Unità Didattica 2. e l atomo di idrogeno

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1 Diapsitiva 1 Unità Didattica La natura duale della luce e l atm di idrgen Questa unità descrive la natura duale (nda-particella) della luce attravers la descrizine e spiegazine di alcuni fenmeni, quali : 1) il principi di Huygens e il fenmen dell interferenza, che si giustifican ammettend la natura ndulatria della luce; ) l effett ftelettric, che richiede invece che la luce abbia una natura crpusclare. L unità cntiene pi infrmazini sull atm di idrgen, i mdelli di Thmsn, Rutherfrd e Bhr, l esperiment di Frank-Hertz e infine la frmula di Rydberg-Ritz. Diapsitiva lunghezza d nda λ ampiezza A distanza dalla srgente Quand lasciam cadere una gccia d acqua in una bacinella, si frman delle nde circlari. Sulla superficie ricnsciam picchi e valli, grazie a cui pssiam definire l ampiezza e la lunghezza dell nda.

2 Diapsitiva 3 Principi di Huygens nda sferica nda piana Una srgente di luce emette radiazine nell spazi circstante, che si prpaga sttfrma di nde sferiche. I punti del singl gusci sferic frman il csiddett frnte d nda e la direzine di prpagazine dell nda è sempre rtgnale al frnte d nda. Secnd il Principi di Huygens: gni punt del frnte d nda è srgente di un frnte d nda secndari che ha una frma sferica. Cnseguenze: Il nuv frnte d nda è l invilupp di tutti i frnti d nda secndari. Ess ha la stessa frma del frnte d nda iniziale, ciè un frnte d nda sferic genera un altr frnte d nda sferic, mentre un frnte d nda pian genera un frnte d nda anch ess pian. Quest permette di limitare l studi alle sle nde sferiche.

3 Diapsitiva 4 R D C ST T T km C D 1600km C 8 ST 40000km d = T ST km 40000km 0.5km Cnsideriam il Sle. E una srgente di frma sferica che emana la sua luce in md istrp, quindi la luce del Sle si prpaga nell spazi sttfrma di nde sferiche. Immaginiam queste nde su un pian anziché nell spazi per cmdità. La distanza della Terra dal Sle è di circa 150 milini di km. Quand un frnte d nda dal Sle raggiunge la Terra, la sfera di luce in quest cas la circnferenza, ha una dimensine di circa 940 milini di km. Ora, che dimensine ha la Terra in rapprt a questa circnferenza? Cnsideriam il diametr terrestre, circa 1600 km, e tteniam che ess è circa 1/ della circnferenza in questine, quindi mlt piccl. Vediam a csa crrispnderebbe quest valre sulla Terra: la circnferenza della Terra all equatre è circa km, che mltiplicati per 1/ diventan circa 500 m. Pssiam raginevlmente assumere che un tratt di terra mare di 500 m sia pian rispett alla curvatura della Terra. E quindi all stess md pssiam dire che la luce del Sle e delle mlt più lntane stelle arriva sulla Terra sttfrma di frnti d nda piani, che significa raggi di luce paralleli.

4 Diapsitiva 5 Esperiment cn una vaschetta ndscpica. Onde cn frnte d nda pian vengn generate e spinte vers un stacl, che ha un fr attravers cui il liquid passa. Al di là dell stacl si sservan nde sferiche prpagarsi in tutte le direzini. Si tratta del frnte d nda secndari generat nel punt che crrispnde al fr che si apre nella barriera su cui incide il frnte d nda pian. Quest vale anche per la luce. Basti pensare al fatt che la luce si prpaga in tutte le direzini quand entra attravers un fr in una stanza buia.

5 Diapsitiva 6 interferenza cstruttiva interferenza distruttiva Quand due ( più) nde si incntran si assiste al fenmen dell interferenza. Nella figura sulla destra è rappresentat un altr esperiment cn una vaschetta ndscpica in cui sn presenti due generatri di nde sferiche. Si ricnscn regini in cui i frnti d nda si smman e altre in cui si annullan. A sinistra invece sn riprtati tre esempi di interferenza: 1) Si ha interferenza cstruttiva quand si smman due nde in fase, ciè due nde che hann massimi (e quindi minimi) cincidenti. ) Si ha interferenza distruttiva quand un nda cancella l altra, e quest avviene quand le nde sn in ppsizine di fase, ciè quand i massimi dell una cincidn cn in minimi dell altra. 3) Si ha interferenza parziale nei casi intermedi cn una diminuzine di ampiezza dell nda risultante rispett alle nde che l hann generata. Onde cerenti quand la differenza di fase è cstante nel temp.

