approfondimento Lezione 4. Scomposizione canonica di Kalman F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 4 1

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1 Lezine. Scmpsizine cannica di Kalman F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez.

2 Schema della lezine. Intrduzine alle scmpsizini canniche. Scmpsizine di raggiungibilità. Scmpsizine di sservabilità. Scmpsizine cannica di Kalman 5. Matlab F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez.

3 . Intrduzine Un sistema dinamic nn cmpletamente raggiungibile (d sservabile) può essere trasfrmat, mediante un pprtun cambi di variabili di stat, in md tale da separare le equazini che reglan la dinamica della parte raggiungibile (d sservabile) da quelle della parte nn raggiungibile ( nn sservabile). Nel seguit si farà sempre riferiment a sistemi SISO. F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez.

4 . Scmpsizine di raggiungibilità Sia Bu C y nn cmpletamente raggiungibile, tale ciè che M n n dve n è l rdine del sistema. Mediante un pprtun, nn unic, cambi di variabili Tr dett r l equazine di stat può essere psta nella seguente frma: Bu dve le matrici hann le seguenti strutture a blcchi n r n n r r n B r, nr r r B nr n n r dve ha dimensine n r n r e ha dimensine (n n r ) (n n r ) r nr F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez. r r

5 Partizinand il vettre di stat cme segue l equazine di stat può essere esplicitamente scritta cme r r nr var. di stat della parte raggiungibile var. di stat della parte nn raggiungibile r r r, nr nr Bru nr nr nr u() parte raggiungibile nr parte nn raggiungibile r () F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez. 5

6 L stat della parte nn raggiungibile nn è influenzat dall ingress: gni mviment della parte nn raggiungibile dell stat è pur mviment liber, la cmpnente frzata è sempre nulla. Nta Bene Cnseguenza di quant spra è che, se la parte nn raggiungibile è asintticamente stabile, il mviment liber della relativa parte di vettre di stat è asintticamente null e quindi irrelevante nella dinamica di regime del sistema. F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez. 6

7 Regla per la cstruzine della matrice T r Selezinare n r clnne linearmente indipendenti in M r ffiancand queste n r clnne ad altre n n r clnne arbitrarie ma tali che sia det(t r ), si cstruisce T r. F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez.

8 Esempi + = + = = = = = 5 = = = = Sistema nn cmpletamente raggiungibile Effettu la scmpsizine di raggiungibilità. Prima calcl la matrice della trasfrmazine. Pi la applic al sistema e l scriv nelle nuve variabili di stat Csì le uscite sn uguali alle variabili di stat. = = + = = = = = = = Ora le uscite nn sarann più uguali alle variabili di stat. F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez.

9 + = + = Pssiam nminare le variabili di stat cme segue: = = Parte raggiungibile Parte nn raggiungibile = = Guardiam la struttura delle variabili di stat di quest sistema + = + + = Cme si vede la parte raggiungibile nn influenza la parte nn raggiungibile e l ingress influenza la sla parte raggiungibile. F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez. 9

10 Prviam a sllecitare il sistema nelle variabili di stat riginali cn un ingress randm. + = + = = 5 = = y = t u y = t F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez. t

11 Quest è il diagramma - (senza srprese, il sistema nn è cmpletamente raggiungibile). E se ra prvassim a sllecitare cn il medesim (identic) ingress il sistema nella rappresentazine di stat della scmpsizine di raggiungibilità, csa ci dbbiam aspettare? + = + = = = = F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez.

12 Variabili di uscita identiche alle precedenti. Infatti, la trasfrmazine di stat nn cambia il sistema che mantiene il medesim cmprtament ingress/uscita. Nn le variabili di stat! y y t t t t

13 Quest è il diagramma - La trasfrmazine di stat ha rutat le variabili di stat in md che il sttspazi di raggiungibilità cincida cn il sttspazi generat dalla variabile di stat F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez.

14 . Scmpsizine di sservabilità Sia Bu C y un sistema nn cmpletamente sservabile, tale ciè che dve n è l rdine del sistema. M n n F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez.

