La logica quantistica

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1 La lgica quantistica Nella teria quantistica nn algn più taluni schemi di inferenza classici: è necessari che le parle lgiche «e» e slgan nui ruli; la teria dei reticli ci cnsente di cstruirne un mdell e R. La frmula rappresenta una delle csiddette «leggi distributie» della lgica; in un'altra legge distributia le psizini dei cnnettii e e sn scambiate. Queste leggi lgiche presentan una stretta smiglianza cn la legge distributia della smma rispett al prdtt, in aritmetica, secnd cui, per esempi, l'ea spressine 2 x (3 + 4) è uguale a (2 x 3) + (2 x 4). Nella lgica classica i ruli dei cnnettii lgici e sn definiti, almen in parte, implicitamente negli schemi che frman nella legge distributia. Nella descrizine quantmeccanica dell spin dell'elettrne, tuttaia, il passaggi lgic dalla premessa alla cnclusine della legge distributia è blccat. Suppniam che P designi la frase «L spin rispett all'asse x è "su"», Q designi la frase «L spin rispett all'asse y è "su"» e R designi la frase «L spin rispett all'asse y è "giù"». Allra la frmula P e (Q R) può essere era, ma la frmula (P e Q) (P e di R. I. G. Hughes X V Z T Z U Z e la zia Agata è mrta e l'ha uccisa il macellai l'ha uccisa il giardiniere, allra sicuramente la zia S Agata è mrta e l'ha uccisa il macellai ppure la zia Agata è mrta e l'ha uccisa il giardiniere. Se una mneta da cent lire sta in una scatla e indica testa crce, allra quella mneta da cent lire sta in una scatla e indica testa, ppure quella mneta sta in una scatla e indica crce. In ambedue questi casi il raginament nn fa una grinza: date le premesse, nn si può nn cncrdare sulla cnclusine, per quant banale essa appaia. Inltre, il cntenut di queste frasi è un element del tutt incidentale per la alidità delle inferenze: né la ricchezza della zia Agata, né la cupidigia del macellai, né il cncett di mrte hann alcun rilie per la prima argmentazine; né il alre della mneta da cent lire, né la definizine di testa crce pssn mdificare la cnclusine della secnda argmentazine. Piché il cntenut nn ha alcun rilie, la alidità di queste inferenze dipende slamente dalle regle della lgica: in particlare dipende sl dal cmprtament strutturale esibit dai cnnettii lgici e. Cnsideriam ra certi fenmeni fisici a scala micrscpica, nei termini in cui sn descritti dalla teria dei quanti. Secnd questa teria, l'elettrne (cme un cert numer di altre particelle) pssiede un mment anglare intrinsec, spin. L spin è quantizzat: si tra che assume sempre l'un l'altr di due alri, «su» «giù», qualunque sia la direzine rispett alla quale iene misurat. Tuttaia, nn si può specificare l spin di un elettrne rispett a due assi spaziali simultaneamente. Se, per esempi, l spin di un elettrne, misurat rispett all'asse x, è «su», nn è pssibile assegnare alcun alre definit all spin dell'elettrne rispett all'asse y. Suppniam che un fasci di elettrni abbia spin cmpletamente plarizzat rispett all'asse x, il che significa che, gniquallta si misura l spin rispett all'asse x, si tra che tutti gli elettrni del fasci hann I stess alre di spin (diciam, per esempi, «su»). Piché il fasci nn è stat plarizzat rispett all'asse y, si può dire di ciascun elettrne del fasci preparat che il su spin rispett all'asse x è «su», e che il su spin rispett all'asse y è «su» «giù». Seguend l schema di raginament esemplificat nell'analisi dell'micidi della zia Agata, l'enunciat relati all'elettrne implica che l spin rispett all'asse x è «su» e l spin rispett all'asse y è «su», l spin rispett all'asse x è «su» e l spin rispett all'asse y è «giù». In questa affermazine, tuttaia, ambedue i disgiunti ilan il principi della meccanica quantistica secnd cui l spin nn può essere specificat simultaneamente rispett a due assi. Piché nessun dei due disgiunti può essere accettat, ci ediam cstretti a rifiutare nel su cmpless tutta l'affermazine. Pertant bisgna, rifiutare l'enunciat di partenza sulla natura del fasci preparat, ppure inalidare un prcediment lgic per definire le cnseguenze dell'enunciat, che nel raginament cmune sembraa del tutt inncu. Nn abbiam alcun mti per rifiutare l'enunciat di partenza e, pertant, sembra che almen una delle leggi della lgica classica nn pssa essere applicata al dmini dei fenmeni quantistici. gniprpsta di sttprre a reisine le leggi della lgica, anche sl di cnsiderarle suscettibili di reisine, a cntr cninzini radicate, uniersalmente ritenute alide. Cinnstante, l'alternatia - cnserare la lgica classica, negand alidità alla teria dei quanti - sembra pc affascinante. A cinquant'anni dalla sua frmulazine, la meccanica quantistica è una delle terie scientifiche di maggir success: presenta una ersatilità e una efficacia di preisine tali, da nn temere seri riali. Viene applicata di rutine e cn eleata precisine nell studi delle interazini delle particelle elementari e frnisce anche un mezz per descriere una ampia gamma di altri fenmeni, cmprese fra l'altr la fisica e la chimica di atmi, mlecle e materiali slidi. Secnd alcuni filsfi della scienza, la stria della fisica presenta almen un precedente per quel tip di spstament cncettuale che cnseguirebbe a una mdificazine della lgica classica. È rmai un lug cmune affermare che, nell silupp della fisica dp Einstein, le nzini di spazi, temp, energia, quantità di mt e massa sn state prfndamente mdificate. Quest cambiament può essere espress in md frmale dicend che nel linguaggi della fisica mderna i ruli di parle cme spazi, temp, energia, quantità di mt, massa sn diersi da quelli che esse ricprian nel linguaggi della fisica classica. Analgamente, si può pensare che, se il linguaggi della fisica incrpra la struttura cncettuale della fisica, allra anche i ruli di parle cme e, e nn nn sn esenti da reisine. Piché tradizinalmente queste parle sn state assciate cn le ricerche lgiche, e piché l spstament dei lr ruli è mtiat dall silupp della meccanica quantistica, è sensat dare il nme di «lgica quantistica» al risultat di quest spstament. Cme si può caratterizzare il rul slt in un linguaggi da parle che fungn da cnnettii lgici? Suppniam che P designi la frase «La zia Agata è stata uccisa», Q designi la frase «l'ha uccisa il macellai», e R designi la frase «l'ha uccisa il giardiniere». Allra la struttura lgica della nstra prima inferenza può essere espressa in quest md: da P e (Q R) si inferisce (P e Q) (P e R). Quand si presenta in quest md la frma lgica del raginament. si ule indicare che l'inferenza è alida indipendentemente dalle effettie frasi dichiaratie che si sstituiscn alle lettere P, Q X A (Y Z) (X n Y) (X n Z) X Z T Z In lgica, la legge distributia afferma che, dati tre enunciati qualunque P, Q e R, se è er l'enunciat cmpstp e (Q R), allra dee essere er anche l'enunciat cmpst (P e Q) (P r R). Si può dare un mdell della legge distributia mediante un reticl: una serie di punti e una rete di linee che cllegan i punti inferiri cn quelli superiri. I punti rappresentan enunciati e le linee rappresentan relazini di implicazine. Un enunciat rappresentat da un dat punt implica tutti gli enunciati rappresentati da punti che si tran più in alt nel reticl e che pssn essere raggiunti dal punt dat prcedend lung linee ers l'alt. Sul reticl si pssn definire due perazini, chiamate rispettiamente unine e intersezine e rappresentate