6 Diapsitiva 7 Si cnsideri una maschera su cui sn praticate due aperture e si inviin vers di essa nde cn frnte d nda pian: la direzine di prpagazine di queste nde sia rtgnale alla maschera per semplicità. In crrispndenza delle aperture secnd il principi di Huygens si generan nde circlari in fase che si prpagan in tutte le direzini e raggiungn l scherm a destra. Le nde interferiscn l una cn l altra e sull scherm a destra arrivan in fase (massim di luce), ppsizine di fase (minim di luce zna di bui) interferenza parziale. Si crea una figura mlt particlare chiamata frange d interferenza. Diapsitiva 8 Esperienza: Interferenza a due fenditure Interferenza a due fenditure: Esperiment che mstra la psizine dei massimi e dei minimi in funzine della distanza tra le fenditure.

7 Diapsitiva 9 Interfermetria Le differenze nel percrs ttic del fasci che raggiunge i diversi telescpi vann crrette cn le linee di ritard e sincrnizzate su un unic ricevitre L effett di interferenza fra due più fenditure viene usat in astrnmia per pter misurare distanze anglari in ciel mlt piccle, mlt più piccle di quelle che può raggiungere il singl telescpi. Questa tecnica viene chiamata interfermetria e cnsiste nel puntare due più telescpi vers la stessa srgente di luce, sservarla in cntempranea e far svrapprre i fasci di luce in md da ttenere le csiddette frange di interferenza. Dall studi delle frange si risale alla dimensine anglare della srgente sservata. Diapsitiva 10 Interfermetria cn il VLT Un esempi di super-interfermetr. E il Very Large Telescpe, il più grande sservatri astrnmic eurpe. Si tratta di 4 telescpi giganti che pssn lavrare in md indipendente ppure assieme per pter vedere ciò che un singl telescpi nn è in grad di vedere.

8 Diapsitiva 11 Il 15 Dicembre 00, due dei quattr telescpi del VLT (ANTU e MELIPAL) sn stati puntati vers la stella ε Carinae e i due fasci di luce sn stati diretti vers l strument MIDI (MID-Infrared interfermetric instrument ) attravers cmplessi sistemi ttici. Dp alcune re di reglazine e ttimizzazine sn state ttenute frti e stabili frange di interferenza.

9 Diapsitiva 1 Effett ftelettric L elettrscpi si scarica cn la luce ma questa deve avere lunghezza d nda pprtuna La natura ndulatria della luce nn è più sufficiente a spiegare il fenmen La scperta dell effett ftelettric ebbe un rul fndamentale nella crisi della fisica classica, che ricnsceva alla radiazine elettrmagnetica un cmprtament prettamente ndulatri, e nell svilupp della meccanica quantistica, che intrduce il cncett di dualism nda-particella. L effett ftelettric era nt dal 1880: si sapeva che la luce pteva far emettere elettrni ad una superficie metallica, prducend una deble crrente. La teria ndulatria classica prevedeva però che, all'aumentare dell'intensità della luce incidente, aumentasse l'energia degli elettrni emessi. Nel 190, il fisic tedesc Philipp Lenard mstrò invece che l'energia psseduta dai ftelettrni nn dipendeva dall intensità di illuminazine, ma unicamente dalla frequenza (, equivalentemente, dalla lunghezza d'nda) della radiazine incidente. L intensità della radiazine, al cntrari, determinava l intensità della crrente, vver il numer di elettrni strappati alla superficie metallica. Il risultat sperimentale era inspiegabile ammettend che la natura della luce fsse unicamente ndulatria. Secnd la descrizine classica, basata sulla natura ndulatria della radiazine luminsa: a) gli elettrni emessi pssiedn all uscita della placca un energia cinetica prprzinale all intensità della radiazine luminsa; b) gli elettrni vengn emessi per qualunque frequenza della luce; l effett di emissine inizia dp un temp abbastanza lung (dell rdine del secnd) perché l interazine cn ciascun elettrne del metall avviene in un area mlt piccla e l energia trasferita è crrispndentemente piccla.

