REGISTRO DELLE LEZIONI a

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI GENOVA Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica (mutuato per Fisica e Smid) REGISTRO DELLE LEZIONI a dell' INSEGNAMENTO o MODULO UFFICIALE Nome: Algebra Lineare e Geometria Analitica codice: ( o 80106) codice padre (se ins. a moduli): tenute dal Prof. Emanuela De Negri Nell'anno accademico IL DOCENTE IL DIRETTORE DEL DIPARTIMENTO c a Alla fine dell'insegnamento il Registro deve essere stampato, firmato e consegnato al Direttore del Dipartimento di riferimento del CdS. Copia elettronica (anche non firmata) deve essere inviata al Coordinatore del CCS e, qualora differente, al Direttore del Dipartimento di afferenza del docente. b Solo se l'insegnamento o modulo è tenuto da più docenti in codocenza ed il docente che compila il presente registro non è il docente responsabile. c Per Dipartimento si intende il Dipartimento di riferimento del CdS.

2 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI GENOVA Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica -Smid Anno accademico: Insegnamento/modulo: Algebra Lineare e Geometria Analitica Codice: Codice padre (se a moduli) Docente: Emanuela De Negri Riepilogo generale Esercitazioni n. Per n. gruppi di N. esercitazioni in aula a studenti N. esercitazioni in Per n. gruppi di laboratorio studenti Numero lezioni totali 62 Numero ore totali 104 Ore complessive Ore complessive Totale ore frontali/docente 104 Totale ore frontali/studente N. ore non svolte dal docente titolare b Lezioni: Esercitazioni in aula: Esercitazioni di laboratorio: Il Docente Note: a Si intendono esercitazioni condotte dal docente e facenti parte integrante dell'insegnamento e non esercitazioni integrative b Maggiori dettagli sono riportati nel riquadro relativo alle lezioni/esercitazioni per cui il docente si è fatto sostituire. Tali riquadri devono essere firmati sia dal docente titolare che dal sostituto.

3 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.1 Introduzione al corso. Insiemi: prime notazioni e insiemi di numeri. I numeri complessi, forma algebrica. Operazioni, norma, modulo, coniugato e proprieta Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.2 Rappresentazione geometrica. Forma trigonometrica, prodotto e rapporto, potenze. (1 Ora) Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.3 Forma esponenziale. Teorema fondamentale dell algebra, divisione di polinomi, Esercizi sul programma svolto fino ad ora. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.4 Teorema di Ruffini, fattorizzazione di polinomi. Soluzioni delle equazioni x^n=w. Se alpha e radice di un polinomio a coeff. reali anche il coniugato di alpha e radice. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.5 Polinomi, radici e fattorizzazione. Vettori applicati e vettori liberi. (1 Ora) ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.6 Operazioni di somma e prodotto per uno scalare: definizione e proprieta. Esercizi sul programma svolto fino ad ora. Addì Addì

4 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.7 Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio. Operazioni in termini di coordinate. Modulo, angolo tra vettori e proiezioni ortogonali. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 8 Ortogonalita e prodotto scalare Proprieta del prodotto scalare, Calcolo dell angolo tra vettori e della proiezione di un vettore su un altro Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.9 Prodotto vettoriale e proprieta. Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.10 Prodotto vettore e parallelismo, prodotto misto. Teoremi su allineamento e complanarita di punti. Equazione parametrica della retta nel piano. Equazione cartesiana della retta nel piano. Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.11 Vettore direzionale e coeff. Angolare della retta nel piano. Equazione parametrica della retta e del piano nello spazio. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.12 Equazione cartesiana della retta e del piano nello spazio. Posizioni reciproche di una retta e un piano Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.13 Posizioni reciproche di due rette (rette sghembe). Fasci di piani. Distanza punto-retta e punto-piano. Comune perpendicolare e distanza tra rette sghembe. Equazione della sfera. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.14 Circonferenze nello spazio. Circonferenza per tre punti. Addì Addì

5 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.15 Introduzione ai sistemi lineari. Prime nozioni sulle matrici. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.16 Definizioni sulle matrici quadrate. Somma di matrici e proprieta. Prodotto per scalare e proprieta. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 17 Prodotto di matrici: definizione e proprieta. "Patologie" del prodotto di matrici. Prodotto e sistemi. Definizione di Matrici invertibili. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.18 Prime proprietà delle matrici invertibili. Matrici elementari: definizione. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 19 Matrici elementari e operazioni elementari. Primo esempio di algoritmo di Gauss. Esercizi sul programma svolto fino ad ora Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.21 Sistemi omogenei. Inversa di una matrice usando Gauss. Fattorizzazione LU e esercizi ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.20 Le operazioni elementari trasformano un sistema in uno equivalente.matrici ridotte e totalmente ridotte. Esempi di risoluzione di sistemi associate a matrici totalmente ridotte. Caratterizzazione sistemi risolubili in termini di pivot (1 ORA piena) Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.22 Caratterizzazione matrici invertibili. Permutazioni : definizione, Composizione, inversa, segno di una permutazione. Definizione di determinante, calcolo nel caso n=1,2,3. Determinante di matrici diagonali, tr.inf e tr. Sup. Addì Addì

