Astronave, atomo, etc..

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1 Cinematica del punt materiale Punt materiale: ggett di dimensini lineari trascurabili rispett alla precisine cn cui se ne vule determinare la psizine z x Astrnave, atm, etc..

2 z r Crdinate nell spazi Lntan da grandi masse vale sperimentalmente la gemetria Euclidea x O y z x Le linee rette sn definite dai raggi di luce Einstein et al. y θ 4 r = x + y + z Gauss et al., ca 1 Sle

3 z θ Crdinate Sferiche ( ) ( ) x = rsin θ Cs φ ( ) ( ) y = rsin θ Sin φ r z=rcsθ ( ) O φ y x

4 Lngitudine = φ Latitudine = 90 -θ r =R

5 Crdinate cilindriche z x y ( ) = ρ Cs φ ( ) = ρ Sin φ z = z z φ y x ρ ο

6 Descrizine del mt di un punt materiale Il mt è interamente nt nell intervall di temp t 1 < t < t 2 se sn nte x (t), y (t) e z (t) nell stess intervall ( r (t), φ (t) e z (t) etc.) La legge raria

7 Al passare del temp il punt descrive una curva nell spazi: la traiettria t t xt () = rcs () () 2 π ; y t = rsin 2 π ; z t = vt; t t r = 1 m t = 50 s v m = 0.01 s

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9 Stessa Traiettria, diversa legge raria t t xt () = rcs () () 2 π ; y t = rsin 2 π ; z t = vt; t t r = 1 m t = 50 s v m = 0.01 s

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11 y y B y A r B Nuv cncett: l spstament Punt che va da A a B D Le due grandezze φ A { x = x B -x A, y = y B -y A } C Definiscn un nuv ggett matematic x A x B r x Nta: l spstament A B è uguale a CD 2 2 ( ) ( ) r= x x + y y B A B A B A B A ( ) ( ) x x = r Cs φ ; y y = r Sin φ

12 y y D y B y A A Smma D B r di spstamenti 2 r r r x x,y y 1 r 1 3 r 2 { } 3 D A D A = x x + x x, {( ) ( ) D B B A ( y y ) ( y y )} + = D B B A x A x B x D def r r + r x = x + x, y + y { } Nta: la smma è cmmutativa r + r = r + r

13 y y r 1 y y r 1 r 1 r Σ a vlte un spstament r = Σ r + r + r x Σ y = Σ r Σ = def 3 x 3 y r 1 x x x x def r = a r x = a x, y = a y Σ 1 Σ 1 Σ 1

14 Qualche sservazine x = a x ; y = a y Σ 1 Σ 1 r = a Σ x + a y = a r r 1 B A r 1 Es: α= - 1

15 Queste sn le prprietà di un camp vettriale Gli spstamenti sn dunque vettri e gdn di tutte le lr prprietà I numeri cme a, che nn dipendn dalla scelta delle crdinate si chiaman scalari (Es: misure di temp, misure di temperatura, misure di massa etc.) La lunghezza di un spstament è un scalare (verificare che nn dipende dalla scelta delle crdinate)

16 ϕ y y Trasfrmand le crdinate P ( ) ysinφ ' P y P y P x P x ϕ x P ' P x P ( ) xcsφ ' P x ( ) ' φ ysin( ) = xcs φ P

17 ϕ y y P ( ) y Cs φ ' P y P y P x P x ϕ ' P ( ) xsinφ x P x y P ' P ( ) ' φ y Cs( ) = xsin + φ P

18 π Cs π Sin = 0.5 6

19 La legge di trasfrmazine e la sua inversa: x e y sn rutate di ϕ rispett a x e y x e y sn rutate di -ϕ rispett a x e y ( ) ' ( ) x = x Cs φ y Sin φ ' P P P ( ) ' ( ) y = xsinφ + y Cs φ ' P P P ( ) ( ) x = x Cs φ + y Sin φ ' P P P ( ) ( ) y = xsinφ + y Cs φ ' P P P φ φ Cambiand segn a ϕ il sen cambia segn ed il csen n

