Correzione della fila 1 della prova intermedia 5 novembre 2009 Esercizio 1 La matrice

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1 Lezine 4 - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann accademic 9/ Crrezine della fila della pra intermedia nembre 9 Esercizi La matrice + + k k k ha determinante k +4k- diers da zer se e sl se k k. In tale cas ρ(a) ρ(a B). Per k ρ(a) ρ(a B). Per k 4 ρ(a), ρ(a B). Per k il sistema assciat è:

2 x+ y z y z Da cui pnend zα si ttiene x-α, y-α. Ricapitland: Se k k ρ(a) ρ(a B); k ρ(a) ρ(a B); k ρ(a), ρ(a B). Per k : k k il sistema è di Cramer e ammette una sla sluzine; per k il sistema ammette infinte sluzini. S{(-α,-α, α) α R}. Esercizi L spazi ettriale U è generat dalle matrici:,, ma esse nn sn l.ind. (es: la III è la I+II). Una base di U è quindi cstituita da: Lezine 4 - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann accademic 9/

3 Lezine 4 - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann accademic 9/, e dimu La matrice A appartiene ad U se e sl se la matrice delle cmpnenti di A e delle matrici della base di U ha rang : + k k (la IV clnna è la I-III) Impniam che il determinante selezinat sia null: k-. Per quest alre il rang è sicuramente. Esercizi W ha dimensine. I ettri di A k sn sempre linearmente indipendenti: + k k k ρ infatti dim L(A k ) e una base è frnita da A k. Pst k la base dienta di L(A ) ((,-,,-),(,,,),(,,,)) Studi la dimensine dell spazi L(A k )+W attraers il rang di;

4 ρ 4 4 Dunque dim[l(a k )+W]4 e una base è la base cannica di R 4. Per il terema di Grassmann la dimensine dell intersezine L(A k ) W è ; i ettri che appartengn all intersezine sn: α,β,γ,x,y R tali che α(,-,,-)+β(,,,)+γ(,,,)x(,,4,)+y(,,,) (x,x,4x,). L(A k ) W{(x,x,4x,) x R}. dim[l(a k ) W ] e base ((,,4,)). Esercizi 4 Sltant la cppia (,,-) (,,). Il cmplement rtgnale di A è cstituit dai ettri (x,y,z) tali che:. Lezine 4 - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann accademic 9/ 4

5 ( x, y, z) (,, ) ( x, y, z) (,,) ( x, y, z) (,,) cncludend che y e x-z: A {(x,y,z) R x-z y }{(α,,α) α R} L((,,)) Esercizi k+ k A k k, Il plinmi caratteristic è (k+-λ)(--λ)(-λ). Gli autalri sn quindi: λ k+, λ -, λ. Se λ k+ λ - k- (λ- mlteplicità alg. ) Se λ k + λ k (λ mlteplicità alg. ). Per k - k la matrice è sicuramente diagnalizzabile λ λ λ e m.alg.m.gem. Lezine 4 - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann accademic 9/

6 Cntrlliam k-: ρ(a - +I ) dunque mlt. gem. di λ- è mentre la mlt.alg è. Nn diagnalizzabile. Cntrlliam k: ρ(a -I ) dunque mlt. gem. di λ è cme la mlt.alg. Diagnalizzabile. la matrice è diagnalizzabile se e sl se k -. Riassumend Per k la matrice è diagnalizzabile e gli autalri sn: λ m.a.m.g., λ - m.am.g.. Mentre gli autspazi sn: Lezine 4 - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann accademic 9/ 6

7 Lezine 4 - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann accademic 9/ 7 V {(α,β,β) α,β R} di base ((,,),(,,)) V - {(,α,) α R} di base ((,,)) Le due matrici richieste sn: la matrice diagnale A e la matrice diagnalizzante P.

8 Esercizi In R (R) si determini una base per L{, } de (,-,), (,,) e il prdtt scalare è csì definit: (x,y,z ) (x,y,z ) x x + y y + z z rispett alla base cannica. Slgiment: Attenzine il prdtt scalare nn è euclide. Per la prprietà L{, } {, }, il cmplement rtgnale è cstituit da tutti e sli i ettri (x,y,z) che hann prdtt scalare cn (,-,) e cn (,,) null: (,,) ( x, y, z) x (,,) ( x, y, z) y+ z y L{, } {(x,y,z) R x+z y } è un sttspazi ettriale di R (R) di dimensine cn base ((-,,)). Lezine 4 - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann accademic 9/ 8

9 Esercizi In R 4 (R) si determini una base per L(A) de A {(,,-,),(,,,)} e il prdtt scalare è csì definit: (x,y,z,t ) (x,y,z,t )x x +y y +z z +t t. Slgiment: Attenzine il prdtt scalare nn è euclide. Per la prprietà L(A) A, il cmplement rtgnale è cstituit da tutti e sli i ettri (x,y,z,t) che hann prdtt scalare cn (,,-,) e cn (,,,) null: (,,,) ( x, y, z, t) xz (,,,) ( x, y, z, t) y L(A) {(x,y,z,t) R 4 x-z y } è un sttspazi ettriale di R (R) di dimensine cn base ((,,,),(,,)). Lezine 4 - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann accademic 9/ 9

10 Prdtti scalari definiti psitii I prdtti scalari degli esercizi e sn definiti r psitii: >, In tal cas è pssibile cnsiderare la nrma dei ettri definita cme : Due ettri, di R n hann la stessa direzine se λ cn λ R. Un ettre è dett ersre se la sua nrma è. Rispett ad un prdtt scalare definit psiti in V, spazi ettriale su R, è sempre pssibile scriere un ettre cme smma di due ettri un di L() e un di {} cn ettre nn null. + Lezine 4 - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann accademic 9/

11 de è il cefficiente di Furier di lung la direzine di, è la priezine di nella direzine di, è un ettre rtgnale a. // Esercizi In R (R) dati (,-,) (,,) e il prdtt scalare è csì definit: (x,y,z ) (x,y,z ) x x + y y + z z rispett alla base cannica, si determini la priezine di Lezine 4 - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann accademic 9/

12 nella direzine di e si scria cme cmbinazine lineare di quest ettre e di un rtgnale a. Slgiment: Attenzine il prdtt scalare nn è euclide. Determin il cefficiente di Furier: (,-,) (,,). + (-). +.. (,,) (,,) dunque tale cefficiente è /. Allra /(,,)+ ((,-,)-/(,,)) (,/,/)+(,-8/,4/) Il ettre (,/,/) è la priezine di nella direzine di, mentre (,-8/,4/) è rtgnale a rispett a quest prdtt scalare, infatti: (,-8/,4/) (,,). + (-8/). +.(4/).. Lezine 4 - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann accademic 9/

13 Esercizi 4 In R 4 (R) dati i ettri u(,-,,), (,,,) e il prdtt scalare è csì definit: (x,y,z,t ) (x,y,z,t )x x +y y +z z +t t. Si determini la nrma di u, la nrma di, la priezine di u lung e si scrian u e cme cmbinazine lineare di ersri cn la medesima direzine rispettiamente di u e. Slgiment (attenzine al prdtt scalare): La nrma di u è la radice quadrata di: (,-,,) (,-,,)..+.(-).(-) u u u 6 Analgamente, la nrma di è la radice quadrata di: (,,,) (,,,) La priezine di u lung è: u (,,,),,, Lezine 4 - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann accademic 9/

14 Lezine 4 - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann accademic 9/ 4 Infine,,, e, 6, 6, 6 6 u de i ettri,,, e, 6, 6, 6 sn rispett a quest prdtt scalare dei ersri (la lr nrma, rispett a quest prdtt scalare, è ). Una base (, n ) di R n è rtgnale rispett ad un prdtt scalare se e sl se i j per gni i,j,,n cn i j. Una base (, n ) di R n è rtnrmale rispett ad un prdtt scalare definit psiti se e sl è rtgnale e i i gni i,,n. Metd di rtgnalizzazine di Gram-Schmidt:

15 Lezine 4 - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann accademic 9/ Data una base B (, n ) di V, se ne cstruisce una rtgnale rispett ad un prdtt scalare definit psiti B (, n ) nel seguente md:,..,n i i i i i n n n... Oiamente il metd di Gram-Schmidt può essere usat anche per le basi dei sttspazi ettriali. Esercizi In R (R) dati B((,,),(,,),(,,)) e B ((,,),(,,),(,,))e il prdtt scalare è csì definit:

16 (x,y,z ) (x,y,z ) x x + y y + z z si cstruisca a partire da B una base rtnrmale rispett a quest prdtt scalare. Slgiment Rispett a quest prdtt scalare i tre ettri sn rtgnali, infatti i prdtti scalari tra ettri diersi sn sempre nulli. Le nrme dei tre ettri dati sn: (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) Dunque la nua base è : Per B (,,),(,,),,,. Lezine 4 - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann accademic 9/ 6