rispettiamente dai simbli e A. L'intersezine di due punti è il punt più alt a cui ambedue i punti dati sn cllegati mediante linee che ann ers il bass da almen un di essi. L'unine di due punti è il più bass fra tutti i punti a cui i punti dati sn cllegati mediante linee che ann S A (U V) (S A U) (S A V) U Z ers l'alt, a partire da almen un dei due. Se si identifica l'perazine di intersezine cn la parla e e l'perazine di unine cn la parla, il reticl può cstituire un mdell delle relazini lgiche fra enunciati. La struttura del reticl determina la alidità men di relazini distributie per le perazini di intersezine (frecce in ner) e di unine (frecce in clre). Per il reticl nelle figure n e b l'intersezine dix cn l'unine di y ez e l'unine dell'intersezine di x ey cn l'intersezine di x e: prtan all stess punt: le due perazini sddisfan una frma della legge distributia. Un reticl di tal fatta cstituisce un mdell per la lgica classica, distributia. Per il reticl nelle figure e e d, inece, le due perazini nn prtan all stess punt. Il reticl cstituisce un mdell per quella lgica nn distributia che sembra essere necessaria per la descrizine dei fenmeni quantmeccanici. (L'perazine di unine nelle figure b ed nn è indicata da una freccia, dal mment che si resta sempre al punt più bass, ciè al punt.) 00 0

2 a SRGENTE DI ELETTRNI SCHERM CLLIMATRE ELETTRMAGNETE Le prprietà sserate dell spin, mment anglare intrinsec, fann pensare che la legge distributia nn pssa essere applicata alla descrizine di una particella atmica subatmica. In base alla meccanica classica, particelle il cui spin è rientat in maniera casuale drebber enire deflesse lung una serie cntinua di percrsi da parte di un camp magnetic ariabile da punt a punt. Nel 92 tt Stern e Walther Gerlach scprirn che un tale camp deflette le particelle lung due sli percrsi, il che indica una quantizzazine dell spin (a); la cmpnente dell spin misurata rispett a un qualunque asse prestabilit è inariabilmente «su» «giù». In ciascun dei fasci defiessi tutte le particelle hann una cmpnente di spin «su» rispett all'asse del camp magnetic (per esempi, l'assex ), e hann una cmpnente di spin «su» una cmpnente di spin «giù» rispett a un asse perpendiclare al camp (per esempi l'asse y). Nella lgica classica 02 SPIN (X) «GIÙ- SPIN (x) «SU» SPIN (Y) «SU» SPIN (Y) «GIÙ» ELETTRNI CN SPIN «SU» ELETTRNI CN SPIN «GIÙ» SCHERM DI RIVELAZINE RISULTAT ATTES IN BASE ALLA LGICA CLASSICA SPIN (X) «SU RISULTAT SSERVAT quest equiale a dire che alcune particelle nel fasci defless hann spin «su» rispett all'asse x e spin «su» rispett all'asse, e alcune hann spin «su» rispett all'asse x e spin «giù» rispett all'asse y. Un secnd camp magnetic perpendiclare al prim può suddiidere un dei faci nelle sue due cmpnentiy. Ci si aspetterebbe che un terz camp magnetic, rientat lung l'assex cme il prim, dia lug a un fasci sl, dal mment che le particelle in precedenza sn state espste a campi che ne plarizzaan l spin prima lung l'asse x e pi lung l'asse y (b). In% ece dal terz camp emergn due fasci: ciascun fasci è plarizzat lung l'asse x, ma la cmpnente y è rientata in maniera casuale (c). Il risultat indica che è impssibile assegnare alti esatti simultaneamente alle cmpnenti x e y dell spin di una particella. Nn ale più l'equialenza deriata dalla legge distributia, piché le cmpnenti x e y dell spin nn sn definibili simultaneamente. R) nn può essere cnserata. Il tip di mdificazine della lgica richiest dalla meccanica quantistica sarebbe pertant un cambiament nei ruli dei cnnettii e e per cui, in riferiment agli enunciati della meccanica quantistica, nn alga più la legge distributia. Cme aere la certezza che una tale mdificazine del linguaggi nn renda insensata la struttura lgica tradizinale e nn cnduca a incnsistenze paradssi? La rispsta tradizinale a questa dmanda è stata quella di cstruire un mdell matematic che incrprasse la mdificazine richiesta, ma presentasse ancra un cmprtament raginele. (Quel che si intende cn «cmprtament raginele» prbabilmente nn può essere specificat in anticip.) Un esempi istrutti di quest prcess è frnit dall silupp della gemetria nn euclidea. L silupp della gemetria nn euclidea cminciò quand i matematici iniziarn a mettere in dubbi l'auteidenza del quint pstulat di Euclide. Tale pstulat afferma che per un punt nel pian, estern a una retta data, può essere tracciata una e una sla parallela alla retta data. Negand il quint pstulat, e assumend inece che per il punt dat si pssan tracciare infinite parallele nessuna parallela alla retta data, gli studisi di gemetria del XIX secl riuscirn a cstruire sistemi frmali di ntele ricchezza. Tali sistemi eran cstituiti da pstulati e teremi che inizialmente nn ptean essere interpretati cme enunciati relatii alla gemetria. nstante tali sistemi frmali sian Nn intrinsecamente interessanti per il matematic, è difficile usarli, se nn i è md di interpretarne i teremi e i pstulati. Inizialmente gli studisi di gemetria nn ptean ffrire garanzie della nn cntraddittrietà di tutti i lr risultati, né riuscian a percepire cme tutti i ari sistemi frmali fsser fra lr prfndamente legati. Dp un p' di temp, tuttaia, ci si rese cnt che gli enunciati dei sistemi frmali ptean essere interpretati cme enunciati relatii alla gemetria delle superfici cure, cme la superficie di una sfera la superficie iperblica infinita a frma di sella. La cstruzine di mdelli gemetrici cnsentì una cmprensine di natura più intuitia: gli schemi astratti dei sistemi frmali ptean essere isualizzati stt frma di relazini gemetriche, ed era pssibile capire isiamente se un terema aea sens men. I matematici, pi, cminciarn a cnsiderare ciascun mdell gemetric semplicemente cme un cas all'intern di un studi più generale sulle superfici cure: la gemetria di un particlare mdell ptea enir caratterizzata specificand la curatura della superficie. La gemetria euclidea, per esempi, è l studi delle superfici piane, ciè delle superfici a curatura nulla. In quest md l'interpretazine gemetrica dei ari sistemi frmali indicaa che questi nn eran prii di cllegamenti fra lr, ma facean parte di un'unica fami- AMPIEZZA DI PRBABILITÀ «GIÙ»DI SPIN 'SU» L stat di spin di una particella dà la prbabilità che l spin misurat rispett a un dat asse spaziale sia «su» «giù». Per cnenzine, se si chiudn le dita della man destra nell stess sens dell spin, il pllice della man destra indica la direzine di spin «su». La prbabilità di trare che la particella abbia spin «su» rispett all'asse dat è il quadrat del alre asslut di un ettre chiamat ampiezza di prbabilità di spin «su». Analgamente, la prbabilità di trare che la particella abbia spin «giù» rispett a un dat asse è il quadrat della ampiezza di prbabilità di spin «giù». La prbabilità che l spin della particella sia «su» «giù» è, per cui anche la smma dei quadrati delle due ampiezze di prbabilità è. Se si rappresentan le ampiezze di prbabilità cme ettri perpendiclari, la lr smma ettriale è l'iptenusa di un triangl rettangl, la cui lunghezza è. Pertant qualunque stat di spin di una particella può essere rappresentat cme un ettre che è il ettre smma delle due ampiezze di prbabilità; l'insieme di tutti i pssibili stati di spin crrispnde a un cerchi di raggi unitari in un spazi astratt chiamat spazi delle fasi. Una analisi cmpleta degli stati di spin