15 Mediante un pprtun, nn unic, cambi di variabili il sistema può essere pst nella seguente frma: Bu y C T dve le matrici hann le seguenti strutture a blcchi n n n n C C, n n n n dve ha dimensine n n e ha dimensine (n n ) (n n ) n dett F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez. 5

16 Partizinand il vettre di stat cme segue n le equazini del sistema pssn essere esplicitamente scritte cme y B u n n, nn C parte sservabile var. di stat della parte sservabile var. di stat della parte nn sservabile () B n u trasf. d uscita y() parte nn sservabile n F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez. 6

17 L stat della parte nn sservabile nn influenza la trasfrmazine d uscita che dipende sl dalla parte sservabile dell stat e quindi : Nte il mviment liber dell uscita è identicamente null se e sltant se la cndizine iniziale della parte sservabile dell stat è Cme cnseguenza l esame di un qualunque mviment liber di y(t) cnsente di determinare univcamente la cndizine iniziale che l ha generat. Se la parte nn sservabile è asintticamente stabile, il mviment liber del su stat è asintticamente null. F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez.

18 Regla di cstruzine della matrice T Selezinare n n vettri v i linearmente indipendenti tali che M' v i = cn i=,...,n n ffiancand questi n n vettri ad altri n vettri arbitrari ma tali che sia det(t ), si cstruisce T. Nta Bene In quest cas si selezinan gli stati nn sservabili per cstruire T. F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez.

19 5. Scmpsizine cannica di Kalman Sia Bu C y un sistema nn cmpletamente sservabile e nn cmpletamente raggiungibile, tale ciè che dve n è l rdine del sistema. M n n M n n r r F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez. 9

20 Mediante un pprtun, nn unic, cambi di variabili T il sistema può essere pst nella seguente frma: Bu y C r, n r, r, n r, nr, n r, n nr, n nr, r, n nr, r, nr, nr, n nr, dve le matrici hann le seguenti strutture a blcchi C C r, Cnr, F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez. K Br, Br n, B dett K

21 u() R & NO r, n R & O r, trasf. d uscita y() NR & NO nr, n NR & O nr, F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez.

22 Partizinand il vettre di stat cme segue r, n r, nr, n nr, var. di stat della parte raggiungibile e nn sservabile var. di stat della parte raggiungibile e sservabile var. di stat della parte nn raggiungibile e nn sservabile var. di stat della parte nn raggiungibile e sservabile le equazini del sistema pssn essere esplicitamente scritte cme r, n r, n r, n r, n r, r, n nr, n nr, n nr, nr, r, r, r, r, nr, Br, u nr, nr, n nr nnr n,, nr, nnr, y r, nr, n nr, B u nr, nr, nr, C C r, r, nr, nr, r, n F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez.

23 6. Matlab Per effettuare la scmpsizine cannica di raggiungibilità si usa il cmand >> [t,bt,ct,t,k]=ctrbf(,b,c) T è la trasfrmazine che effettua la scmpsizine e K cntiene gli stati cntrllabili trvati dall algritm ad gni iterazine. N.B. Il Matlab mette spra gli stati nn cntrllabili. Similmente, per effettuare la scmpsizine cannica di sservabilità si usa il cmand >> [t,bt,ct,t,k]=bsvf(,b,c) T è la trasfrmazine che effettua la scmpsizine e K cntiene gli stati sservabili trvati dall algritm ad gni iterazine. N.B. Il Matlab mette stt gli stati sservabili. F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez.

24 Esempi scmpsizine di raggiungibilità Bu C y B C Verificare se è cmpletamente raggiungibile ed effettuare la scmpsizine di raggiungibilità. F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez.

25 Calcland la funzine di trasferiment si ttiene G z z Ci sn tre cancellazini, il sistema è certamente nn cmpletamente raggiungibile e/ sservabile. Infatti: M r B B B B 6 det M r Quindi certamente nn ha rang massim. Si può verificare che ha rang. F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez. 5

26 F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez. 6 T r det T r T r T r T r

27 F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez B C r nr r, nr B r

28 F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez. nr r u u nr r nr r r r nr r, nr B r

29 Esempi scmpsizine di sservabilità Bu C y B C Verificare se è cmpletamente sservabile ed effettuare la scmpsizine di sservabilità. F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez. 9

30 F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez ' ' ' ' ' ' ' C C C C M det M Quindi certamente nn ha rang massim. Si può verificare che ha rang.

31 F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez ' v M v sluzine v v

32 F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez. T det T T T T

33 F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez B C n, n C

34 F. Previdi - Cntrlli utmatici - Lez. n u u u u u u n n n, n y