GEOMETRIA PER FISICI ELENCO DEGLI ARGOMENTI TRATTATI DURANTE LE LEZIONI

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1 GEOMETRIA PER FISICI ELENCO DEGLI ARGOMENTI TRATTATI DURANTE LE LEZIONI 1. MARTEDÌ 4 OTTOBRE 2016 Informazioni organizzative. Chiacchiere. Panoramica sul corso. Tre esempi di linearità. 2. GIOVEDÌ 6 OTTOBRE 2016 Linguaggio. Insiemi, sottoinsiemi: unione, intersezione, differenza, prodotto cartesiano, insieme vuoto, insieme delle parti. Applicazioni: iniettività, suriettività, invertibilità, composizione, identità. La composizione di applicazioni è associativa. Relazioni: relazioni d ordine e relazioni di equivalenza. Una relazione di equivalenza ripartisce l insieme su cui è definita in un unione disgiunta di classi di equivalenza cioè in una partizione. Induzione. Base dell induzione, ipotesi induttiva, passo induttivo. Un esempio: n = n(n + 1)/2. P. Piccinni: numeri complessi. 3. VENERDÌ 7 OTTOBRE MARTEDÌ 11 OTTOBRE 2016 Notazione esponenziale dei numeri complessi di norma 1: exp(iθ) = cos θ + i sin θ. Relazioni di equivalenza: proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva; classe di equivalenza [a] = {x X x a}; se b [a], allora [a] = [b]; [a] [b] = [a] = [b]. Le classi di equivalenza, rispetto ad una relazione di equivalenza su X, sono una famiglia di sottoinsiemi, a due a due disgiunti, la cui unione è tutto X (cioè una partizione di X). Un esempio: la congruenza modulo 3 sugli interi. Definizione di spazio vettoriale. Esempi: K è un K-spazio vettoriale; C è uno spazio vettoriale reale; {0} è un K-spazio vettoriale; K n è un K-spazio vettoriale. Prime proprietà degli spazi vettoriali: l elemento neutro è unico; ciascun elemento possiede un unico inverso; 0 v = 0; ( 1) v = v. 5. GIOVEDÌ 13 OTTOBRE 2016 Un altra manipolazione elementare: v 0 = 0. Sottospazi vettoriali. {0} e V sono sempre sottospazi vettoriali di V ; sottospazi vettoriali di R 2 e R 3. L intersezione (anche non finita) di sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale. Definizione di sottospazio vettoriale di V generato da un sottoinsieme X V : si indica con X. Il sottospazio X contiene tutte le combinazioni lineari di elementi di X; anzi: contiene tutte e sole le combinazioni lineari degli elementi di X. Un sottoinsieme X V genera V se X = V, cioè se ogni elemento di V è combinazione lineare di elementi di X. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. 6. VENERDÌ 14 OTTOBRE MARTEDÌ 18 OTTOBRE 2016 Dipendenza e indipendenza lineare. Il sottospazio generato dall insieme vuoto è quello nullo; l insieme vuoto è linearmente indipendente. In effetti, se un insieme di vettori è linearmente indipendente, ogni suo sottoinsieme è ancora linearmente indipendente; viceversa, se un sottoinsieme X V genera lo spazio vettoriale V, e X Y V, allora anche Y genera necessariamente V. Un insieme (finito) di vettori è linearmente dipendente esattamente quando almeno uno di questi vettori è combinazione lineare degli altri; equivalentemente, un insieme (finito) di vettori è linearmente indipendente esattamente quando nessuno dei vettori è combinazione lineare degli altri. Se ho dei vettori linearmente indipendenti, e aggiungo un vettore che non è loro combinazione lineare, ottengo un insieme di vettori linearmente indipendente. Modo induttivo di costruire vettori linearmente indipendenti; può non terminare (es.: nello spazio vettoriale R[t]), ma se termina, termina su una base. Se ho un insieme (finito) di generatori di V, e uno di essi è combinazione lineare degli altri, i vettori ottenuti rimuovendolo rimangono dei generatori di V. Ripetendo questa procedura, e partendo da un insieme (finito) di generatori di V, si arriva necessariamente ad una base di V. Lemma tecnico: sia V uno spazio vettoriale, v 1,..., v n una sua base, e 0 u un elemento di V. Allora posso sostituire u ad uno tra i vettori v 1,..., v n in modo da ottenere una base. Obiettivo della prossima lezione: sia V uno spazio vettoriale, v 1,..., v n una sua base, e u 1,..., u h elementi di V linearmente indipendenti. Allora posso sostituire u 1,..., u h ad h tra i vettori v 1,..., v n e ottenere una base. 1