richiede l'intrduzine dei numeri cmplessi, ciè di numeri che pssiedn sia una parte reale sia una parte immaginaria. a SPIN (Y) «GIÙ- SPIN (X) AMPIEZZA DI PRBABILITÀ DI SPIN «GIÙ» 2' / I SPIN (X) «SU» CMPNENTE Y DELL STAT DI SPIN VETTRE DI STAT DI SPIN SPIN (Y) «SU» CMPNENTE X CMPNENTE Y 45 90' Il principi di indeterminazine di Werner Heisenberg afferma che i alri di particlari cppie di ariabili che caratterizzan l stat di una particella nn pssn essere nti cntempraneamente cn precisine illimitata. Le cmpnenti x e y dell spin di una particella cstituiscn una cppia del genere: si dice che sn incmpatibili. Qui sn date le ampiezze di prbabilità di spin «su» e di spin «giù» per le cmpnenti i e y dell spin (a). Il ettre di stat di spin (freccia in grigi) può essere ist cme ettre smma delle due ampiezze della cmpnente x (frecce in ner) delle due ampiezze della cmpnente y (frecce in clre). Il diagramma cstituisce sl una apprssimazine: una rappresentazine cmpleta dell stat di spin drebbe cmprendere anche la cmpnente z e ptrebbe essere disegnata sl in un spazi i cui punti rappresentin numeri cmplessi. Quand il ettre ruta allntanandsi dall'asse di spin «su» peri' ers l'asse di spin «su» per x la prbabilità di trare che la cmpnente x dell spin è «su» a aumentand, ma il risultat di qualunque misurazine della cmpnente dienta più incert. Se si immagina che il ettre di stat di spin cntinui a rutare in sens antirari, si può cstruire un grafic delle incertezze assciate alle due cmpnenti di spin (b). Quand l'incertezza relatia al alre di una cmpnente scende a zer, l'incertezza relatia al alre dell'altra cmpnente è massima. 03

3 glia. Si capì che i teremi all'intern di un sistema aean degli analghi fra i teremi dell'altr: i teremi dei ari sistemi slgn ruli analghi nelle gemetrie di superfici fra lr dierse. Nel 932 Jhn n Neumann cminciò a studiare le prprietà di certe strutture matematiche, chiamate reticli, al fine di cstruire un mdell di quest genere, che cnsentisse una interpretazine della lgica quantistica. Vn Neumann, che IL QUART IL QUART INDICA CRCE'TESTA laraa all'institute fr Adanced Study di Princetn, presentò la sua impstazine nel 936, in un articl scritt in cllabrazine cn Garrett Birkhff della Harard Uniersity. Vn Neumann e Birkhff mstrarn cme la struttura a reticl di una teria fisica pssa essere cnsiderata un mdell matematic del sistema di lgica adeguat per tale teria. Il cncett di reticl è mlt generale. Qui l applicherò alla struttura lgica di IL PENNY INDICA TESTA J, IL PENNY INDICA CRCE Un semplice sistema fisic cstituit da una scatla, una mneta da un penn y e una mneta da un quart di dllar, ammette quattr stati: ambedue le mnete indican testa-, ambedue le mnete indican crce, il penny indica crce e il quart indica testa, il penny indica testa e il quart indica crce. Ciascun stat può essere rappresentat graficamente mediante un quadrante di un disc, a cui è assciat un numer binari a quattr cifre. Regini del disc cstituite da arie cmbinazini dei quadranti crrispndn a tutti i pssibili insiemi di stati del sistema, e di cnseguenza crrispndn anche a tutte le «espressini teriche» che fann riferiment a qualche stat a qualche cmbinazine di stati. Il disc rappresenta l spazi delle fasi del sistema. una teria mlt semplice, frmulata a fini di esemplificazine. ma può essere usat anche per caratterizzare le strutture della fisica classica e della meccanica quantistica. Nell'ultim decenni circa, fisici e filsfi sn trnati all'analisi mediante reticli, intrdtta da n Neumann e Birkhff. L'interpretazine di una struttura lgica per mezz di un reticl è analga all'interpretazine di un sistema frmale per mezz di una gemetria particlare. I ruli dei cnnettii lgici nella teria fisica pssn essere identificati cn i ruli di alcune perazini e relazini identificate sul reticl assciat alla teria. Il risultat è una cncezine più cmprensia, analga alla cmprensine più generale della gemetria ttenuta intrducend l'idea di curatura. La lgica astratta, di cui sn mdell reticli diersi in terie fisiche dierse, può abbracciare quella trasfrmazine della legge distributia che è richiesta dalla meccanica quantistica, pur cnserand tale legge distributia per le terie della fisica classica. Prima di passare a una descrizine delle strutture reticlari è utile esaminare più da icin le affermazini della teria quantistica che hann cstituit l stiml per queste indagini lgiche astratte. La meccanica quantistica prpne un bun numer di affermazini imbarazzanti sugli eenti fisici a scala micrscpica, cme il dualism nda-particella, ma qui mi limiterò a parlare degli effetti di spin. I cncetti necessari per cmprendere la natura quantistica dell spin riflettn, in frma nn cmplicata, ma al temp stess nn banale, la struttura cncettuale fndamentale necessaria per tutta la meccanica quantistica. T spin quantmeccanic di una particeli la è analg alla rtazine di un ggett cmune cme una trttla. L spin ha una cmpnente rispett a ciascun dei tre assi di un spazi tridimensinale: tali cmpnenti sn chiamate le cmpnenti x, y e Z. Per cnenzine, se si chiudn le dita della man destra nell stess sens dell spin, il pllice della man destra indica la direzine di spin «su». L spin di una particella che prta una carica elettrica può essere rielat e maniplat per mezz del mment magnetic generat dalla carica in rtazine. Il metd di rielazine cnsiste nel far passare la particella attraers una regine in cui un camp magnetic aria ntelmente da punt a punt. Secnd la fisica classica, un tale gradiente di camp defletterà la traiettria di una particella in mt, in misura prprzinale al mment magnetic della particella stessa. In un esperiment effettuat nel 92, tt Stern e Walther Gerlach fecer aprizzare dell'argent in una caldaia e pi diresser gli atmi di argent, mediante una serie di schermi, entr un camp magnetic frtemente ariabile. Il prcediment sperimentale è efficace per rendere casuale il mment magnetic degli atmi di argent e, per quest, Stern e Gerlach si aspettaan che gli atmi e P 0 0 NN-P E NN- 0 NN-P E Q 0 P0 P E NN-P PE NN- (PE Q) (NN-P E NN-Q) Le tale di erità mstran cme i alri di erità degli enunciati pssan essere messi in crrispndenza biunica cn i numeri binari assciati alle regini di un disc. Ciascun quadrante del disc rappresenta un singl stat del sistema penny-quart e tutte le regini pssibili sn rappresentate in frma unica dalla smma binaria dei numeri assegnati ai quadranti che cstituiscn il disc. Per due enunciati qualunque P e Q una tala di erità mstra cme la erità (rappresentata cme ) la falsità (rappresentata cme ) di un enunciat, P E P Q P Q NN- P NN- NN-P NN- NN-P Q P Q P NN-P cmpst partend da P e Q cn l'ausili di determinati cnnettii lgici, dipendan dalla erità dalla falsità di P e Q slamente. Per quel che riguarda i due enunciati di partenza, si dann quattr sle pssibili cmbinazini di alri di erità: per ciascuna di queste cmbinazini l'enunciat deriat può risultare er fals. Pertant i sn in tutt 2 4, ciè 6 pssibili tale di erità distinte. Per ciascuna tala di erità è pssibile trare un enunciat il cui alre di erità è funzine dei alri di erità di P e Q secnd l schema frnit da quella tala. (P E NN-Q) (NN-P E Q) NN-P 04 05