10 Diapsitiva 13 Effett ftelettric Natura crpusclare della luce. Ogni crpuscl trasprta un energia hν e gli elettrni pssn assrbire singli crpuscli luce (frequenza > sglia ftelettrica) elettrni (= crrente) Metall (Zn, K, Li, ) Illustriam adess un fenmen fisic che cinvlge la luce e che è spiegabile sl assumend che la luce si cmprti cme una particella, l effett ftelettric. Alcuni metalli, quali zinc, ptassi, liti, ecc., clpiti da una luce di frequenza sufficiemente alta liberan elettrni. La frequenza della luce è l invers della lunghezza d nda mltiplicata per la velcità della luce (circa km/s) : ν = c / λ, e si misura in Hertz (Hz). Quand la frequenza supera un cert valre, dett sglia, si assiste all instaurarsi di crrente, si liberan ciè elettrni cn una certa energia. Diapsitiva 14 E elettrne = E ftne E estrazine Si ha crrente se E elettrne >0 ciè se E ftne E estrazine > 0 e quindi E ftne > E estrazine Nn si ha crrente se E elettrne 0 ciè se E ftne E estrazine 0 e quindi E ftne E estrazine Riscriviam cme E elettrne = E ftne E estrazine E e = hν -W Per spiegare quest fenmen dbbiam iptizzare che la luce sia in realtà cstituita da unità di energia, chiamate ftni. L energia del singl ftne è prprzinale alla sua frequenza e la cstante di prprzinalità si chiama cstante di Planck : E f = h ν. L elettrne liberat avrà una certa energia cinetica che crrispnderà alla differenza tra l energia dei ftni incidenti e quella necessaria a liberare gli elettrni (lavr di estrazine).

11 Diapsitiva 15 Esperienza: Effett ftelettric In questa figura è rappresentat l esperiment dell effett ftelettric. Una srgente di luce clpisce il metall e si liberan elettrni. Per misurare l energia cinetica degli elettrni liberati basta agire sul vltmetr e aumentare la differenza di ptenziale fin ad arrestare la crrente (ptenziale di arrest). Diapsitiva 16 La crrente si arresta quand il ptenziale V è E e = ev ma E e = hν -W quindi ev = hν -W da cui V = (h/e) ν - (W/e) Una vlta reglat il ptenziale V in md da blccare la crrente pssiam esprimere l energia cientica degli elettrni in funzine di V. D altra parte abbiam vist che l energia cinetica è la differenza fra l energia dei ftni e quella necessaria per liberare gli elettrni, quindi pssiam facilmente ttenere un espressine che lega il ptenziale elettric alla frequenza della radiazine incidente sul metall. In questa espressine, h ed e sn cstanti nte, la frquenza della luce è reglata pprtunamente, il ptenziale V viene misurat e quindi è pssibile ricavare il lavr di estrazine W, che è l unic termine scnsciut. Il rapprt W/e si dice ptenziale di estrazine.

12 Diapsitiva 17 Ptenziale (mv) V = (h/e) ν - (W/e) V= m ν -q è una relazine lineare ciè una retta del tip Y = m X -q Frequenza (x Hz) La relazine trvata precedentemente indica che esiste una dipendenza lineare tra il ptenziale d arrest e la frequenza della luce incidente. Misuriam quindi il ptenziale d arrest per diversi valri di frequenza della luce incidente e li rappresentiam in un grafic cn la frequenza in ascissa e il ptenziale in rdinata. I dati sperimentali si dvrann disprre lung un retta. Diapsitiva 18 λ = 60 nm ν = c / λ = 4.8 x Hz Ptenziale (mv) V = 104 mv Frequenza (x Hz) Misuriam il ptenziale d arrest per gli elettrni emessi dal cesi quand viene clpit da luce rssa. Riprtiam nel grafic i valri misurati (punt rss).

13 Diapsitiva 19 λ = 50 nm ν = c / λ = 5.8 x Hz Ptenziale (mv) V = 496 mv Frequenza (x Hz) Misuriam il ptenziale d arrest per gli elettrni emessi dal cesi quand viene clpit da luce verde. Riprtiam nel grafic i valri misurati (quadrat verde). Diapsitiva 0 λ = 470 nm ν = c / λ = 6.4 x Hz Ptenziale (mv) V = 741 mv Frequenza (x Hz) Misuriam il ptenziale d arrest per gli elettrni emessi dal cesi quand viene clpit da luce blu. Riprtiam nel grafic i valri misurati (triangl blu).

14 Diapsitiva 1 λ = 00 nm ν = c / λ = 15 x Hz Ptenziale (mv) V = 4306 mv Frequenza (x Hz) Misuriam il ptenziale d arrest per gli elettrni emessi dal cesi quand viene clpit da luce ultraviletta. Riprtiam nel grafic i valri misurati (rmb vila). Diapsitiva V = (h/e) ν - (W/e) V= m ν -q è una relazine lineare Ptenziale (mv) V = m ν -q ν=0 V estrazine V=0 ν sglia Frequenza (x Hz) ν sglia = Hz V estrazine = 1894 mv I valri misurati si dispngn su di una retta di cefficiente anglare h/e e intercetta W/e. Il valre dell intercetta crrispnde al ptenziale di estrazine. Al ptenziale V=0 crrispnde il valre della frequenza di sglia, al di spra della quale si ha emissine di elettrni da parte del metall.

15 Diapsitiva 3 V=0 ν sglia = W / h = (W / e) (e / h) = V estrazine (e / h) Quindi, sapend che e = 1.6 x culmb, h = 6.6 x jule x sec, e che V estrazine per quest metall vale circa 1.9 vlt, si ttiene una frequenza di sglia ν sglia = 4.6 x Hz Ciè: λ sglia = 65 nm Sl i ftni cn lunghezza d nda inferire a 65nm sn in grad di estrarre elettrni dal cesi. Diapsitiva 4 Mdell di Thmsn Nel 1898 Thmsn frmulò il prim mdell atmic. Elettrni immersi in un sttfnd di carica psitiva unifrmemente distribuita Camp elettric in grad di deviare i raggi catdici, prtand sstegn all iptesi della lr natura crpusclare. Cn il su esperiment, Thmsn chiarì che i raggi catdici eran particelle cariche negativamente (elettrni) e riuscì a misurare il rapprt carica/massa. I sui studi miser anche in evidenza l esistenza di altre particelle, di carica ppsta e di massa mlt maggire.

16 Diapsitiva 5 Mdell di Rutherfrd Nel 1909 mdell di Thmsn in crisi: Rutherfrd evidenzia l esistenza del nucle dell atm Diapsitiva 6 Il mt dell elettrne è il risultat dell equilibri tra frza centrifuga e frza di attrazine elettrstatica: v Ze m = r 4πε r Energia dell elettrne (en. cinetica + en. ptenziale elettrica): E = 1 mv Ze 4πε r Secnd la teria classica l rbita di un elettrne in un atm dvrebbe decadere per emissine di radiazine elettrmagnetica Inltre, i livelli energetici dell elettrne sn infiniti e quest nn permetteva di spiegare gli spettri a righe La frmula in alt riprta a sinistra la frza centripeta a cui è sttpst l elettrne, mentre a destra è riprtata la frza elettrstatica per un atm cn numer atmic Z. Le cstanti sn : m = massa dell elettrne v = velcità dell elettrne r = distanza dell elettrne dal nucle ε 0 = cstante dielettrica nel vut

17 Diapsitiva 7 Mdell di Bhr Nel 1913 Bhr sviluppa un mdell partend da: Rutherfrd + teria quantistica maturata da Planck v Ze m = r 4πε r mv Ze = 4πε r E = 1 mv Ze 4πε r 1 e E = 8 πε Z r Diapsitiva 8 Cndizine di quantizzazine del mment anglare: L = mvr = n h π Cn n=1,,3, h = 6, J s Cstante di Planck Elevand al quadrat: h m v r = n mv = 4π n h 4π mr L elettrne che ruta attrn al nucle avrà un cert mment anglare, quantità che è data dal prdtt della quantità di mt per la distanza della particella dal centr di riferiment. L idea di Bhr è che l elettrne nn assuma qualsiasi valre del mment anglare, ma sl valri ben definiti, multipli interi della cstante di Planck.