2 2 GEOMETRIA PER FISICI 8. GIOVEDÌ 20 OTTOBRE 2016 Dimostrazione dell enunciato della lezione scorsa. Conseguenze: Se v 1,..., v n sono una base di V, e u 1,..., u n sono elementi linearmente indipendenti di V, allora sono anch essi una base di V. Se v 1,..., v n sono una base di V, e u 1,..., u h sono elementi linearmente indipendenti di V, allora h n. Se v 1,..., v m e u 1,..., u n sono basi di V, allora m = n. Se v 1,..., v n sono una base di V e U V è un sottospazio vettoriale, allora U possiede una base finita con al più n elementi. Dimensione di uno spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali di R 2 e R 3. Da ogni insieme finito di generatori di V si può estrarre una base. Se V ha dimensione finita, ogni suo insieme di elementi linearmente indipendenti si completa ad una base. Formula di Grassmann. L intersezione di due piani distinti passanti per l origine in R 3 è una retta. 9. VENERDÌ 21 OTTOBRE MARTEDÌ 25 OTTOBRE 2016 Ciascun elemento di uno spazio vettoriale V si esprime in un solo modo come combinazione lineare degli elementi di una base (scelta) di V. Dimostrazione della formula di Grassmann. Somma diretta (esterna) di spazi vettoriali. Dimensione di V W in termini di dim V e dim W. Congruenza modulo un sottospazio. E una relazione di equivalenza. Classi di congruenza modulo sottospazio. Anticipazione: l insieme delle classi di equivalenza possiede una struttura di spazio vettoriale (che si indica con V/W ). P. Piccinni 11. GIOVEDÌ 27 OTTOBRE VENERDÌ 28 OTTOBRE GIOVEDÌ 3 NOVEMBRE 2016 Operazioni ben definite tra punti nel piano. Combinazioni affini. Le combinazioni affini di due punti sono tutti e soli i punti che appartengono alla retta passante per i due punti. Il concetto di spazio affine (modellato su uno spazio vettoriale). Sottospazi affini. Giacitura di un sottospazio affine. Sottospazi incidenti, paralleli, sghembi. 14. VENERDÌ 4 NOVEMBRE MARTEDÌ 8 NOVEMBRE 2016 Ultime precisazioni sulla geometria affine. Riferimenti affini. Applicazioni lineari. Esempi di applicazioni lineari: 0, l inclusione, l identità, la derivata. Composizione di applicazioni lineari è lineare. L inversa di un applicazione lineare invertibile è lineare. Se T : V W è lineare, allora ker T V e Im T W sono sottospazi vettoriali. T è iniettiva se e solo se ker T = {0}. 16. GIOVEDÌ 10 NOVEMBRE 2016 La proiezione al quoziente è lineare. Se T : V W è lineare, allora dim V = dim ker T + dim Im T. Conseguenze: dim V/W = dim V dim W ; altra dimostrazione della formula di Grassmann; se T : V W è lineare e iniettiva, allora dim Im T = dim V. Soluzioni di un sistema omogeneo di equazioni lineari. Se v 1,..., v n sono elementi di uno spazio vettoriale V, allora l applicazione R n (a 1,..., a n) a 1v a nv n V è lineare; è suriettiva se e solo se v 1,..., v n sono generatori di V ; è iniettiva se e solo se sono linearmente indipendenti; è invertibile se e solo se sono una base. Omomorfismi, isomorfismi, endomorfismi, automorfismi. Spazi vettoriali isomorfi. Uno spazio vettoriale è isomorfo a R n se e solo se ha dimensione n. Due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. Applicazioni lineari e matrici: come si associa una matrice ad un applicazione lineare R m R n. 17. VENERDÌ 11 NOVEMBRE 2016