6 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.23 Proprietà del determinante. Calcolo del determinante con Gauss. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.24 Determinante e operazioni. Teorema di Binet Complementi algebrici, Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.25 Primo Teorema di Laplace. Secondo Teorema di Laplace. Aggiunta. Inversa di una matrice usando l'aggiunta. Teorema di Cramer. Definizione di Caratteristica. Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.26 Caratteristica: prime proprieta'. Calcolo della caratteristica con Gauss. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.27 Teorema di Kronecker e Teorema di Rouche - Capelli. Esercizi sull equivalenza di matrici ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.28 Gruppi: definizione ed esempi. Spazi vettoriali: definizione ed esempi. Sottospazi vettoriali: definizione e primi esempi. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.29 Esercizi sulla caratteristica e sistemi. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.30 Esercizi sul programma svolto fino ad ora (lezione fatta dalla Prof. ONETO ) Addì Addì

7 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.31 Criterio per sottospazi. Sottospazi di R^2 e di R^3. Sottospazi generati da un insieme di vettori. Sistemi di generatori. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 32 Vettori linearmente indipendenti. Base di uno spazio vettoriale. Lemma di scambio. Teorema di equipotenza della basi.. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.33 Lemma di estrazione completamento. Ogni spazio vettoriale finitamente generato ha una base Esercizi sul programma svolto fino ad ora ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.34 Sottospazi e dimensione. Intersezione, somma e somma diretta di due sottospazi. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 35 Esempi. Teorema di Grassmann. Esistenza del complemento diretto. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 36 Somma di n sottospazi.coordinate di un vettore rispetto a una base e uso per calcolare la dimensione di uno spazio generato da t vettori. Esercizi sul programma svolto fino ad ora Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 37 Applicazioni lineari: definizione e proprieta'. Nucleo, Immagine. Iniettivita' e nucleo. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 38 Surgettivita'. Teorema di nullita'. Addì Addì

8 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 39 Matrici associate ad un omomorfismo: definizione e proprieta. Dimensione di Imf e rango della matrice associata. Struttura di spazio vettoriale su Hom(V,W). Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 41 Matrici simili. Omomorfismi diagonalizzabili: definizione e prima caratterizzazione. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico di un endomorfismo. Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 40 Matrici associate e operazioni Isomorfismo tra Hom(V,W) e lo spazio delle matrici. Matrici associate alla composizione. Matrici di cambiamento di base. Rapporto tra matrici associate allo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse. Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 42 Polinomio caratteristico e traccia. Lineare indipendenza di autovettori con autovalori distinti. La somma di autospazi e' diretta. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 43 Criterio di diagonalizzabilità per un endomorfismo. Matrici diagonalizzabili. Prodotto scalare. Spazi euclidei reali. Norma. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 44 Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e triangolare. Angolo tra due vettori, ortogonalita. Ortogonale di un insieme di vettori. L ortogonale e un sottospazio. Ortogonale di un sottospazio e sua proprieta. Insiemi ortogonale e ortonormali. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 45 Proiezione di un vettore su uno spazio. Ortonormalizzazione di Gram Schmidt. Basi ortonormali e prodotto scalare. Matrici ortogonali: matrici di rotazione (n=2). ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 46 Matrici ortogonali e rapporto con le basi ortogonali. Matrici ortogonali e trasformazioni del piano. Matrici reali simmetriche e endomorfismi autoaggiunti. Primi risultati per dimostrazione del teorema spettrale. Addì Addì

9 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 47 Teorema Spettrale. Prodotto scalare complesso: definizione e proprietà. Matrici unitarie. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 48 Le matrici hermitiane sono diagonalizzabili tramite matrici unitarie. Forme quadratiche: definizione, segno. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 49 Cambiamento di coordinate lineare. Ogni forma quadratica e equivalente a una in forma canonica. Coniche e forme quadratiche. Primo passo per scrivere una conica in forma canonica: la rotazione. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 50 Passaggio in forma canonica di una conica e rappresentazione nel piano.classificazione delle coniche in forma canonica. Classificazione delle coniche in termini degli invarianti delle matrici associate. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 51 Fasci di coniche. Quadriche: definizione e primi esempi Curve e superfici nella spazio. Curve piane. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 52 Superfici rigate: cilindri e coni. Superfici di rotazione Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 53 Quadriche e matrice associate. Quadriche in forma canonica. Esempio ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 54 Trasformazione di una quadrica in forma canonica. Classificazione delle quadriche. Quadriche degeneri e determinante della matrice associate. Coniche. Addì Addì

10 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.55 Spazio affine e spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.56 Retta proiettiva e piano proiettivo. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.57 Carte affini e iperpiano improprio di P^n(K). Rette in P^2(R): equazioni; per due punti distinti passa una retta. L intersezione di due rette distinte e un punto. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.58 Luoghi degli zeri di un polinomio in A^2 e in P^2. Chiusura Algebrica. Coniche di P^2. Affinita di A^2. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 59 Definizione e proprieta di proiettivita di P^1. Esistenza e unicita della proiettivita che manda una terna di punti in un altra terna. Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 60 Definizione di birapporto e prime proprieta. Birapporto e proiettivita. Esempio di coordinate proiettive sulla retta. Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 61 Coordinate proiettive sulla retta. Proiettivita di P^2, definizione e proprieta. Esempi di proiettivita e loro restrizione alle rette di P^2. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 62 Prospettività. Classificazione affine e proiettiva delle coniche. Addì Addì