del campinament imprrebbe di campinare cn frequenza di campinament maggire di 090 = 80 Hz. Tuttavia campinand cn una frequenza di 000 campinament sttmultipl inter della prtante > 80 nn s intrduce alias dell spettr del N segnale mdulat. Quindi, si pu campinare cn f = 50Hz, ricstruire crrettamente il segnale in banda base sin ( π 90t) e pi rimdularl cn cs( 000t) πt s π. ESERCIZIO 6 Sia dat il seguente ( ) segnale temp cntinu sin πf t x( t) = ( π f t f t ) cs 0 + sin 0π πt Si traccin i grafici della parte reale e immaginaria della trasfrmata di Furier di x(t)

5 Si trvi l espressine del segnale y(t) ttenut campinand idealmente il segnale x(t) a pass T=/(9f ) e filtrand il segnale campinat cn un filtr passa-bass (ideale) nella banda ±f. I grafici della parte reale e immaginaria della trasfrmata di Furier di x(t) sn mstrati nella seguente figura. / X(f) parte reale / f 0-0f 0 0f 0 f / X(f) parte immaginaria 0f 0-0f 0 f -/ La trasfrmata di Furier del segnale campinat idealmente a pass T=/(9f ) e la rispsta in frequenza del filtr passa-bass ideale nella banda ±f (linea tratteggiata) sn riprtate nella seguente figura.

6 9f 0 Y(f) parte reale -0f 0 -f 0 f 0 0f 0 f Y(f) parte immaginaria 9f 0 0f 0-0f 0 f -/ Il risultat del campinament (che intrduce alias in frequenza) e della ricstruzine genera il seguente segnale temp cntinu: ( πf t) sin( πf t) sin y( t) = 9 f + 38 f πt πt sinπf t ESERCIZIO 7 Il segnale temp-cntinu x(t) viene campinat cn l intervall di campinament T = 0ms generand la sequenza di 3 campini xn = δ n + δ n + 3δ n. Si trvi l espressine del segnale temp-cntinu x(t) suppnend che la frequenza di campinament utilizzata sia sufficientemente elevata da nn aver prdtt alias in frequenza. sin x t) = π ( π00t) sin( π00( t 0 ) + 00t π00( t 0 ) sin + 3 π ( π00( t 0 ) 00( t 0 ) (

7 ESERCIZIO 8 Cn riferiment all esercizi 7, si verifichi che il seguente cdice Matlab cnsente di calclare il valre del segnale x(t) per un qualsiasi valre di t. t=input('istante di temp al quale calclare x(t)? '); T=0e-3; x0=; x=; x=3; x=x0*sinc(t/t)+x*sinc((t-t)/t)+x*sinc((t-*t)/t) ESERCIZIO 9 Cn riferiment all esercizi 7, si verifichi che il seguente cdice Matlab cnsente di visualizzare il segnale ricstruit x(t) a pass ms nell intervall -00ms<t<00ms a partire dai campini dati. Si verifichi che in crrispndenza degli istanti di campinament il segnale ricstruit cincide cn i valri dei rispettivi campini (cmpresi quelli nulli). n=0; T=0e-3; x0=; x=; x=3; t_inizi=-0.; t_fine=0.; dt=e-3; fr t=t_inizi:dt:t_fine; n=n+; x(n)=x0*sinc(t/t)+x*sinc((t-t)/t)+x*sinc((t-*t)/t); end figure() plt((t_inizi:dt:t_fine),x) hld n stem(-*t,0,'r') stem(-t,0,'r') stem(0,x0,'r') stem(t,x,'r') stem(*t,x,'r') stem(3*t,0,'r') stem(4*t,0,'r') hld ff

8 temp (secndi) ESERCIZIO 0 Sia dat il seguente segnale temp cntinu ( π t + ) x ( t) = 5cs π 0T 6 Si calcli la ptenza della sequenza x n = x( nt ) P x n 5 = ESERCIZIO S immagini di eseguire una ripresa cinematgrafica di un asta che ruta intrn ad un su estrem cn velcita anglare Ω cstante utilizzand una cinepresa che riprende 4 ftgrammi al secnd. Durante la priezine del filmat il sistema visiv uman pera un filtraggi passa-bass temprale che restituisce cntinuita al mviment. Si calcli la massima velcita anglare dell asta che verra riprdtta fedelmente dal filmat. Si calcli per quali velcita anglari dell asta il filmat riprdurra l asta apparentemente ferma. Si tracci un grafic della velcita anglare percepita dall spettatre in funzine della reale velcita anglare dell asta. Si dica infine se i risultati trvati cambian se si riprende un elica di areplan cn pale cntrappste e nn distinguibili tra lr. L asta che ruta intrn ad un su estrem cn velcita anglare Ω cstante pu essere assimilata ad un vettre rrante cn pulsazine Ω. La cinepresa che riprende 4 ftgrammi al secnd campina cn frequenza di campinament 4Hz. Seguend il terema del campinament pssiam dire che la massima frequenza che si pu campinare senza ambiguita e di Hz. Quindi la massima velcita anglare dell asta che verra riprdtta fedelmente dal filmat sarà inferire a 4π radianti al secnd (cie giri al secnd equivalenti a 70 giri al minut).

9 L asta apparirà ferma se la frequenza di rtazine e pari ad un multipl inter della frequenza di campinament (4 giri al secnd), quindi se Ω = n 48π radianti al secnd velcità anglare percepita velcità anglare dell'asta 4 - Se si riprende un elica di areplan cn pale cntrappste e nn distinguibili tra lr, i risultati trvati ai punti precedenti vann divisi per.