3 GEOMETRIA PER FISICI MARTEDÌ 15 NOVEMBRE 2016 Uso della matrice associata ad un applicazione lineare. Vari esempi. Composizione di applicazioni lineari e prodotto righe per colonne. Matrice identità. Matrici invertibili: sono necessariamente quadrate. Un applicazione R m R n è lineare se e solo se è definita da espressioni di primo grado senza termine noto. Per ogni matrice data, è possibile trovare un applicazione lineare alla quale sia associata. Generalizzazione: matrice associata ad un applicazione lineare tra spazi vettoriali (di dimensione finita) una volta fissate una base dello spazio vettoriale di partenza e una dello spazio vettoriale di arrivo. 19. GIOVEDÌ 17 NOVEMBRE VENERDÌ 18 NOVEMBRE MARTEDÌ 22 NOVEMBRE 2016 Risoluzione di sistemi di equazioni lineari: il procedimento di eliminazione di Gauss. Forma a gradoni e pivot. Descrizione dettagliata dell algoritmo. Come stabilire se un sistema abbia o meno soluzioni. Parametrizzazione lineare dell insieme delle soluzioni. Rango di una matrice. Il rango della matrice associata ad un applicazione lineare è la dimensione della sua immagine. Il rango di una matrice è la dimensione del sottospazio vettoriale generato dalle sue colonne. 22. GIOVEDÌ 24 NOVEMBRE 2016 Richiami. Esempi. Un secondo utilizzo del procedimento di eliminazione: le manipolazioni non modificano il sottospazio vettoriale generato dalle righe della matrice; modificano invece il sottospazio vettoriale generato dalle colonne, seppur lasciandone invariata la dimensione. Il teorema di Rouché-Capelli. La dimensione del sottospazio vettoriale generato dalle righe di una matrice coincide con la dimensione del sottospazio vettoriale generato dalle colonne, ed entrambi i numeri sono uguali al rango della matrice. 23. VENERDÌ 25 NOVEMBRE MARTEDÌ 29 NOVEMBRE 2016 Alcune precisazioni sull eliminazione di Gauss. Se compaiono k pivot nelle prime n colonne, allora le prime n colonne della matrice originaria generano un sottospazio vettoriale di dimensione k; di conseguenza, le colonne della matrice originaria corrispondenti alla posizione dei pivot sono linearmente indipendenti (e generano il sottospazio vettoriale generato da tutte le colonne). Nuova dimostrazione del teorema di Rouché-Capelli. Area di un parallelogramma: calcolo esplicito; proprietà della funzione area; l area ha un segno; relazione con la dipendenza lineare in R 2. Proprietà assiomatiche del determinante. Calcolo del determinante e manipolazioni del procedimento di eliminazione. Unicità della funzione determinante (se esiste). Definizione induttiva del determinante di matrici quadrate. Determinante di matrici 1 1, 2 2, GIOVEDÌ 1 DICEMBRE 2016 Esistenza della funzione determinante (attraverso lo sviluppo di Laplace lungo la prima colonna). Permutazioni, matrici di permutazione e segno. Il determinante di una matrice coincide con il determinante della sua matrice trasposta; di conseguenza, il determinante è separatamente lineare e alternante anche nelle colonne della matrice. 26. VENERDÌ 2 DICEMBRE MARTEDÌ 6 DICEMBRE 2016 Tutto sul determinante. Sviluppo di Laplace. Una matrice ha determinante non nullo se e solo se è invertibile; due modi di calcolare l inversa. Formule di Cramer. Teorema dell orlato e sue applicazioni al calcolo di equazioni cartesiane di sottospazi affini. 28. VENERDÌ 9 DICEMBRE 2016

4 4 GEOMETRIA PER FISICI 29. MARTEDÌ 13 DICEMBRE 2016 Il prodotto scalare in R 2 e R 3. Prodotto scalare canonico in R n. Lunghezza di vettori e angolo tra vettori. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza triangolare. Teorema di Pitagora. Teorema di Carnot. Uno dei teoremi di Euclide. Forme bilineari e forme quadratiche su campi qualsiasi. Le forme quadratiche si esprimono (in modo non unico) attraverso le forme bilineari. 30. GIOVEDÌ 15 DICEMBRE 2016 Polarizzazione. Se f : V V K è una forma bilineare simmetrica, e q(v) = f(v, v), allora f(v, w) = (q(v + w, v+w) q(v, v) q(w, w))/2; questo fornisce una corrispondenza biunivoca tra forme quadratiche e forme bilineari simmetriche. Il teorema di Sylvester: ogni forma bilineare possiede una base ortogonale. Casi reale e complesso. Una procedura à la Gauss di diagonalizzazione delle forme bilineari. 31. VENERDÌ 16 DICEMBRE MARTEDÌ 20 DICEMBRE 2016 Forme bilineari e matrice associata in una data base. Come cambia la matrice associata ad una forma bilineare cambiando la base? Una forma bilineare è simmetrica se e solo se la matrice associata è simmetrica. Forme bilineari non degeneri; una forma bilineare è non degenere se e solo se la matrice associata è invertibile.

5 GEOMETRIA PER FISICI MARTEDÌ 10 GENNAIO 2016 Punto della situazione sulle forme bilineari (simmetriche). Dimostrazione della buona definizione degli indici di positività, negatività e nullità delle forme quadratiche reali. Rango e segnatura. Che effetto ha un cambiamento di base sulla matrice di una forma bilineare simmetrica? Un esempio esplicito. 34. GIOVEDÌ 12 GENNAIO 2016 Diagonalizzazione algoritmica di una forma quadratica. Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Il problema della diagonalizzazione di endomorfismi lineari. Motivazione. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Ogni elemento non nullo di ker(t λ id) è un autovettore di autovalore λ. Un esempio concreto. 35. VENERDÌ 13 GENNAIO MARTEDÌ 17 GENNAIO GIOVEDÌ 19 GENNAIO VENERDÌ 20 GENNAIO MARTEDÌ 24 GENNAIO GIOVEDÌ 26 GENNAIO VENERDÌ 27 GENNAIO 2016 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA, UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA address: dandrea@mat.uniroma1.it