4 P NN-P t~ 0 dt P NN- r 'l NN-P 0 NN-P Ah" NN4 yr 3r4r NN Àdit _P-;0 00 À à (PE NN-) (NN-PE * Is i)(np-:;)n2n-c2) 0 P 0 00 Q nisser rielati cme un alne diffus su una lastra ftsensibile. Trarn inece che la lastra registraa due macchie ben definite, de era cncentrata la maggir parte degli atmi, dal che apparia che il mment magnetic degli atmi assumea slamente due alri distinti. Da allra il risultat è stat erificat in mlti altri esperimenti, cn apparecchiature più sensibili: in tutti i casi si è trat che il mment magnetic di una particella elementare di una struttura cmpsita (per esempi un atm) è quantizzat. Per la quantizzazine del mment magnetic è pssibile separare particelle il cui spin ha una certa rientazine, selezinand sl un dei fasci che emergn da un camp magnetic. Il fasci prescelt ha spin plarizzat in direzine parallela al gradiente del camp. Per cmdità iptizzerò che il fasci sia in mt lung l'asse z e che, dp essere passat attraers il camp magnetic, tutte le particelle abbian una cmpnente di spin rispett all'asse x in direzine «su». Il fasci cn spin plarizzat si può quindi far passare attraers un secnd camp magnetic, perpendiclare al prim e parallel all'asse y. A quest punt si supprrebbe che il fasci sia plarizzat tant nella direzine x quant nella direzine y. Se si facesser passare attraers un terz camp, rientat in direzine x, ambedue i fasci emergenti dal secnd camp magnetic, ci si aspetterebbe di trare sltant alri «su» per la cmpnente x dell spin. Inece sull scherm cmpain ancra due macchie. In qualche md il fasci ha pers la sua plarizzazine di spin rispett all'asse x, e le misurazini dann una cmbinazine casuale di alri «su» e «giù» (si eda l'illustrazine a pagina 02). uest esperiment, un p' idealizzat, illustra diersi principi fndamentali della meccanica quantistica. Se 000 NN-P E Q l%3ar ;93 E NN-Q 0000 P E NN-P 2E PE NN- Un reticl di punti e linee isualizza le relazini di inclusine fra le regini del disc suddiis in quattr parti. Ciascun punt rappresenta una diersa regine del disc. I clri dei cerchi cncentrici tracciati attrn a ciascun punt crrispndn ai clri dei quadranti del disc che cstituiscn la regine crrispndente (si eda l'illustrazine della pagina precedente). Punti che giaccin in un dat pian rappresentan tutti regini del disc cstituite dall stess numer di quadranti. La regine rappresentata da un punt in psizine inferire è un sttinsieme di tutte le regini rappresentate da punti superiri, cui il punt inferire sia cllegat per mezz di linee dirette ers l'alt. I numeri in binari assciati ai punti crrispndn alle regini del disc e alle ta le di erità degli enunciati che caratterizzan i punti (si eda l'illustrazine della pagina precedente). Anche le linee del reticl hann una interpretazine lgica. Quand rappresentan relazini di inclusine per le regini del disc, rappresentan anche relazini di implicazine. Un enunciat rappresentat da un punt implica tutti gli enunciati rappresentati da punti superiri a quell cui crrispnde e che pssan essere raggiunti lung linee dirette ers l'alt. 06

5 a C V = 2A V= V2A V È INDIPENDENTE DA A STTSPAZI GENERAT DA A un fasci, plarizzat rispett all'asse x, iene fatt passare attraers un camp magnetic rientat in md da plarizzare la cmpnente y, la plarizzazine della cmpnente x si distrugge. Si può dire, più in generale, che una qualunque perazine su una particella elementare, tale da determinare il alre di qualche ariabile quantmeccanica, dee cntempraneamente rendere casuale il alre di almen un'altra ariabile: si dice che due ariabili cllegate in quest md sn incmpatibili. Se si cnsce cn certezza la cmpnente y dell spin, il alre della cmpnente x dee rimanere cmpletamente scnsciut: si tratta di una grandezza casuale, e le prbabilità dei alri «su» e «giù» sn uguali (e quindi pari a /2). In generale, quand cresce la prbabilità di ttenere un particlare alre di una = A + B xa + yb STTSPAZI GENERAT DA A E B Il sttspazi ettriale generat da una base di ettri è l'insieme di tutti i ettri che si pssn ttenere cme cmbinazine lineare dei ettri della base, ciè cme smma di ettri della base, eentualmente mltiplicati per un scalare. (Un scalare è una grandezza caratterizzata sl da un numer relati e nn anche da una direzine.) Il sttspazi generat dal singl ettre A (freccia in blu) è la retta passante peri stess, piché tutti i ettri ttenibili da.4 (frecce in rss) rappresentan il prdtt di un scalare per.4 la smma di ettri ttenuti per mltiplicazine scalare dal, e quindi giaccin tutti sulla medesima retta (figure ae I ettri che nn pssn essere generati mediante tale perazine sn ettri indipendenti da A (figura c). Due ettri fra lr indipendenti.4 e B si cmbinan, mediante le perazini di smma ettriale e di prdtt scalare, secnd la regla del parallelgramma (figure d ed e). Il sttspazi che generan è un pian, piché qualunque punt del pian può essere raggiunt mediante smma ettriale di qualche multipl scalare di.4 e di qualche multipl scalare di B (figura D. ariabile in una misurazine, la prbabilità di ttenere nella misurazine un particlare alre di una ariabile incmpatibile diminuisce. Per esempi, se la cmpnente y dell spin è stata plarizzata sl in parte, nel passaggi del fasci attraers il secnd camp magnetic, la prbabilità che la cmpnente x sia «su» sarebbe minre di, ma maggire di /2. Il principi di indeterminazine, frmulat da Werner Heisenberg, specifica in frma quantitatia cme la prbabilità di rileare un particlare alre di una ariabile dipende dalla prbabilità assegnata a una ariabile incmpatibile. Passerò ra a descriere cme si pssa rappresentare la struttura di un semplice sistema fisic mediante un reticl e cme si pssa innestare sul reticl una struttura lgica. Immaginatei una scatla, cntenente una mneta da un penny e una mneta da un quart di dllar, cn un cperchi trasparente. Si può cnsiderare la scatla cme un sistema fisic il cui stat è determinat dalla faccia superire di ciascuna mneta. Il sistema pertant può trarsi in quattr stati diersi: ambedue le mnete dann testa, ambedue le mnete dann crce, il penny dà testa e il quart dà crce, il penny dà crce e il quart testa. (De a Ariadna Chernaska dell'uniersità della Clumbia Britannica l'idea di discutere un sistema cn sli quattr stati pssibili, anche se l'esempi nn è su.) In una semplice rappresentazine si può assegnare, a ciascun degli stati pssibili del sistema, un quadrante di un disc. Se il disc è diis da una riga erticale e da una rizzntale, il quadrante a destra in alt può crrispndere all stat in cui ambedue le mnete segnan testa, il quadrante a sinistra in alt all stat in cui il penny dà testa e il quart dà crce, il quadrante a sinistra in bass all stat in cui ambedue le mnete dann crce, e il quadrante a destra in bass all stat in cui il penny indica crce e il quart testa. I quadranti pssn essere rispettiamente identificati cn i numeri binari 000, 000, 000 e 000. Qualunque regine del disc che cmprenda un numer inter di quadranti può essere indicata mediante un numer binari a quattr cifre. In ciascuna psizine la cifra è un se un dei quadranti inclusi nella regine data ha un I in quella psizine; altrimenti la cifra è un 0. Per esempi, la regine del disc che cmprende tutti i quadranti tranne quell a destra in bass errà indicata cme 0. gni quadrante dee essere definit in md da nn aere alcun punt in cmune cn gli altri quadranti, fatta eccezine per il punt al centr del disc. Assumerò pertant che, dei due raggi che delimitan un quadrante, sl quell che si raggiunge prcedend in sens rari dall'intern del quadrante appartenga a quel quadrante. na teria fisica può essere cnsiderata un enunciat sugli stati pssibili U reali di un sistema fisic. La teria può riguardare stati insiemi di stati. Nel sistema penny-quart, supprrò che gni cmbinazine dei quattr stati pssa essere il riferiment di una «teria fisica» relatia al sistema. Esistn 6 cmbinazini degli stati, frmate assciand i quadranti del disc in tutti i mdi pssibili. Suppniam che ciascuna cmbinazine di stati sia rappresentata da un punt. I 6 punti, allra, pssn essere cllegati da una rete di linee che indichin cme certe regini del disc pssan essere cnsiderate sttinsiemi di altre (si eda l'illustrazine a pagina 06). Una linea che cllega due punti indica che il punt più in bass dei due, all'intern del diagramma, è un sttinsieme del punt più in alt. Per dirla cn maggir precisine, la regine rappresentata dal punt inferire è inclusa nella regine rappresentata dal punt superire. Il punt più bass nella rete rappresen- 08

