ESERCIZI SULLO STUDIO DI FUNZIONE. Esercizi per il corso di Analisi Matematica 1, DTG, Università degli Studi di Padova

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1 ESERCIZI SULLO STUDIO DI FUNZIONE FRANCESCA ALBERTINI, LAURA CARAVENNA, MONICA MOTTA Esercizi per il crs di Analisi Matematica 1, DTG, Università degli Studi di Padva Per le seguenti funzini determinare: il dmini, il segn, eventuali simmetrie e peridicità, limiti agli estremi del dmini ed eventuali asintti, mntnia, estremi lcali. Discutere la limitatezza, superire inferire, dell immagine della funzine. Tracciare un grafic qualitativ f = arctan 1 + lg f = cs 3 1 cs f = lg e arcsin f = + 1 e 1 5 f = arccs f = csπ + sinπ f = sinh cs 1

2 FRANCESCA ALBERTINI, LAURA CARAVENNA, MONICA MOTTA Traccia di sluzine degli esercizi 1 Dmini: D = { R 0, 1} =, 0 0, 1 1, +. Segn: f = arctan lg > 0 se e sl se > 1. La funzine nn presenta simmetrie evidenti e nn è peridica. I limiti da calclare sn a ±, = 0 e = 1. Si ha: lim ± f = π : La retta di equazine y = π/ è asintt rizzntale a ±. lim 0 f = π: Si estende per cntinuit in = 0 pnend f0 = π. lim 1 ± f = ± π : Ha una discntinuit di salt in = 1. L immagine della funzine è l intervall π/, π/, quindi è un insieme limitat. Cntinua e derivabile nel dmini siccme smma e cmpsizine di funzini elementari cntinue e derivabili, nel prpri dmini. Derivata prima: per 0; 1 f = lg Schema di mntnia della funzine: = 0 salt lcale della funzine p.t angls di f minim di f > 0 in 0, 3 5/ 3 + 5/, + = 3 5/ = 1 = 3 + 5/ f f f f f Grafic qualitativ della funzine: = 1 minim lcale mntnia di f segn di f y = π y y = π y = f = 3 5 = 3+ 5 y = π

3 STUDI DI FUNZIONE 3 Dmini: π + kπ, k N. Simmetrie: f = cs 3 1 cs è pari, studi sl 0. Peridicità: Peridica di perid π: cnsiderata anche la parità, l studi si può ridurre a un semi-perid fndamentale cme [0, π] \ {π/}. Segn: Psitiva in [0, π, negativa in π, π]. Limiti: Piché lim π ± cs = 0, si ha lim π f = 0 si dim. sstituend y = 1/ cs che tende a +, lim π è un asintt verticale + f =. Quindi = π da destra e f estendibile per cntinuit sl da sinistra cn f π / = 0. L immagine della funzine è inferirmente illimitata, e superirmente limitata. Derivata: Cntinua e derivabile nel dmini siccme smma e cmpsizine di funzini elementari cntinue e derivabili, nel prpri dmini. Per [0, π] \ { π /} f = 3 1 cs ln 3 cs tan > 0 in π /, π] Siccme f0 = 1 /3 e fπ = 3 si ha f[0, π / = 0, 1 /3] e f π /, π] =, 3]. Schema di mntnia della funzine in un semi-perid: = 0 = π / = π asintt vert. da d min lc. da s per l estensine asslut f f lcale mntnia di f segn di f Grafic qualitativ della funzine: y = 5π = 3π = π = π = 3π = 5π = π = π y = 1 /3 y = 3 y = f

4 4 FRANCESCA ALBERTINI, LAURA CARAVENNA, MONICA MOTTA 3 Dmini: 1. Segn: f = lg e arcsin 1 > 0 sempre. Simmetrie e peridicit: nn peridica siccme D nn l ; n pari n dispari. Limiti: I limiti da calclare sn a ±. Si ha lim ± f = +. La retta y = 3 è asintt bliqu a +, mentre la retta y = lg5 è asintt bliqu a. L immagine della funzine è inferirmente limitata, e superirmente illimitata. Derivata: Cntinua nel dmini siccme smma e cmpsizine di funzini elementari cntinue nel prpri dmini. Derivabile se > 1: f = e3 5 ln 5 arcsin > 0 in, 1, + cn 1 < < e 3 Per il segn di f si sserva che g = e3 5 ln 5, cntinua, è se > 1 e se < 1, e si guardan i limiti a ± e i valri in ±1. In alternativa: in 1, + : g = 3e 3 > 5 ln 5 + = h. Si ha che g si cresce da 4 1 3e 3 a + mntnamente e cn cntinuit, h decresce da + a 0 cn cntinuit, quindi esiste un unic > 1 tale che sddisfatta in, +. in, 1: g = 3e > 5 ln 5 = h. Si ha che g cresce da 0 a + mntnamente e cn cntinuit, h decresce da + a 5 ln 5 cn cntinuit, quindi esiste un unic < 1 tale che sddisfatta in, 1]. In = ±1 il grafic di f ha tangente verticale, da sinistra da destra, siccme lim ±1 ± =. Schema di mntnia della funzine: mntnia di f f f f f = = 1 = 1 = segn di f lc. da s lc. da d minim asslut minim lcale Grafic qualitativ della funzine: si visualizzan diverse parti in diverse scale