18 Diapsitiva 9 mv = n h 4π mr mv Ze = 4πε r r n h ε πme n Z = Raggi rbite permesse! Es.: Z=1, n=1 si ttiene r 1 = m raggi di Bhr Cn semplici passaggi matematici, utilizzand le espressini fin qui espste, si ttiene una frmula che serve per calclare i raggi delle rbite permesse degli elettrni, che quindi nn si pssn trvare a una distanza qualsiasi dal nucle. Cme si vede, la frmula in questine dipende esclusivamente dal numer atmic Z e dal numer quantic n. Diapsitiva 30 1 e E = 8 πε h ε rn = πme Z r n Z E 8ε h n = 4 me 8ε h Z n 4 me 18 =,18 10 J = 13,6 ev Z = 13.6 n En ev Energia di legame dell elettrne Dalla quantizzazine del mment anglare derivan la quantizzazine di r e di E Nta l espressine che definisce il raggi di gni rbita pssibile per un elettrne, è facile calclare l energia assciata ad gni rbita. Cn le pprtune cnversini fra unità di misura si ricava un espressine mlt semplice che dipende dal numer atmic Z e dal numer quantic n. In particlare, per un atm di idrgen (Z=1) l energia di legame dell elettrne è massima quand l elettrne si trva al livell n=1, chiamat anche livell fndamentale, e vale 13.6 ev, e diminuisce man man che l elettrne si spsta a livelli superiri, n > 1, e quindi man man che l elettrne viene a trvarsi più lntan dal nucle.

19 Diapsitiva 31 Secnda iptesi di Bhr: quand un elettrne passa da un stat eccitat all stat fndamentale l energia viene emessa stt frma di pacchetti: 1 E E = hν Frequenza e lunghezza d nda dell energia emessa dall atm quantizzate Quest permetteva di spiegare la frmazine delle righe spettrali Diapsitiva 3 Esperiment di Frank e Hertz L esperiment (1914) cnferma l iptesi di Bhr I livelli discreti di energia dell atm sn stati per la prima vlta mstrati direttamente nell esperiment di Frank e Hertz. In un tub riempit di nen (in rigine di mercuri) degli elettrni vengn emessi da un catd e accelerati da un ptenziale, pi rallentati da un ptenziale cntrari e racclti dalla parte ppsta per misurare la crrente. In un tub vut la crrente crescerebbe linearmente all aumentare del ptenziale, mentre quest nn avviene se è presente un gas in quant gli elettrni urtan cntr gli atmi del gas. Si sserva che la crrente cresce, ma quand gli elettrni hann abbastanza energia da eccitare i livelli di energia degli atmi del gas, la perdn in lr favre e la crrente diminuisce rapidamente fin ad un minim. All aumentare del ptenziale di nuv la crrente cresce finché gli elettrni eccitan il gas due vlte. E quest prcess va avanti in md ripetitiv. La differenza di ptenziale fra un minim e un massim è equivalente all energia del livell eccitat.

20 Diapsitiva 33 Alla d.d.p. di 6 V la crrente cade a 0. Picchi di crrente a ca. 4.9 V, 9.8 V, 14.7 V, ecc. Un atm di Hg in un stat eccitat trna all stat fndamentale emettend radiazine alla lunghezza d nda di 35.6 nm, che crrispnde ad un energia di : E = hν = hc λ = 34 8 ( ) ( 3 10 ) 19 = J ciè ~5 ev L atm assrbe energia per quantità discrete Diapsitiva 34 Frmula di Rydberg-Ritz Ritz Sperimentalmente, righe emesse dall idrgen dagli idrgenidi raggruppate in serie cn frequenze ben rappresentate dalla frmula di Rydberg-Ritz (1890): ν 1 1 RZ m n = dve R è una cstante (per l idrgen R Hz), Z è il numer atmic e m e n due numeri naturali cn n>m.

21 Diapsitiva 35 Ma il mdell di Bhr dice che: E ν = E h 1 = h Z m dve si è pst Z=1 per l atm di idrgen. 1 = n 15 1 m 1 n Pnend m=1, n=,3,4 si ttiene la serie di Lyman (ultravilett). Pnend m=, n=3,4,5 si ttiene la serie di Balmer (visibile). Pnend m=3, n=4,5,6 si ttiene la serie di Paschen (infrarss). m=4, n=5,6,7 serie di Brackett m=5, n=6,7,8 serie di Pfund Diapsitiva 36

22 Diapsitiva 37 Cas m=: n=3 ν= Hz da cui λ=656.3 nm, ssia Hα. n=4 Hβ (λ=486.1 nm) n=5 Hγ (λ=434.1 nm) n=6 Hδ (λ=410. nm) Diapsitiva 38

23 Diapsitiva 39 Regini HII Diapsitiva 40 Il Sle in Hα