6 Le relazini di inclusine fra sttspazi ettriali dell spazi fisic tridimensinale (R 3 ) pssn essere rappresentate da reticli. In a i sttspazi rappresentati dalle linee s e t generan il sttspazi rappresentat dal pian unine di s e t. Analgamente, le linee s e: generan il pian unine di s e Z, le linee t e Z il pian unine di t e z. In b le linee u, e Z generan piani crrispndenti, de le linee u e giaccin nell stess pian delle linee s e t. I punti dei reticli c e d rappresentan i sttspazi ettriali frmati dalle linee e dai piani, dal sttspazi null (il punt in cui si intersecan le tre linee di ciascun diagramma ) e dall spazi ettriale R 3 stess,! ettri che si tran in un sttspazi rappresentat da un cert punt nel reticl si tran anche in tutti i sttspazi rappresentati da punti superiri, raggiungibili dal punt dat mediante linee del reticl dirette ers l'alt. I due reticli pssn essere cllegati in crrispndenza di punti che rappresentan gli stessi sttspazi, e ciè i punti R 3, unine di s e t (che equiale al punt unine di u e ), z e. Il reticl risultante (e) nn è distributi ed è identic ai reticli sulla destra nell'illustrazine di pagina 0. Il reticl cmpst presenta le relazini di inclusine che arrebber fra i sttspazi ettriali se i due piani rispettiamente unine di s et e unine di u e cincidesser, e se le linee s, t, u, e Z si incntrasser tutte nell'rigine. ta la regine zer (0000), la regine del punt al centr del disc, che tutti i quadranti hann in cmune. Dal punt zer si dipartn quattr linee, che l cllegan ai quattr punti (000, 000, 000 e 000) che rappresentan le regini di ciascun dei quattr quadranti del disc. Cme indican le linee cngiungenti, ciascuna di queste regini include il punt centrale cme sttinsieme. Al di spra dei quattr punti che rappresentan i quadranti si tran punti che rappresentan regini del disc più grandi, ciascuna delle quali include almen due quadranti e il punt centrale. Alla smmità della rete si tra il punt, che rappresenta la regine di tutt il disc. Le relazini di inclusine insiemistica pssn essere indicate nn sl cn una linea diretta ers l'alt, ma anche mediante una linea che passa attraers punti intermedi. Csì il punt più alt è cllegat a tutti i punti che stann al di stt di ess. Si può anche pensare che ciascun punt sia cllegat a se stess. A quest punt è pssibile definire, sulla rete di punti e linee, due perazini, che csì fann della rete un reticl nel sens definit da n Neumann e Birkhff. Dati due punti a e b nella rete, il più bass dei punti del reticl a cui sia a sia b sn cllegati da linee dirette ers l'alt da almen un di essi è indicat cme unine di a e b (in simbli a b). Se tant a quant b sn cllegati direttamente all stess punt superire, quest punt è l'unine di a e b. Se a e h sn cnnessi l'un all'altr, allra l'unine di a eb è il più alt dei due punti. Per il reticl che rappresenta le regini del disc l'unine di due regini è il punt che rappresenta la più piccla regine tale da includerle entrambe; nella teria degli insiemi quest cncett crrispnde alla cmune perazine di unine insiemistica. L'unine di 0000 (il punt centrale del disc) e 000 (il quadrante a destra in alt) è 000, dat che il quadrante include il punt centrale. L'unine di 000 e 000 (il quadrante superire sinistr) è 00: la metà superire del disc. Una secnda perazine sul reticl è definita cme la selezine del punt più alt fra quelli a cui sia a sia b sn cnnessi mediante linee che ann ers il bass a partire da almen un di essi; tale punt è chiamat intersezine di a e h (in simbli: a A b). Sul disc l'intersezine di due regini è la regine più grande che esse hann in cmune: il crrispetti della cmune intersezine insiemistica. L'intersezine di 00 (la metà superire) e 00 (la metà destra) è 000: il quadrante superire destr. L'intersezine di 000 e 0000 è il punt I reticli di cui parlerò sn denminati reticli cmplementati: per gni punt a nella rete esiste un altr punt della rete a', definit il cmplement di a, tale che l'unine di a e a' è il punt più alt della rete () e l'intersezine di a e a' è il punt più bass (0000). Sul disc il cmplement di una regine è un'altra area che nn ha alcun punt in cmune cn la prima, eccett il centr del disc, ma che, 0

7 SPIN (X) -GIÙinsieme alla prima, dà tutta la regine del disc. I punti 000 (il quadrante superire sinistr) e 0 (la regine cstituita dai quadranti superire destr, inferire destr e inferire sinistr) sn l'un il cmplement dell'altr. Il crrispetti nella teria degli insiemi è l'perazine di cmplementazine. Il cmprtament delle perazini di unine e intersezine su reticli dipende dal reticl su cui sn definite. Nel cas del reticl che rappresenta le regini del disc, tuttaia, il lr funzinament è di tip familiare: bbediscn alle stesse leggi delle crrispndenti perazini (unine e intersezine) insiemistiche. In particlare, ale per esse la legge distributia: Se a, b, c sn tre punti qualunque del reticl, la intersezine di a cn l'unine di b ec è l stess punt dell'unine della intersezine di a e b cn l'intersezine di a e c. Analgamente l'unine di a cn l'intersezine di b ec è l stess punt dell'intersezine dell'unine di a e b cn l'intersezine di a e c. La struttura matematica risultante prende il nme di reticl distributi cmplementat, ed è nta anche cn il nme di algebra bleana, da Gerge Ble, lgic inglese del diciannesim secl. SPIN (X) -SU- SPIN (X) SPIN (X) -SU» SPIN (X) -GIÙ- SPIN (X) -GIÙ- SPN (X) «SU» E SPIN (X) -GIÙ- SPIN (Y) «SU» SPIN (Y)- GIÙ) LA CMPNENTE X È,S(.- E LA CMPNENTE Y È -SU» -GIÙ» SPIN (X) -SU- SPN (X),,GIÙ» SPIN (Y) -SU» SPIN (Y) -GIÙ- SPIN (X) SU» E SPIN (X) -GIÙ- LA CMPNENTE X è -SU- E LA CMPNENTE Y È «SU» LA CMPNENTE X È -SU» E LA CMPNENTE Y È -GIÙ- SPIN (Y) -GIÙ- SPIN (Y) Si può dare un mdell, in frma mlt semplificata, alle relazini lgiche fra enunciati che descrin l spin di una particella, mediante reticli identici a quell tracciat da righe in ner di maggir spessre, in bass nell'illustrazine di pagina 0. punti del reticl crrispndn a enunciati che descrin stati puri di spin. In ciascun reticl la parla e è identificata cn l'intersezine di due punti (frecce in ner) e la parla è identificata cn l'unine di due punti (frecce in clre). Gli enunciati indicati al di stt dei reticli, lgicamente equialenti in base alla legge distributia, hann cme mdell le perazini indicate dalle frecce. Piché la struttura dei reticli deria dalla struttura della relazine di inclusine per gli spazi ettriali, i reticli nn sn distributii. due enunciati cmpsti nn sn rappresentati dall stess punt, e pertant i reticli ci dann un mdell per gli enunciati relatii all spin, per cui nn ale la legge distributia. descritt le prprietà di una rappresentazine astratta del sistema pen- H ny-quart, e ciè le relazini insiemistiche fra le regini di un disc. Che tip di enunciat si può usare, per descriere il sistema fisic stess? Suppniam che P stia per l'enunciat «Il penny segna testa», Q stia per «Il quart segna testa», nn-p stia per «Il penny segna crce» e nn-q stia per «Il quart segna crce». Allra, qualunque prprietà del sistema penny-quart che un fisic glia descriere per mezz di una teria sul sistema può essere definita scriend un enunciat cmpst. Per esempi. l'enunciat cmpst P e Q ci dà l'affermazine «Ambedue le mnete segnan testa». La frase nn-p Q ci dice che nell stat attuale del sistema «il penny segna crce il quart segna testa», er, in altre parle, ci dice che l stat può essere qualunque, fatta eccezine per quell in cui il penny segna testa e il quart segna crce. In circstanze rdinarie (a differenza di quel che accade nella meccanica quantistica) l'intuizine lgica cstituisce una guida abbastanza affidabile per stabilire il md in cui la erità la falsità di un enunciat cmpst dipendn dalla erità falsità dei sui cstituenti. L'enunciat Pe Q è er se e sl se P è er e Q è er, e pertant se e sl se ambedue le mnete dann testa; altrimenti l'enunciat cmpst è fals. Il alre di erità dell'enunciat cmpst dee essere calclat separatamente per ciascuna pssibile cmbinazine di erità e falsità degli enunciati che l cmpngn. Un rescnt cmplet del md in cui il alre di erità di un enunciat cmpst è determinat dagli enunciati che l cmpngn prende il nme di funzine di erità, e di slit i lgici presentan la alutazine di una funzine di erità in una tabella denminata tala di erità. Suppniam che stia per «er» e per «fals». Allra un qualunque enunciat cmpst dai due enunciati P e Q può essere rappresentat da un numer binari di quattr cifre, esattamente cme enian classificate le regini del nstr disc. Nella tala di erità si tra un I un per ciascuna delle quattr pssibili cppie di alri di erità per P e Q. Pertant la funzine di erità per gni pssibile enunciat cn due cstituenti è data da una fra le 6 pssibili tale di erità per la cmbinazine di due enunciati. I alri di erità dell'enunciat P e Q, per esempi, sn dati dalla funzine di erità 000: l'enunciat è er sl nel quadrante del disc che abbiam denminat 000. La relazine fra la funzine di erità di un enunciat cmpst e il numer crrispndente alla regine del disc in cui l'enunciat cmpst è er, è di carattere generale. I numeri binari sn gli stessi (si eda l'illustrazine a pagina 05), pertant a ciascuna regine del disc (e di cnseguenza a ciascun punt sul reticl), si può attribuire qualche enunciat cstituit dagli elementi P, Q, nn, e,. Più precisamente, si può assciare a ciascun punt del reticl una classe di equialenza di enunciati, cstituita da tutti gli enunciati che hann la stessa tala di erità. L'enunciat nn-(p e Q), per esempi, è assciat all stess punt del reticl a cui è assciat l'enunciat nn-p nn-q. L'esit più imprtante di questa crrispndenza fra enunciati e punti del reticl è che si ede cme il reticl pssa mstrare delle relazini lgiche. Se gli enunciati A e B sn rappresentati nel reticl dai punti a e b, allra gli enunciati AeBeABsn rappresentati rispettiamente dai punti che cstituiscn l'unine e l'intersezine di a e b. Inltre, le linee che cllegan punti del reticl a punti più in alt, rappresentan la relazine lgica di implicazine. Si dice che l'enunciat A implica l'enunciat B se B è er gniquallta è er A. (La tala di erità per A implica B può cntenere anche altri : per esempi, nel cas in cui A sia fals, ma B er.) Pertant, nel reticl che descrie la struttura lgica del sistema penny-quart l'implicazine è rappresentata dalle stesse linee che rappresentan la relazine di inclusine insiemistica. T I reticl per il sistema penny-quart presenta le stesse relazini lgiche del reticl che crrispnde alla meccanica newtniana, ciè alla meccanica classica. L stat di una particella newtniana è caratterizzat dalla psizine della particella in un mment determinat e dalla sua quantità di mt (il prdtt della sua massa per la sua elcità). Per semplicità suppniam che il sistema newtnian sia cstituit da una sla particella, inclata a spstarsi in una sla dimensine. Cme un stat del sistema penny-quart può essere rappresentat da una regine su un disc, csì l stat della particella newtniana può essere rappresentat da un punt su un pian. Gli assi del sistema di riferiment sul pian dann i diersi alri di psizine e quantità di mt, per cui gni punt del pian crrispnde a qualche cppia di alri per queste due ariabili. Il pian iene chiamat spazi delle fasi del sistema. A quale struttura matematica dell spazi delle fasi si cnfrma la teria newtniana semplificata? Gli enunciati della fisica newtniana fann riferiment a regini, er a sttinsiemi, dell spazi delle fasi, prpri cme gli enunciati sul sistema penny-quart fann riferiment a regini del disc. Un enunciat crrispnde a una regine del pian se e sl se tale enunciat ale per ciascun punt di quella regine e per nessun altr punt. Per esempi, l'enunciat secnd cui una particella ha psizine a crrispnde a una retta nell spazi delle fasi; tale retta si tra a distanza a dall'rigine, calclata sull'asse delle psizini, ed è parallela all'asse della quantità di mt. La classe delle regini dell spazi delle fasi newtnian è infinita e, di cnseguenza, il reticl crrispndente pssiede un numer infinit di punti. Stt altri punti di ista, tuttaia, la struttura matematica del reticl è identica alla struttura del reticl per il sistema penny-quart. Le regini dell spazi delle fasi, e quindi i punti del reticl newtnian, cstituiscn un insieme su cui la inclusine insiemistica rappresenta una relazine d'rdine, e cme prima le perazini sul reticl sn equialenti all'unine e all'intersezine insiemistiche. Inltre, le relazini lgiche definite dalla struttura del reticl e dalle perazini di unine e intersezine cntinuan a essere le relazini della lgica classica: le leggi distributie cnseran la lr alidità. L spazi delle fasi e il reticl, estesi per trattare sistemi newtniani tridimensinali cn mlte particelle, risultan cmplicati, ma in linea di principi nn differiscn dal cas mndimensinale, cn una sla particella. Nella meccanica quantistica la situazine è cmpletamente diersa. L stat di una particella nn è più specificat dalla sua psizine e dalla sua quantità di mt, piché queste sn ariabili incmpatibili, che nn pssn essere determinate simultaneamente. L stat di una particella è definit inece da un cstrutt teric, cui si dà il nme di funzine d'nda, che frnisce la prbabilità LGICA CLASSICA A DUE VALRI P V V F F 0 V F V F NN-P F F NN- F V F V P 0 V V V F PEQ V F F F P IMPLICA Q V F V V P è EQUIVALENTE A Q V F F V LGICA A TRE VALRI DI REICHENBACH p I i I F F F Q V I F V I F - I F NN-P (CICLIC) I I I F F F NN-P (DIAMETRALE) F F F I I I V V V NN- P (CMPLET) I I I V V V V V V P 0 V V V V I I I F P IMPLICA (STANDARD) P IMPLICA Q (ALTERNATIV) P IMPLICA 0 (QUASI) P È EQUIVALENTE A Q (STANDARD) P è EQUIVALENTE A Q (ALTERNATIV) PEQ V I F I I F F F F V F F V V V V F F V V V V V V I F I I I I I I I F I V l F I V F F F V F F F V Nella lgica a tre alri prpsta da Hans Reichenbach nel 944, alcuni enunciati che descrin fenmeni quantmeccanici nn sn né eri né falsi, ma indeterminati. Per esempi, se si sa che la cmpnentex dell spin di una particella è «su», un enunciat che affermasse che la cmpnente ha un specific alre errebbe classificata, secnd l schema di Reichenbach, cme indeterminata. Inece di fermarsi sulla legge distributia, Reichenbach definì per mezz delle tale di erità dei cnnettii lgici cn schemi più cmplessi. Le tale assegnan un fra tre alri di erità (V, er; F, fals;!, indeterminat) a ciascuna delle ne pssibili cmbinazini di alri di erità per gli enunciati P e Q. Sn qui presentate dieci funzini di erità che hann un rul speciale nella lgica della meccanica quantistica. Le funzini di erità della lgica bialente classica sn casi speciali delle funzini di erità estese (in clre). Nella lgica trialente esistn 3 9 (e ciè ) pssibili funzini di erità per gli enunciati cmpsti cn due cstituenti elementari. di trare che tale particella pssiede un determinat alre per una ariabile fisica. Per esempi, l stat di spin di un elettrne è dat da una funzine d'nda che specifica le prbabilità secnd cui le cmpnenti x, y e z dell spin sn «su» «giù». Cnsideriam la cmpnente y dell spin. La prbabilità che il alre di tale cmpnente sia «su» può ariare da a, mentre la prbabilità che il alre sia «giù» aria da a. Per qualunque stat di spin la smma delle due prbabilità è pari a. È cmd, dal punt di ista matematic, rappresentare l stat di spin cme un ettre: una grandezza caratterizzata da un alre asslut e da un ers. Il ettre di spin è la smma ettriale, calclata secnd la «regla del parallelgramma», di due altri ettri, che sn rientati lung rette fra lr perpendiclari e che rappresentan i due pssibili alri dell spin lung l'asse y. Tali due ettri prendn il nme di ampiezza di prbabilità, rispettiamente, di spin «su» e di spin «giù». Il quadrat del alre asslut del ettre che rappresenta l'ampiezza di prbabilità di spin «su» dà la prbabilità di trare che la cmpnente y dell spin si tri nell stat «su». Analgamente, il quadrat del alre asslut del ettre che crrispnde all'ampiezza di prbabilità di spin «giù» dà la prbabilità di trare che la cmpnente y del ettre di stat di spin abbia alre «giù» (si eda l'illustrazine in alt a pagina 03). T, spazi ettriale astratt cn i sui ' assi perpendiclari «ampiezza di prbabilità di spin "su"» e «ampiezza di prbabilità di spin "giù"» è un spazi delle fasi della meccanica quantistica. Srappnend all spazi delle fasi un'ulterire cppia di assi rtgnali, a 45 gradi rispett al prim sistema di assi, è pssibile rappresentare le caratteristiche essenziali del principi di indeterminazine, nella frma in cui si applica all spin (si eda l'illustrazine in bass a pagina 03). Si può usare la secnda cppia di assi per rappresentare le ampiezze di 2 3

8 prbabilità di spin «su» e «giù», rispettiamente, per la cmpnente x dell spin, prpri cme gli assi iniziali ci daan l'ampiezza della cmpnente y. Se il ettre dell stat di spin giace sull'asse di spin «su» per la cmpnente x (per cui il risultat di una misurazine della cmpnente x è preist cn certezza), il ettre si tra sulla bisettrice dell'angl fra gli assi di spin «su» e spin «giù» per la cmpnente y. La lunghezza della priezine del ettre sull'asse di spin «su» per la cmpnente y è pertant pari a V/2, e pertant la prbabilità di trare che la cmpnente y dell spin ha alre «su» è pari al quadrat di V/2, ciè /2. Analgamente, la prbabilità di trare che la cmpnente y dell spin ha alre «giù» è pari a /2. Csì, in accrd cn il principi di indeterminazine, nn i è stat di spin in cui si pssa assegnare prbabilità sia a qualche alre della cmpnente x sia a qualche alre della cmpnente y. Il tip di relazine di inclusine definita su un spazi ettriale è la relazine di sttspazi, anziché quella di semplice sttinsieme, dell spazi ettriale dat. Ciò che crrispnde alle prpsizini della teria quantistica sn i sttspazi di un spazi ettriale. Che cs'è un sttspazi ettriale? Il sttspazi dee essere a sua lta un spazi ettriale. La prprietà più imprtante di un spazi ettriale è che la smma di due ettri qualunque dell spazi è ancra un ettre dell stess spazi. Analgamente, il prdtt di un ettre qualunque dell spazi per un scalare (ciè per una grandezza che è caratterizzata sl da un alre e nn anche da una direzine) è ancra un ettre dell spazi. In termini matematici si dice che l spazi ettriale è chius rispett alla smma ettriale e al prdtt scalare. Il criteri della chiusura può essere utilizzat per cstruire un spazi ettriale. L spazi ettriale cmplet può essere generat da ettri che cstituiscn una base dell spazi ettriale se gni ettre dell spazi può essere ttenut smmand ettri della base secnd la regla del parallelgramma, eentualmente dp che tali ettri sn stati mltiplicati per una cstante pprtuna. (Il prdtt scalare dà un accrciament un allungament di un ettre, e può anche resciarne il ers, ma nn può mdificarne la direzine.) L spazi ettriale ttenut in quest md da due ettri base A eb è il sttspazi generat da A e B (si eda l'illustrazine a pagina 08). Si dice che un sttspazi è un sttspazi prpri se esiste almen un ettre dell spazi che nn è cntenut in alcun dei sttspazi che abbian cme base ettri del sttspazi dat. Per esempi, il pian u- è un spazi ettriale che può essere generat da due ettri diretti lung gli assi psitii u e. Nn esiste alcun md di smmare i due ettri che cnsenta di ttenere un terz ettre dirett al di furi del pian u-. Pertant il pian 4-) è un sttspazi prpri Pala Agsti Reprter, autrice di libri ftgrafici Manfredi Bellati Ftgraf mda e pubblicità Enz Isaia Ftgraf pubblicitari Fate cnscenza cn la ftcamera più amabile Ve la presentan ne prfessinisti, cllcati ai ertici delle rispettie specialità. Cme i campini di Frmula Un sn talra chiamati a cllaudare le berline di classe, csì queste "firme" della ftgrafia hann esaminat dal i la Yashica FX-D Quartz. Essi hann realizzat cn la nua Yashica delle ft riginali, anntand pi le lr "impressini di guida" nel rapprt riserat a i. 9 imprtanl I dichiaran...e l dimstran dssier tecnic dispsizini Iniate il cupn, riceerete il Rapprt-Yashica direttamente a casa stra Ess cntiene tutte le ntizie tecniche, le recensini, i lari riginali realizzati da im prtanti prfessinisti cn la nua Yashic FX-D Quartz. È un strument di cnsultazine cmpie t, che i darà l'esatta misura delle presta zini fferte da questa ftcamera duttile E sfisticata. «I le New Ya 4

9 dell spazi ettriale cstituit dall spazi tridimensinale. Per frmare un reticl i cui punti crrispndan alle prpsizini della meccanica quantistica si dee frmare il reticl degli spazi ettriali e dei lr sttspazi prpri. Cnsideriam l spazi fisic tridimensinale cn un punt prescelt cme rigine. Fra i sttspazi dell spazi i sn l'rigine stessa, tutte le rette passanti per, tutti i piani passanti per e l'inter spazi tridimensinale. Alcuni dei sttspazi sn rdinati dalla relazine di inclusine, per cui sul reticl l'implicazine lgica può essere ancra rappresentata dalla relazine di inclusine fra sttspazi. Una differenza cruciale, tuttaia, sta nel fatt che l'perazine di unine sul reticl dei sttspazi nn è più l'perazine di unine insiemistica, ma dà il sttspazi generat dai ettri dei due sttspazi dati. Per esempi, sia l'asse u sia l'asse sn sttspazi unidimensinali. La lr unine è l'insieme di tutti i ettri che hann un estrem nell'rigine e un altr in un punt qualunque su un dei due assi. Quest insieme tuttaia nn è un sttspazi, perché nn è chius stt la smma ettriale. Pertant l'unine insiemistica degli assi nn può essere rappresentata da un punt nel reticl dei sttspazi. Il pian u- è un sttspazi, per la precisine il sttspazi generat da due sttspazi unidimensinali. Inltre, il sttspazi generat da u e è il più piccl sttspazi che cmprende tutti i ettri che giaccin su l'un l'altr asse. Il punt del reticl dei sttspazi che rappresenta il risultat dell'perazine di unine di ue è pertant il punt che rappresenta il pian u-. ate le particlari prprietà dell'perazine di unine di sttspazi et- D triali, il reticl dei sttspazi nn è distributi. Suppniam che il reticl cmprenda i punti che rappresentan le quattr rette s, t, u e ; tutte queste rette giaccin nel pian u- e passan per l'rigine. Allra l'unine di set e l'unine di u e sn rappresentate dall stess punt nel reticl, per l'esattezza il punt che crrispnde al pian u-. Il punt che dà l'intersezine di s cn l'unine di ue è per definizine il massim sttspazi che s e l'unine di u e hann in cmune: piché l'unine di u e si tra nel pian u- e anche s si tra in quest pian, il massim sttspazi che hann in cmune è la retta s stessa. D'altra parte, l'intersezine di s eu e l'intersezine di s e hann in cmune sl l'rigine, er il punt del reticl, e l'unine di queste espressini (ciè l'unine dell'intersezine di s e u cn l'intersezine di s e ) è a sua lta cstituita dal sl punt. Ne segue che il punt designat cme intersezine di s cn l'unine di u e e il punt indicat cme unine dell'intersezine di s e u cn l'intersezine di s e nn sn identici nel reticl dei sttspazi ettriali. Se i cnnettii e e e la relazine di implicazine sn definiti sul reticl dei sttspazi cme eran definiti sul reticl dei sttinsiemi per il sistema penny- -quart. la struttura del reticl è identica alla struttura della lgica quantistica nn distributia. Il sttspazi s può essere identificat cn l'enunciat «La cmpnente x dell spin è "sù"» e il sttspazi t può essere identificat cn l'enunciat «La cmpnente x dell spin è Analgamente, i sttspazi u e crrispndn agli enunciati analghi per la cmpnente y. L'enunciat cmpst «La cmpnente x dell spin è "su" e la cmpnente y è -su" "giù"» è assciat nel reticl cn il punt che dà l'intersezine di s cn l'unine di u e. L'enunciat cmpst «la cmpnente x dell pin è "su" e la cmpnente y è "su", la cmpnente x dell spin è "su" e la cmpnente y è "giù"» è assciat cn il punt che dà l'unine dell'intersezine di s e u cn l'intersezine di s e. Dal mment che questi punti del reticl nn cincidn, la struttura lgica assciata cn il reticl nn è distributia. Inltre, il reticl mstra che l'unine dell'intersezine di s e u cn l'intersezine di s e implica l'intersezine di s cn l'unine di u e, mentre nn ale il cntrari (si eda l'illustrazine a pagina 2). i frnte al success della teria dei D reticli nel frnire mdelli delle relazini lgiche in arie terie fisiche, si tende a dimenticare che questa impstazine presuppne la sluzine di un prblema filsfic imprtante. Negli ultimi duecent anni un dei temi dminanti nella filsfia è stata la tesi che esistn due tipi di enunciati eri: enunciati cntingenti relatii al md in cui il mnd è, e erità di lgica che algn indipendentemente dal mnd. Il filsf sczzese Daid Fiume parlaa rispettiamente di «questini di fatt» e «relazini di idee». Sstenere che la teria quantistica richiede una reisine della lgica presuppne un rifiut della tesi humeana dell'esistenza di due tipi di erità. ggi, tuttaia, i filsfi sn inclini a cncrdare cn Willard Van rman Quine della Harard Uniersity sull'impssibilità di difendere una netta distinzine di quest tip. Le leggi lgiche, sstiene Quine, ccupan un pst centrale nella rete delle nstre credenze, ma una frte sllecitazine alla periferia di questa rete, là de ann cllcate le cninzini relatie all'sserazine, può far sì che enga distrt anche il centr della rete. Cnsiderazini di carattere lgic nn pssn da sle giustificare una reisine della lgica (e cme ptrebber?), ma, per usare ancra una metafra di Quine, si può mdificare il linguaggi quand il mnd naturale nn calza più bene nel linguaggi che abbiam ereditat per descrierl. Dand anche per scntata la pssibilità di una reisine della lgica, esistn mlte rispste pssibili alla lgica quantistica. Una psizine estrema è quella di negare che la lgica quantistica sia una lgica, e di dire che si tratta semplicemente di algebra stt mentite spglie. La psizine all'altr estrem è quella di chi sstiene che la meccanica quantistica tratta di particelle che sn i cstituenti fndamentali dell'uniers e che, pertant, bisgnerebbe sstituire la lgica classica cn la lgica quantistica, e si drebbe imparare a «pensare quant-lgicamente», per difficile che pssa essere. La lgica - si può rispndere a chi difende la prima psizine - per quant difficile a definirsi, cme è ben nt, ha a che edere cn alcuni tipi di relazini fra frasi: che csa segue da che csa, che csa è cerente cn che csa, e ia dicend. E la lgica quantistica fa altrettant. Quel che rende la lgica quantistica un cas peculiare è il fatt di trattare esclusiamente cn frasi che afferman che qualche ettre si tra in qualche sttspazi. Le stranezze della lgica quantistica sn cnseguenze di due requisiti che debbn essere sddisfatti da tutte le frasi su cui erte la lgica. In prim lug, le frasi debbn ascriere prprietà quantmeccaniche a sistemi indiiduali. In secnd lug, quand si cllegan due frasi del genere per mezz degli analghi quantmeccanici di e e, la frase risultante dee ancra descriere il sistema fisic. Le relazini lgiche all'intern di quest insieme chius di frasi nn sn quelle della lgica classica. Si è cstretti per quest ad adttare la secnda psizine e a pensare «quant- -lgicamente»? Almen in parte, la rispsta è sì. Taluni tipi di enunciati che si incntran in una teria fisica si abbinan in mdi che nn si cnfrman alle regle della lgica classica. Quest però nn cmprta in alcun md che la lgica classica debba essere sstituita unque cn la lgica quantistica. Una reisine csì drastica del nstr md di pensare di tutti i girni ptrebbe essere giustificata sl qualra prtasse cn sé una grande semplificazine della teria generale del mnd; ma è dubbi che per tale ia si pssa realizzare una tale semplificazine. Anche all'intern della meccanica quantistica l'impstazine lgic-algebrica, per quant alida, nn ha spazzat ia tutte le perplessità. Inltre, anche se la lgica quantistica riprtasse un success ttale nel su dmini, la sua estensine ad altri dmini sembrerebbe del tutt peculiare. Si arria alla lgica quantistica cnsiderand la struttura matematica del frmalism della meccanica quantistica; questa struttura, tuttaia, è basata sugli schemi deduttii della lgica classica. Pertant la lgica classica è presuppsta nell silupp della lgica quantistica. Ci si tra, allra, cn una famiglia di lgiche, in cui rientran la lgica classica, la lgica quantistica e frse altre lgiche ancra. Fra queste una ha ancra la prirità. Le lgiche nn classiche pssn trare applicazini specializzate, ma la lgica usata per il raginament astratt, cmpres il raginament sulla lgica, cntinuerà prbabilmente a essere la lgica classica. 6