5 STUDI DI FUNZIONE 5 4 Dmini: 0. Segn: f = + 1 e 1 0 sempre. Simmetrie e peridicit: nn peridica siccme D nn l ; n pari n dispari. Limiti: I limiti da calclare sn a ± e = 0. Si ha lim ± f = +, lim 0 f = 0, e lim 0 + f = + : la retta = 0 è asintt verticale da d, prlungabile per cntinuit da s cn f0 = 0. La retta y = + 3 è asintt bliqu a +, y = 3 è asintt bliqu a. Minim in = 1 /. L immagine della funzine è inferirmente limitata, e superirmente illimitata. Derivata: Cntinua nel dmini siccme smma e cmpsizine di funzini elementari cntinue nel prpri dmini. Derivabile se 0; 1 /: f = e 1/ sgn + 1 Schema di mntnia della funzine: = { e1/ < 1 e 1/ 1, > 1, 0 = 1 = 1 3 = 0 = 1+ 3 f f f f f minim ass. da s lcale asintt vert. da d minim asslut minim lcale mntnia di f segn di f Il prlungament da sinistra in = 0 è anche derivabile in 0 cn derivata nulla. Grafic qualitativ della funzine: si visualizzan separatamente < 0 e > 0

6 6 FRANCESCA ALBERTINI, LAURA CARAVENNA, MONICA MOTTA 5 Dmini: [ 3 5, 3+ 5 ]. Segn: f = arccs sempre. Simmetrie e peridicit: nn peridica siccme D nn l ; n pari n dispari. Pichè l argment della funzine arccsen è cmpres tra 0 e 1, l immagine della funzine è l intervall [0, π/], quindi è limitata. Derivata: Cntinua nel dmini siccme smma e cmpsizine di funzini elementari cntinue nel prpri dmini. Derivabile se 3± 5 f = 3 sgn = Schema di mntnia della funzine: : < < ] [ 5, 1 = 3 5 = 1 = 3 = = 1+ 3, 3+ 5 f f f f mntnia di f minim asslut asslut minim lcale asslut segn di f minim asslut La funzine presenta tangenti verticali in = 3± 5. Grafic qualitativ della funzine: y y = f y = π

7 STUDI DI FUNZIONE 7 6 Dmini: R \ Z. Segn: f = csπ + > 0 in 0, 1, negativa in 1, 0. sinπ Peridica di perid : l studi si può ridurre all intervall 1, 1, 0. La funzine f = csπ + nn presenta simmetrie evidenti. sinπ Limiti: I limiti da calclare sn a = 0 e = ±1. Si ha: lim 0 ± f = ±, lim 1 ± f =, e lim 1 ± f =. L immagine della funzine è illimitata sia superirmente sia inferirmente. Cntinua e derivabile nel dmini siccme smma e cmpsizine di funzini elementari cntinue e derivabili, nel prpri dmini. Derivata prima: per / Z f = π sinπ + csπ sin π = 4π sin π csπ = π sin 3 π + 1 sinπ csπ + csπ sin π Schema di mntnia della funzine, derivat studiand il segn dei fattri: 1 π+arcsin 1/3 π 1 arcsin 1/3 π f f f f f f asintt minim asintt minim asintt lcale lcale lcale lcale mntnia segn f Grafic qualitativ della funzine: y y = f y = 1 y = f arcsin 1/3 π y = 3

8 8 FRANCESCA ALBERTINI, LAURA CARAVENNA, MONICA MOTTA 7 Dmini: D = R. Segn: f = sinh cs > 0 se π + kπ < < π + kπ, k Z e 0. Nulla in 0 e in π + kπ, k Z. La funzine è pari, nn è peridica. I limiti da calclare sn a ±, ma nn esistn: f π + kπ = 0 mentre fkπ = sinh4k π + se k + e inltre fπ + kπ = sinh4k π se k +. L immagine della funzine è quindi tutt R, illimitata. Cntinua e derivabile in R siccme cmpsizine ben definita! e prdtt di funzini elementari cntinue e derivabili in R. Derivata prima: f = csh cs cs sin Osserviam il fatt che gli zeri di cs sin sn esattamente gli zeri di / tan. Sian ± k, dve k 1π < k < k 1/π e k N, le sluzini dell equazine tan = /, che si studia graficamente cn facilità. Schema di mntnia della funzine: 3 5π / π 3π / π 1 π / 0 1 π / π 3π / 3 5π π / 3π f > 0 se 0 < < 1, se k < < k+1 se k < < k 1 per k N. Il punt 0 è un punt di minim relativ. Per k N i punti k e k sn minimi relativi, i punti k+1 e k+1 sn massimi relativi. Nn ci sn massimi minimi assluti, essend l immagine tutt R. Grafic qualitativ della funzine nn in scala e senza etichette, due ingrandimenti: