Appendice A. Appunti di Matematica Discreta

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1 Appendice A Appunti di Matematica Discreta Regla della smma Suppniam di avere due insiemi A e B disgiunti, vver a intersezine nulla, (per esempi, studenti e studentesse di una stessa classe) e di dver scegliere un unic element dei due insiemi (per esempi, il rappresentante di classe). Quest può esser fatt in A + B mdi pssibili. Pssiam generalizzare questa idea nella Regla della smma: se un cert prcess richiede l svlgiment alternativ di un prim di un secnd cmpit, in cui il prim può essere svlt in n 1 mdi diversi e il secnd in n 2 mdi diversi, ci sn n 1 + n 2 mdi distinti di svlgere il prcess. Questa regla può generalizzarsi in quest md: se un prcess richiede di svlgere esattamente un tra p cmpiti alternativi, gnun dei quali può essere svlt in n i mdi diversi, cn i = 1,, p, ci sn p i=1 n i mdi di svlgere il prcess. Regla della prdtt Suppniam di avere due insiemi A e B disgiunti (per esempi, studenti e studentesse di una stessa classe) e di dver scegliere un element da ciascun dei due insiemi (per esempi, una rappresentante di classe tra le studentesse e un rappresentante di classe tra gli studenti). Quest può esser fatt in A B mdi pssibili. Pssiam generalizzare questa idea nella Regla del prdtt: se un cert prcess richiede l svlgiment di due cmpiti, il prim che può essere svlt in n 1 mdi diversi e il secnd che può essere svlt in n 2 mdi diversi, ci sn n 1 n 2 mdi di svlgere il prcess. Questa regla può generalizzarsi in quest md: se un prcess richiede di svlgere una sequenza di p cmpiti, gnun dei quali può essere svlt in n i mdi diversi, cn i = 1,, p, ci sn p i=1 n i mdi di svlgere il prcess. Quante sn le diverse stringhe di 9 bit? R.: 2 9. Infatti per la regla del prdtt abbiam che il numer delle diverse stringhe è pari a 9 i=1 2 = 2 9. Suppniam di vler assegnare un etichetta diversa a ciascun pacc di un insieme mlt numers di pacchi. Ogni etichetta è cmpsta da tre lettere (suppniam di nn distinguere maiuscle da minuscle) seguite da tre cifre; le lettere sn dell'alfabet a 21 lettere, mentre ciascuna cifra è un inter cmpres tra 0 e 9. Quante sn le diverse etichette? R.: Quanti sn i sttinsiemi di un insieme S? R.: 2 S. Infatti, si sservi che il numer di sttinsiemi cincide cn il numer 2 S delle diverse stringhe cn S bit dve l 0/1 in i-esima psizine rappresenta il fatt di cnsiderare men l i-esim element dell'insieme S. 1

2 Una passwrd deve essere cmpsta da almen 6 e al massim 7 caratteri alfanumerici. Ogni carattere alfanumeric può essere una lettera dell alfabet a 21 lettere (senza distinguere tra maiuscle e minuscle), ppure un inter cmpres tra 0 e 9. In gni cas la prima lettera della passwrd deve essere un numer. Quante sn le diverse passwrd? R.: 10 ( ). Infatti, sia p il numer di pssibili passwrd e sian p 6 e p 7 rispettivamente il numer delle passwrd cn 6 e 7 caratteri. Dalla regla della smma: p = p 6 + p 7. Determiniam p 6 : il prim carattere deve essere un numer, e quindi l pssiam scegliere in 10 mdi diversi. Ciascun dei 5 caratteri successivi l pssiam scegliere (di nuv dalla regla della smma) in 31 mdi diversi. Dalla regla del prdtt segue che p 6 = 10 5 i=1 31 = Analgamente, p 7 = 10 6 i=1 31 = Quindi, p = 10 ( ). Principi di inclusine/esclusine Suppniam di vler scegliere in una classe un rappresentante degli studenti che sia di sess femminile ppure di nazinalità nn italiana (n.b.: va anche bene che sia di sess femminile e di nazinalità nn italiana). Quante sn le pssibili scelte se nella classe ci sn n 1 studenti di sess femminile e n 2 studenti (femmine maschi) di nazinalità nn italiana? Osserviam che in generale nn pssiam applicare la regla della smma perché in quest cas l intersezine due insiemi ptrebbe essere nn vuta! In effetti anche in quest cas vgliam cntare la cardinalità dell unine dei due insiemi, ma piché in generale i due insiemi nn sn disgiunti (la lr intersezine è nn vuta), allra questa è uguale alla smma delle cardinalità dei due insiemi men la cardinalità dell'intersezine (vver il numer di studentesse di nazinalità nn italiana nella classe). Questa tecnica di cnteggi va stt il nme di principi di inclusine/esclusine. Facend riferiment al suddett esempi, quanti sn i diversi mdi di scegliere il rappresentante di classe di sess femminile di nazinalità nn italiana, sapend che la classe è frmata da 30 alunni di cui 8 di nazinalità nn italiana, 10 di sess femminile di cui 7 di nazinalità italiana? R.: Quante sn le stringhe di 8 bit in cui il terz bit è un 0 e/ l'ttav un 1? R.: Pigenhle principle ( principi dei cassetti) Principi base: se n ggetti devn essere cllcati in k = n 1 scatle, almen due ggetti terminerann in una stessa scatla. Dim.: Suppniam al cntrari che c è al più 1 ggett in gni scatla. Il numer cmplessiv di ggetti nelle k scatle deve essere nn superire a k, ma ciò è nn è pssibile perché per iptesi n = k + 1. in un grupp di 13 persne, ce ne sn almen 2 nate in un stess mese. Generalizzazine del principi: Se n ggetti devn essere cllcati in k scatle, almen una scatla cnterrà almen n/k ggetti. Dim.: Suppniam per assurd di pter allcare gli n ggetti in k scatle, mettend in gni scatla al più n/k 1 ggetti: quindi n k( n/k 1). Ma piché n/k < n/k + 1, risulterebbe n k( n/k 1) < k(n/k + 1 1) = n, ciè una cntraddizine. 2

3 In un grupp di 150 persne, ce ne sn almen 13 nate in un stess mese. Qual è il minim numer di carte che ccrre selezinare da un mazz di 52 carte francesi per garantire che ne sian selezinate almen tre dell stess seme? R.: 9. Infatti n/4 = 3 n/4 > 2, ciè n 9. Quante invece ne dbbiam almen selezinare per garantire che sian selezinati almen tre curi? R.: = 42. Dispsizini, Permutazini e Cmbinazini Dispsizini Suppniam di vler cntare quante diverse pprtunità abbiam di disprre (in md rdinat) k ggetti selezinati tra n tiplgie di ggetti. Distinguiam il cas in cui pssiam selezinare al più un ggett per ciascuna tiplgia dal cas più generale in cui ciascuna tiplgia può essere ripetuta (al più k vlte) nella selezine. Dat un insieme X, cn n = X, una dispsizine di k elementi presi dall insieme X è una sequenza (lista rdinata) di k elementi di X, ciè un element del prdtt cartesian X X, cn X ripetut k vlte. Tale element è anche dett k-dispsizine di n elementi. Una dispsizine è semplice se i k elementi che la cmpngn sn distinti (ciè a due a due diversi); è vvi che ccrre che sia k n. In generale una dispsizine di k elementi può presentare un stess element ripetut più vlte (al più k vlte): in tal cas la dispsizine è cn ripetizine. Si nti che in tal cas k può anche essere maggire di n. Indichiam cn D(n, k) il numer delle dispsizini semplici di k elementi presi da un insieme di n (vver delle dispsizini semplici, di classe k, di n elementi ). Risulta che, D(n, k) = n (n 1) (n k + 1) = n!/(n k)!. Dim.: E sufficiente sservare che il prim element può essere scelt in n mdi diversi, il secnd element in (n 1) mdi diversi, ecc., fin all element k-esim che può essere scelt in n (k 1) mdi diversi. L affermazine segue pi dalla applicazine della regla del prdtt. Si nti che se k = n, abbiam che D(n, n) = n! (assumend che 0! = 1), mentre se k = 0, allra D(n, 0) = 1, per gni n 0. Indichiam cn D'(n, k) il numer delle dispsizini cn ripetizine di k elementi presi da un insieme di n (vver delle dispsizini cn ripetizine, di classe k, di n elementi ). Risulta che, D'(n, k) = n k. Dim.: E sufficiente sservare che il prim element può essere scelt in n mdi diversi, il secnd element in altrettant n mdi diversi (vist che si pssn ripetere gli elementi), ecc., fin all element k-esim che può essere scelt analgamente in n mdi diversi. L affermazine segue pi dalla applicazine della regla del prdtt. Sian u e v due vertici di K n, il graf cmplet di n vertici. Quanti sn i pssibili cammini da u a v cn k + 1 spigli, cn k n 2? R.: D(n 2, k). 3

4 Infatti, cnsideriam un cammin da u a v cn k + 1 spigli, e.g., P = (u, v 1, v 2,, v k, v); si può assciare a quest cammin la k-dispsizine (v 1, v 2,, v k ). Viceversa, ricrdand che il graf è cmplet, pssiam assciare a una qualunque k-dispsizine (u 1, u 2,, u k ) dei vertici di V(K n )\{u, v} un cammin in K n da u a v cn k + 1 spigli, ciè (u, u 1, u 2,, u k, v). Cncludiam quindi che in K n il numer di cammini da u a v cn k + 1 spigli è prpri D(n 2, k). Quanti sn i pssibili diversi pdi (ricrdiam che sul pdi salgn i primi tre classificati: il prim sul gradin più alt, ecc.) di una gara cn 8 atleti? R.: 336. Quanti numeri di 4 cifre si pssn cmprre cn la tastiera del telefn? E quanti nel cas in cui si utilizzin sl i tasti 1, 2 e 3? R.: 10000; 81. Permutazini Suppniam di vler cntare quanti sn i diversi mdi di rdinare n ggetti di k distinte tiplgie. Dbbiam distinguere due casi: il numer k delle tiplgie cincide cn il numer n degli ggetti da rdinare, ppure k < n (in tal cas qualche tiplgia è ripetuta più vlte). Dat un insieme X, cn n = X, una permutazine (semplice) è una sequenza (lista rdinata) degli n elementi di X. Indichiam cn P n il numer delle permutazini (semplici) di un insieme di n elementi. Risulta P n = D(n, n) = n!. Dim.: Segue vviamente dal fatt che una permutazine semplice di n elementi è una n- dispsizine semplice degli n elementi. Una permutazine cn ripetizine è una sequenza di n = n n k elementi dell insieme {a 1,, a k } di cui l element a i è ripetut n i vlte. Indichiam cn P' n n 1,,n k il numer delle permutazini cn ripetizine di n elementi di k tiplgie in cui l i-esima tiplgia è ripetuta n i vlte. Risulta P' n n 1,,n k = n!/(n 1! n k!). Dim.: Segue vviamente dal fatt che le pssibili permutazini di n elementi sn pari a n!, ma nel nstr cas data una delle permutazini, questa risulta in effetti ripetuta n 1! n k! vlte in quant risulta indistinguibile rispett alle altre ttenute scambiand tra di lr le psizini di elementi identici (di identica tiplgia). Cnsideriam il campinat di calci si serie A (20 squadre). Assumiam che al termine della stagine nn ci sian squadre cn l stess punteggi: in quest cas, quante sn le diverse classifiche finali? R.: 20! E, sempre assumend che al termine della stagine nn ci sian squadre cn l stess punteggi, quante sn le diverse classifiche in cui la Rma arriva settima? R.: 19! Quanti sn i pssibili anagrammi della parla mnim (includend anche parle nn di sens cmpiut cme mimn )? R.: 7!/(3! 2!) = 420. Cmbinazini Suppniam di vler cntare quante diverse pprtunità abbiam di selezinare k ggetti (senza rdinarli) scelti tra n tiplgie di ggetti. Distinguiam il cas in cui pssiam selezinare al più un ggett per ciascuna tiplgia dal cas più generale in cui ciascuna tiplgia può essere ripetuta (al più k vlte) nella selezine. 4

5 Dat un insieme X e un inter k n = X, una k-cmbinazine (semplice) degli n elementi di X (vver una cmbinazine semplice, di classe k, di n elementi ) è un qualunque sttinsieme (nn rdinat) di X di cardinalità k. Indichiam cn C(n, k) il numer di k-cmbinazini di un insieme di n elementi. C(n, k) è n dett cefficiente binmiale ed è spess indicat cn. k C(n, k) = n ( n 1)... ( n k + 1) n! =. k! k!( n k)! Dim.: E sufficiente sservare che pssiam cstruire tutte e sle le k-dispsizini di X a partire dalle k-cmbinazini di X cme segue: prendiam una k-cmbinazine per vlta e permutiam in tutti i mdi pssibili i k elementi che la frman. In quest md, ciascuna k- cmbinazine restituisce k! distinte k-dispsizini. Quindi D(n, k) = k! C(n, k). C(n, n k) = C(n, k). n! n! Dim.: Infatti, dal risultat precedente, si ha C(n, n k) = = ( n ( n k))!( n k)! k!( n k)! = C(n, k). Ciò nn deve srprendere in quant il numer di diverse scelte di k ggetti da un insieme di n ggetti è vviamente uguale al numer di scelte degli (n k) ggetti da scartare. Si sservi che, in particlare, valgn le seguenti relazini: C(n, 0) = C(n, n) = 1, n 1 (per definizine si pne anche C(0, 0) = 1); si nti che C(n, 1) = C(n, n 1) = n, n 1. Identità di Pascal. Sian n e k due interi psitivi cn k 1 e n k. Vale la seguente uguaglianza C(n + 1, k) = C(n, k 1) + C(n, k). Dim.: Sia a un element di un insieme X di n + 1 elementi e cntiam separatamente le k- cmbinazini che cntengn a e le k-cmbinazini che nn cntengn a. Per quant riguarda le prime, sserviam che esse sn in numer pari ai diversi mdi di scegliere gli altri k 1 elementi da X\{a}, vver C(n, k 1). Per quant riguarda le secnde, ntiam che esse sn in numer pari ai diversi mdi di scegliere i k elementi da X\{a}, vver C(n, k). L affermazine segue. La precedente relazine, insieme al fatt che C(n, 0) = C(n, n) = 1 n 0, è alla base del triangl di Pascal ( di Tartaglia), che ci permette di calclare, induttivamente, il valre di gni cefficiente binmiale C(n, k). n k=0 C(n, k) = 2 n. Dim.: Cnsideriam un insieme X cn n elementi. La quantità n k=0 C(n, k) equivale a cntare il numer di sttinsiemi di cardinalità 0, più il numer di sttinsiemi di cardinalità 1,..., più il numer di sttinsiemi di cardinalità n. Ovver stiam cntand il numer di sttinsiemi di X che è nt essere 2 n. Dat un insieme X di n elementi, una k-cmbinazine cn ripetizine di elementi di X (vver una cmbinazine cn ripetizine, di classe k, di n elementi ) è una qualunque cllezine (nn rdinata) multinsieme di cardinalità k cstituit da elementi dell'insieme X, ciascun ripetut al più k vlte. 5

6 Indichiam cn C'(n, k) il numer di k-cmbinazini cn ripetizine di un insieme di n n + k 1 elementi. Si dimstra il seguente risultat C'(n, k) = C(n + k 1, k) =. k n Quanti sn gli spigli di K n, graf cmplet di n vertici? R.: C(n, 2) = = n(n 1)/2. 2 Cnsideriam un insieme V = {v 1,, v n } di n vertici di un graf. Quanti sn i diversi grafi G cn V(G) = V? R.: 2 C(n, 2). Infatti cnsideriam l'insieme K(V) frmat da tutti i pssibili spigli tra vertici di V, sappiam che K(V ) = C(n, 2). Osserviam infine che c è una crrispndenza 1 a 1 tra i grafi cn V(G) = V e i sttinsiemi di K(V). L affermazine segue. Ogni dmenica, un impiegat mlt precis selezina e rdina gli abiti per la settimana di lavr, scegliend un cmplet per Lunedì, un per Martedì, e csì via fin al Venerdì, senza ripeterli. Sapend che nel su guardarba ci sn 20 abiti, in quanti mdi può effettuare la selezine? R.: D(20, 5) = 20!/15! Suppnend che l impiegat ltre a scegliere un abit differente per i cinque girni lavrativi della settimana, scelga anche 5 ulteriri abiti di riserva per tutta la settimana lavrativa, quante differenti selezini può perare? R.: D(20, 5) C(15, 5) = (20!/15!) (15!/(5! 10!)). Quanti sn i mnmi di grad 5 di 3 incgnite x, y, e z, ciè il numer di prdtti del tip x n 1 y n 2 z n 3, cn n = n 1 + n 2 + n 3 = 5? R.: C'(3, 5) = C( , 5) = 21. Terema binmiale: (x + y) n = n k=0 C(n, k) x n k y k. Dim.: Osserviam che (x + y) n può essere scritt cme (x + y) (x + y) (x + y), vver il prdtt del fattre (x + y) ripetut n vlte. Se sviluppiam quest prdtt, avrem la smma di termini del tip x n k y k, cn k {0, 1,, n}. Per calclare il numer di ccrrenze del singl termine x n k y k, sserviam che quest numer è pari al numer di mdi di scegliere k vlte il termine y dagli n fattri (x + y), vver il numer di mdi di scegliere n k vlte il termine x dagli n fattri (x + y). L affermazine segue e giustifica il nme di cefficiente binmiale per C(n, k). Per un qualunque insieme X di n elementi, il numer dei sttinsiemi di X di cardinalità pari è uguale al numer dei sttinsiemi di X di cardinalità dispari. Dim.: Infatti, n k=0 C(n, k) ( 1) k = n k=0 C(n, k) (1) n k ( 1) k = (1 1) n = 0, per il terema binmiale. Quindi, 0 = n k= 0 0 k n: k pari k C ( n, k) ( 1) = C( n, k) C( n, k), 0 k n: k dispari vver il numer dei sttinsiemi di cardinalità pari è uguale al numer dei sttinsiemi di cardinalità dispari. Riferimenti: K.H. Rsen. Discrete Mathematics and its Applicatins. Mc Graw-Hill, 2011 (pagg ). 6