20 La trasfrmazine degli spstamenti ( ) ( ) ( ) ( ) = x Cs φ y Sin φ & x = x Cs φ y Sin φ ' ' ' ' P P P Q Q Q ( ) ( ) ( ) ( ) = x Sin φ + y Cs φ & y = x Sin φ + y Cs φ ' ' ' ' P P P Q Q Q ( ' ' ) ( ) ( ' ' ) ( ) x x = x x Cs φ y y Sin φ P Q P Q P Q x x' y' ( ' ' ) ( ) ( ' ' ) ( ) Q P Q y y = x x Sin φ + y y Cs φ P Q P Q P Q y x' y' Le cmpnenti dell spstament si trasfrman cme le crdinate dei punti

21 Il mdul di un spstament x= x'cs φ y'sin φ ( ) ( ) ( ) ( ) y = x'sin φ + y'cs φ ( ) ( ) ( ) ( ) = φ + φ φ φ x x' Cs y' Sin 2 x' y'cs Sin ( ) ( ) ( ) ( ) y = x' Sin φ + y' Cs φ + 2x' y'sin φ Cs φ r x y x' Cs ( ) Sin ( ) = + = φ + φ ( ) 2 Cs ( ) 2 + y' Sin φ + Cs φ = r' E un scalare = 1 = 1

22 Trasfrmazine di un spstament quand si rutan gli assi di un angl ϕ x ϕ y y ( ) ( ) x= x'cs φ y'sin φ ( ) ( ) y = x'sin φ + y'cs φ x ϕ

23 Nte: Le tre crdinate cartesiane di un punt sn le cmpnenti dell spstament che prta dall rigine a quel punt: Il raggi vettre r Le tre cmpnenti di un spstament nn dipendn dalla scelta dell rigine ma sl dall rientazine degli assi yb Se si cambia rigine le ya crdinate cartesiane cambian ed r cambia O y B y A O ya xa A O B xb r A xa yb-ya= y B-y A xb-xa= x B-x A

24 Una cppia di grandezze fisiche che si trasfrman cme le cmpnenti cartesiane di un spstament quand si cambia il sistema di crdianate frman un vettre In particlare: La smma (differenza) di due vettri è un vettre Il prdtt di un vettre per un scalare è un vettre Tutt vale anche in 3 dimensini

25 A r A r 1 r B B Un spstament è la differenza fra il raggi vettre del punt di arriv e quell del punt di partenza

26 Un utile esercizi: la legge raria della Terra 1 AU=distanza media Sle-Terra= m

27 Cnversine in crdinate cartesiane [ ] [ ] x = Distanza Cs Hlng Cs Hlat [ ] [ ] [ ] y = Distanza Sin Hlng Cs Hlat ;z = Distanza Sin Hlat

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29 30 girni

30 Crdinate cartesiane

31 La relazine fra spstament e temp trascrs: il cncett di velcità

32 L spstament va a 0 Il rapprt tende ad un limite finit

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35 Il mdul xt ( + t ) xt ( ) yt ( + t ) yt ( ) zt ( + t ) z ( t ) + + t t t

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38 Alcune cnclusini Dividend le tre cmpnenti del vettre spstament per l scalare temp si ttiene ancra un vettre: la velcità media v xt xt y t, y t z t, z t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = t2 t1 t2 t1 t2 t1 v t,t ( ) 1 2 r t ( ) r( t ) 2 1 t t 2 1

39 ( ) xt ( ) xt e t t allra v t indip da t ( ) x 1 2 t2 t1 Vettre velcità istantanea v( t ) xt+t xt y t+ t y t z t+ t z t Lim, Lim, Lim t 0 t t 0 t t 0 t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { v ( ) ( ) ( )} x t,vy t,vz t

40 Direzine e vers Tangente alla traiettria. Vers di percrrenza

41 φ Mdul: lunghezza dell arc di traiettria nell unità di temp

42 Lim r( t + t) r( t) = 0 t Lim t r t t r t t ( + ) ( ) = v t () lunghezza di traiettria Mdul: temp impiegat Direzine: tangente alla traiettria Vers: stess vers di percrrenza della traiettria

43 Mt rettiline unifrme = + y( t) = vyt+ y ( ) z t = vzt+ z () x xt v t x r() t = { v } xt+ x,vyt+ y,vzt + z def dr() t v() t dt d( v ) ( ) ( ) xt+ x d v yt+ y d vzt+ z =,, dt dt dt Un vettre cstante = v,v,v { } x y z () 2() 2( ) 2 v t = v ( ) x t + vy t + vz t = v x + vy + vz

44 y r t () Si può rappresentare in un pian v() t r () t O x

45 y Cmpnenti della velcità v() t vx = v Cs φ vy ( ) = v Sin φ ( ) O v() t φ x

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47 Unità di misura nel SI m/s Valri tipici Sun (in aria STP) 340 m/s Luce m/s Autmbile 35 m/s Aere (Jet cmmerciale) 250 m/s Crsta terrestre m/s

48 Mt circlare unifrme () = ( ω ) y ( t) = rsin( ω t) ( ) x t rcs t [ ] [ ] 1 r = l ω = t z t = 0

49 Ancra sulle leggi fisiche: la prprzinalità fra ptenze di grandezze misurate h vut P atm A = α γ β KB C D P SI : h( m) = ρ Es: legge di Tricelli ρ= densità ( ) atm ( Pa) kg 3 m M L P atm =pressine atmsferica ρ = ( ) ( ) M( kg) Patm Pa L m SI : h m = M 3 L 3

50 Grandezza Pressine Lunghezza Cambiament di unità: Patm ( Pa) L( m) ( ) = M( kg) SI : h m Unità di partenza Unità di Arriv 3 Fattre di Cnversine Pascal Trr 1 Pascal = Trr Metr Centimetr 1 Metr = 100 Centimetri Massa Kilgramm Gramm 1 Kilgramm = 1000 Grammi Cambia la cstante h( cm) atm ( ) ( ) ( ) = = 100 M ( gr) Patm ( Trr) L( cm) h( cm) = ( 100) M( gr) 3 Patm ( Trr) L( cm) h( cm) = 1.36 M( gr) P Trr L cm 100 h m Legge di prprzinalità è salva

51 Cambiament di unità: A=k A A, B=k B B, C=k C C, D=k D D k A' = Kk B' k C' k D' = α α γ γ β β A B C D α γ β Kk BkCk D = B' C' D' k A α γ β A' = α γ β K'B' C' D' Ok: la prprzinalità è sservata da entrambi gli sservatri ( B ) k A ( ) A= Sin ' Sin k B' N: sl un dei due sservatri trva la legge bbedita A B

52 Il rapprt di due numeri che si misuran nelle stesse unità nn dipende dalla scelta dell unità di misura (numer pur) B B' kb B' = = B B' k B' B Una funzine trascendente di un numer pur può cmparire in una legge fisica A A Sin B = B A' B A' = kaasin B' kb ASin B' k B = ka B' kb B' k B' A' Sin B'

53 Mt circlare unifrme () = ( ω ) y ( t) = rsin( ω t) ( ) x t rcs t [ ] [ ] 1 r = l ω = t z t = 0 r() t = () ( ) ( ) x t y t z t + + = rcs ω t + rsin ω t = r ( ) ( )

54 v x v () t y () t Velcità dx() t dr ( ) Cs ωt = = = r ω Sin( ω t) dt dt dy () t drsin( ) ωt = = = r ω Cs( ω t) dt dt dz ( t) v () z t = = 0 dt v t r Sin t,cs t { } () = ω ( ω ) ( ω ) v t = r ω Sin ω t + Cs ω t = rω () 2( ) 2( )

55 π θ= φ 2 y O r( t) v( t) ( ) = ( ) ω ( ) = ( ω ) x t rcs t y t rsin t φ =ω t x ( ) = ω ( ω ) v t rcs t y ( ) = ω ( ω ) v t rsin t x

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57 r t () v() t r t ( ) v( t) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) x t v t y t v t z t v t x y z = rcs ω t ωrsin ωt ( ) ( ) ( ) ( ) + rsin ω t ω rcs ω t = 0 Ma anche r() t v() t r() t v() t Cs r = () t v() t () v() t r t =± π 2

58 r t t r t ( + ) ( ) π δ 2 2 r t ( + t) δ r( t) Al tendere di t 0, δ 0 e π/2-δ/2 π/2 r t+ t r t r t ( ) ( ) () La derivata di un vettre di mdul cstante è rtgnale al vettre derivat